费马原理

面波，各折射光线路径是等光程。
Q
O
Q
O N
s
C
n1
n2
N
P( x, z )
n1SP n2 PQ n1SO
上式化为 n1 ( x 2 z 2 )1/ 2 n2 (d x) n1d n2 d 2 (x ) z2 n1 n2 1 2 2 2 2 d n1 /(n1 n2 ) (n1 n2 )d /(n1 n2 )
2
0
[l ] n1 z n1 z 0 2 2 z ( x x1 ) 2 y1 z 2 ( x x2 ) 2 y 2 z 2 z 0
入射线和反射线应在xy平面内. M ( x,0, z ) M ( x,0,0)
AM MB AM M B
费马原理的解释 描述光线传播行为的原理
一.光程 在均匀介质中,光程[l ]为光在介质中通过的几何路程 l 与该介质的折射率 n 的乘积： [l ] nl
[l ] l n c c [l ] l t c
1. 通过光程，可直接用真空中的光速来计算光在不同 介质中通过一定几何路程所需要的时间。 [l ] nl t [l ] ct c c 2. 光程等于光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 空中所能传播的路程。
例二 折射率分别为n1 ，n2的两种介质的界面为 ，
在折射率为 n1的介质中有一点光源S，它与界面顶点
O相距为d。设S发出的球面波经界面折射后成为平面 波，试求界面 的形状。（ n1 > n2 ）
z
P

A M
Q
O
Q
O N
s
C
n1
n2
N
z
P

A M
解：S 发出的球面波经 面折射后成平
◆ 分区均匀介质:
[l ] 1 k [l ] ni li , t ni li c c i 1 i 1
k
◆ 连续介质:
[l ] ndl
(l )
二.费马原理的表述及讨论 空间中两点间的实际光线路 径是所经历光程的平稳路径 平稳：当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时， 相应的光程的一阶改变量为零。如果有改变只能是二阶 或二阶以上的无限小量。 换言之：在A、B两点间光线传播的实际路径，与任何 其他可能路径相比其光程为极值，极值为极大或极小或 恒定值。即光线的实际路径上光程变分为零：
2 2 [l ] n1 AM n2 M B n1 ( x x1 ) 2 y1 z 2 n1 ( x x2 ) 2 y2 z 2
光程取极值
[l ] 1 x n1 ( x x1 ) ( x x1 ) 2 y1 z 2
2

n1 ( x x2 ) ( x x2 ) 2 y 2 z 2
光程[l]取极小值
z0
有
n1 ( x x1 ) ( x x1 ) y
2 2 1

n1 ( x2 x) ( x x2 ) 2 y2 2 x x2 ( x x2 ) 2 y2 2 sin i
x x1 ( x x1 ) 2 y12 i i
由光程取极值:
(n1l1 n2l2 ) y
(n1l1 n2l2 ) y
(n1l1 n2 l2 ) 0 0 x
n1 y n2 y 0 l1 l2
(n1l1 n2 l2 ) x x1 x2 x n1 n2 0 x l1 l2
x x1 x2 x sin i1 sin i2 l1 l2
z
P

A M
椭圆的几何参量：
Q
O
Q
O N
中心 [n2 d /(n1 n2 ), 0] a n1d /(n1 n2 ) b (n1 n2 ) /(n1 n2 )d
2c 2 a 2 b 2 2n2 d /(n1 n2 )
s
C
n1
n2
N
S 是一个焦点
n2 偏心率e 1 n1
sin i
3. 由费马原理导出折射定律
P ( x , y ,0 ) A( x1 ,0, z1 ) B ( x2 ,0, z 2 )
[ APB ] n1l1 n2l2 l1 z1 ( x x1 ) 2 y 2 l2 z 2 ( x x2 ) 2 y 2
2
2
[l ] ndl 0
A
B
两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播
实际光程在不同情况下相应于极大值、极小值和拐点
源自文库
三.费马原理的应用 1. 根据直线是两点间最短距离这一几何公理,对于真空
或均匀介质,费马原理可直接得到光线的直线传播定律。
2. 由费马原理导出光的反射定律
AB的光程为
n1 sin i1 n2 sin i2
4. 费马原理只涉及光线传播路径,并未涉及到光线的
传播方向。若路径AB的路径取极值，则其逆路径BA的
光程也取极值——包含了光的可逆性。
例一 一束平行于光轴的光线入射到抛物面镜上反射 后，会聚于焦点F。试证所有这些光到达焦点上光程 相等。
M
A1 A2
F
P1
P2
Q1 Q2
N
分析：
M
A1 A2
F
P1
P2
Q1 Q2
F 为抛物面的焦点，MN为其准线
抛物线性质
N
P 1F P 1Q1 P 2F P 2Q2 则 A1P 1P 1 F A2 P 2 P 2F
即
[ A1P 1 F ] [ A2 P 2F]
讨论：如果将点光源置于焦点处，由光的可逆性可知， 光源发出的光线经抛物面镜反射后成为平行于光轴的平 行光束。