1 第1课时 集合的概念

1．1集合的概念

第1课时集合的概念

问题导学

预习教材P2－P3，并思考以下问题：

1．集合和元素的概念是什么？

2．如何用字母表示集合和元素？

3．元素和集合之间有哪两种关系？

4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？

1．元素与集合的概念

(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．

■名师点拨

在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．

2．元素与集合的关系

对元素和集合之间关系的两点说明

(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．

(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的． 3．常用的数集及其记法

集合⎩

⎪⎨⎪⎧有限集（含有有限个元素的集合）无限集（含有无限个元素的集合）

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数．( )

(2)高一四班的全体同学组成一个集合．( )

(3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合． ( ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (5)集合N 中的最小元素为0.( ) (6)若a ∈Q ，则一定有a ∈R .( )

答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√

由“title ”中的字母构成的集合中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

解析：选C.由“title ”中的字母构成的集合中元素为t ，i ，l ，e ，共4个．

下列关系①0.21∈Q ；②10

5∉N *；③－4∈N *；④4∈N .其中正确的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选C.①是正确的，②中10

5＝2∈N *，③中－4＝－2∉N *，④4＝2∈N 是正确的，

故①④正确．

已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________．

解析：由题意知a ＋1＝4，即a ＝3. 答案：3

集合的概念

2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中

能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．

(1)你所在班级中的全体同学； (2)班级中比较高的同学；

(3)班级中身高超过178 cm 的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg 的同学； (6)学习成绩比较好的同学

【解】 (1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm ”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (5)“体重超过75 kg ”是确定的，所以可以构成一个集合．

(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．

判断一组对象能否构成集合的方法

一般地，确认一组对象a 1，a 2，a 3，…，a n (a 1，a 2，…，a n 均不相同)能否构成集合的过程为：

1．(2019·临川检测)考察下列每组对象，能组成一个集合的是()

①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．

A．①②B．③④

C．②③D．①③

解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，不能构成集合．2．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．

(1)2018～2019赛季，CBA的所有队伍；

(2)CBA中比较著名的队员；

(3)CBA中得分前五位的球员；

(4)CBA中比较高的球员．

解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．

(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．

(3)“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合．

(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．

元素与集合的关系

(1)下列关系中，正确的有()

①1

2∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.

A．1个B．2个

C．3个D．4个

(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【解析】 (1)1

2是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．

因此，①②③正确，④错误． (2)因为a ∈A 且4－a ∈A ， a ∈N 且4－a ∈N ， 若a ＝0，则4－a ＝4， 此时A 满足要求； 若a ＝1，则4－a ＝3， 此时A 满足要求； 若a ＝2，则4－a ＝2，

此时A 含1个元素不满足要求．

故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．

1．用适当的符号填空：

已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有： 17________A ；－5________A . 解析：由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ， 令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z .