第七章 潮流计算的数学模型及基本解法20110409

潮流方程分析－1
对于N个节点的电力系统，选第N个节点为平衡节点，其余（n N 1) n 个节点中有r个PV节点，则有n r个PQ节点。 在直角坐标系中，待求的变量为2n个， 用x [eT f T ] [e1 e2 en f1 f 2 f n ] 表示。 直角坐标系中的潮流方程是： SP Qi Qi ( fi ai eibi ) 0 i 1, 2,, n r U i2 (U iSP )2 (ei2 fi 2 ) 0 i n r 1, , n 共有2n个方程，n个待求状态变量。 2 Pi Pi SP (ei ai fibi ) 0 i 1, 2, , n
潮流计算方法的发展-1
潮流计算的发展是与人们所能使用的计算工具的发 展相联系的。
早期，除了手算潮流外，可以用交流计算台通过物
理模拟的方法来分析电力系统稳态运行状态。这种
方法虽然直观，物理概念清楚，但受到系统规模等
因素的限制，分析大电网的潮流会遇到困难。

潮流计算方法的发展-2 50年代中期，随着计算机的应用，开始在计算机上用数学模 拟方法进行潮流计算。 早期使用的潮流计算方法是以导纳矩阵为基础的简单迭代法，

极坐标系下的潮流方程
i 1,2,, N
ji
ˆ Pi jQi U i YijU j
Pi jQi U i i (Gij jBij )U j j
ji
令U i U i i 代入基本方程得
U i (Gij jBij )U j ( cosij jsinij )
i 1,2,, n
给定Ui( 0) (i 1,2,, n), 代入上式可求得电压新 , 逐次迭代直到 值 前后两次迭代求得的电 压值的差小于某一收敛 精度为止.
这就是Gauss为基础的潮流计算方法。
Gauss-Seidel潮流计算法
1 Uik 1 Yii ˆ i 1 n S i ( k＋1) (k ) YijU j ˆ ( k ) YisU s YijU j j 1 j i 1 Ui i 1,2,, n

因为平衡节点的P、Q不能预先给出，所以该节点的U、 θ就 应预先给出，该节点也称为Vθ节点，其P、Q值由潮流计算
来确定。

为使潮流计算结果符合实际，常把平衡节点选在有较大调节
余量的发电机节点。潮流计算结束时若平衡节点的有功功率、
无功功率和实际情况不符，就要调整其它节点给定的边界条 件以使平衡节点的功率在实际允许的范围之内。
1 n
方法二：
U i( k 1)
ˆ S ~ j Z ij Y js U s ˆ U (k ) j 1 j
n
i 1
~ ( k 1) Z Ui ij
j 1
ˆ Sj ˆ U(jk 1)
ˆ n Sj ~ ~ Zij Zij Yjs U s ˆ j i U( k ) j 1
对于发电机节点，由于发电机自动励磁调节作用使该节点的 电压幅值维持不变，有功功率由发电机输出功率决定，所以 该节点的P，U给定， θ 、Q待求。这类节点称为PV节点。

全系统应满足功率平衡条件：全网注入功率之和应等于网损 Pi PLoss U i U j Gij cosij i 1 i 1 ji N N Qi QLoss -U i U j Bij cosij i 1 i 1 ji
述的复数潮流方程，共有2N个实数方程。给定2N个变量，
另外2N个变量可以求解；但这并不是说任意给定2N个变量 潮流方程都是可解的。

一般说来，每个节点的4个变量中给定两个，求解另两个， 哪两个作为给定量由该节点的类型决定。
二、潮流方程的讨论和节点类型的划分

对于负荷节点，该节点的Pi,Qi是由负荷需求决定的，一般是 不可控的，该类节点的特点是P，Q给定，则该节点U,θ待求。 这类节点称为PQ节点。联络节点也可以看作P，Q给定节点， 其P，Q值都为零。
N N
i 1, 2, , N
系统有功网损和无功网损都是节点电压幅值和角度的函数，只 有在U和θ都计算出来之后，PLoss和QLoss才能确定。由于PLoss和 QLoss事先不知道，所以N个节点的注入功率中至少有一个节点的 P、Q不能预先给出，其值要待潮流计算结束，所有节点的U、 θ确定， PLoss和QLoss确定之后才能确定，该节点称为松弛节点 (Slack bus)或平衡节点。
70年代中期，Stott在大量计算实践的基础上提出了 快速分解法的潮流计算模式，使潮流计算的速度大 大提高，并可以应用于在线。


在80年代末期对快速分解法潮流的收敛机理给出了 比较满意的解释。
对潮流计算方法的基本要求
(1)要有可靠的收敛性，对不同的系统及不同的运行条
件都能收敛；
(2)占用内存少、计算速度快；
i i i

ji
ij
j
i 1,2,, N

在直角坐标系中的潮流方程
ˆ Pi jQi U i YijU j
ji
i 1,2,, N
Pi jQi (ei jf i ) (Gij jBij )(e j jf j )
ji
令U i ei jf i 代入基本方程得
二、基于阻抗矩阵的方法
1.以平衡节点为电压给定节点的阻抗矩阵法
YnUn YsUs In
U n Yn1 (I n Ys U s )
~ Z (I Y U ) Un n n s s
求解电压的两种方法
方法一：
U
( k 1) n
ˆ S Y Ys U s ˆ (k) U
YnUn In YsUs
D1{I Y U LU UU } Un n s s n n
Un D1{In YsUs LUn UUn }
考虑功率与电流的关系； 写成迭代格式
k 1 1 Ui Yii
ˆ i 1 n S i (k ) (k ) ˆ ( k ) YisU s YijU j YijU j j 1 j i 1 Ui
i 1,2,, n i 1,2,, n r
Qi QiSP U i U j (Gij sinij Bijcosij ) 0
ji
共有2n r个方程，方程数和待求 的变量数相等。
7.2 Gauss法为基础的潮流计算方法
一、基于导纳矩阵的方法
对原始网络方程: YU I 将平衡节点s排在最后, 写成分块矩阵的形式式2 - 9) ( Yn Ys U n I n YT Y YnUn YsUs In ss U s s Is
YnUn In YsUs

已知节点注入功率的情况
ˆ ˆ S Si ; 写成矢量形式: I 注入电流和注入功率之 间的关系: I i n ˆ ˆ U Ui 把Yn写成对角线矩阵 和严格上三角矩阵U和严格下三角矩阵 之和. D L 0 Y11 0 Y12 Y1n Y Y22 12 Yn L D U Yn 1,n Yn1 Yn ,n 1 0 Ynn 0

称为高斯迭代法。这种方法原理简单，内存需求较少，但算 法收敛性极差。

后来发展了以阻抗矩阵为基础的算法。这种方法收敛性好，
但内存占用量大大增加，限制了解题规模。

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牛顿—拉夫逊方法是解非线性代数方程组的一种基本方法， 在潮流计算中也得到了十分广泛的应用。

潮流计算方法的发展-2
60年代中后期，牛顿—拉夫逊潮流算法采用了稀疏 矩阵技术和节点优化编号技术，使牛顿--拉夫逊法 成为电力系统潮流计算中广泛采用的优秀算法，而 且至今它仍是潮流计算中的一种广泛使用的基本算 法。
第七章 潮流计算的数学模型及基本解法

什么是潮流计算?
给定电力系统的网络结构（连接关系）、元件参数 和决定电力系统运行状况的边界条件，确定电力系 统稳态运行状态的方法--潮流计算。
从数学上说，潮流计算是要求解一组由潮流方程描 述的非线性代数方程组。


电力系统潮流计算是电力系统分析中最基本的最重 要的计算，是电力系统运行、规划以及安全性、可 靠性分析和优化的基础，也是各种电磁暂态和机电 暂态分析的基础和出发点。
(ei jf i )(ai jbi )
i 1, 2, , N
ai (Gij e j Bij f j ) ji bi (Gij f j Bij e j ) ji Pi ei ai f i bi i 1, 2, , N Qi f i ai ei bi
7.3 牛顿－－拉夫逊法潮流计算
一.牛顿－－拉夫逊法的一般描述
n j
3.性能分析


优点：原理简单，程序设计十分容易；导纳矩阵是一个对称 且高度稀疏的矩阵，因此占用内存非常节省。 缺点：（1）收敛速度慢；（2）对病态条件的系统，会发生 收敛困难；（3）平衡节点所在位置的不同选择，也会影响 到收敛性能。 病态系统
(1)节点间相位角差很大的重负荷系统； (2)包含有负电抗支路(如某些三绕组变压器或线路串联电容等) 的系统； (3)具有较长的辐射形线路的系统； (4)长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长度比 值又很大的系统。
•在导纳矩阵法的迭代公式中，导纳矩阵高度稀疏，每行只有 少数几个是非零元素，非对角非零元素个数与和节点j相联的 支路数相等。所以，上一次迭代后得到的电压值，只有少数 几个对本次迭代中节点电压的改进有贡献，这使得导纳矩阵 法在每次迭代中其节点电压向解点方向的变化十分缓慢，算 法收敛性极差。 •由于阻抗矩阵是满阵，用阻抗矩阵设计的迭代格式可望获得 好的收敛性。

潮流方程分析－1
U ] [1 2 n U1 U 2 U n r ]
T
在极坐标系中，待求状 态变量为：xT [ T 共2n r个待求量。潮流方程为 ： Pi Pi SP U i U j (Gijcosij Bij sinij ) 0
ji
ji
i 1,2,, N
Pi U i U j (Gijcosij Bij sinij ) ji Qi U i U j (Gij sinij Bijcosij ) ji
i 1,2,, N
二、潮流方程的讨论和节点类型的划分

对于N个节点的电力系统，每个节点有四个运行变量。 例如：对于节点i有Pi,Qi,Ui,θi,全系统共有4N个变量。对于前
(3)调整和修改容易，能满足工程上提出的各种要求。
7.1 潮流计算的数学模型
一、潮流方程
对N个节点的电力网络: YU I 这是N阶线性代数方程组 . 给定注入功率时 ˆ ˆ ˆ ˆ EI S E diag{U i }是节点电压共轭组成的 N 阶对角线矩阵. N ˆ ˆ S EYU 这是N阶非线性代数方程组 . 上式展开后可写成: ˆ P jQ U Y U