第三章应变状态理论

有时用张量分量
xy
1 2
v x
u y
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这样，平面上一点的 变形我们用该点x方向上 的正应变、y方向上的正 应变和xy方向构成的直角 的变化来描述，称为应变 分量，也就是所说的几何 方程。
从几何方程可见，当 物体的位移分量完全确定 时，形变分量即完全确定。
x
u x
y
v y
xy
1 2
v x
u y
由此，可将相对位移张量分解为两个张量：
u
x
v
x
w
x
u
y v
y w
y
u
z
v
z
w
z
=
x
1 2
xy
1 2
xz
1 2
yx
y
1 2
yz
1 2
xz
1 2
yz
z
+
0
1 2
z
1
2
y
1 2
z
0
1 2x
1 2
y
1 2
x
0
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上式，等号右边第一项为对称张量，表示微 元体的纯变形，称为应变张量，第二项为反对称 张量，它表示微元体的刚体转动，即表示物体变 形后微元体的方位变化。
v v d y y
x 方向上的位移为
u u d y y
PB的正应变在小变形时是由y方向的
位移所引起的，因此PB正应变为：
y
v y
PB的转角为： u
y
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A
PA B
线段PA的转角是 线段PB的转角是
v
x
u y
于是，直角APB的改变量为
xyxvuy
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3.1 位移分量与应变分量 －几何方程
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在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，一般说来各点 的位移不同。
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如果各点的位移完 全相同，物体发生刚体 平移；
如果各点的位移不 同，但各点间的相对距 离保持不变，物体发生 刚体转动等刚体移动。
思考题：当形变分量完全确定时，位移分量 是否能完全确定。
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同样，空间一 点的变形我们用该
点x、y、z方向上的 正应变和xy、yz、
zx方向构成的直角 的变化－切应变来
描述。
张量形式为
ij
1 ui 2 xj
uj xi
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空间的应变分量共九 个分量，是一个对称张量， 和应力张量一样，它们遵 从坐标变换规则，同样存 在着三个互相垂直的主方 向，对应的主应变值是该 张量的特征值。这些互相 垂直的主方向构成的直角 在该应变张量的变形时， 角度不变，由主平面组成 的单元体，由正方体变为 直角长方体。在主方向构 成的坐标系中，张量分量 构成对角阵，切应变分量 为零。
同理，可求其它五个应变分量。经整理可得：
x ' x l 1 2 y m 1 2 z n 1 2 y m 1 z n 1 x l 1 n z 1 x l 1 m y 1
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张量式表示为
n n i'j'
ij i 'i j'j
同理，可以给出某一点沿任意方向微分线段的伸 长率
引入
u u u
x y z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
U
其中
e1
xe2
ye3z
为那勃勒算子，U是位移矢量，不难
算得的3个分量为:
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x y z
w y
v
z
ຫໍສະໝຸດ Baidu
u z
w
x
v x
u y
这里的称为转动矢量，而 x， y ， z 称为转动分量。
如物体中一点M的形变分量为
x y z x y y z zx
则相对位移张量（非对称）可分解为应变张量与转动 张量。
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3.3 转轴时应变分量的变换
设在坐标轴oxyz下，物体内某一点的6个应变
分量为 x,y,z,x,yyz,z。x现使坐标轴旋转一
个角度，新老坐标的关系为：
其中为3个新坐标轴的单位矢量。
利用方向导数公式:
( )coss,x()( )coss,y()( )coss,z)(( )
s
x
y
z
(l mn)( ) x y z
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于是新坐标系中的应变分量为
x'
u'
x'
(l1xm1yn1z)u ( 1lvm 1w1n)
u xl12vym12w zn12(w yvz)m1n1(u zw x)l1n1(vxuy)l1m1
u u d x x
y方向上的位移为
v v d x x
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dx
α
dx
PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所 引起的，因此PA正应变为
x
uux dxu dx
u x
PA的转角为
v
v x
dx
v
v
dx
x
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我们从物体中取出y方向
上长dy的线段PB，变形后为
P'B'，B'点y方向的位移为
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物体除形变外，还存在转动、刚体位移： （a）均匀形变：u、v、w是线性函数，称为均匀形变； （b）刚体位移：“形变为零”时的位移，即是“与形变
无关的位移”； （c）纯形变：形变分量不等于零，而转动分量等于零。
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3.2 一点的形变状态，形变张量
相对位移张量 6个应变分量是通过位移分量的9个一阶偏导，即：
x
y
z
x'
l1
m1
n1
y'
l2
m2
n2
z'
l3
m3
n3
其中 li,mi,ni(i1,2,3)表示新坐标轴对老坐标轴的 方向余弦。
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位移矢量在新坐标系中的3个分量 u',v',w' 分别为：
u' v'
Ue1' Ue2'
ul1 ul2
vm1 w vm2 w
nn12
w' Ue3' ul3 vm3 wn3
r x l2 y m 2 z n 2 y m z n x ln z x lm y
第三章 应变状态理论
外力(或温度变化)作用下，物体内部各部 分之间要产生相对运动。物体的这种运动形态， 称为变形。
本章任务有两个：
1、分析一点的应变状态；
2、建立几何方程和应变协调方程。
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3.1 位移分量与应变分量－几何方程 3.2 一点的形变状态 形变张量 3.3 转轴时应变分量的变换 3.4 主形变 形变张量不变量 3.5 体应变 应变协调方程
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如果各点(或部分点）间的相对距离 发生变化，则物体发生了变形。这种变 形一方面表现在微线段长度的变化，称 为线应变；一方面表现在微线段间夹角 的变化，称为切应变。
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dx dx
我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA，变形后
为P‘A’，P‘点的位移为(u,v)，A’点
x方向的位移为