五年级奥数春季班第1讲 勾股定理

第一讲 勾股定理

模块1、常见勾股数及辅助线

例1．（1）如图，下列未知边的长度分别是 、 、 。

（2）如图，下列图形的面积分别是 、 、 。

解：（1）应用勾股定理：

第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5；

第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5，所以另一条直角边的长为12； 第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。 （2）第1个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6，

所以三角形的面积是

1

86242

⨯⨯=； 第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2，另一条直角边长为0.5， 所以三角形的面积是

1

1.20.50.32

⨯⨯=； 第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S 1=1.5，

斜边长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6， 面积S 2=

1

2.567.52

⨯⨯=， 于是面积等于S 1+S 2=9.

例2．（1）如左图，梯形的周长为 ，面积为 ；如右图，梯形的周长为 ，面积为 ；

?

5

8

1.2

22

22

（2）下图的梯形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直，已知AD =3，AC =9，BD =12，则BC 的长度为 。

解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另一条直角边长为16，

于是周长=20+10+16+22=68，面积=

1

16(1022)2562

⨯⨯+=； 第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为0.5，0.9， 于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=1

1.2(0.62) 1.562

⨯⨯+=。 （2）如图平移AC 到DE ，连结CE ，CE =AD =3，DE =AC =9， 在直角三角形BDE 中，BD =12，DE =9，所以斜边BE =15， 解得BC =BE −CE =15−3=12。

模块2、勾股定理及其重要模型

例3．（1）以直角三角形ABC 的三边向外做三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积为 。

（2）下面的图形是以直角三角形ABC 的三边为直径向外做半圆得到，半圆内的数表示所在半圆的面积，求未知半圆的面积为 。

解：（1）AB 2=3，BC 2=14，所以AC 2=3+14=17；

（2）最小的半圆面积等于

2πr 12=7，第二个半圆面积等于2

π

r 22=15， 所以最大的半圆的面积等于

2

π(r 12+r 22

)=7+15=22.

例4．（1）下图是由两个直角三角形构成，求问号处的边长是 。

（2）下图是由一个两条直角边长都是1的直角三角形向外做直角三角形得到的，形成一共一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边长是 ；如果一直螺旋下去，第 个直角三角形的斜边长是10.

解：（1）由勾股定理，下面的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，斜边的平方=1+4=5，

这样上面的直角三角形的两条直角边的平方分别是5、4，它们的和等于9，所以问号处的边长等于3. （2）最小的直角三角形的斜边长的平方,等于2，第2个直角三角形的斜边的平方等于3，

第3个直角三角形的斜边的平方等于4，……，第8个直角三角形的斜边的平方等于9，斜边长等于3， 第n 个直角三角形的斜边的平方等于102=100，所以这是第99个直角三角形。

例5．（1）某直角三角形三条边长都是整数，其中一条直角边长是8，求另外两条边的长度分别为 和 。

（2）某直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，求它的面积为 。 （3）如图，长方形ABCD 的长是5，宽是1，现将长方形的右下角折到左上角，三角形AB M 的面积是 。

解：（1）设斜边长为a ，另一条直角边的长为b ，所以a 2−b 2=64，得64=(a +b )(a −b )，

64=26，又a +b 、a −b 都是整数，且a +b 与a −b 同奇同偶，

1

1

A 5

所以可以是322a b a b +=⎧⎨

-=⎩，或164a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得1715a b =⎧⎨=⎩或10

6

a b =⎧⎨=⎩。

（2）直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，设斜边为a ，则另一条直角边是9−a ， 得2

2

36(9)a a =+-，解得a =6.5，9−a =2.5，所以三角形的面积=

1

6 2.57.52

⨯⨯=； （3）设B M=a ，M C =5−a ，A M=M C =5−a ，在直角三角形AB M 中，有勾股定理得 A M 2=AB 2+B M 2，得2

2

(5)1a a -=+，解得a =2.4，所以三角形AB M 的面积=

1

1 2.4 1.22

⨯⨯=。

模块3 有趣的路径问题 例6．（1）如图是一个铁丝围成的长方体铁架，长、宽、高分别为7厘米、2厘米、3厘米，一只蚂蚁在A 点，蚂蚁需要爬到B 点处，如果只能沿着长方体的棱爬，最短路径是 厘米。

（2）如图是一个长方体木块，长、宽、高分别为9厘米、7厘米、5厘米，一只蜘蛛在A 点蜘蛛需要爬到B 点，如果只能沿着长方体木块的表面爬，最短路径为 厘米。

解：（1）7+3+2=12厘米；

（2）有三种路线，分别是

=7+10.6；

9.6；

≈10.28； 所以最短路径为9.6厘米。

随 堂 测 试

1．下图是一个长方形点阵，相邻两点距离为1厘米，求图中多边形的周长为 厘米。