五年级奥数春季班第1讲 勾股定理
五年级奥数[1].几何.勾股定理与弦图(B级)学生版
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勾股定理与弦图课前预习华盛顿的傍晚友爱的小伴侣们：“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪慧又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在闲逛，观赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。
他走着走着，突然发觉四周的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争辩，时而小声探讨。
由于奇异心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，假如直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。
”小男孩又问道：“假如两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思考地回答到：“那斜边的平方确定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法说明白，心里很不是味道。
加菲尔德不再闲逛，马上回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。
他经过反复思考与演算，最终弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。
即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。
勾股定理第一课
命题１：如果直角三角形的两直角边长分
别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
a
c
b
证 a、b、c 之间的关系： a2 +b2 =c2
法
一：
用
拼 图
a
法 证
b
明
ac
b
∵S大正方形 =(a+b)2=a2+b2+2ab
b S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 c a =4·1 ab+c2
2
c b =c2+2ab
法 三：
a
c
b
cb a
勾股定理（gou-gu法则)
在西方又称毕达哥拉 斯定理！
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边
为c，那么 a2 b2 c2 a c
即 直角三角形两直角边的平方和等 b
于斜边的平方。
弦
表示为：Rt△ABC中，∠C=90° 勾a
c
则 a2 b2 c2
股b
合作探究
勾股定理给出了直角三角形三边之间的 A 关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方
。
c2=a2 + b2
b
c a2=c2－b2
a c2 b2
b2 =c2-a2
b= c2-a2
C
B
a
c a2 b2
例、如图，在Rt△ABC中，
C＝ 90°，BC=a，AC=b，AB=c，
(1)已知a=3，b=4，求c (2)已知b=15，c=17，求a
a
c
b
知识应用
1、求下图中字母所代表的正方形的面积。
A
625
81
225 400
五年级奥数春季班第1讲-勾股定理
313 2第一讲 勾股定理模块 1、常见勾股数及辅助线例 1．（1）如图，下列未知边的长度分别是、 、 。
?54??2524（2）如图，下列图形的面积分别是、 、 。
101.3 6.581.21.52解：（1）应用勾股定理：第 1 个直角三角形中两条直角边分别是 3 和 4，所以斜边长为 5；第 2 个直角三角形中斜边长为 13，一条直角边长为 5，所以另一条直角边的长为 12； 第 3 个直角三角形中，斜边长为 25，一条直角边长为 24，所以另一条直角边的长为 7。
（2）第 1 个直角三角形的斜边长为 10，一条直角边长为 8，另一条直角边长为 6，1所以三角形的面积是 ⨯ 8 ⨯ 6 = 24 ；2第 2 个直角三角形的斜边长为 1.3，一条直角边长为 1.2，另一条直角边长为 0.5，1所以三角形的面积是 ⨯1.2 ⨯ 0.5 = 0.3 ；2第 3 的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为 2 和 1.5，它的面积是 S 1=1.5，斜边长为 2.5，大直角三角形的斜边是 6.5，一条直角边长为 2.5，所以另一条直角边长为 6，面积 S 2= 1⨯ 2.5 ⨯ 6 = 7.5 ，于是面积等于 S 1+S 2=9.例 2．（1）如左图，梯形的周长为 ，面积为 ；如右图，梯形的周长为 ，面积为 ；100.6100.6201.31.2 1.516201.31.21.522 22120.50.60.9， BCC（2）下图的梯形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相互垂直，已知 AD =3 AC =9，BD =12，则 BC 的长度为 。
AD A3D129B E解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为 20，一条直角边长为 12，所以另一条直角边长为 16，于是周长=20+10+16+22=68，面积= 1 2⨯16 ⨯ (10 + 22) = 256 ；第 2 个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为 0.5，0.9，于是梯形的下底长为 0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积= 1 2⨯1.2 ⨯ (0.6 + 2) = 1.56 。
小学奥数 勾股定理 知识点+例题+练习 (分类全面)
勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2o勾膻定理勾股数★满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数。
★常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17:④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15…注意：①3,4,5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为三个连续整数都是勾股数；②每组勾股数的相同倍数也是勾股数；（如：3,4,5；6,8,10；9,12,15）③勾股数必须都是正整数，（如：0.3,0.4,0.5都是小数，因而不是勾股数）3米例2、一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树的底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？巩固、如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？巩固、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000m 处,过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m,则飞机速度是多少？例3、暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km.丄埋宝藏点632登陆点8巩固、轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B,求AB 两地间的距离.例4、一个圆桶，底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为多少厘米?如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？B例5、下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B，C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是？巩固、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是cm2.巩固、如图所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为?例6、如图，已知直角三角形两直角边BC，AC的长分别为3cm和4cm,那么CD有多长?巩固、三角形的三边长分别为6,&10，它的最短边上的高为，最长边上的高为巩固、若直角三角形的三边长分别为X,6,8,则X2=例7、等腰三角形ABC的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为多少？巩固、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
五年级春季第1讲——勾股定理
整体：������大正方形 = (������ + ������)2
b
分解：������大正方形 = ������2 + 2������������ + ������ 2
三．练习题
【练习 1】根据下图所给数据，求出 AB 长度。
3 7 A 19
8
B
【练习 2】 长为 10 米的梯子斜靠在墙上， 若梯子的上端到墙的底端距离为 6 米， 则梯足到墙的底端距离为多少米？
C
5.图形的对折问题：——找全等图形（相等的边、相等的角）
1
五年级春季知识点总结
吴超超
二．常用公式复习
1.平方差公式：������������ − ������������ = （ ������ + ������)(������ − ������) 推导过程： 如图： 大正方形边长为 a， 小正方形边长为 b； 那么： ������阴影 = ������2 − ������ 2 ； 将阴影部分重新剪拼 又可得： ������阴影 = （������ + ������)(������ − ������)
2
五年级春季知识点总结
吴超超
【练习 3】如图，求以第 9 个直角三角形斜边为边长的正方形的面积。
5 6
4
3 2
1
18 厘米，宽 AB 为 12 厘米，则 DF 的长为多少厘米？
【练习 4】如下图是一个长方形折叠起来后形成的图形，其中长方形的长 BC 为
BCBiblioteka AF ED
3
2.完全平方公式：(������ ± ������)������ = ������������ ± ������������������ + ������������ 以(������ + ������)2 = ������2 + 2������������ + ������ 2 为例，推导过程如下： 如图：小、中正方形边长分别为 a，b
小学五年级奥数之勾股定理(1)
小学五年级奥数之勾股定理（1）勾股定理：一个直角三角形中，构成直角的两边叫做直角边；直角所对的边叫做斜边。
直角边的平方和等于斜边的平方。
设直角边为a和b，斜边为c，那么有：a²+b²=c²。
其中斜边是直角三角形中最长的边。
一般∠A对应的边是a，∠B对应的边是b，∠C 对应的边是c。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理。
一、基础训练1、在直角三角形ABC中，∠C=90度，如果a=6、b=8,那么c=（）；2、在直角三角形中，∠C=90度，如果a=5，c=13，那么b=（）；3、在直角三角形中，∠c=90度，如果c=625，b=20，求a=（）；4、以下各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）。
A 6、7、8B 8、10、12C 10 24 26 D、20 、15、6245、一个直角三角形的一条直角边是12厘米，斜边是13厘米，问这个直角三角形的面积是多少平方厘米？6、下面正方形ABCD中，∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=8厘米、AB=6厘米,BC=20厘米，问正方形ABCD的面积是多少平方厘米？7、下面大正方形ABCD中，由4个一样的直角三角形和一个小正方形拼成，其中AF=3厘米、CE=7厘米,大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？小正方形的面积是多少平方厘米？8、如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别是a、b、c;A、B、N、E、F五点在同一直线上，则正方形CNHM的面积是多少?单位：厘米)，用含有a、b、c、d的字母来表示。
9、如图，正方形网状格子组成的图中，AB、CD、EF、GH四条线段，其中可以构成直角三角形的三边的线段是（）?10、一个圆拄形的杯子中放着一根吸管，最多可以露出4厘米，最少可以露出2厘米，这个吸管的长度是12厘米，问玻璃杯底面直径是多少厘米？11、一根绳子在一个圆柱上从一端到另外一端绕了4整圈，如下图所示，圆柱底面周长4米，长12米，你可以算出绳子的长度吗？12、右图是美丽的人造平面珊瑚礁图案。
五年级第一讲勾股定理
五年级第一讲勾股定理勾股定理是数学中经典而重要的定理之一，它以古希腊数学家毕达哥拉斯的名字命名。
勾股定理描述了直角三角形中的关系，对于初学者来说会有一定的挑战。
本文将详细介绍勾股定理的概念、证明方法以及一些应用示例。
一、勾股定理的概念勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体而言，假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长度为c，那么根据勾股定理可以得到以下公式：a² + b² = c²二、勾股定理的证明方法勾股定理的证明有多种方法，这里我们介绍一种基于几何图形的证明方法。
首先，构造一个正方形，边长为a+b，如下图所示：□a b□□c根据正方形的性质，它的对角线长度等于边长的平方根，即(a+b)²的平方根。
接下来，将正方形分割成四个直角三角形，如下图所示：□a b□□ △ □□c可以看出，其中三个直角三角形的直角边分别为a、b和c，斜边长度分别未a+b、a+b和c。
根据三角形的面积公式S = 0.5 ×底 ×高，可以得到以下等式关系：S(△a) + S(△b) + S(△c) = S(□)0.5 × a × a + 0.5 × b × b + 0.5 × c × c = (a+b)²化简上式，可以得到勾股定理的形式：a² + b² = c²因此，我们通过几何图形的分割和面积计算，成功证明了勾股定理。
三、勾股定理的应用示例勾股定理在解决直角三角形问题时起到了重要的作用，我们可以通过一个实际问题来说明其应用。
假设甲地点距离某个高楼的距离为5千米，乙地点距离该高楼的距离为12千米，甲、乙两人正好位于高楼两侧的直角顶点。
现在甲想要测量高楼的高度h，他找到了一个10千米长的测量工具。
根据勾股定理，可以建立以下方程：5² + h² = 10²25 + h² = 100h² = 100 - 25h² = 75h = √75h ≈ 8.66（约等于）因此，高楼的高度约为8.66千米。
2015 年五年级春季大纲解读
因此斜边长是 41 或 15. 第二讲：分数的四则混合运算 分数、小数四则运算是小学数学中的一项重要内容，它对于培养同学们的计算能力起 着十分重要的作用，要想掌握好分数、小数的四则混合运算，一要牢记分数、小数的基本 运算法则，二要掌握分数与小数的互化.
3 1 例题：计算： 0.125 8.25 12.5% 4 8 1 ［分析］分数、小数、百分数互化类问题.这里可以注意到 0.125，， 12.5% 是一个数. 8
例题：如果 A= 句话说 B＞A . 法二： A
111111110 111111110 4 444444440 444444443 B ， 222222221 222222221 4 888888884 888888887
即A<B . 1 1 1 1 1 1 法三： 2 , 2 , 显然 ，则A<B. A 111111110 B 444444443 A B
除以 7 所得余数的积相同．而 2003 除以 7 余 1 ，所以 20032 除以 7 余 1 ．故 22003 与
20032 的和除以 7 的余数是 4 1 5 ．
第四讲：同余 本讲是在掌握上一讲余数的性质基础上灵活运用余数性质解题. 例题：学校新买来 118 个乒乓球，67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分 给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
111111110 444444443 ，B= ,A 与 B 中哪个数较大？ 222222221 888888887 1 【分析】 法一：观察可以发现 A、B 都很接近 ，且比它小．依照与 1 比较的思路，我们不 2 1 妨与 比较． 2 1 1 1 1 1 1 1 -A= , -B= , -B＜ -A，即 B 比 A 更接近 ，换 2 222222221 2 2 2 888888887 2 2 2
第一讲 勾股定理
第 一 讲 勾 股 定 理【知识链接】（一）勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么222ab c +=即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
1．用面积法证明勾股定理：（1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。
（Ⅰ）ab c b a S ABCD214)(22⨯+=+=正方形。
a ²+b ²=c ²(Ⅱ) ab b a c S EFGH 214)(22⨯+-==正方形。
c ²=a ²+b ²2.勾股定理各种表达式：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c.则c ²=a ²+b ²， a ²=c ²-b ²，b ²=c ²-a ²=。
3.勾股定理的面积表示法（如右图） 4．勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）利用勾股定理解决实际问题。
（3）用于证明平方关系的问题。
（二）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
即：在△ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 为Rt △。
1.满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常用的勾股数组如：3，4,5；6,8,10；···若a ，b ，c 为一组勾股数，那么ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数． 2．如何判定一个三角形是否是直角三角形。
①首先求出最大边（如c ）； ②验证2c 与22b a +是否具有相等关系。
若222b ac +=，则△ABC 是以∠C ＝90°的直角三角形；若222c b a>+，则三角形是锐角三角形； 若222c b a <+，则三角形是钝角三角形。
五年级奥数教材201503
顺天府学小学数学H T教材（内部资料）顾问：陶晓永卢振虎陈平范周田指导专家：汪宝义孙雪林王泽海马昕光编写团队：顺天府学－小学数学部李从峰石健沈建泽李震刘征马文郝玲会谢洪云郝田田王刚殷婕黄璜庞瑜任时光魏洪亮叶培臣宋智慧王云池灵荷和琪蔡景景H T课程《教材》使用说明读者您好！从2014年春季下学期开始，顺天府学小学数学HT课程已采用全新编写的教材，使用本教材前请您仔细阅读以下内容：教材正文分为知识探究、综合演练、拓展提升、发散训练四个版块：知识探究——例题部分，本讲主要知识点的具体应用；综合演练——与本讲主要例题对应的练习题；拓展提升——与本讲内容对应的拓展题目，难度略高于知识探究；发散训练——国内外经典数学竞赛题目，难度较高。
由于学生的认知发展程度不同，针对不同班型，具体的讲解要求如下：1.超常班班型：讲解范围为知识探究、综合演练两部分。
2.竞赛班班型：讲解范围为知识探究、综合演练、拓展提升三部分。
3.精英班班型：讲解范围为知识探究、综合演练、拓展提升、发散训练四部分。
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由于编者水平有限，难免出现不足和错误之处，欢迎广大读者给予指正，您可以登录顺天府学官方论坛“数学乐园”版块反馈意见。
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顺天府学小学数学研发部2014年4月序很高兴看到顺天府学《小学数学HT教材》的不断进步！长期以来，有两个问题一直困扰家长、学生和教师，一个是：要不要多学一点数学？另一个是：要学什么样的数学？困扰的原因之一，是许多人习惯首先回答第一个问题，然后再考虑第二个问题。
现在我们先来回答第二个问题，再回答第一个问题会变得容易很多。
必须要明确，数学不是公式和法则的积累，它是一种思考问题的方法。
因此，要学的数学必须能够展示思维的过程，通过观察、操作、对比等使学生自然得到正确的结果。
其次，要有自由创造的空间，可以从任意角度去发现和理解问题，可以天马行空，可以匪夷所思，即发散性、创造性地思考。
勾股定理(讲义)
勾股定理(讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1勾股定理一、知识归纳1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222+=a b c2．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC∠=︒，则c=b=，a=∆中，90C②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系二、题型题型一：直接考查勾股定理例１. 在ABC∠=︒∆中，90C⑴已知6BC=．求AB的长AC=，8⑵已知17AC=，求BC的长AB=，15解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABCBC=cm，CD AB⊥于D，CD＝AB=cm，3∠=︒，5∆中，90ACB⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为21DCB AAB CD E例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
2. 常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
部编版数学春季五年级超
【分析】设大正方形的边长为 2a ，小正方形的边长为 2b(其中 b=2)，圆的半径为 R ；
如右上图 ，在直角三角形
OHM
和 ODN
有：
R R
2 2
a 2 b2
(2a 5)2 (2b 5)2
；
则 a2 (2a 5)2 b2 (2b 5)2 a2 b2 (2b 5)2 (2a 5)2 a b 4
课前测试
难度 1 三角形按角度分类有几种？按边长分类有几种？ 难度 2 若三角形的两边为 3 和 4，那么第三条边的范围是多少？试着画一画。 难度 3 若三角形的三边分别为 3,4 和 5.想一想它们之间有什么数量关系。属于哪一种三角形？
第 １０ 级下 超常体系 教师版 １
学习 模块 1： 勾股定理的证明和简单运用
6. 有一扇长方形的门，不知道长和宽。用一根和门的对角线长度相同的直竹竿去量，竹竿比门宽 多 4 尺，比门高多 2 尺，求门的宽和高，以及竹竿的长度。
８ 第 １０ 级下 超常体系 教师版
第一讲
2尺
x
4尺 【分析】设竹竿长为 x 尺，根据勾股定理，
x 22 x 42 x2 x 22 x2 x 42 x 22 42x 4 x 22 8x 2
B A
E
C
F
D
【分析】根据勾股定理有 SA SB SE , SC S D S F , SE SF 72 ,所以正方形 A , B , C , D 的面积之和
第 １０ 级下 超常体系 教师版 ７
为 49cm2
3. 如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是 40cm，高是 30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的 A 处(在外面)， 它想吃到上底与下底面中间与 A 点相对的 B 点处(在外面)的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程 是多少？
小学奥数几何模型专项课件-勾股定理课件
总结归纳
总结归纳
直角三角形 三边关系
直接利用
进行构造
勾股定理
巩固提升
巩固提升
作业1：如图，每个直角三角形的一条直角边都是1厘米，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业2：7个正方形如图进行摆放，已知其中3个正方形的面积，求其余4个正方形的面积之和.
巩固提升
作业3：如图，直角三角形ABC中，已知AB=6厘米，BC=8厘米，且点O到三条边的距离相等，求 图中阴影部分的面积.
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专题解析 例题讲授 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
勾股定理 勾股定理作为直角三角形中最为重要的一条定理，也是几何部分最重要的定理之一，其主要研究 的是直角三角形三条边的关系，即两直角边的平方和等于斜边平方. 基本要求 直角三角形，一定满足勾股定理；满足勾股定理的三角形一定是直角三角形.
S梯
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c 2；
S梯
1（a 2
b）2
ab
1 2
a2
1 2
b2；
则1 c2 1 a2 1 b2， 即a2 b2 c2 . 222
专题解析
勾股数 我们将满足勾股定理的三个数称之为一组勾股数，下面列出常见的一些.
3
4
5
6
8
10
9
12
15
12
16
20
…
…
…
例题讲授
例5：如图，正方形ABCD中，以CD为斜边作直角三角形CDE，已知CE=3，DE=5，求图中阴影部 分的面积.
例题讲授
练一练5：如图，长方形ABCD的长是16厘米，宽是12厘米，E为BC边上一点，过E点向AC、BD作 垂线，垂足分别是F、G，求EF+EG.
五年级春季第1讲——勾股定理
第一讲勾股定理勾股定理是一个基本几何定理，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理约有也是数形结合的纽带之一。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
一．勾股定理1.勾股定理：求长度：构造直角三角形，已知两边求第三边2.用途：证明直角：若三边关系满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形则该三角形为直角三角形 3.勾股数：满足a2+b2=c2的三个数（a、b、c）称为勾股数常用的勾股数有以下两组：常用的勾股数有以下两组：常用的勾股数有以下两组：①（①（3n，4n，5n）：例如常用的（例如常用的（3,4,5,3,4,5,3,4,5,）和（）和（）和（6,8,106,8,106,8,10）等；）等；）等；②（5,12,13）、（7,24,25）、（9,40,41），……——由平方差公式——由平方差公式a2−b2=（a+b)(a−b)推导得来。
推导得来。
4.4.勾股定理的两个常用模型：勾股定理的两个常用模型：勾股定理的两个常用模型：①毕达哥拉斯树①毕达哥拉斯树①毕达哥拉斯树: A+B=C: A+B=C: A+B=C ②米奇模型②米奇模型②米奇模型: A+B=C: A+B=C5.图形的对折问题：——找全等图形（相等的边、相等的角）若直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a2+b2=c2C 二．常用公式复习1.平方差公式：a 2−b 2=（a +b)(a −b)推导过程： 如图：大正方形边长为a ，小正方形边长为b ；那么：S 阴影=a 2−b 2；将阴影部分重新剪拼将阴影部分重新剪拼又可得：S 阴影=（a +b)(a −b)2.完全平方公式：(a ±b)2=a 2±2ab +b 2 以以(a +b)2=a 2+2ab +b 2为例，推导过程如下：为例，推导过程如下：如图：小、中正方形边长分别为如图：小、中正方形边长分别为a ，b整体：整体：S 大正方形=(a +b)2 分解：分解：S 大正方形=a 2+2ab +b 2三．练习题【练习1】根据下图所给数据，求出AB 长度。
奥数 勾股定理
奥数勾股定理
勾股定理是一个著名的数学定理，它证明了在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理在数学中有着广泛的应用，并且在很多学科中都有其重要性。
在奥数中，勾股定理也是一个非常重要的知识点。
它不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在代数、三角函数等领域也有着重要的应用。
在奥数中，勾股定理的证明方法有很多种，其中比较常见的是毕达哥拉斯的证明方法。
这个证明方法非常简单易懂，只需要通过简单的几何图形和代数运算就可以证明勾股定理。
总之，勾股定理是一个非常重要的数学定理，在奥数中也有着广泛的应用。
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第一讲 勾股定理
模块1、常见勾股数及辅助线
例1．（1）如图，下列未知边的长度分别是 、 、 。
（2）如图，下列图形的面积分别是 、 、 。
解：（1）应用勾股定理：
第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5；
第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5，所以另一条直角边的长为12； 第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。
（2）第1个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6，
所以三角形的面积是
1
86242
⨯⨯=； 第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2，另一条直角边长为0.5， 所以三角形的面积是
1
1.20.50.32
⨯⨯=； 第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S 1=1.5，
斜边长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6， 面积S 2=
1
2.567.52
⨯⨯=， 于是面积等于S 1+S 2=9.
例2．（1）如左图，梯形的周长为 ，面积为 ；如右图，梯形的周长为 ，面积为 ；
?
5
8
1.2
22
22
（2）下图的梯形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直，已知AD =3，AC =9，BD =12，则BC 的长度为 。
解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另一条直角边长为16，
于是周长=20+10+16+22=68，面积=
1
16(1022)2562
⨯⨯+=； 第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为0.5，0.9， 于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=1
1.2(0.62) 1.562
⨯⨯+=。
（2）如图平移AC 到DE ，连结CE ，CE =AD =3，DE =AC =9， 在直角三角形BDE 中，BD =12，DE =9，所以斜边BE =15， 解得BC =BE −CE =15−3=12。
模块2、勾股定理及其重要模型
例3．（1）以直角三角形ABC 的三边向外做三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积为 。
（2）下面的图形是以直角三角形ABC 的三边为直径向外做半圆得到，半圆内的数表示所在半圆的面积，求未知半圆的面积为 。
解：（1）AB 2=3，BC 2=14，所以AC 2=3+14=17；
（2）最小的半圆面积等于
2πr 12=7，第二个半圆面积等于2
π
r 22=15， 所以最大的半圆的面积等于
2
π(r 12+r 22
)=7+15=22.
例4．（1）下图是由两个直角三角形构成，求问号处的边长是 。
（2）下图是由一个两条直角边长都是1的直角三角形向外做直角三角形得到的，形成一共一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边长是 ；如果一直螺旋下去，第 个直角三角形的斜边长是10.
解：（1）由勾股定理，下面的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，斜边的平方=1+4=5，
这样上面的直角三角形的两条直角边的平方分别是5、4，它们的和等于9，所以问号处的边长等于3. （2）最小的直角三角形的斜边长的平方,等于2，第2个直角三角形的斜边的平方等于3，
第3个直角三角形的斜边的平方等于4，……，第8个直角三角形的斜边的平方等于9，斜边长等于3， 第n 个直角三角形的斜边的平方等于102=100，所以这是第99个直角三角形。
例5．（1）某直角三角形三条边长都是整数，其中一条直角边长是8，求另外两条边的长度分别为 和 。
（2）某直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，求它的面积为 。
（3）如图，长方形ABCD 的长是5，宽是1，现将长方形的右下角折到左上角，三角形AB M 的面积是 。
解：（1）设斜边长为a ，另一条直角边的长为b ，所以a 2−b 2=64，得64=(a +b )(a −b )，
64=26，又a +b 、a −b 都是整数，且a +b 与a −b 同奇同偶，
1
1
A 5
所以可以是322a b a b +=⎧⎨
-=⎩，或164a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得1715a b =⎧⎨=⎩或10
6
a b =⎧⎨=⎩。
（2）直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，设斜边为a ，则另一条直角边是9−a ， 得2
2
36(9)a a =+-，解得a =6.5，9−a =2.5，所以三角形的面积=
1
6 2.57.52
⨯⨯=； （3）设B M=a ，M C =5−a ，A M=M C =5−a ，在直角三角形AB M 中，有勾股定理得 A M 2=AB 2+B M 2，得2
2
(5)1a a -=+，解得a =2.4，所以三角形AB M 的面积=
1
1 2.4 1.22
⨯⨯=。
模块3 有趣的路径问题 例6．（1）如图是一个铁丝围成的长方体铁架，长、宽、高分别为7厘米、2厘米、3厘米，一只蚂蚁在A 点，蚂蚁需要爬到B 点处，如果只能沿着长方体的棱爬，最短路径是 厘米。
（2）如图是一个长方体木块，长、宽、高分别为9厘米、7厘米、5厘米，一只蜘蛛在A 点蜘蛛需要爬到B 点，如果只能沿着长方体木块的表面爬，最短路径为 厘米。
解：（1）7+3+2=12厘米；
（2）有三种路线，分别是
=7+10.6；
9.6；
≈10.28； 所以最短路径为9.6厘米。
随 堂 测 试
1．下图是一个长方形点阵，相邻两点距离为1厘米，求图中多边形的周长为 厘米。
解：如图，连结两条辅助线，把图形分成一个小正方形和两个直角三角形，
小正方形的边长为1，小直角三角形的斜边长是5，大直角三角形的斜边长是13， 所以图形的周长为5+2+1+13+13=34。
2．如图是一个直角梯形ABCD ，其中AD =4，AB =12，BC =9，求阴影三角形的周长为 。
解：过D 做DE 垂直于BC ，交BC 于点E ，则BE =4，EC =5，DE =AB =12，
在直角三角形DEC 中，斜边DC =13，在直角三角形ABC 中，AB =12，BC =9，所以斜边AC =15， 所以三角形ACD 的周长是4+13+15=32。
3．下图是由三个直角三角形组成的，求问号处的边长为 。
解：最下面的直角三角形的两条直角边长分别为1和6，所以它的斜边长的平方等于1+36=37，
中间的直角三角形的两条直角边的平方分别为16和37，它的斜边的平方等于53， 最上面的直角三角形的斜边的平方是53，一条直角边的平方等于4， 所以另一条直角边的平方等于53−4=49，于是这条直角边的长度是7。
4．三角形ABC 中，AD 是一条高，分别以AB 、BD 、DC 、CA 为边向外做正方形，一些正方形的面积已知，正方形内的数代表正方形的面积，求问号处正方形的面积为 。
E
1
解：由图知AC的平方等于10，CD的平方等于6，所以AD的平方等于10−6=4，
问号处的正方形的面积等于BD2，BD2=AB2−AD2=27−4=23
5．如图，一个直角三角形ABC的直角边AB长为5，BC长为12，将直角折到斜边上，即三角形ABD折到三角形AED的位置，求三角形DEC的面积为。
解：直角三角形ABC的直角边AB长为5，BC长为12，所以斜边AC=13，
由题意知AE=AB，所以AE=5，CE=13−5=8，
设BD=DE=x，则DC=12−x，有勾股定理得DC2=DE2+EC2，
所以(12−x)2=x2+82，解得x=10
3
，所以三角形DEC的面积等于
110
8
23
⨯⨯=
40
3。
D
B。