7-3 振动的合成与分解
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7 – 3 振动的合成与分解
一 同向同频谐振动合成 两个同向同频谐振动合成
第七章 振动和波动
x1 A1 cos(t 01 ) x2 A2 cos(t 02 )
A2
o
A
x x1 x2 x A cos(t 0 )
2 1 2 2
02 01 A1
x2 x1
间（A为合振幅）。 解 （1）t = 0时刻的旋转矢量位置
例1 三个同方向、同频率和同振幅的简谐振动为：
π 5π A A1 sin A2 A3 sin 6 6 π A1 2 A1 sin 0.16 m 6 π 合振动的初相位 0 2 合振动的圆频率 314 rad/s
2 1
2
2π
2 1
2
T幅 π
Amin 0 1 T幅 2 1
t
Amax 2 A0
拍 2 1
拍频（振幅变化的频率）
7 – 3 振动的合成与分解
方法二：旋转矢量合成法
第七章 振动和波动
( 2 1 )t ( 2 1 )
2t 2
A 3 A
A2
03
x x1 x2 xn
x A cos(t 0 )
o
0 02 01A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
x (2 A0 cos 2 π
2 1
2
t ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱos 2 π
2 1
2
t
振幅部分
合振动频率
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
x (2 A0 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
A 2 A0 cos 2 π
A
A3
5π 6
A2
o
0 A π6 1
x
7 – 3 振动的合成与分解
合振动的运动方程
第七章 振动和波动
π x 0.16 cos( 314t ) m 2 （2）合振动由初始位置(0 =/2) 运动到 x 2 A / 2 的过程中，
旋转矢量转过的最小角度
A
A3
5π 6
第七章 振动和波动
x1 A1 cos 1t A1 cos 2 π1t x2 A2 cos 2t A2 cos 2 π 2t
讨论
x x1 x2
A1 A2 A0 , 2 1 1 2 的情况
方法一
x x1 x2 A0 cos 2 π1t A0 cos 2 π 2t
A2
5π 4 所需时间 t 12.5 ms
o
0 A π6 1
x
7 – 3 振动的合成与分解
二
第七章 振动和波动
两个同方向不同频率简谐运动的合成
拍
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍 .
7 – 3 振动的合成与分解
x
x
02 o
A 2
A1
A A1 A2 0 02
T
o
t
A
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
结论
1）相位差
02 01 2k π
A A1 A2
(k 0 ， 1， )
相互加强
2）相位差
1， ) 02 01 (2k 1) π (k 0 ，
讨论
2 1 2 2
x
x
o 0 A
o
T
A
A2
1
t
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t 0 ) 0 02 01 2k π
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 02 01 ) 1, ) 2）相位差 02 01 (2k 1) π (k 0 ， x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos(t π) x2 A2 cos(t π)
0
x x
A A A 2 A1 A2 cos( 02 01 )
A1 sin 01 A2 sin 02 两个同方向同频 tan 0 率简谐振动合成 A1 cos 01 A2 cos 02 后仍为简谐振动
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
A A A 2 A1 A2 cos( 02 01 ) 1， 2,) 1）相位差 02 01 2k π (k 0 ，
讨 论
1） 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
oA A A A A A x 1 2 3 4 5 6
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k π
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形 .
O A6
A1
A2
x
A0
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
x1 0 .08 cos( 314 t π 6 ) m ，x 2 0 .08 cos( 314 t 2 ) m x 3 0 .08 cos( 314 t 5 π 6 ) m 。求：（1）合振动的方程； （2）合振动由初位置运动到 x 2 A / 2 所需的最短时
A A1 A2
3）一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 01 ) x2 A2 cos(t 02 ) xn An cos(t 0n )
A 2 2
A
一 同向同频谐振动合成 两个同向同频谐振动合成
第七章 振动和波动
x1 A1 cos(t 01 ) x2 A2 cos(t 02 )
A2
o
A
x x1 x2 x A cos(t 0 )
2 1 2 2
02 01 A1
x2 x1
间（A为合振幅）。 解 （1）t = 0时刻的旋转矢量位置
例1 三个同方向、同频率和同振幅的简谐振动为：
π 5π A A1 sin A2 A3 sin 6 6 π A1 2 A1 sin 0.16 m 6 π 合振动的初相位 0 2 合振动的圆频率 314 rad/s
2 1
2
2π
2 1
2
T幅 π
Amin 0 1 T幅 2 1
t
Amax 2 A0
拍 2 1
拍频（振幅变化的频率）
7 – 3 振动的合成与分解
方法二：旋转矢量合成法
第七章 振动和波动
( 2 1 )t ( 2 1 )
2t 2
A 3 A
A2
03
x x1 x2 xn
x A cos(t 0 )
o
0 02 01A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
x (2 A0 cos 2 π
2 1
2
t ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱos 2 π
2 1
2
t
振幅部分
合振动频率
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
x (2 A0 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
A 2 A0 cos 2 π
A
A3
5π 6
A2
o
0 A π6 1
x
7 – 3 振动的合成与分解
合振动的运动方程
第七章 振动和波动
π x 0.16 cos( 314t ) m 2 （2）合振动由初始位置(0 =/2) 运动到 x 2 A / 2 的过程中，
旋转矢量转过的最小角度
A
A3
5π 6
第七章 振动和波动
x1 A1 cos 1t A1 cos 2 π1t x2 A2 cos 2t A2 cos 2 π 2t
讨论
x x1 x2
A1 A2 A0 , 2 1 1 2 的情况
方法一
x x1 x2 A0 cos 2 π1t A0 cos 2 π 2t
A2
5π 4 所需时间 t 12.5 ms
o
0 A π6 1
x
7 – 3 振动的合成与分解
二
第七章 振动和波动
两个同方向不同频率简谐运动的合成
拍
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍 .
7 – 3 振动的合成与分解
x
x
02 o
A 2
A1
A A1 A2 0 02
T
o
t
A
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
结论
1）相位差
02 01 2k π
A A1 A2
(k 0 ， 1， )
相互加强
2）相位差
1， ) 02 01 (2k 1) π (k 0 ，
讨论
2 1 2 2
x
x
o 0 A
o
T
A
A2
1
t
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t 0 ) 0 02 01 2k π
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 02 01 ) 1, ) 2）相位差 02 01 (2k 1) π (k 0 ， x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos(t π) x2 A2 cos(t π)
0
x x
A A A 2 A1 A2 cos( 02 01 )
A1 sin 01 A2 sin 02 两个同方向同频 tan 0 率简谐振动合成 A1 cos 01 A2 cos 02 后仍为简谐振动
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
A A A 2 A1 A2 cos( 02 01 ) 1， 2,) 1）相位差 02 01 2k π (k 0 ，
讨 论
1） 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
oA A A A A A x 1 2 3 4 5 6
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k π
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形 .
O A6
A1
A2
x
A0
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
x1 0 .08 cos( 314 t π 6 ) m ，x 2 0 .08 cos( 314 t 2 ) m x 3 0 .08 cos( 314 t 5 π 6 ) m 。求：（1）合振动的方程； （2）合振动由初位置运动到 x 2 A / 2 所需的最短时
A A1 A2
3）一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 01 ) x2 A2 cos(t 02 ) xn An cos(t 0n )
A 2 2
A