7-3 振动的合成与分解
第6章 振动2(振动合成、其它振动)
A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数： 时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 在欠阻尼情况下， 振幅 振动能量E： 振动能量 ： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其 值 它
15
二、李萨如图： 李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比， 如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运 动具有稳定的封闭的运动轨迹。 动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象： ３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象． 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T
振动的合成
2k 多边形闭合 A=0 n k nk k 0,1,2,
已知:
练 习
教材 P.411 13-15/P.41 12-14
A A1 A2 A1 8cm A 10cm
A与A1 相差 6
求： A2 及A1，A2的相差 解： 作平行四边形
o
T
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos( t ) 2 1 2k π
A
A2
1
t
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
2）相位差 2 1 (2k 1)π
(k 0 ， 1, )
A2
2
o
1
x
多个同方向同频率简谐振动合成仍为简谐振动
特例：
A2
An A
封闭多边形: Amin 0
A1
A1 A2
An
直线: Amax A1 A2 An
A
例：教材 P.395 [例1] / P.19 [例1] 同一直线上 n 个同频率简谐振动，其振幅 相等而初相依次相差一个恒量，求合振动。
2 1
录象
讨论:
（２）*当 1 2 可化为整数比时，合振动为周期性 振动，否则合振动为非周期振动。
重要意义： 周期性 非周期性 非谐振动
}
谐振动
研究一切振动的基础
{
讨论：（3）*振动的频谱
任何一个振动都可以分解为一系列谐振动 基频： 谐频： 主频： 频谱： 分振动角频率的最小值
四. 孤立谐振动系统的能量 五. 谐振动的合成
振动的合成与分解
2 1
2
) t cos(
2 1
2
t )
合振动不是简谐振动
当21时, 2 1 2 1 则：x A( t ) cos t 2 1 ) t 随t 缓变 式中 A( t ) 2 A cos( 2 2 1 随t 快变 cos t cos( )t
受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件， 而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的 大小和强迫力的特征有关。
(3)初相:
2 tg 2 0 2
三、位移共振 在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。
2 2 2 (1)共振频率 : r 0
2.同方向的两个不同频率，但周期相差不多的 的两个谐和振动的叠加
一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出较复杂 性的情况
x
x x1 x2
x1
x2
t
叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大 的两个谐振动的叠加
声音时大时小---“拍现象” 若有： x1 A 1 cos(1t 1 )
如 A1=A2 , 则 A=0
例：两个沿Ｘ方向的谐振动的振动方程为： 3 2 2
3 x1 5 10 cos(12t ) x2 6 10 sin( 12t ) 4 4
求：１）１、２两振动的合成振动的振幅和初相；
２）若另有Ｘ方向的谐振动的方程为：
问：
为何值时， x1 x2 为最大； 为何值时，
合振动的轨迹为通过原点且 在第二、第四象限内的直线
A2 斜率 A1
y
x
质点离开平衡位置的位移
S x y
2 2
《力学》机械振动
A1 A2
x1
T
o
- A2 -A1
t x2
2 1
注意
2
即x2比x1超前
2
22
领先、落后以< 的相位角来判断
同相和反相
当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相
x
A1
x2
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相反,称反相
a > 0
减速
a > 0
加速
9
四、 描述简谐振动的特征量--周期、振幅、相位
1、周期T: 物体完成一次全振动所需时间。
频率f:
物体在单位时间内完成振动的次数。 1 f T
2 2f T
2
角频率:
k 对弹簧振子： m
T 2
m k
1 f 2
k m
2. 振幅 A: 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的 10 绝对值。
加速度
2
d x 2 a 2 A cos( t ) dt
也是简谐振动
8
2
a(t ) A cos( t )
x.v.a.
A A A
2
a
o
x
T t
A A 2A
> 0
< 0
< 0
> 0
a < 0
减速
a < 0
加速
谐振动频率相同 X 2
= ( t + 2)- ( t + 1) = 2- 1
A 初相差 （1） （2）
0
-A/2 -A/2 -A
振动合成
练习
设一质点同时参与以下两个简谐振动：
x1
0.01cost;
x2
0.02 c os (t
2
)
式中x，t的单位分别为m，s
求（1）合振动的振幅和初相；（2）合成后 振动方程
二、两个同方向不同频率简谐振动的合成
设 A1 A2 ,1 2 0
2、拍现象的避免
如在计算机中有多个风扇是会出现令人烦躁 的拍频
解决方法：尽可能使用不同尺寸和转速的风 扇
推荐文献：《牵引交流器-电机拍频现象及其 抑制方法》，中国电机工程学报，9，2013
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
1、合成轨迹方程
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
简谐振动的合成
枣庄学院光电工程学院 吕依颖
复习
请举出物体做简谐振动的例子？ 如何用旋转矢量法描述简谐振动？
学习目标
会用旋转矢量法分析两个同方向、同频率简 谐振动的合成
理解拍现象及其应用 了解两个相互垂直方向简谐振动的合成,了解
利萨如图形。
观察视频，有什么现象，分析原因？
一、两个同方向同频率 简谐振动的合成
x1 A1 cos1t Acos2 1t; x2 A2 cos2t Acos2 2t
研究两振动频率较大，而频率差很小的情况
观察动画，得结果
现象：合振动的振幅随时间缓慢的做周期性变化， 从而出现振幅时大时小的现象---拍
拍现象的应用 1、应用
乐器调音原理
作业：请同学查阅相关资料，调研拍现象在电 子学测量仪器中的使用
高中物理第七讲---振动与波动
第七讲 振动与波动湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x ，且其所受合力F 满足(0)F kx k =->，故得2ka x x m ω=-=-，ω=则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即222111222E m kx kA υ=+=∑ ⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力F k x =-∑，那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期22T πω==m 是振动物体的质量。
⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m 和k 都相同，则弹簧振子的振动周期T 就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为2T =，在一些“异型单摆”中，l g 和的含义及值会发生变化。
〔6〕同方向、同频率简谐振动的合成：假设有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A 1和A 2，初相分别为1ϕ和2ϕ，则它们的运动学方程分别为111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x 仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即12x x x =+由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为cos()x A t ωϕ=+这说明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为A =合振动的初相满足11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2．机械波：〔1〕机械波的描述：如果有一列波沿x 方向传播，振源的振动方程为y=Acos ωt ，波的传播速度为υ，那么在离振源x 远处一个质点的振动方程便是cos ()x y A t ωυ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，在此方程中有两个自变量：t 和x ，当t 不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x 不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．〔2〕简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。
振动的合成——精选推荐
二、振动的合成实际生活中，一个系统往往会同时参与两个或更多的振动。
例如悬挂在颠簸船舱中的钟摆，两列声波同时传入人耳等。
一般的振动合成显然是比较复杂，下面仅讨论几种间单情况的简谐振动合成。
一、同方向同频率简谐振动的合成若两个同方向的简谐振动，频率都是，它们的运动方程分别为因振动是同方向的，所以这两个谐振动在任意时刻的和位移应在同一直线上，且等于这两个振动位移的代数和，即合位移仍为简谐振动二、两个同方向不同频率简谐振动的合成拍如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那么合成后的振动仍与原振动方向相同但不再是简谐振动。
现设两简谐振动的振幅都为A，初相位为零，它们的振动方程分别为合成振动方程为若两个分振动的频率都较大且其差很小时，即，合振动可看作为振幅随时间缓慢变化的近似谐振动，振幅随时间变化且具有周期性，表现出振动或强或弱的现象，称拍，变化的频率称拍频，变化的振幅为变化的频率为三、相互垂直的简谐振动的合成李萨如图如果两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行，他们的振动方程分别为合成后，可得质点的轨迹为椭圆方程若两分振动有不同的频率，且两频率之比为有理数时，则合成后的质点运动具有稳定、封闭的轨迹。
称其为李萨如图形。
程序编写我们已经在第一讲中体验了matlab的编程，可是你一定会生出这样的问号，辛辛苦苦在命令窗口写的一大堆代码怎么不保留？不用担心，matlab程序和其他编程工具一样，也有专门的文件格式，称m文件，文件名形式为“文件名.m”。
你可以用matlab自带的编辑器来输入你的程序代码，当然你也可以用其它编辑器或最经济的文本编辑器，不过别忘记添加文件名的后缀“.m”。
下面，请跟我一起用m文件编辑器来编写matlab程序。
例题：两个振动方向相同而频率不同的简谐振动方程分别为合成后的方程是请用matlab程序描述合成波和拍频现象。
编程：第一步：点击matlab图标，打开程序窗口。
第二步：选file—new—m-file,打开编辑器。
振动的合成公式(一)
振动的合成公式(一)
振动的合成公式
1. 角频率和周期的关系
•角频率ω与周期T的关系公式为：
–ω = 2π/T
•例如：
–假设有一个周期为秒的振动，可以通过以上公式计算出该振动的角频率：
•ω = 2π/ = 4π rad/s
2. 周期和频率的关系
•周期T与频率ν的关系公式为：
–T = 1/ν
•例如：
–假设有一个频率为5 Hz的振动，可以通过以上公式计算出该振动的周期：
•T = 1/5 = s
3. 多个振动的合成公式
•当存在两个或多个不同频率的振动时，它们可以通过以下合成公式进行合成：
1.同频振动的叠加（同频振动合成）：
–对于两个频率相同但振幅不同的振动A和B，它们可以通过简单相加来合成：
–合成振动 = A + B
2.不同频率振动的合成（异频振动合成）：
–对于两个频率不同的振动A和B，它们可以通过以下公式进行合成：
–合成振动= A cos(ω1t) + B cos(ω2t)
–其中，ω1和ω2分别为两个振动的角频率，t为时间。
•例如：
–假设有一个频率为3 Hz，振幅为2的振动A，以及一个频率为5 Hz，振幅为4的振动B。
可以通过以上公式计算出
两个振动的合成：
•合成振动 = 2 cos(3t) + 4 cos(5t)
总结
•振动的合成公式包括角频率和周期的关系公式、周期和频率的关系公式，以及同频振动的叠加和不同频率振动的合成公式。
这些公式可以帮助我们计算和理解振动的特性和变化。
大学物理学课件-振动的合成与分解
大学物理学
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4.2 振动的合成与分解
分析：
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1 )
（1）若两分振动同相：
2 1 2 k
A A1 A2
k 0,1, 2,
两分振动相互加强
（2）若两分振动反相:
2 1 ( 2 k 1)
×
×
−
()
()
得
−
= ( − )
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4.2 振动的合成与分解
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
分振动
x A1 cos( t 1 )
y A2 cos( t 2 )
= 0
= /4
P
.
·
= /2
= 3/4
= 3/2
= 7/4
Q
=
= 5/4
0 时，逆时针方向转动。
0 时，顺时针方向转动。
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四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成
两振动的频率成整数比
2
1
2
2
A1 A2
A1 A2
(1)2 1 0
x
y 2
(
) 0
A1 A2
y
A2
y
x
A1
x
质点离开平衡位置的位移
S
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x2 y2
A12 A2 2 cos( t )
振动的合成(黄颂翔
利用三角函数关系式：
cos cos 2 cos cos
2
2
它们的合运动为
x x1 x2 A cos1t 0 A cos2t 0
x
10
上式是个椭圆方程，形状由相位差 (20 10 ) 决
定。
２．讨论：
1）当
20
10
0时， x A1
y A2
2
0
y A2 s
y A2 x 轨迹为过原点的直线 A1
O A1
直线的斜率为
tan A2
A1
任意时刻的位移为 s
两振动合成时，相位差起决定性作用。
（1）当两振动同相位，即
20 10 2k , k 0 ， 1 , 2 ， 时
cos20 10 1
A2
A
A1
A A12 A22 2 A1 A2 A1 A2
合振动的振幅达到最大。合振动初相位与分振动 相同。
结果表明：两同方向同频率简谐振动的合成仍为一
简谐振动。合振动与分振动在同一方向上，频率与
分振动相同，振幅及初位相分别由（3）、（4）式
决定。 ２．矢量合成方法
A
设t 0时刻对应两振动的
旋 转矢 量 A1 和 A2 与 x 轴的
夹角分别为10 、20 ，它们
A2
y2
y2
y
200 10 A1 y1
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
显然，拍频是振动cos(2 1 t)的频率的两倍。即
振动合成与分解
从数学上讲 任何形式的周期函数都可通过付里叶级数分解 成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和； 成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和；而非 周期振动可通过傅里叶积分把它展成无数个频率连 续分布的谐振动。 续分布的谐振动。 将任一周期性振动 x(t +T) = x(t) 按付立叶级数展开 a0 ∞ x (t ) = + ∑ (an cos nω t + bn sin nω t ) 2 n=1 2 π 若周期振动的频率为： 若周期振动的频率为：ν ω =2 = πν T 则各分振动的频率为:ν、2ν、3ν、… 则各分振动的频率为: （基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , …） ） 由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。 由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。
二. 同方向不同频率简谐振动的合成 分振动 合振动
x2 = Acos(ω2t +ϕ2)
x = x + x2 1
1 1 x = 2 A cos [(ω 2 − ω1 )t + (ϕ 2 − ϕ1 )] ⋅ cos [(ω 2 + ω1 )t + (ϕ 2 + ϕ1 )] 2 2
x = Acos(ω t +ϕ1) 1 1
图(a) 中实线所代表的周期性振动可分解为基频 倍频的两个简谐振动的叠加。 和3倍频的两个简谐振动的叠加。 倍频的两个简谐振动的叠加 而图(b)则是一种“方波”振动信号， 而图 则是一种“方波”振动信号，它所包含 则是一种 的简谐振动成分就多了。 的简谐振动成分就多了。 这里用竖直线段在横坐标上的位置代表所包含 简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅， 简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅，该 称为振动频谱 图(c)称为振动频谱。 称为振动频谱。
2024大学物理力学第八章机械振动
动contents •简谐振动•阻尼振动与受迫振动•振动的合成与分解•振动在介质中的传播•多自由度系统的振动•非线性振动与混沌目录01简谐振动简谐振动的定义与特点定义简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
特点简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。
动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。
运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。
势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。
能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。
当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。
同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。
同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。
在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。
相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。
在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。
02阻尼振动与受迫振动阻尼振动的定义与分类定义阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。
7-2简谐振动的叠加
ω2 − ω1
2
t)
2 2 T=( )= ω2 −ω1 ω2 −ω1
x = A cos( ω t + α )
y = B cos( ω t + β )
三、两个互相垂直的简谐振动的合成 两简谐振动为
（1） ） （2） ） − sinω t sin α 改写为 A y = cos ω t cos β − sin ω t sin β B
10
傅里叶级数可表示为 周期性函数 f (t) 的傅里叶级数可表示为
f ( t ) = A0 + ∑ An cos( nωt + ϕ n )
n =1
∞
将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的 操作，称为频谱分析 频谱分析。 操作，称为频谱分析。 将每项的振幅A和对应的角频率 画成图线， 将每项的振幅 和对应的角频率ω画成图线，就 是该复杂振动的频谱 是该复杂振动的频谱 (frequency spectrum)，其中 ， 每一条短线称为谱线。 每一条短线称为谱线。 谱线
（3） ） （4） ）
乘以(3)式 乘以(4)式 以cos β 乘以 式，cosα 乘以 式，后相减得
x y cos β − cosα = sinωtsin( β −α) A B
乘以(3)式 乘以(4)式后相减得 以sinβ 乘以 式，sinα 乘以 式后相减得
（5） ）
x y sin β − sinα = cosωtsin( β −α) A B
x y 2xy + 2− cos(β −α) = sin2 (β −α) A2 B AB
2 2
（6） ）
(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 式 式分别平方后相加得合振动的轨迹方程
简谐振动的合成与分解(原创)
讨论两个特例
(1)两个振动同相，则A=A1+A2。如图一
(2)两个振动反相，则A=|A1-A2|。如图二
图一
图二
上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着重要作用。
二、两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。
简谐振动的合成与分解
学号：2901304019班级：29001020姓名：李晓林
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同性质（频率、方向等）的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同性质（频率、方向等）的间谐振动。
下图给出了用傅里叶级数合成方波的公式及图像演示。
心得与体会：
用MATHCAD软件画出各种振动的图像过程，过程比较繁琐。进行分析，得出结论，虽然所做的研究比较简单，但在此过程中更好的了解振动的合成。
（3） 时， 。
（4） 为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆。
（5）不同频率垂直方向简谐振动的合成
一般轨迹曲线复杂，且不稳定。
而当两振动的频率成正数比时，合成轨迹稳定，称为李萨如图形。如右图：
四、例子
方波信号的频谱展开。
三角函数展开式：
拓展：傅里叶级数
傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
大学物理C第六章
F
gSx
ma
d2x dt 2
gS
m
x
0
02
gS
m
T
2
m
gS
例：劲度系数为k，质量为M的弹簧振子静止地放
在光滑水平面上，一质量为m的子弹以水平速度 v1射入M中，与之一起运动。选m和M开始共同运 动的时刻为初始时刻。求固有频率，振幅和初相
位。
0
k M m
mv1
M
mv
p
1 2
kA2
p2
2M
m
m2v12
x2
• 4.3纵波方程
YS
u(t, x x
dx)
u(t, x
x)
dx
S
2u(t, t 2
x)
2u t 2
Y
2u x2
波速 c Y
• 4.4一般介质中的波
2u B 2u 其中B是体变模量，ρ是介质密度。
t 2 x2
以理想气体为例： p n RT m RT
V
MV
在等温过程中有，p
③临界阻尼 x(t) A(1 t)et
• 1.5受迫振动
d2x dt2
2
dx dt
02x
F m
cost
x(t)
F m
02 2 cost 4 2 2 02 2
2
2 sin t 4 2 2 02 2
2
若写成x(t)=Acos(ωt+φ0)的标准形式，则
A
一般椭圆方程：
x2 Ax2
y2 Ay2
2xy Ax Ay
cos
sin2
当频率不相同时，且
x y
为有理数，则能合成
7-1简谐振动
总能量
1 1 2 2 2 2 E = E k + E p = mω A sin (ω t + ϕ ) + kA cos2 (ω t + ϕ ) 2 2 1 1 2 2 2 2 因为 ω = k / m 所以 E = mω A = kA 2 2
由此式可见, 由此式可见, 尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时 间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的， 间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方 成正比。 成正比。
19
解：设物体沿x 轴作简谐振动 设物体沿
A = 10.0 cm = 0.100 m
m 0.500 当t = 0 时 ，x = A ，cosϕ =1 ， 即 ϕ = 0
所以 x = 0.100 cos 8.00 t m vm = ω A = 8.00×0.100 m ⋅ s−1 = 0.800 m⋅s−1 × ⋅ am= ω2 A = (8.00)2 ×0.100 m ⋅ s−2 = 6.40 m⋅s−2 ⋅ 所以 v = −0.800 sin 8.00 t m⋅s−1 ⋅ a = −6.40 cos 8.00 t m⋅s−2 ⋅
F = - kx
→线性回复力 线性回复力
根据牛顿第二定律有 所以 其解 或
d2 x +ω2 x = 0 dt 2
简谐振动合成与分解
通过将复杂振动分解为简单的简谐振动，可以更好地理解和分析振动的本质。
实际应用中的振动分解
信号处理
在信号处理领域，傅里叶变换被 广泛应用于将时域信号转换为频 域信号，从而分析信号的频率成 分。
机械振动分析
在机械工程中，通过对机械振动 的分析，可以了解机械系统的动 态特性和振动规律，为优化设计 提供依据。
实验验证与实际应用
未来可以通过实验验证和实际应用来 检验简谐振动合成与分解的理论，推 动其在解决实际问题中的应用。
THANKS
感谢观看
ERA
两个同频率简谐振动的合成
合成结果仍为同频率简谐振动，振幅 和相位由两个简谐振动的振幅和相位 决定。
当两个简谐振动的相位差为0或π时，合 成振动的振幅为两者之和；相位差为 π/2或3π/2时，合成振动的振幅为两者 之差。
两个不同频率简谐振动的合成
合成结果为非简谐振动，其频率为两个简谐振动频率的线性 组合。
地震学
在地震学中，通过分析地震波的 频谱，可以研究地球内部的结构 和性质。
04
合成与分解的应用
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
在物理学中的应用
01
波动合成
简谐振动合成与分解是研究波动 的重要基础，如声波、光波等的 合成与分解。
电磁波
02
03
原子振动
电磁波的合成与分解是研究电磁 波性质的关键，如无线电波、可 见光等。
能量守恒
简谐振动的能量是守恒的， 即振幅不变。
简谐振动的表示方法
三角函数表示法
简谐振动的位移、速度和加速度可以用三角函数来表示，如正弦函数或余弦函 数。
相图表示法
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2 1
2
2π
2 1
2
T幅 π
Amin 0 1 T幅 2 1
t
Amax 2 A0
拍 2 1
拍频（振幅变化的频率）
7 – 3 振动的合成与分解
方法二：旋转矢量合成法
第七章 振动和波动
( 2 1 )t ( 2 1 )
2t 2
A 3 A
A2
03
x x1 x2 xn
x A cos(t 0 )
o
0 02 01A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
A 2 2
A
0
x x
A A A 2 A1 A2 cos( 02 01 )
A1 sin 01 A2 sin 02 两个同方向同频 tan 0 率简谐振动合成 A1 cos 01 A2 cos 02 后仍为简谐振动
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
A A A 2 A1 A2 cos( 02 01 ) 1， 2,) 1）相位差 02 01 2k π (k 0 ，
间（A为合振幅）。 解 （1）t = 0时刻的旋转矢量位置
例1 三个同方向、同频率和同振幅的简谐振动为：
π 5π A A1 sin A2 A3 sin 6 6 π A1 2 A1 sin 0.16 m 6 π 合振动的初相位 0 2 合振动的圆频率 314 rad/s
讨 论
1） 2kπ
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
oA A A A A A x 1 2 3 4 5 6
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) 2） N 2k π
7 – 3 振动的合成与分解
一 同向同频谐振动合成 两个同向同频谐振动合成
第七章 振动和波动
x1 A1 cos(t 01 ) x2 A2 cos(t 02 )
A2
o
A
x x1 x2 x A cos(t 0 )
2 1 2 2
02 01 A1
x2 x1
A2
5π 4 所需时间 t 12.5 ms
o
0 A π6 1
x
7 – 3 振动的合成与分解
二
第七章 振动和波动
两个同方向不同频率简谐运动的合成
拍
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍 .
7 – 3 振动的合成与分解
A5
A4 A
i
3
(k ' kN , k ' 1,2,)
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形 .
O A6
A1
A2
x
A0
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
x1 0 .08 cos( 314 t π 6 ) m ，x 2 0 .08 cos( 314 t 2 ) m x 3 0 .08 cos( 314 t 5 π 6 ) m 。求：（1）合振动的方程； （2）合振动由初位置运动到 x 2 A / 2 所需的最短时
x (2 A0 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分
合振动频率
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
x (2 A0 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
A 2 A0 cos 2 π
第七章 振动和波动
x1 A1 cos 1t A1 cos 2 π1t x2 A2 cos 2t A2 cos 2 π 2t
讨论
x x1 x2
A1 A2 A0 , 2 1 1 2 的情况
方法一
x x1 x2 A0 cos 2 π1t A0 cos 2 π 2t
A A1 A2
3）一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 01 ) x2 A2 cos(t 02 ) xn An cos(t 0n )
讨论
2 1 2 2
x
x
o 0 A
o
T
A
A2
1
t
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos(t 0 ) 0 02 01 2k π
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 02 01 ) 1, ) 2）相位差 02 01 (2k 1) π (k 0 ， x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos(t π) x2 A2 cos(t π)
A
A3
5π 6
A2
o
0 A π6 1
x
7 – 3 振动的合成与分解
合振动的运动方程
第七章 振动和波动
π x 0.16 cos( 314t ) m 2 （2）合振动由初始位置(0 =/2) 运动到 x 2 A / 2 的过程中，
旋转矢量转过的最小角度
A
A3
5π 6
x
x
02 o
A 2
A1
A A1 A2 0 02
T
o
t
A
7 – 3 振动的合成与分解
第七章 振动和波动
结论
1）相位差
02 01 2k π
A A1 A2
(k 0 ， 1， )
相互加强
2）相位差
1， ) 02 01 (2k 1) π (k 0 ，