数学实验习题解答
Matlab与数学实验(第二版)(张志刚 刘丽梅 版) 习题答案
Matlab与数学实验（第二版）（张志刚刘丽梅版）习题答案（1,3,4,5章）第一章d1zxt1用format的不同格式显示2*Pi，并分析格式之间的异同。
a=2*pi ;disp('***(1) 5位定点表示2*pi：')format short , a % 5位定点表disp('***(2) 15位定点表示2*pi：')format long , a % 15位定点表disp('***(3) 5位浮点表示2*pi：')format short e , a % 5位浮点表示disp('***(4) 15位浮点表示2*pi：')format long e , a % 15位浮点表示disp('***(5) 系统选择5位定点和5位浮点中更好的表示2*pi：')format short g , a % 系统选择5位定点和5位浮点中更好的表示disp('***(6) 系统选择15位定点和15位浮点中更好的表示2*pi：')format long g , a % 系统选择15位定点和15位浮点中更好的表disp('***(7) 近似的有理数的表示2*pi：')format rat , a % 近似的有理数的表disp('***(8) 十六进制的表示：')format hex , a % 十六进制的表disp('***(9) 用圆角分(美制)定点表示2*pi：')format bank , a % 用圆角分(美制)定点表示d1zxt2利用公式求Pi的值。
sum=0 ;n=21;for i = 1:4:n % 循环条件sum= sum+(1/i) ; % 循环体enddiff=0 ;for j = 3:4:(n-2) % 循环条件diff= diff+(1/j) ; % 循环体endpai=4*(sum-diff)d1zxt3 编程计算1!+3!+...+25！的阶乘。
数学实验(MATLAB)课后习题答案
数学实验练习2.1画出下列常见曲线的图形。
（其中a=1,b=2,c=3）1、立方抛物线3xy=解：x=-5:0.1:0;y=(-x).^(1/3);y=-y;x=0:0.1:5;y=[y,x.^(1/3)];x=[-5:0.1:0,0:0.1:5];plot(x,y)2、高斯曲线2x e=y-解：fplot('exp(-x.^2)',[-5,5])3、笛卡儿曲线)3(13,1333222axy y x t at y t at x =++=+=解：ezplot('x.^3+y.^3-3*x*y',[-5,5])xyx.3+y.3-3 x y = 0或t=-5:0.1:5; x=3*t./(1+t.^2); y=3*t.^2./(1+t.^2); plot(x,y)4、蔓叶线)(1,1322322xa x y t at y t at x -=+=+=解：ezplot('y.^2-x.^3/(1-x)',[-5,5])xyy.2-x.3/(1-x) = 0或t=-5:0.1:5; x=t.^2./(1+t.^2); y=t.^3./(1+t.^2); plot(x,y)5、摆线)cos 1(),sin (t b y t t a x -=-= 解：t=0:0.1:2*pi;x=t-sin(t); y=2*(1-cos(t)); plot(x,y)6、星形线)(sin ,cos 32323233a y x t a y t a x =+== 解：t=0:0.1:2*pi; x=cos(t).^3; y=sin(t).^3;plot(x,y)或ezplot('x.^(2/3)+y.^(2/3)-1',[-1,1])xyx.2/3+y.2/3-1 = 07、螺旋线ct z t b y t a x ===,sin ,cos 解：t=0:0.1:2*pi; x=cos(t); y=2*sin(t); z=3*t; plot3(x,y,z) grid on8、阿基米德螺线θa r = 解：x =0:0.1:2*pi; r=x; polar(x,r)902701809、对数螺线θa e r = 解：x =0:0.1:2*pi; r=exp(x); polar(x,r)90270180010、双纽线))()((2cos 22222222y x a y x a r -=+=θ 解：x=0:0.1:2*pi; r=sqrt(cos(2*x)); polar(x,r)90270或ezplot('(x.^2+y.^2).^2-(x.^2-y.^2)',[-1,1]) grid onxy(x.2+y.2).2-(x.2-y.2) = 011、双纽线)2)((2sin 222222xy a y x a r =+=θ 解：x=0:0.1:2*pi; r=sqrt(sin(2*x)); polar(x,r)90270或ezplot('(x.^2+y.^2).^2-2*x*y',[-1,1]) grid onxy(x.2+y.2).2-2 x y = 012、心形线)cos 1(θ+=a r 解：x =0:0.1:2*pi; r=1+cos(x); polar(x,r)90270练习2.21、求出下列极限值。
华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-20
第十九章 导数及其应用19.1 函数的极限 基础练习1．判断下列函数的极限是否存在，并说明理由：（1）1lim πxx →+∞⎛⎫⎪⎝⎭． （2）lim 2x x →-∞．（3）31lim x x →∞．解：（1）()1lim 0.2πxx →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭()lim 20.3x x →-∞=（3）31lim0x x →∞=（理由说明略）． 2．根据函数极限的εδ-定义，求下列函数的极限： （1）132lim1x x x →-+． （2）2lim 21x x →-．解：（1）1321lim12x x x →-=+．（2）2lim 213x x →-=． 3．求下列函数的极限： （1）()22lim 33x x x →--． （2）22123lim 1x x x x →--+-． （3）2224lim 321x x x x x →-∞-+-+．（4）232306lim 253x x x x x x x →----． （5）()*11lim 1m n x x m n x →-∈-N ，． （6）30lim x x x x →-． （7）[]()1lim x x x →---． （8）21211lim 21x x x x x →+⎛⎫- ⎪+--⎝⎭． 解：()22lim 331x x x →--=．（2）不存在．（3）2222142242lim lim 2132133x x x x x x x x x x→-∞→-∞-+-+==-+-+． （4）232232006161lim lim 2532532x x x x x x x x x x x x →→----==----． （5）()()()()121212*********lim lim lim 1111m m m m m n n n n n x x x x x x x x x m x x x n x x x --------→→→-+++-+++===-+++-+++ ． （6）332001limlimlim 11x x x x x x x x x x →→→-===----． （7）[]()()11lim lim 21x x x x x →--→---=+=．（8）22111121121211lim lim lim 212223x x x x x x x x x x x x x x →→→+++⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪+--+-+-+⎝⎭⎝⎭． 能力提高4．设正数a b ，满足()22lim 4x x ax b →+-=，求111lim 2n n n nx a ab a b +--→∞++．解：()22lim 42x x ax b a b →+-=⇒=1211111lim lim 2242n n n n n nn n a a aa ab a b a b b a b b -+---→∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 5．把()()()21111nx x x +++++++ 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，求21lim 1n n na a →∞-+．解：令1x =，得到各项系数和：21122221n n n a +=++++=- ． 则212123limlim 212n n n n n na a ++→∞→∞--==+． 6．若241lim 01n x axb x →∞⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭，求a b ，的值．解：()()22414111a xb a x b x ax b x x -+-+++-+=++， ()()224141lim lim 011x x a x b a x b x ax b x x →∞→∞⎛⎫-+-++⎛⎫+-+== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 则40a -=，0b a -=，得出4a =，4b =．7．设()f x 为多项式，且()()34limlim 1x n f x x f x x x→∞→∞-==，求()f x 的表达式． 解：()()334lim14x f x x f x x x m x →∞--=⇒=++，()m ∈R ， ()200lim1lim 4110x x f x m x m xx →→⎛⎫=⇒++=⇒= ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为()34f x x x =+．8．已知函数()231121x x f x x a x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩，，≤，试确定常数a ，使()1lim x f x →存在．解：()()11lim lim 02x x f x f x a -+→→=⇒=+，则2a =-． 9．设函数()2210x x f x x b x ⎧+>=⎨+⎩，，≤，当b 取什么值时，()0lim x f x →存在？解：()()0lim lim 1x x f x f x b -+→→=⇒=，当1b =时，()0lim x f x →存在． 19.2 两个重要极限 1．求下列函数的极限： （1）0tan limx x x →． （2）0tan lim x kxx→．（3）01sin cos lim 1sin cos x x x tx tx →+-+-． （4）212lim 1x x x -→∞⎛⎫+⎪⎝⎭．解：（1）0000tan sin 1sin 1lim lim lim lim 1cos cos x x x x x x x x x x x x→→→→=⋅=⋅=．（2）000sin sin limlim lim cos cos x x x kx k kx kk kx kx kx kx→→→=⋅=．（3）200022sin sin cos sin 2sin 1sin cos 2222lim lim lim 1sin cos sin 2sin 2sin sin cos 2222x x x x x x x x x x tx tx tx tx tx tx tx →→→⎛⎫++ ⎪+-⎝⎭==+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭00sinsin cos 1222lim lim sin sin cos222x x x x xtx tx tx t →→+=⋅=+． （4）212221421lim 1lim 12x xxx x x e x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦．2．证明()0ln 1lim1x x x →+=．证明：()()()110ln 1limlim ln 1ln lim 1ln 1xxx x x x x x e x→→→+=+=+==，3．证明01lim 1x x e x→-=．证明：令1xt e =-，则()ln 1x t =+，当0x →时，0t →，()001limlim 1ln 1x x x e txt →→-==+． 19.3 函数的连续性1．试判断下列函数在给定点处是连续？并说明理由． （1）()112121xx f x -=+，在00x =处．（2）()2ln 00x x f x x x >⎧=⎨⎩，，≤，在00x =处；（3）10sgn 00x y x x ≠⎧==⎨=⎩，点0x =．解：（1）左、右极限都存在，1121lim 121xx x-→-=-+，1121lim 121xx x+→-=+，但不相等，在0x =处不连续．（2）左极限都存在，右极限不存在，在0x =处不连续．（3）()()0lim 1lim x x f x f x -+→→==，()()0lim 100x f x f →=≠=，所以函数sgn y x =在0x =处不连续． 2．求下列函数的极限： （1）π4limlg tan x x →．（2）()sec cot 0lim 1tan x xx x →+．（3）()lim sin 1sin x x x →+∞+-．（4）()2lim arccosx x x x →+∞+-．解：（1）π4limlg tan lg10x x →==．（2）()sec cot sec cot 001lim 1tan lim 1cot xxx xx x x e x →→⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）()11sin 1sin 2sin cos 221x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，1lim cos 021x x x →+∞⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()lim sin 1sin 0x x x →+∞+-=． （4）()2211lim lim lim 2111x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪+-=== ⎪ ⎪++⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 则()2πlim arccos 3x x x x →+∞+-=． 3．求函数在0x =处的极限：（1）()2200010x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩．（2）()ln cos5f x x =．（3）()()20a x af x a x +-=>， （4）()arctan 2x f x x=．（5）()sin 211x f x x =+-．（6）()()211cos 1cos xa x f x x+-=-．解：（1）()()0lim lim 1x x f x f x -+→→==，则极限为()0lim 0x f x →=． （2）极限为()()0lim lim lncos50x x f x x →→==．（3）极限为()2200011lim lim lim 2x x x a x a f x x a a x a→→→+-===++． （4）极限为()00arctan122lim limlim 2x x x x xf x x x →→→===．（5）极限为()()()000sin 2sin 2sin 2lim limlim 11limlim1122411x x x x x x x xf x x x xxx →→→→→==++=⋅++=⋅=+-．（6）()()()()0021sin sin lim lim2lim 2lim cot 1cos 22sin 2xx x x x a x x xf x xx----→→→→+⋅--===--不存在，则极限不存在． 4．求下列函数的极限：（1）1123lim2x x x →+--．（2）()2π2lim2sin cos x x x x →--．（3）()222sin lim 1x x x xe x →++．（4）()11lim 1x x x -→+．（5）()2lim arcsinx x x x →+∞+-． （6）22sin sin limx a x ax a→--． 解：（1）44412328224limlim2lim 432123123x x x x x x x x x x x →→→+--++=⋅==--++++．（2）()222π2ππlim2sin cos 21244x x x x →⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭．（3）22222sin 4sin 2limlim51xx x x x e ex→→++=+．（4）()111100011lim 1lim 1lim 111xx x x x x e x x --→→→⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（5）()2211lim lim lim 2111x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪+-=== ⎪ ⎪++⎝⎭++ ⎪⎝⎭， 则()2πlim arcsin 6x x x x →+∞+-=． （6）()()22sin sin sin sin sin sin lim lim x a x a x a x a x ax a x a→→+--=--()cossin sin sin 22limlim sin sin 2sin lim2sin cos sin 22x a x a x a x a x ax ax a a a a a x a x a→→→+--=+===--． 能力提高5．求20lim lim cos cos cos cos 222n x n x x x x →→∞⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 的值．解：22cos cos cos cos sin 2222cos cos cos cos 222sin 2n n n n x x x x x x x x x x = 1sin 221sin 2n n x x +=， 11211sin 2sin 2sin 222lim cos cos cos cos lim lim 2222sin 22n n n x x x nnx x x x x x x x x x ++→∞→∞→∞⎛⎫===⎪⎝⎭ ，2200sin 2lim lim cos cos cos cos lim cos cos cos cos lim 12222222n n x n n x x x x x x x x x x x →→∞→∞→⎡⎤⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ． 6．研究函数()221lim 1n nn x f x x x →+∞-=⋅+的连续性．解：当1x >时，()2222111lim lim 111nnn n n x x x f x x x x x x →+∞→+∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⋅=⋅=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 当1x <时，()221lim 1nnx x f x x x x →+∞-=⋅=+；当1x =时，()0f x =，则()1011x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，，，，由于()()11lim lim 1x x f x x --→-→-=-=，()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-，则()1lim x f x →-不存在；又()11lim lim 1x x f x x --→→==，()()11lim lim 1x x f x x ++→→=-=-则()1lim x f x →不存在． 则()f x 在1x =±处不连续，()f x 在定义域内的其余点都连续，即在区间()1-∞-，、（-1，1）和（1，+∞）上分别连续．7．讨论[]01，上黎曼函数()()()*11101p x p q p q p p qq R x x x ⎧==∈⎪=⎨⎪=⎩N ，，其中，，，，，，，理≤≤无数的连续性． 证明：设()01ξ∈，为无理数，任给0ε>（不妨设12ε<）， 满足1qε≥正数显然只有有限个q （但至少有一个，如2q =），从而使()R x ε≥的有理数()01x ∈，只有有限个（至少有一个，如12），设为1n x x ，，，取 ()1min 1n x x δξξξξ=--- ，，，，，（显然0δ>） 则对任何()()()01x U ξδ∈⊂，，，当x 为有理数时有()R x ε<，当x 为无理数时()0R x =．于是，对任何()x U ξε∈，，总有()()()R x R R x ξε-=<， 这就证明了()R x 在无理点ξ处连续． 现设p q为（0，1）内任一有理数，取012q ε=，对任何正数δ（无论多少小），在p U q δ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内总可取无理数()()001x ∈，，使得()001p R x R q qε⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以()R x 在任何有理点处都不连续． 19.4 导数的概念与运算 1．求下列函数的导数： （1）42356y x x x =--+．（2）tan y x x =⋅． （3）()()()123y x x x =+++．（4）11x y x -=+． 解：（1）3465y x x =--′．（2）2tan cos x y x x =+′．（3）231211y x x =++′．（4）()221y x =+′． 2．求下列函数的导数： （1）579x x x y x++=． （2）44sin cos 44x xy =+． （3）1111x x y xx+-=+-+．（4）2sin 12cos 24x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 解：（1）32432y x x x =++′，（2）1sin 4y x =-′．（3）()241y x =-′，（4）1cos 2y x =′． 3．求下列函数的导数： （1）21y x x =+． （2）()2223x y x x e =-+⋅． （3）3223x y x -=+．（4）31xy x=-． 解：（1）22211x y x +=+′．（2）()22224x y x x e =-+⋅′．（3）()21323y x =+′．（4）()23211311x y x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭-′．能力提高4．如图19-5，函数()f x 的图像是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则()()0f f =__________；函数()f x 在1x =处的导数()1f =′__________．图 19-5y OxABC4321564321解：()()042f f f ==⎡⎤⎣⎦，()041220f -==--′． 5．若()02f x =′，求()()000lim2k f x k f x k→--．解：()()()()0000001limlim 122k k f x k f x f x k f x kk→→----=-=--．6．求下列函数的导数：（1）()()21231y x x x =-+-．（2）3231x x x y x x -++=．（3）()2cos y ax b =+．（4）1sin 21sin 2xy x-=+．（5）()1ln 11x y x x -=>+．（6）42ln1x y x =+．解：（1）6102y x x =++′．（2）135222233322y x x x x ---=+-+′． （3）()sin 2y a ax b =-⋅+⎡⎤⎣⎦′． （4）()2cos 2cos 21sin 2x y x x -=+′． （5）211y x =-′．（6）241xy x x =-+′． 7．已知函数()y f x =是可导的周期函数，试救证其导函数()y f x =′也为周期函数． 证明：()()()()()()0limlimr r f x x f x f x x T f x T f x f x T xxδδδδδδ→→+-++-+===+′′．8．若可导函数()f x 是奇函数，求证：其导函数()f x ′是偶函数． 证明：函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()()()()()()d d d d f x f x f x f x f x f x x x--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⇒-=--⇒=-′′′′所以导函数()f x ′是偶函数，显然得证．19.5 导数的应用 基础练习1．（1）曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为__________．（2）过曲线11y x =+上点112P ⎛⎫⎪⎝⎭，且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为__________． （3）曲线sin 3y x =在点π03P ⎛⎫⎪⎝⎭，处切线的斜率为__________．（4）函数2y x =的曲线上点A 处的切线与直线310x y -+=的夹角为45︒，则点A 的坐标为__________．（5）曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线夹角是__________．解：（1）2363y x x y =-⇒=-′′，则切线方程为32y x =-+． （2）()21141y y x =-⇒=-+′′，则夹角最大为π2，所以过曲线11y x =+上点112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与过P 点的切线夹角最大的直线的斜率为4，则直线方程为：2870y x -+=． （3）3cos33y x y =⇒=′′． （4）设切线的斜率为k ，231232013k k k k -=⇒+-=+，2k =-，12， 因为22y x ==-′，112x ⇒=-，14，所以点A 的坐标为11416⎛⎫⎪⎝⎭，或()11-，． （5）23122124y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()()322216024802x x x x x x ⇒+-=⇒-++=⇒=．21222y x y x y =-⇒=-⇒=-′′，32132344y x y x y =-⇒=⇒=′′．则夹角是()()32πarctan1324--=+⋅-． 2．（1）设函数32y ax bx cx d =+++的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为1240x y --=．若函数在2x =处取得极值0，试确定函数的解析式．（2）若函数()f x 在区间[]a b ，内恒有()0f x <′，则求函数的[]a b ，上的最小值． （3）求曲线4321111432y x x x x =+--+的极值点． 解：（1）令()32y f x ax bx cx d ==+++，则()232f x ax bx c =++′， 则()21240f a b c =++=′，()012f c ==′ ()28420f a b c d =+++=，12040d ⋅--=解得：29124a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩，则函数的解析式为3229124y x x x =-+-．（2）函数()f x 在区间[]a b ，内恒有()0f x <′，所以()f x 在区间[]a b ，单调递减，因此函数在[]a b ，上的最小值为()f b ．（3）()()3222111y x x x x x =+--=-+′，因此在1x =时有极小值． 3．求下列函数的单调区间： （1）()()212y x x =++． （2）21xy x=+． （3）x y xe =．（4）lg y x x =．解：（1）()()135y x x =++′，单调递增区间为53⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，和[)1-+∞，，单调递减区间为513⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．（2）()22211x y x -+′=，单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为(]1-∞-，．（3）()1x y e x =+′，单调递增区间为[)1-+∞，，单调递减区间为(]1-∞-，． （4）ln 1ln10x y +=′，单调递增区间为1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．4．求下列函数的极值或最值：（1）[]3239544y x x x x =--+∈-，，． （2）2sin y x x =+，[]02πx ∈，． （3）()231y x x =-．（4）2ln x y x=． 解：（1）2369y x x =--′，单调递增区间为(]1-∞-，和[)3+∞，，单调递减区间为（-1，3）， 当1x =-时取到极大值10y =，当3x =时取到极小值22y =-．（2）12cos y x =+′，单调递增区间为2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和4π2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递减区间为2π4π33⎛⎫⎪⎝⎭，， 当2π3x =时取到极大值2π33y =+，当2π3x =时取到极小值4π33y =-． 当0x =时取到最小值0y =，当2πx =时取到最大值2πy =； （3）()13523x y x -=-′，单调递增区间为25⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为205⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 当25x =时取到极小值332025y =-．（4）2ln 12ln x y x-=′，单调递增区间为()e +∞，，单调递减区间为()0e ，， 当e x =时取到极小值2e y =． 5．当0x >时，证明下列不等式成立：（1）()2ln 12x x x +>-．（2）24cos 1224x x x <-+．证明：（1）令()()2ln 12x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，()211011x f x x x x =+-=>++′， 所以()f x 在区间()0+∞，上单调递增，则()()()2ln 1002x f x x x f ⎛⎫=+-->= ⎪⎝⎭，则()2ln 12x x x +>-，显然得证．（2）令()241cos 224x x f x x =-+-，()()3sin 6x g x f x x x ==-++′，()()2cos 12x h x g x x ==+-′,()()sin x h x x x ϕ==-′,()1cos 0x x ϕ=+′≥， 则()sin x x x ϕ=-在区间()0+∞，上单调递减，所以()()sin 00x x x ϕϕ=->=，则()2cos 12x h x x =+-在区间()0+∞，上单调递增，所以()()2cos 1002x h x x h =+->=，则()3sin 6x g x x x =-++在区间()0+∞，上单调递增，所以()()3sin 006x g x x x g =-++>=，则()241cos 224x x f x x =-+-在区间()0+∞，上单调递增，所以()()241cos 00224x x f x x f =-+->=，即24cos 1224x x x <-+得证．6．设()()21e x f x ax x -=+-⋅（e 为自然对数的底，a 为常数且0a <，x ∈R ），则()f x 何时取得极小值？解：()()()21212e 2e x xf x ax a x a x x a --⎛⎫⎡⎤=-+-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭′， 当102a -<<时，1x a =-时，()f x 取得极小值；当12a <-时，2x =时，()f x 取得极小值．7．求抛物线212y x =上与点()60A ，距离最近的点． 解：任取抛物线上一点212x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()22442116123644z d x x x x x ==-+=+-+．()()32212226z x x x x x =+-=-++′，则在()2-∞，单调递减，()2+∞，单调递增，则抛物线212y x =上与点()60A ，距离最近的点是（2，2）． 能力提高8．已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值．（1）讨论()1f 和()1-是函数()f x 的极大值还是极小值． （2）过点()016A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 解：（1）函数()323f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值()0f x ⇔=′的解为32313230a b x a b +-=⎧=±⇔⎨--=⎩1a b =⎧⇒⎨=⎩，则()33f x x x =-， 则()12f -=是极大值，()12f =-是极小值．（2）设切点为()33M m m m -，，则切线方程为()()23333y m x m m m =--+-． 过点()016A ，，则()()23316330382m m m m m m =--+-⇔=-⇒=-， 则切点为()22M --，，则切线方程为9160x y -+=．9．设函数()()20f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线垂直于直线210x y ++=．（1）求a b ，的值．（2）若函数()()xe g xf x =，讨论()g x 的单调性．解：（1）因()()20f x ax bx k k =++>，故()2f x ax b =+′； 又()f x 在0x =处取得极限值，故()0f x =′，从而0b =．由曲线()y f x =在()()11f ，处的切线与直线210x y -+=相互垂直可知： 该切线斜率为2，即()12f =′，有22a =，从而1a =．（2）由（1）知，()()20x e g x k x k =>+，()()()()22220x e x x k g x k x k -+=>+′． 令()0g x =′，有220x x k -+=．①当440k ∆=-<，即当1k >时，()0g x >′在R 上恒成立，故函数()g x 在R 上为增函数． ②当440k ∆=-=，即当1k =时，()()()()222100x e x g x x xk -=>≠+′，1k =时，()g x 在R 上为增函数．③440k ∆=->，即当01k <<时，方程220x x k -+=有两个不相等实根，111x k =--，211x k =+-．当()11x k ∈-∞--，是()0g x >′，故()g x 在()11k -∞--，上为增函数，当()1111x k k ∈--+-，时，()0g x <′，故()g x 在()1111k k --+-，，上为减函数，10．已知函数()3213f x x ax bx =++，且()10f -=′．（1）试用含a 的代数式表示b ．（2）求()f x 的单调区间．（3）令1a =-，设函数()f x 在()1212x x x x <，处取得极值，记点()()11M x f x ，，()()22N x f x ，，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M N 、的公共点．解：（1）依题意，得()22f x x ax b =++′，由()1120f a b -=-+=′得21b a =-． （2）由（1）得()()321213f x x ax a x =++-，故()()()2221121f x x ax a x x a =++-=++-′，令()*0f x =′，则1x =-或12x a =-．①当1a >时，121a -<-当x 变化时，()f x ′与()f x 的变化情况如下表：x()12a -∞-，()21a --， ()1-+∞， ()f x ′ + - + ()f x单调递增单调递减单调递增由此得，函数()f x 的单调增区间为()12a -∞-，和()1-+∞，，单调减区间为()121a --，． ②由1a =时，121a -=-，此时，()0f x ′≥恒成立，且仅在1x =-处()0f x =′，故函数()f x 的单调区间为R ．③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为()1-∞-，和()12a -+∞，，单调减区间为()112a --，． 综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为()12a -∞-，和()1-+∞，，单调减区间为()121a --，； 当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为()1-∞-，和()12a -+∞，，单调减区间为()112a --，． （3）当1a =-时，得()32133f x x x x =--，由()3230f x x x =--=′，得11x =-，23x =．由（2）得()f x 的单调增区间为()1-∞-，和()3+∞，，单调减区间为（-1，3）， 所以函数()f x 在11x =-，23x =处取得极值．故513M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()39N -，．所以直线MN 的方程为813y x =--．由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得32330x x x --+=． 令()3233F x x x x =--+，易得()030F =>，()230F =-<，而()F x 的图像在（0，2）内是一条连续不断的曲线， 故()F x 在（0，2）内存在零点0x ，这表明线段MN 与曲线()f x 有异于M ，N 的公共点． 11．设定义在R 上的函数()()43201230123i f x a x a x a x a x a i =+++∈=R ，，，，，当22x =-时，()f x 取得极大值23，并且函数()y f x =′的图像关于y 轴对称． （1）求()f x 的表达式．（2）试在函数()f x 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上．（3）求证：()()()22sin cos 3f x f x x -∈R ≤． 解：（1）由于()320123432f x a x a x a x a =+++′为偶函数，则()()f x f x -=′′， 则323201230123432432a x a x a x a a x a x a x a -+-+=+++， 则302420a x a x +=对一切x ∈R 恒成立， 则020a a ==，则()313f x a x a x =+， 又当22x =-时，()f x 取得极大值23， 则2223202f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩′，解得13231a a ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，则()3233f x x =-，()221f x x =-′．（2）设所求两点的横坐标为1x ，()212x x x <，则()()221221211x x -⋅-=-， 又由于1x ，[]211x ∈-，，则2121x -，[]222111x -∈-，，则2121x -，2221x -中有一个为1，一个为-1，则1201x x =⎧⎨=⎩或1210x x =-⎧⎨=⎩，则所求的两点为（0，0）与113⎛⎫- ⎪⎝⎭，或（0，0）与113⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（3）证明：易知sin x ，[]cos 11x ∈-，．当202x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x <′；当212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x >′． 则()f x 在202⎡⎤⎢⎥⎣⎦，为减函数，在212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，又()00f =，2223f ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()113f =-，而()f x 在[]11-，上为奇函数， 则()f x 在[]11-，上最大值为23，最小值为23-，即()23f x ≤，则()2sin 3f x ≤，()2cos 3f x ≤，则()()()()22sin cos sin cos 3f x f x f x f x -+≤≤． 12．已知函数()sin f x x x =-，（1）若[]0πx ∈，，试求函数()f x 的值域． （2）若[]0πx ∈，，()0πθ∈，，求证：()()2233f f x x f θθ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥．（3）若()π1πx k k ∈+⎡⎤⎣⎦，，()π1πk k θ∈+⎡⎤⎣⎦，，∈Z ，猜想()()23f f x θ+与23x f θ+⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系（不必写出比较过程）．解：（1）当()0πx ∈，时，()1cos 0f x x =->′，则()f x 为增函数．又()f x 在区间[]0π，上连续，所以()()()0πf f x f ≤≤，求得()0πf x ≤≤，即()f x 的值域为[]0π，． （2）设()()()2233f f x x g x f θθ++⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．即()()2sin 2sin33f xx g x θθ++=-+，()12cos cos 33x g x x θ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭′， 由于[]0πx ∈，，()0πθ∈，，则()20π3xθ+∈，，由()0g x =′，得x θ=，则当()0x θ∈，时，()0g x <′，()g x 为减函数，当()πx θ∈，时，()0g x >′，()g x 为增函数． 由于()g x 在区间[]0π，上连续，则()g θ为()g x 的最小值 对[]0πx ∈，有()()0g x g θ=≥，因而()()2233f f x x f θθ++⎛⎫⎪⎝⎭≥．（3）在题设条件下，当k 为偶数时，()()2233f f x x f θθ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，当k 为奇数时，()()2233f f x x f θθ++⎛⎫ ⎪⎝⎭≤．。
浙江省瑞安市实验小学六年级数学下册解决问题解答应用题练习题60带答案解析
浙江省瑞安市实验小学六年级数学下册解决问题解答应用题练习题60带答案解析一、人教六年级下册数学应用题1．为了测量一个空瓶子的容积，一个学习小组进行了如下实验。
①测量出整个瓶子的高度是22厘米；②测量出瓶子圆柱形部分的内直径是6厘米；③给瓶子里注入一些水，把瓶子正放时，测量出水的高度是5厘米；④把瓶盖拧紧，将瓶子倒置放平，无水部分是圆柱形，测量出无水部分圆柱的高度是12厘米。
（1）要求这个瓶子的容积，上面记录中的哪些信息是必须有的？________（填实验序号）（2）请根据选出的信息，求出这个瓶子的容积。
2．水果店里西瓜个数与哈密瓜个数的比为7：5，如果每天卖哈密瓜40个，西瓜50个，若干天后，哈密瓜正好卖完，西瓜还剩36个。
水果店里原来有西瓜多少个？3．以小强家为观测点，量一量，填一填，画一画。
（1）新城大桥在小强家________方向上________m处。
（2）火车站在小强家________偏________（________）°方向上________m处。
（3）电影院在小强家正南方向上1500m处。
请在图中标出电影院的位置。
（4）商店在小强家北偏西45°方向上2000m处。
请在图中标出商店的位置。
4．厦门某大型儿童乐园的门票零售每张20元。
六（1）班有46人，请你根据乐园管理处规定（如图），设计两种或三种购票方式，并指出哪种购票方式最便宜。
购买25张（含25张）以上的可以购买集体票，每张票价为原价的80%.方式二：方式三：最便宜的购票方式是：5．民航部门规定：乘坐飞机的旅客，携带行李超过20千克的部分，每千克要按飞机票原价的1.5%另行支付行李逾重费。
李青青从上海乘飞机，购买了七折机票，付钱707元，他携带了30千克的行李，应付行李逾重费多少元？6．—个棱长是6分米的正方体。
（1）它的表面积是多少？（2）如果把它削成一个最大的圆柱体，圆柱体的体积是多少？（3）如果把它削成一个最大的圆锥体，削去的体积是多少立方分米？7．一个圆锥形沙堆，底面积是28.26m²，高是2.5m。
数学实验1-3章习题答案
ans =
18.3287
函数的单调区间为：
(1)单调递增区间:-2<x<-1.5326 -0.7315<x<0以及1.5951<x<2;
(2)单调递减区间：-1.5326<x<-0.7315以及0<x<1.5951.
(2)
函数的图形为：
clear
>> fplot('3*x^5-20*x^3+10',[-3,3])
ans =
-3
最值2：
x=1:0.1:3;
>> y=3.*x.^5-20.*x.^3+10;
>> [m k]=max(y)
m =
199
k =
21
>> x(k)
ans =
3
驻点1及相应的二阶导数值：
clear
>> syms x y
>> y=3*x^5-20*x^3+10;
>> yxx=diff(y,x,2);
>> grid on
f=inline('100*acos(1-1/200*(r^2))+r^2*acos(1/20*r)-10*sqrt(r^2-1/400*r^4)-50*pi','r');
>> y=fzero(f,12)
y =
11.5873
3.求解下列非线性方程组在远点附近的根：
clear
>> syms x y z
>> [x y z]=solve('9*x^2+36*y^2+4*z^2-36','x^2-2*y^2-20*z','16*x-x^3-2*y^2-16*z^2',x,y,z)
数学建模与数学实验课后习题答案
P594•学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432 人住在C 宿舍。
学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各 宿舍的委员数。
解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。
i 表示各个宿舍（分别取 A,B,C ）， p i 表 示i 宿舍现有住宿人数， n i 表示i 宿舍分配到的委员席位。
首先，我们先按比例分配委员席位。
23710 A 宿舍为:n A ==2.365 1002 333"0 B 宿舍为：n B =3.323 1002 432X0 C 宿舍为：n C =4.3111002现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。
经比较可得，最后一席位应分给 A 宿舍。
所以，总的席位分配应为： A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。
QA23722 3= 9361.5 Q B33323 4 = 9240.7 Q C4322 4 5=9331.2商人们怎样安全过河傻麴删舫紬削＜ I 11山名畝臥蹄峨颂禮训鋤嫌邂 韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展 縣確牡GH 錚俩軸飙奸比臥鋪謎 smm 彌鯉械即第紘麵觎岸締熾 x^M 曲颁M 删牘HX …佛讪卜过樹蘇 卜允棘髒合 岡仇卅毘冋如;冋冋1卯;砰=口 於广歎煙船上觸人敦% V O J U;xMmm朗“…他1曲策D 咿川| thPl,2卜允隸策集合 刼為和啊母紳轉 多步贱 就匚叫=1入“山使曲并按 腿翻律由汩3』和騒側），模型求解 -穷举法〜编程上机 ■图解法S={(x ?jOI x=o, j-0,1,2,3;X =3? J =0,1,2,3； X =»*=1,2}J规格化方法，易于推广考虑4名商人各带一随从的情况状态$=（xy¥）~ 16个格点 允许状态〜U ）个。
点 , 允许决策〜移动1或2格； k 奇）左下移；&偶，右上移. 右，…，必I 给出安全渡河方案评注和思考［廿rfn片,rfl12 3xmm賤縣臓由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。
MATLAB实验练习题计算机南邮MATLAB数学实验大作业答案
“M A T L A B ”练习题 要求：抄题、写出操作命令、运行结果，并根据要求，贴上运行图。
1、求230x e x -=的所有根。
（先画图后求解）（要求贴图）>>solve('exp(x)-3*x^2',0)ans=-2*lambertw(-1/6*3^(1/2))-2*lambertw(-1,-1/6*3^(1/2))-2*lambertw(1/6*3^(1/2))2、求下列方程的根。
1)5510x x ++=a=solve('x^5+5*x+1',0);a=vpa(a,6)a=1.10447+1.05983*i-1.00450+1.06095*i-.-1.00450-1.06095*i1.10447-1.05983*i2）1sin 02x x -=至少三个根 >>fzero('x*sin(x)-1/2',3)ans=2.9726>>fzero('x*sin(x)-1/2',-3)ans=-2.9726>>fzero('x*sin(x)-1/2',0)ans=-0.74083）2sin cos 0x x x -=所有根>>fzero('sin(x)*cos(x)-x^2',0)ans=>>fzero('sin(x)*cos(x)-x^2',0.6)ans=0.70223、求解下列各题：1）30sin lim x x x x ->- >>symx;ans=1/62）(10)cos ,x y e x y =求 >>symx;>>diff(exp(x)*cos(x),10)ans=(-32)*exp(x)*sin(x)3）21/20(17x e dx ⎰精确到位有效数字）>>symx;>>vpa((int(exp(x^2),x,0,1/2)),17)ans=0.4）42254x dx x +⎰ >>symx;>>int(x^4/(25+x^2),x)ans=125*atan(x/5)-25*x+x^3/35）求由参数方程arctan x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩所确定的函数的一阶导数dy dx 与二阶导数22d y dx 。
南邮数学实验习题选及答案
第一次练习教学要求：熟练掌握Matlab 软件的基本命令和操作，会作二维、三维几何图形，能够用Matlab 软件解决微积分、线性代数与解析几何中的计算问题。
补充命令vpa(x,n) 显示x 的n 位有效数字，教材102页fplot(‘f(x)’,[a,b]) 函数作图命令，画出f(x)在区间[a,b]上的图形在下面的题目中m 为你的学号的后3位（1-9班）或4位（10班以上） 1.1 计算30sin limx mx mx x →-与3sin lim x mx mxx→∞- 程序：syms xlimit((627*x-sin(627*x))/x^3,x,0) 结果：1003003001/6程序： syms xlimit((627*x-sin(627*x))/x^3,x,inf) 结果： 01.2 cos1000xmxy e =，求''y 程序： syms xdiff(exp(x)*cos(627*x/1000),2) 结果：-2001/1000000*exp(x)*cos(1001/1000*x)-1001/500*exp(x)*sin(1001/1000*x)1.3 计算221100xy e dxdy +⎰⎰程序：dblquad(@(x,y) exp(x.^2+y.^2),0,1,0,1) 结果：2.139350195142281.4 计算4224x dx m x+⎰ 程序： syms xint(x^4/(627^2+4*x^2)) 结果：1/12*x^3-1002001/16*x+1003003001/32*atan(2/627*x)1.5 (10)cos ,x y e mx y =求程序： syms xdiff(exp(x)*cos(627*x),10) 结果： - 9389137388146839380380277888*cos(627*x)*exp(x) -149759579095532896918284384*sin(627*x)*exp(x)1.6 0x =的泰勒展式(最高次幂为4).程序：syms xtaylor(sqrt(627/1000+x),4) 结果：(62500*627^(1/2)*1000^(1/2)*x^3)/246491883 - (125*627^(1/2)*1000^(1/2)*x^2)/393129 +(627^(1/2)*1000^(1/2)*x)/1254 + (627^(1/2)*1000^(1/2))/10001.7 Fibonacci 数列{}n x 的定义是121,1x x ==，12,(3,4,)n n n x x x n --=+=用循环语句编程给出该数列的前20项（要求将结果用向量的形式给出）。
北京市师大实验八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中AB CD ⊥，现添加以下条件，不能判定ABC ABD △≌△的是（ ）A ．ACB ADB ∠=∠B ．AB BD =C ．AC AD = D ．CAB DAB ∠=∠3．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 4．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．35．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）A ．PC PD =B ．OC OD = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC PE =6．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒7．如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组8．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA 9．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD 10．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，且DE 所在直线是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若3DE =，则BC 的长为（ ）．A ．6B ．7C ．8D ．911．如图，已知△ABC 的周长是20，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于，且OD=2，△ABC 的面积是（ ）A ．20B ．24C ．32D ．4012．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ 13．如图，点C ，D 在线段AB 上，AC DB =，AE //BF ，添加以下哪一个条件仍不能判定△AED ≌△BFC （ ）A ．ED CF =B ．AE BF =C ．E F ∠=∠D ．ED //CF14．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2 15．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条件，其中能使ABC AED ≌△△的条件有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题16．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．17．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____18．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．19．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度． 20．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，若12AB =，4CD =，则ABD △ 的面积为__________．21．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．22．如图，9cm AB =，3cm AC =，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点B 向点A 运动，同时点Q 在射线BD 上以x cm/s 的速度由点B 沿射线BD 的方向运动，它们运动的时间为t （s ）（1）如图①，若AC AB ⊥，BD AB ⊥，当ACP BPQ △≌△，x =________；CPQ ∠=________．（2）如图②，CAB DBA ∠=∠，当ACP △与BPQ 全等，x =________； 23．如图，AB ＝8cm ，AC ＝5cm ，∠A ＝∠B ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向B 运动，同时，点Q 以x cm/s 的速度从点B 出发在射线BD 上运动，则△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值为_____________24．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．25．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．26．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．三、解答题27．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：CD=2BE ．28．如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，EF ∥CD ，AE ∥BC ，且AD ＝BF ． 求证：AE ＝BC29．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ． （1）求证：AO AB =；（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？30．已知：如图，AOB ∠．求作： A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ,OB 于点C ,D ； ②画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '； ③以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D ； ④过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠；A OB '''∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接C D ''．由作法可知OC O C ''=,，，∴COD C O D '''≅．（ ）（填推理依据）．∴A O B AOB '''∠=∠．∴A O B '''∠就是所求作的角．。
数学实验课习题总结(带答案)
第二次实验内容
1、求下列方程的根 1）ex-3x=0, 在[-1，1]上的近似解，使用 fzero，fsolve 分 别进行求解 2 ）判定方程 x7+2x5+3x3+5x+7=0 有几个实根，并使用 roots，fzero，fsolve 分别进行求解，也使用牛顿法编程计算 问题的近似解。 2、求解线性方程组：
答案：
1. 程序设计： (1) fzero('exp(x)-3*x',[-1,1]) fsolve('exp(x)-3*x',[-1,1]) (2)函数 fun1: function ff=fun1(x) ff=(x^7+2*x^5+3*x^3+5*x+7)/(7*x^6+10*x^4+9*x^2+5); 程序： x=-1:0.01:1; y=x.^7+2*x.^5+3*x.^3+5*x+7; plot(x,y,'r-') gtext('零点') grid on 数 p=[1,0,2,0,3,0,5,7]; roots(p) fzero('x^7+2*x^5+3*x^3+5*x+7',0) fsolve('x^7+2*x^5+3*x^3+5*x+7',0) x0=1; x1=x0-fun1(x0); while abs(x1-x0)>=0.0001 x0=x1; x1=x0-fun1(x0); end x0 结果: (1) ans = 0.6191 0.6191 (2)有 1 个实根，如右图 ans = 1.0633 + 0.8552i 1.0633 - 0.8552i 0.1980 + 1.4799i 0.1980 - 1.4799i -0.8442 + 1.1442i -0.8442 - 1.1442i -0.8341 ans = -0.8341 %画图法判断实根个
上海市华东师范大学第二附属中学实验班用高三数学习题详解 第十章 矩阵与行列式初步 含解析
第十章 矩阵与行列式初步10.1 矩阵的定义及其运算1．设矩阵121052312432563241⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭，，，A B C 求（1）+A B ，（2）()++A B C ，（3）2-+A B C ，（4）32-B A ．解：（1）225588⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（2）7487129⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（3）10671106⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（4）1401016-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭．2．设矩阵24241236-⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭，A B ，求AB 和BA ．解：242416322424001236816361200----⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⋅==⋅=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬------⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭，AB BA ． 3．求下列矩阵的乘积：（1）()317156425⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭．（2）212103032141⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭．（3）301601054234215321⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭． 解：（1）{}3736．（2）72164⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（3）2124222324291311⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 4．设矩阵215031400306760213221215624--⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪===-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪---⎩⎭⎩⎭⎩⎭，，A B C ． 求（1）()2-A B C ．（2）3+A BC ． 解：（1）30335422557383618-⎧⎫⎪⎪--⎨⎬⎪⎪-⎩⎭．（2）188104913634314-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭． 5．在一次校运会中，高二年级的三个夺冠热门班级获得前六名的项目数如表1所示，而每一种名次可获得如表2所示相应的积分．表1 名次第一名 第二名 第三名 第四名 第五名 第六名 A 班 5 2 3 4 5 3 B 班187212如果现在要求按前6名的得分统计各个班的团体总分，进而决定各班在年级中的名次，那么，哪个班级最终获胜了呢？（要求用矩阵运算）解：()10645224535012121210399321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭A S ；()106418721210482862292321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭B S ；()10646124366068126698321⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==+++++=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭C S ；所以A 班最终获胜了． 6．设矩阵1001⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭A ，⎧⎫=⎨⎬⎩⎭x B y ，求AB ；并说出矩阵A 对矩阵B 产生了怎样的变换？ 解：⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭x AB y ，产生了一个镜像变换，类似于直角坐标系中关于X 轴对称．10.2 矩阵变换求解线性方程组1．写出方程123123121232152232353-+=⎧⎪--=⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩x x x x x x x x x x x 的系数矩阵和增广矩阵．解：系数矩阵112151203315-⎧⎫⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪-⎩⎭，增广矩阵1121151220323153-⎧⎫⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪-⎩⎭． 2．对下列方阵施以初等变换，使之成为单位方阵： （1）113327133-⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭，（2）321111111⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪--⎩⎭解：（1）()122113113113327101101133133110----⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪-−−−−−−−−→−−−−−−→−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎩⎭⎩⎭⎩⎭第一行加到第三行第三行乘以第一行乘以加到第二行第三行加到第一行第三行不变第二行不变第二行不变 ()()()211203001001101101100110110110---⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭三一第二行乘以加到第一行第一行乘以加到第二行第一行乘以加到第行第三行不变第三行不变第行不变001100100010010001⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭交换第一行和第二行交换第二行和第三行（2）()()()21115112321321321111111110111001001---⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪-−−−−−−−−→-−−−−−−−−→-−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎩⎭⎩⎭⎩⎭三第二行乘以加到第一行第一行乘以第二行乘以加到第三行第行乘以加到第一行第三行乘以加到第二行第三行不变第三行乘以 ()()11100100110010001001--⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪−−−−−−−−→⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎩⎭第二行乘以加到第二行第二行乘以第三行不变3．把矩形23822122121314A -⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭化为行最简形矩阵．解：10322201330000⎧⎫⎪⎪⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭．4．用矩形的初等变换解下列线性方程组：（1）1212323312234115x x x x x x x +=-⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩．（2）12312312321352752x x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=-⎨⎪-++=⎩．（3）1212123232328233x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎨⎪++=⎩．（4）12312312322313250x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--+=⎩．解：（1）8757x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．（2）无解．（3）212x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．（4）503x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．5．线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是__________．解：201112000112--⎧⎪⎨⎪⎩． 6．设A 是一个n n ⨯的矩阵()11*k k A AA A A k +⎧=⎪⎨=⋅∈⎪⎩N ．若1101A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求： （1）2A ，3A ．（2）猜测()*n A n ∈N ，并用数学归纳法证明．解：（1）223111213010101A A ⎧⎫⎧⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，．（2）()*101n n A n N ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭．10.3 二阶行列式与二元线性方程组1．计算下列二阶行列式的值： （1）35571--．（2）sin cos cos sin αααα--．解：（1）()3553535071-=---=-． （2）22sin cos sin cos cos 2cos sin ααααααα-=-+=-．2．用二阶行列式求解方程组12123234x x x x +=⎧⎨-=-⎩．解：1131135510234324x y D D D ==-==-==-----，，； 1212y xD D x x D D ====，，所以方程组的解为1212x x =⎧⎨=⎩． 3．设a ∈R ，若方程组()()120320a x y x a y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩除00x y ==，外，还有其他解，求a 的值．解：120432a a-=⇒-或1-．4．已知方程组()()()11232a x ay a a x a y ⎧-+=⎪∈⎨+++=⎪⎩R ，恰有一解，求x y +的最小值，并求此时a 的范围． 解：()()()1132323a aD a a a a a a -==-+-+=-++， 1113,42322x y a a D a D a a a -==-==-++． 3433a a x y --==--，． ()()()()7203341341343332743aa a a x y a a a a a -⎧<⎪⎪--⎪+=+=-+-=⎨⎪-⎪>⎪⎩≤≤．x y +的最小值为13，此时a 的范围是34a ≤≤．10.4 三阶行列式1．用对角线法计算下列行列式： （1）623251469----．（2）a cb ba c cba． 解：（1）182．（2）3333a b c abc ++-． 2．利用行列式解下列方程组：（1）()()415332x y y y z z⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩．（2）25314510x y x z y z +=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩．（3）123123123323154329547x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩．解：（1）1524513x k y k z k ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．（2）000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．（3）435215325x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．3．利用行列式性质，化简并计算下列行列式： （1）682152056341---．（2）111a b cbc a c a b+++．（3）215326121236132623--解：（1）()()6821520566083026060480341--=-⋅-⋅-+⋅+=-．（2）()()()()2211110111ab cbc a c a bb c a a b c ab b ac c a b c b c c b ca b a b cca b++++=-++=+---+++-=+++．（3）2153261212411115311272363942336649108132623-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅---⋅--+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-．4．展开行列式，证明下列行列式的值为零： （1）000ma nab c nb c m ---．（2）254123131352323143--+． 解：（1）000000ma nabcnb c cnb ma nab mnabc mnabc cc mc m ---=+=+=---． （2）()()2541231313522756411727370323143--+=⋅-⋅-+⋅---⋅+⋅=．5．用行列式性质证明：（1）111111*********2222b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++（2）()()()222111a a bb a b bc c a cc =---． 证明：（1）11111111111111111222222222222222222222b c c a a b b c a b a b b ca ab bc c a a b b c a b a b b c a a b b c c a a b b c a b a b b c a a b ++++-++++++=+-+=++++++-+++111111111111111122222222222222222232a b c a b a b c b a b b c a b ca b c a b a b c b a b b c a b c a b c a b a b c b a b b c a b c ++++=-++=-+=+=++++．（2）()()()()()()()222222222111a ab b bc b c a c b a c b b c bc ab ac a a b b c c a c c =---+-=--++-=---．6．[]0πθ∈，，且1cos sin 0cos sin 01sin cos θθθθθθ-=，，则θ=__________． 解：1cos sin π00cos sin 12sin cos 1sin 241sin cos θθθθθθθθθθ=-=-=-⇒=，．7．设行列式111222333a b c D a b c a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）． A ．D -B ．DC ．2D D ．2D - 解：111111111111111112222222222222222233333333333333333223232232322323c b c a b c c b a b c c b a a b c c b c a b c c b a b c c b a a b c D c b c a b c c b a b c c b a a b c ++++++++=++==--=-+++++，选Ａ．8．如行列式111213212223313233a a a a a a D a a a =，则313233212223111213333222a a a a a a a a a =---（ ）．A ．6D -B ．6DC ．4D D ．4D -解：313233313233111213212223212223212223111213111213313233333222666a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a =-==---，选B ． 9．一位同学对三元一次方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（其中()123i i i a b c i =，，，，不全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：结论1：当0D =，且0x y z D D D ===时，方程组有无穷个解； 结论2：当0D =，且x y z D D D ，，都不为零时，方程组有无穷个解； 结论3：当0D =，且0x y z D D D ===时，方程组无解．但是上述结论均不正确．下面给出的方程组可以作为结论1、2和3的反例依次为（ ）． （1）230231232x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（2）2020240x y x y z x y +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩；（3）212032x y x y z x y z +=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩．A ．（1）（2）（3）B ．（1）（3）（2）C ．（2）（1）（3）D ．（3）（2）（1）解：带入逐一检验即可，选B ．10．在ABC △中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2a c ==，且sin sin 0020cos 01C B b c A -=，求ABC △的面积． 解：sin sin 0002sin sin 2cos cos 01C B b c b C B c A A =-=-， ()1π2sin sin 2sin sin cos 0cos 23R C B C B A A A -=⇒==，，2221cos 422b c a A b bc +-==⇒=，1sin 2ABC S bc A ==△10.5 三阶行列的展开与三元齐次线性方程组1．利用代数余子式展开下列三阶行列式并求值，并用对角线法验算：（1）122451314-．（2）584345463---． 解：（1）()12245112121321921263843314=⋅-⋅+⋅-=--=--．（2）()()()584345512308920418162102328450463--=⋅---⋅+-⋅-=---=--． 2．利用行列式按行或按列展开式计算三阶行列式：104014131D =．解：1041201014145493113131=⋅+⋅=--=-． 3．计算下列行列式：（1）837504922---．（2）152552515552515---．（3）64227828362035135-．解：（1）()837504883467104922-=⋅-⋅-⋅-=---．（2）()()()1525525155152251252537525562575200052515--=⋅++⋅--+⋅-=--．（3）6422782836226802035135-=-．4．解下列齐次线性方程组：（1）023204540x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．（2）202020x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．（3）670510504370x y z x y z x y z --=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩．解：（1）0x k y z k =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．（2）000x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．（3）x k y k z k =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．5．已知1023142x x 的代数余子式120A =，则代数余子式21A =__________．解：12211023124022442x A x x A x x =--=⇒==-=-，．6．1010411a a 大于零的充要条件为__________．解：()()210101011411a a a a =->∈-∞-+∞，，，∪． 7．问λμ，取何值时，齐次线性方程组1231231220020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？解：111101121λμλμ=⇒=或0μ=．9．()2*4n n n ∈N ，≥个正数排成一个n 行n 列的矩阵111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭，其中()11ik a i n k n ，≤≤≤≤表示该数阵中位于第i 行第k 列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且2134820a a ==，． （1）求11a 和ik a ． （2）计算行列式11122122a a a a 和im ik jm jka a a a ．（3）设()()112132...n n n n n A a a a a --=++++，证明：当n 是3的倍数时，n A n +能被21整除．解：（1）()211122212i i ik k a a a k --===+．（2）1112212223046a a a a ==． ()()()()1111121212120im iki j i j jm jk a a m k k m a a ----=++-++=；（3）()()()()2123......12122221221222n n n n A n n n A n n n -=++⋅+-⋅++⋅=+⋅+⋅+-⋅++⋅，． 两式相减，得()()323321n n n n A n A n =⋅-++=-，．当*3n m m =∈N ，时，()381m n A n +=-． ①1m =时，()38121n -=显然能被21整除； ②假设m k =时，()381k -能被21整除，结论也成立． 由①、②可知，当n 是3的倍数时，n A n +能被21整除．。
华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-11_复数习题版
第十一章 复数11.1 复数的概念1．m 取何实数时，复数()226215i 3m m z m m m --=+--+．（1）是实数．（2）是虚数．（3）是纯虚数．2．设z 是纯虚数，且i i 0z z z z ⋅+-=，求z ．3．已知复数()()21i 31i 2iz -++=-，若21i z az b ++=-，求实数a b ，的值．4．满足()()222522i 0x x y y +++--=的有序实数对()x y ，有__________组．5．若复数()2223232i z m m m m =--+-+是纯虚数，则求实数m 的值．6．已知a b ∈R ，，则“a b =”是“复数()()i a b a b -++是纯虚数”的什么条件？7．已知z ∈C ，则命题“z 是纯虚数”是命题“221z z ∈-R ”的__________条件．8．使“复数z 为实数”的充分而不必要条件的是（ ）．A ．2z 为实数B ．z z +为实数C ．z z =D ．z z =9．已知关于x 的方程()22i 2i 0x k x k ++++=有实根，求这个实根以及实数k 的值．10．已知复数()()()()13i 1i 13i i iz z a a ω-+--+==+∈R ，当zωa 的取值范围．11．若()()23i i 63i f z z z f z =+-+=-，，试求()f z -．12．已知复数()()()()2124i 2cos 3sin i z m m m z θλθλ=+-∈=-+∈R R ，，，，若12z z =，求证：9716λ-≤≤．13．设()()()22125i 441i x y a z x ax z x ay y ∈=-+=--+-R ，，，，，若对所有x y ，，都有12z z ≠，求as 的取值范围．14．已知方程()()22i 42i 0x x ab a b ++++-=，()a b ∈R ，有实根，求实根的取值范围．11.2 复数的代数运算1．计算：23999...12i 3i 4i 1000i +++++．2．（1）计算()()254i i 2i ++．（2）计算1281i 2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．3．已知两个复数1z 和2z ，它们之和是)(11i ++-，它们之差是)(11i -+-，求1z 、2z ．4．若复数z 满足1z =，求证：21zz ∈+R ．5．若12x +=，则()2321x x ++的值为__________．6．若11z z+=，求200120011z z +的值．7．求同时满足下列两个条件的复数z ： （1）1016z z<+≤．（2）z 的实部、虚部都是整数．8．设z ∈C ，求满足1z z +∈R 且22z -=的复数z ．9．已知复数i z x y =+（x 、y ∈R ），集合{|1i M z z y =+-=．（1）若1223z M z ∈=，，求12z z -的最小值． （2）若()z M z a a '''∈=∈R ，，求z z '''-的最小值()d f a =的表达式．10．已知z 、w 为复数，()13i z +为纯虚数，2izw =+，且w =，求w ．11．求所有整数k ，使()()221i 1i 21i1ikkk +-+=-+成立．12．已知a b c ，，分别为1的立方根，求111n n n n n na b b c c a++的值．（*n ∈N ）13．已知复数12z z ，满足()121i 15i 2i z z a +=-+=--，，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若121z z z -<，求a 的取值范围．11.3 复数的模和共轭复数的运算性质1．已知复数z 满足44i z z -=-，且141zz z -+-为实数，求复数z ．2．已知()()()()2122i 2i z x y x xy y z x y y xy x y =++--=---∈R ，，，问x y ，为何值时，1z 与2z 为共轭复数．3．已知复数12z z ，满足1212357z z z z ==-=，，，求12z z ．4．已知复数z 满足2z =，求1z ++的最值．5．求复数())52443i 1i 2z -=⎫-⎪⎪⎝⎭的模．6．设复数z 满足1z =，求22z z -+的最大值与最小值，并求出相应的复数z 的值．7．（1）已知1211z z z ∈=C ，，，求12121z z z z --⋅的值．（2）若复数123z z z ，，的模均为r ，求123123111z z z z z z ++++的值．8．已知复数121cos isin 1sin i cos z z θθθθ=++=-+，，且22122z z +≥，求θ的取值范围．9．已知复数12cos i sin i z z θθ=+=+，，求12z z ⋅的最大值和最小值．10．设复数12z z ，满足12122i 2i 10z z z z +⋅-⋅+=． （1）若12z z ，满足212i z z -=，求12z z ，．（2）若1z k ，使得等式24i z k -=恒成立，若存在，试求出k ；若不存在说明理由．11.4 复数与复数的加法、减法和几何意义1．是否存在实数a ，使得复数2222156i 4a a z a a a +-=--+-在复平面上对应的点在虚轴上，若存在，求出所有的实数a ，若不存在，请说明理由．2．（1）若z ∈C 且22i 1z +-=，求22i z --的最小值． （2）若z ∈C 且34i 2z ++≤，求z 的最大值．3．已知复数z满足2z z =的虚部为2．（1）求z ；（2）设22z z z z -，，在复平面上的对应点分别为A B C ，，，求ABC △的面积．4．已知复数12z z ，满足1211z z =+=，，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值．5．已知1z =，且51z z +=，求复数z ．6．已知z 为复数，2i z +和2iz-均为实数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ．（2）若复数()2i z a +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．7．若1i 1z +-=，求z 的最大值和最小值．8．设复数z 满足2z =，求i z -的最大值及此时的复数z ．9．已知2216z z +是实数，求复数z 在复平面上所对应的点集的图形．10．设复数()i z x y x y =+∈R ，在复平面上所对应的点是Z ，画出满足下列条件的点Z 的集合所表示的区域：（1）Re 0z >．（2）Re 40Im 2z z <<，≤．（3）2Re Im 2z z z +=，≤．11．已知两个复数集：(){}2|4i M z z t t t ==+-∈R ，及(){}|2cos 3sin i N z z θλθλθ==++∈∈R R ，，的交集为非空集合，求λ的取值范围．12．复数()()31i i 1ia b z ++=-且4z z =，对应的点在第一象限，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a b ，的值．13．已知复数1z 在11z =的条件下变动，而421120092010i 12z z z --=+-，则复数z 对应点的形成的区域图形的面积是__________．14．关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z 、2z 、m 均是复数，且21241620i z z -=+．设这个方程的两个根为αβ-=，求m 的最大值和最小值．15．设复数z 满足5z =，且()34i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，)m m -=∈R ，求z 和m 的值．16．设a 为实数，且存在复数z 满足z +=和z a +<，求a 的取值范围．17．设z 是复数，则111z z z -+-+-的最小值等于__________．18．在复平面上有两个动点W 和Z ，它们分别对应于复数w 与z ，且满足i 2w z =+，当Z 沿曲线11z z -++=运动时，求w 的最值．19．已知P 为直线10x y -+=上的动点，以OP 为边作正OPQ △（O P Q ，，按顺时针方向排列），则点Q 的轨迹方程为__________．11.5 复数的三角形式与运算1．下列复数是不是复数的三角形式？ ①1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭．②1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．③13π3πsin icos 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭．④7π7πcosisin 55+．2．（1）计算：ππππ2cos isin 3cos isin 991818⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）已知A 、B 、C 是ABC △的三个内角，三个复数121cos 2isin 21cos 2isin 2z A A z B B =-+=-+，，31cos 21sin 2z C C =-+，试求123sin 2sin 2sin 2z z z A B C⋅⋅++的值．3．若复数()1cos i 1sin z αα=+-和21i z =+在复平面上的对应点的距离为1，求复数1z 的模与辐角主值．4．已知复数z 满足2z =，()πarg 23z +=，求z ．5．有一个人在草原上散步，开始时从O 点出发，向东行走，每走1千米后，便向左转π6角度，他走过n 千米后，首次回到原出发点，则n =__________．6．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为1220...z z z ，，，，则复数1995199519951220...z z z ，，，所对应的不同点的个数是__________．7．已知1i z =+，（1）设234z z ω=+-，求ω的三角形式．（2）如果221i 1z az bz z ++=--+，求实数a b ，的值．8．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为123Z Z Z O ，，，（O 为原点），已知2Z 对应复数21z =+，求点1Z 和点3Z 所对应的复数．9．方程71z =-+的7个根在复平面上对应的7个点，这些点在四个象限中只有1个点的象限是__________．10．若复数12z z ，满足12z z =，且122i z z -=-，则1212z z z z 的值为__________．11．设复数1i z =+，复数2z 满足22z =，已知212z z ⋅的对应点在虚轴的负半轴上，且()2arg 0πz ∈，，求2z 的代数形式．12．已知121i 2i 0z z z z i -+=--⋅=，，27πarg 12z =，若12z z ，在复平面上分别对应点A B ，，且AB =，求1z 的立方根．13．已知k 是实数，ω是非零复数，且满足()()223arg π11i 14k ωωω=+++=+，．（1）求ω的值．（2）设[]cos isin 02πz θθθ=+∈，，，若1z ω-=+，求θ的值．14．已知()()44π5arg 1arg 1π36z z +=-=，，求复数z ．15．已知复数12z z ，满足2112z z z z =，且123ππ7arg arg arg π368z z z ===，，，则求123arg z z z +的值．16．设A B C ，，为ABC △的三内角，复数sin i cos 5225A B A B z z +-=+=，，求C 的最大值．17．求证：()()11ππ2π...sinsin sin 22n n n n n n n --⋅⋅⋅=≥．18．设复数)122i 1i z a z b =-+-+-，的模相等，且21πarg2z z =，求实数a b ，的值．19．若12cos x xθ+=，求证：12cos n n x n x θ+=．20．设复数3cos 2isin z θθ=+，求函数πarg 02y z θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值．21．已知复数()31i 1i z =-，（1）求1arg z 及1z ．（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．11.6 复数乘除法的几何意义1．复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为1222+，，求第三个顶点所表示的复数．2．已知向量OZ 所表示的复数z 满足()2i 1i z -=+，将OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转π4得OZ '，设OZ '所表示的复数为z '，求复数z '+的辐角主值．3．设i z a ω=+，其中a ∈R ，i 是虚数单位，()()14i 1i 24i34iz -+++=+，且ωω的辐角主值θ的取值范围．4．已知复数1212z z z z +，，在复平面上分别对应点A B C O ，，，为复平面的原点．（1）若11i 2z =+，向量OA 逆时针旋转90︒，模变为原来的2倍后与向量OC 重合，求2z ．（2）若()12122i z z z z -=+，试判断四边形OACB 的形状．5．已知复数1z 、2z 分别对应复平面上的点12Z Z ，，且12z z ，满足条件：()211212i 10z az a z z z z +=-∈++-=R ，．（1）当a 为何值时，12Z OZ △的面积取得最大值？并求出这个最大值． （2）当12Z OZ △面积取得最大值时，求动点1Z 的轨迹．6．设12121i 22w z w z z w z z z =-+=-=+，，，，对应复平面上的点A B ，，点O 为原点，90AOB AO BO =︒=，∠，则OAB △面积是__________．7．复平面上，非零复数12Z Z ，对应的点12z z ，在以（0，1）为圆心，1为半径的圆上，12z z ⋅的实部为零，1z 的辐角主值为π6，则2z =__________．8．复数列{}n a 的通项公式为()1*11cos πisin π266n n n n a n -⎛--⎛⎫=+∈⎪ ⎝⎭⎝⎭N ． （1）将数列{}n a 的各项与复平面上的点对应，问从第几项开始，以后所有各项对应的点都落在圆22116x y +=内部． （2）将数列{}n a 中的实数项按原来的顺序排成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的通项以及所有项的和．11.7 复数集内的方程1．在复数范围内分解因式2258x x -+．2．已知方程5432355420x x x x x ---+-=有两个根是1，i ，求方程的其他根．3．求实数k 的值，使方程()22i 2i 0x k x k ++++=至少有一个实根．4．设λ∈R ，若二次方程()()21i i 1i 0x x λλ-++++=有两个虚根，求λ需满足的充要的条件．5．在复数范围内解方程()23ii 2iz z z -++=+（i 为虚数单位）．6．已知复数w 满足()432i w w -=-（i 为虚数单位），52z w w=+-，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．7．已知关于t 的方程220t t a -+=的一个根为()1a +∈R ， （1）求方程的另一个根及实数a 的值．（2）是否存在实数m ，使对x ∈R 时，不等式()22log 22a x a m km k +-+≥对[]12k ∈-，恒成立？若存在，试求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．8．设复数()()224sin 12cos i z a θθ=-++，其中i 为虚数单位，a 为实数，()0πθ∈，．若z 是方程2250x x -+=的一个根，且z 在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与a 的值．9．已知αβ，是关于x 的方程()220x x m m ++=∈R 的两个根，求αβ+的值．10．已知关于x 的实系数方程()222440x ax a a a -+-+=∈R 的两根分别为12x x ，，且123x x +=，求a 的值．11．设复数列{}n x 满足10n x a ≠-，，且11nn n ax x x +=+．若对任意*n ∈N 都有3n n x x +=，求a 的值．12．已知α、β为方程()()22i 43i 0x x --++=的根，求： （1）22αβ+．（2）33αβ+．（3）11αβ+．13．已知关于x 的二次方程()()2tan i i 20x x θ-+-+=． （1）如果此方程有一个实根，求锐角θ和这个实根． （2）试证无论θ取任何实数，此方程不可能有纯虚数根．14．设虚数12z z ，满足212z z =．（1）若12z z ，是一个实系数一元二次方程的两个根，求12z z ，．（2）若11i z m =+（i 为虚数单位），1z ，复数23z ω=+，求ω的取值范围．15．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21*|n z M z n ωω-==∈N ，． （1）设α是方程1x x+=的一个根，试用列举法表示集合M α． （2）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．16．定义数列{}n a ：12a a ，是方程2i 10z z +-=的两根，且当2n ≥时，有()()21111i 20n n n n n n aaa a a a +-+--++-=，求证：对一切自然数n ，有222121122n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++++++=++．11.8 复数的综合应用1．实数m 取什么值时，复数()()2223i 1m m z m m m -=++--，（1）是实数，（2）是纯虚数，（3）z 对应的点位于第二象限．（4）z 对应的点在直线30x y ++=上．2．416x -分解成一次式的乘积为____________________．3．34i 2z ++≤，则z 的最大值为__________．4．复数101i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭的值是__________．5．已知复数i z x y =+，其中实数x y ，满足方程()222i log 81log i x y x y ++-=-，则z =__________．6．已知1z ∈C ，且1i 216z z -+++=，则在复平面内z 对应的点的轨迹是__________．7．复数()1231i i 0z z a b z b a a b ==+=+>∈R ，，，，且123z z z ，，成等比数列，则2z =__________．8．复数z满足11z z -++=，那么z 的取值范围是__________．9．已知函数()221x f x x =+，那么()()()()11112i 3i 4i 2i 3i 4i f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．10．复数z 满足i i 2z z ++-=，则i+1z +的最小值是__________．11．设O 为复平面的原点，A 、B 为单位圆上两点，A B ，所对应的复数分别为1212z z z z ，，，的辐角主值分别为αβ，，若AOB △的重心G 对应的复数为11i 315+，求()tan αβ+．12．设非零复数12345a a a a a ，，，，满足352412341234512345111114a a a a a a a a a a a a a S a a a a a ⎧===⎪⎪⎨⎛⎫⎪++++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎩，， 其中S 为实数且2S ≤，求证：复数12345a a a a a ，，，，在复平面上所对应的点位于同一圆周上．13．若z ∈C ，且43213i 1u u z z z z ==---+，．求u 的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值的复数z ．14．给定实数a b c ，，，已知复数123z z z ，，满足12331223111z z z z z z z z z ⎧===⎪⎨++=⎪⎩，，求123az bz cz ++的值．。
数学实验课后习题答案
数学实验课后习题答案数学实验课后习题答案在学习数学的过程中，实验课是一种非常重要的教学形式。
通过实验课，我们可以更加直观地感受到数学的魅力，并且能够将理论知识与实际应用相结合。
然而，实验课后的习题却常常让我们感到头疼。
今天，我将为大家提供一些数学实验课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握数学知识。
首先，让我们来看一个关于几何的实验课后习题。
假设有一个三角形ABC，已知三边的长度分别为a、b、c。
现在，我们需要计算出三角形的面积。
根据海伦公式，我们可以得到三角形的半周长s=(a+b+c)/2。
然后，根据海伦公式的推导，可以得到三角形的面积S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。
所以，三角形的面积可以通过这个公式来计算。
接下来，让我们来看一个关于代数的实验课后习题。
假设有一个二次方程ax^2+bx+c=0，现在我们需要求解这个方程的根。
首先，我们可以使用求根公式x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)来计算出方程的根。
其中，sqrt表示平方根，±表示两个根分别取正负号。
通过这个公式，我们就可以得到方程的根。
除了几何和代数，实验课后习题还经常涉及到概率和统计。
例如，假设有一个骰子，我们需要计算出投掷这个骰子三次，恰好出现两次正面的概率。
根据概率的定义，概率可以通过事件的可能性除以总的样本空间来计算。
在这个问题中，总的样本空间有6^3=216种可能的结果，而恰好出现两次正面的结果有C(3,2)×1×1×5=15种。
所以，概率可以计算为15/216。
此外，实验课后习题还可能涉及到数列与数学归纳法。
例如，假设有一个等差数列，首项为a，公差为d，现在我们需要计算出该数列的前n项和Sn。
根据数列的性质，可以得到Sn=(2a+(n-1)d)n/2。
通过这个公式，我们就可以计算出数列的前n项和。
综上所述，数学实验课后习题的答案涉及到多个数学领域，包括几何、代数、概率、统计、数列等。
王向东数学实验课后习题解答(第二篇2.1-2.10)
数学实验课后习题解答配套教材：王向东戎海武文翰编著数学实验王汝军编写实验一曲线绘图【练习与思考】画出下列常见曲线的图形。
以直角坐标方程表示的曲线：1.立方曲线3x y=clear;x=-2:0.1:2; y=x.^3; plot(x,y)2.立方抛物线3x y=clear;y=-2:0.1:2; x=y.^3; plot(x,y) grid on3.高斯曲线2xe y-=clear;x=-3:0.1:3;y=exp(-x.^2); plot(x,y); grid on%axis equal以参数方程表示的曲线4. 奈尔抛物线)(,3223x y t y t x ===clear;t=-3:0.05:3; x=t.^3;y=t.^2; plot(x,y) axis equal grid on5. 半立方抛物线2323,()x t y t y x ===clear;t=-3:0.05:3; x=t.^2;y=t.^3; plot(x,y) %axis equal grid on6.迪卡尔曲线2332233,(30)11at at x y x y axy t t==+-=++ clear;a=3;t=-6:0.1:6; x=3*a*t./(1+t.^2); y=3*a*t.^2./(1+t.^2); plot(x,y)7.蔓叶线233222,()11at at x x y y t t a x===++- clear;a=3;t=-6:0.1:6;x=3*a*t.^2./(1+t.^2); y=3*a*t.^3./(1+t.^2); plot(x,y)8. 摆线)cos 1(),sin (t b y t t a x -=-=clear;clc; a=1;b=1;t=0:pi/50:6*pi; x=a*(t-sin(t)); y=b*(1-cos(t)); plot(x,y); axis equal grid on9. 内摆线（星形线）)(sin ,cos 32323233a y x t a y t a x =+==clear;a=1;t=0:pi/50:2*pi; x=a*cos(t).^3; y=a*sin(t).^3; plot(x,y)10. 圆的渐伸线（渐开线）)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x -=+=clear; a=1;t=0:pi/50:6*pi;x=a*(cos(t)+t.*sin(t)); y=a*(sin(t)+t.*cos(t)); plot(x,y) grid on11. 空间螺线ct z t b y t a x ===,sin ,coscleara=3;b=2;c=1; t=0:pi/50:6*pi; x=a*cos(t); y=b*sin(t); z=c*t;plot3(x,y,z) grid on以极坐标方程表示的曲线：12. 阿基米德线0,≥=r a rϕclear; a=1;phy=0:pi/50:6*pi; rho=a*phy;polar(phy,rho,'r-*')13. 对数螺线ϕa e r =clear; a=0.1;phy=0:pi/50:6*pi; rho=exp(a*phy); polar(phy,rho) 14. 双纽线))()((2cos 22222222y x a y x a r -=+=ϕclear; a=1;phy=-pi/4:pi/50:pi/4; rho=a*sqrt(cos(2*phy)); polar(phy,rho)hold onpolar(phy,-rho)15. 双纽线)2)((2sin 222222xy a y x a r =+=ϕclear; a=1;phy=0:pi/50:pi/2;rho=a*sqrt(sin(2*phy)); polar(phy,rho) hold onpolar(phy,-rho)16. 四叶玫瑰线0,2sin ≥=r a r ϕclear;close a=1;phy=0:pi/50:2*pi; rho=a*sin(2*phy); polar(phy,rho)17. 三叶玫瑰线0,3sin ≥=r a r ϕclear;close a=1;phy=0:pi/50:2*pi; rho=a*sin(3*phy); polar(phy,rho)18. 三叶玫瑰线0,3cos ≥=r a r ϕclear;close a=1;phy=0:pi/50:2*pi; rho=a*cos(3*phy); polar(phy,rho)实验二 极限与导数【练习与思考】1． 求下列各极限（1）nn n)11(lim -∞→ （2）n nn n 3lim 3+∞→ （3）)122(lim n n n n ++-+∞→clear;syms ny1=limit((1-1/n)^n,n,inf)y2=limit((n^3+3^n)^(1/n),n,inf)y3=limit(sqrt(n+2)-2*sqrt(n+1)+sqrt(n),n,inf)y1 =1/exp(1) y2 =3 y3 =0（4）)1112(lim 21---→x x x （5）x x x 2cot lim 0→ （6）)3(lim 2x x x x -+∞→clear; syms x ;y4=limit(2/(x^2-1)-1/(x-1),x,1) y5=limit(x*cot(2*x),x,0)y6=limit(sqrt(x^2+3*x)-x,x,inf)y4 =-1/2 y5 =1/2 y6 =3/2（7）x x x m )(cos lim ∞→ （8）)111(lim 1--→x x e x （9）x x x 11lim30-+→ clear;syms x my7=limit(cos(m/x),x,inf)y8=limit(1/x-1/(exp(x)-1),x,1) y9=limit(((1+x)^(1/3)-1)/x,x,0)y7 =1y8 =(exp(1) - 2)/(exp(1) - 1) y9 =1/32． 考虑函数22),sin(3)(32<<-=x x x x f作出图形，并说出大致单调区间；使用diff 求)('x f ，并求)(x f 确切的单调区间。
华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-1
第一章 集合与命题 1.1 集合及其表示法基础练习1．用描述法表示下列集合： （1）{}14916253649，，，，，，． （2）12340251017⎧⎫⋯±±±±⎨⎬⎩⎭，，，，，．解：（1）{}217y y x x x =∈*N ，，≤≤． （2）()2111n x x n n ⎧⎫-⎪⎪=±∈⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭*N ，． 2．用列举法表示下列集合： （1）{x x 是20的正约数}． （2）{}2340x x x x --<∈Z ，． 解：（1）{}12451020，，，，，． （2）解不等式得：{}140123x -<<⇒，，，． 3．设三元素的集合0b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，也可表示为{}21a a b +-，，，求20102011a b +的值． 解：由已知有()()11a b =-，，，故有201020110a b +=． 4．已知全集65M aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z 且，求集合M ． 解：由已知5a -=1，2，3，6，则1a =-，2，3，4，故{}1234M =-，，，． 5．给定三元集合{}21x x x -，，，求实数x 的取值范围． 解：由集合元素的互异性知0x ≠，1，2x 的取值范围是()()515151*********⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，6．若集合{}2210A x ax x a x =++=∈∈R R ，，中只有一个元素，求a ．解：当0a =时，方程只有一个根12-，则以0a =符合题意．当0a ≠时，则关于x 的方程2210ax x ++=是一元二次方程，由于集合A 中只有一个元素，则一元二次方程2210ax x ++=有两个相等的实数根，所以440a ∆=-=，解得1a =． 综上所得，0a =，1．7．若集合{}1A x xy xy =-，，，其中x ∈Z ，y ∈Z 且0y ≠，若0A ∈．求A 中元素之和． 解：由已知及集合元素的互异性知0x y ≠，，则10xy -=． 由于 x ∈Z ，y ∈Z ，则 ()()11x y =，，（舍）或()11--，， 则 A 中元素之和为0．8．设集合{}0123S a a a a =，，，，在S 上定义运算为：i j k a a a ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，0i j =，，1，2，3，则求满足关系式()20x x a a ⊕⊕=的()x x S ∈的个数． 解：由于 ()20x x a a ⊕⊕=则 ()()()2mod 41mod 4x x x ⊕≡±⇒≡±．只有1a ，3a 符合所给关系式，则x 的个数为2．分析：在4元素集合上定义一个封闭运算显得抽象而陌生，在理解题目的字面含义和数学含义后，题目的结构并不复杂，可以认为就是一个条件、一个结论：（1） 题目的条件：在S 上定义了一个运算＋。
山西省实验小学三年级数学上册解决问题解答应用题练习题51带答案解析
山西省实验小学三年级数学上册解决问题解答应用题练习题51带答案解析一、三年级数学上册应用题解答题1．有一串24颗珠子的手串，按下面的排列方式，算一算黑珠子是白珠子的几倍。
答：黑珠子是白珠子的倍。
解析：2倍【分析】根据题意每2个白珠子和4个黑珠子为一组，则24颗珠子里有24÷6＝4组，所以白珠子有2×4＝8个，黑珠子有4×4＝16个，再用除法计算出黑珠子是白珠子的几倍。
【详解】÷+24(24)÷=246=（组）4⨯=（个）黑珠子：4416⨯=个白珠子：248()÷=1682答：黑珠子是白珠子的2倍。
【点睛】找出几颗珠子为一组是解答本题的关键。
2．奶奶和小红爬楼梯比赛，小红的速度是奶奶的2倍，当奶奶从一楼爬到六楼时，小红爬到几楼？解析：11楼【详解】6-1=5（层） 2×5+1=11（楼）3．小文在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地当作7，把另一个加数十位上的8错误地当作3，所得的和是1995，原来两数相加的正确答案是多少？解析：正确答案是2039【分析】一个加数个位是7，另一个加数十位是3，相加得到1995，可以构造算式57加上1938得到1995，然后求出正确的加数，再计算正确的结果。
【详解】一个加数个位是7，另一个加数十位是3；+=5719381995正确的加数是51和1988；+=5119882039答：原来两数相加的正确答案是2039。
个位上的1错误地当作7，多算了6，十位上的8错误地当作3，少算了50，总共少算了44，1995加上44得到正确的结果。
4．小马虎在做一道减法题的时候，把减数72错写成27，这时得到的差是309，正确的差是多少？解析：264【分析】把减数72错写成27，减数减少了45，被减数不变，那么差增加45，309减去45得到正确的差。
【详解】722745-=-=30945264答：正确的差是264。
数学实验(第二版)课后习题答案
贵州师范学院2012级数本一班李刚数学实验课后练习答案习题2.11. syms x y;>> x=-5:0.01:5;>> y=x.^1/2;>> plot(x,y)2. f plot('exp(-x.^2)',[-5,5])3. ezplot('x.^3+y.^3-3*x*y',[-5,5])4 . ezplot('y.^2-x.^3/(1-x)',[-5,5])5.t=0:0.1:2*pi;x=t-sin(t);y=2*(1-cos(t));plot(x,y)6. t=0:0.1:2*pi; x=cos(t).^3; >> y=sin(t).^3;>> plot(t,y)>>7: t=0:0.1:2*pi; x=cos(t); y=2*sin(t); z=3*t; plot3(x,y,z)8: x =0:0.1:2*pi; r=x; polar(x,r)9: x =0:0.1:2*pi; r=exp(x); polar(x,r)10: x=0:0.1:2*pi; r=sqrt(cos(2*x)); polar(x,r)11: x=0:0.1:2*pi; r=sqrt(sin(2*x)); polar(x,r)12: x =0:0.1:2*pi; r=1+cos(x); polar(x,r)练习2.2 1：(1)(2)：syms n; limit('sqrt(n+2)-2*(sqrt(n+1))+sqrt(n)',n,inf)Ans= 0 (3):: (4):(5):(6):2:3:fplot('x.^2*sin(x.^2-x-2)',[-2,2])练习2.3 1：（2）：2：练习2.4 1：（1）（2）：（3）（4）：2：（1）：syms x;int(x^(-x),x,0,1)ans =int(x^(-x),x = 0 .. 1)vpa(ans,10)ans =1.291285997（2）：syms x；int(exp(2*x)*cos(x)^3,x,0,2*pi)ans =-22/65+22/65*exp(4*pi)（3）：syms x; int(exp(x^2/2)/sqrt(2*pi),x,0,1)ans =-1125899906842624/5644425081792261*i*erf(1/2*i*2^(1/2))*pi^(1/2)*2^(1/2) >> vpa(ans,10)ans =.4767191345（4）：syms x;int(x*log(x^4)*asin(1/x^2),x,1,3)ans =int(x*log(x^4)*asin(1/x^2),x = 1 .. 3)>> vpa(ans,10)ans =2.459772128（5）：syms x ;int(exp(x^2/2)/sqrt(2*pi),x,-inf,inf)ans =Inf（6）：syms x ;int(sin(x)/x,x,0,inf)ans =1/2*pi（7）：syms x ;int(tan(x)/sqrt(x),x,0,1)Warning: Explicit integral could not be found. > In sym.int at 58ans =int(tan(x)/x^(1/2),x = 0 .. 1)>> vpa(ans,10)ans =.7968288892（8）：syms x ;int(exp(-x^2/2)/(1+x^4),x,-inf,inf)ans =1/4*pi^(3/2)*2^(1/2)*(AngerJ(1/2,1/2)-2/pi^(1/2)*sin(1/2)+2/pi^(1/2)*cos(1/2)-WeberE(1/2,1/2 ))>> vpa(ans,10)ans =1.696392536（9）：syms x ;int(sin(x)/sqrt(1-x^2),x,0,1)ans =1/2*pi*StruveH(0,1)>> vpa(ans,10)ans =.8932437410练习2.5（1）：syms n;symsum(1/n^2^n,n,1,inf)ans =sum(1/((n^2)^n),n = 1 .. Inf)（2）：s yms n ;symsum(sin(1/n),n,1,inf)ans =sum(sin(1/n),n = 1 .. Inf)（3）：syms n ;symsum(log(n)/n^3,n,1,inf) ans =-zeta(1,3)（4）：syms n ;symsum(1/(log(n))^n,n,3,inf) ans =sum(1/(log(n)^n),n = 3 .. Inf)（5）：syms n;symsum(1/(n*log(n)),n,2,inf) ans =sum(1/n/log(n),n = 2 .. Inf)（6）：yms n;symsum((-1)^n*n/(n^2+1),n,1,inf)ans =-1/4*Psi(1-1/2*i)+1/4*Psi(1/2-1/2*i)-1/4*Psi(1+1/2*i)+1/4*Psi(1/2+1/2*i)第三章练习3.11：（1）：a=-30:1:30;b=-30:1:30;[x,y]=meshgrid(a,b);z=10*sin(sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(1+x.^2+y.^2)); meshc(x,y,z)（2）：a=-30:1:30;b=-30:1:30;[x,y]=meshgrid(a,b);z=4*x.^2/9+y.^2;meshc(x,y,z)（3）：（4）：a=-30:1:30;b=-30:1:30;[x,y]=meshgrid(a,b); z=x.^2/3-y.^2/3; meshc(x,y,z)（5）：a=-30:1:30;>> b=-30:1:30;>> [x,y]=meshgrid(a,b); >> z=x*y;>> meshc(x,y,z)（6）：（7）：a=-30:1:30;>> b=-30:1:30;>> [x,y]=meshgrid(a,b); >> z=sqrt(x.^2+y.^2); >> meshc(x,y,z)（8）：（9）：a=-30:1:30;>> b=-30:1:30;>> [x,y]=meshgrid(a,b);>> z=atan(x./y);>> meshc(x,y,z)练习3.21;a=-1:0.1:1;>> b=0:0.1:2;>> [x,y]=meshgrid(a,b);>> z=x.*exp(-x.^2-y.^2);>> [px,py]=gradient(z,0.1,0.1);>> contour(a,b,z)>> hold on>> quiver(a,b,px,py)2:a=-2:0.1:1;>> b=-7:0.1:1;>> [x,y]=meshgrid(a,b);>> z=y.^3/9+3*x.^2.*y+9*x.^2+y.^2+x.*y+9; >> plot3(x,y,z)>> grid on3:[x,y]=meshgrid(-2*pi:0.2:2*pi); z=x.^2+2*y.^2;plot3(x,y,z)hold onezplot('x^2+y^2-1',[-2*pi,2*pi]) ; grid on4:t=0:0.03:2*pi;>> s=[0:0.03:2*pi]';>> x=(0*s+1)*cos(t);y=(0*s+1)*sin(t);z=s*(0*t+1); >> mesh(x,y,z)>> hold on>> [x,y]=meshgrid(-1:0.1:1);>> z=1-x+y;>> mesh(x,y,z)5:syms x y z dx dyz=75-x^2-y^2+x*y;zx=diff(z,x),zy=diff(z,y)zx =-2*x+yzy =-2*y+x练习3.31：ezplot('x^2+y^2-2*x',[-2,2]);>> grid onsyms x y ;s=int(int(x+y+1,y,-sqrt(1-(x-1)^2),sqrt(1-(x-1)^2)),x,0,2)s =2*pi2：syms r t ;>> s=int(int(sqrt(1+r^2*sin(t)),r,0,1),t,0,2*pi)s =int(1/2*((1+sin(t))^(1/2)*sin(t)^(1/2)+log(sin(t)^(1/2)+(1+sin(t))^(1/2)))/sin(t)^(1/2),t = 0 .. 2*pi) 3：syms x y z ;>> s=int(int(int(1/(1+x+y+z)^3,z,0,1-x-y),y,0,1-x),x,0,1)s =-5/16+1/2*log(2)4：s=vpa(int(int(x*exp(-x^2-y^2),y,0,2),x,-1,10))s =0.16224980455070416645061789474030练习3.41：（1）：y=dsolve('Dy=x+y','y(0)=1','x')得：y =-1-x+2*exp(x)（2）：y=dsolve('Dy=2*x+y^2','y(0)=0')y =tan(t*x^(1/2)*2^(1/2))*x^(1/2)*2^(1/2)练习4.11：（1）：p=[5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6 8 0 0 0 -5 0 0]; >> x=roots(p)x =0.97680.9388 + 0.2682i0.9388 - 0.2682i0.8554 + 0.5363i0.8554 - 0.5363i0.6615 + 0.8064i0.6615 - 0.8064i0.3516 + 0.9878i0.3516 - 0.9878i-0.0345 + 1.0150i-0.0345 - 1.0150i-0.4609 + 0.9458i-0.4609 - 0.9458i-0.1150 + 0.8340i-0.1150 - 0.8340i-0.7821 + 0.7376i-0.7821 - 0.7376i-0.9859 + 0.4106i-0.9859 - 0.4106i-1.0416-0.7927（2）: p=[8 36 54 23];x=roots(p)x =-1.8969 + 0.6874i-1.8969 - 0.6874i-0.70632:p1=[1 0 -3 -2 -1];p2=[1 -2 5];[q2,r2]=deconv(p1,p2)q2 =1 2 -4r2 =0 0 0 -20 19 3:syms x;f=x^4+3*x^3-x^2-4*x-3;g=3*x^3+10*x^2+2*x-3;p1=factor(f),p2=factor(g)p1 =(x+3)*(x^3-x-1)p2 =(x+3)*(3*x^2+x-1)4:syms x ;f=x^12-1;p=factor(f)p =(-1+x)*(1+x^2+x)*(1+x)*(1-x+x^2)*(1+x^2)*(x^4-x^2+1)5: (1):p=[1 0 1];q=[1 0 0 0 1];[a,b,r]=residue(p,q)a =-0.0000 - 0.3536i-0.0000 + 0.3536i0.0000 - 0.3536i0.0000 + 0.3536ib =0.7071 + 0.7071i0.7071 - 0.7071i-0.7071 + 0.7071i-0.7071 - 0.7071ir =[](2):p=[1];q=[1 0 0 0 1];[a,b,r]=residue(p,q)a =-0.1768 - 0.1768i -0.1768 + 0.1768i0.1768 - 0.1768i0.1768 + 0.1768ib =0.7071 + 0.7071i0.7071 - 0.7071i -0.7071 + 0.7071i -0.7071 - 0.7071ir =[](3):p=[1 0 1];q=[1 1 -1 -1];[a,b,r]=residue(p,q)a =0.5000-1.00000.5000b =-1.0000-1.00001.0000r =[] (4): p=[1 1 0 0 0 -8];[a,b,r]=residue(p,q)a =-4-38b =-11r =1 1 1练习 4.21：（1）：D=[2 1 3 1;3 -1 2 1;1 2 3 2;5 0 6 2];det(D)ans =6（2）：syms a b c dD=[a 1 0 0 ;-1 b 1 0;0 -1 c 1;0 0 -1 d];det(D)ans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+12：（1）：D=[1 1 1 1; a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^3 b^3 c^3 d^3];det(D)ans =b*c^2*d^3-b*d^2*c^3-b^2*c*d^3+b^2*d*c^3+b^3*c*d^2-b^3*d*c^2-a*c^2*d^3+a*d^2*c^3+a *b^2*d^3-a*b^2*c^3-a*b^3*d^2+a*b^3*c^2+a^2*c*d^3-a^2*d*c^3-a^2*b*d^3+a^2*b*c^3+a^ 2*b^3*d-a^2*b^3*c-a^3*c*d^2+a^3*d*c^2+a^3*b*d^2-a^3*b*c^2-a^3*b^2*d+a^3*b^2*c（2）: s yms a b x y zD=[a*x+b*y a*y+b*z a*z+b*x; a*y+b*z a*z+b*x a*x+b*y;a*z+b*x a*x+b*y a*y+b*z];det(D)ans =3*a^3*x*z*y+3*b^3*y*x*z-a^3*x^3-a^3*y^3-b^3*z^3-a^3*z^3-b^3*x^3-b^3*y^33: (1): D=[1 1 1 1;1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;3 1 2 11];D1=[5 1 1 1;-2 2 -1 4;-2 -3 -1 -5;0 1 2 11];D2=[1 5 1 1;1 -2 -1 4;2 -2 -1 -5;3 0 2 11];D3=[1 1 5 1;1 2 -2 4;2 -3 -2 -5;3 1 0 11];D4=[1 1 1 5;1 2 -1 -2;2 -3 -1 -2;3 1 2 0];x1=det(D1)/det(D);x2=det(D2)/det(D);x3=det(D3)/det(D);x4=det(D4)/det(D);x1,x2,x3,x4x1 =1x2 =2x3 =3x4 =-1(2):D=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 1 5]; D1=[1 6 0 0 0;0 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;1 0 0 1 5]; D2=[5 1 0 0 0;1 0 6 0 0;0 0 5 6 0;0 0 1 5 6;0 1 0 1 5]; D3=[5 6 1 0 0;1 5 0 0 0;0 1 0 6 0;0 0 0 5 6;0 0 1 1 5]; D4=[5 6 0 1 0;1 5 6 0 0;0 1 5 0 0;0 0 1 0 6;0 0 0 1 5]; D5=[5 6 0 0 1;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 0;0 0 0 1 1]; x1=det(D1)/det(D);x2=det(D2)/det(D);x3=det(D3)/det(D);x4=det(D4)/det(D);x5=det(D5)/det(D);x1,x2,x3,x4,x5x1 =2.2662x2 =-1.7218x3 =1.0571x4 =-0.5940x5 =0.3188练习 4.3 1：A=[1 2 0;3 4 -1; 1 1 -1];B=[1 2 3;-1 0 1;-2 4 -3];A',2+A,2*A-B,A*B,A^2,A^(-1)ans =1 3 12 4 10 -1 -1ans =3 4 25 6 13 3 1ans =1 2 -37 8 -34 -2 1ans =-1 2 51 2 162 -2 7ans =7 10 -214 21 -33 5 0ans =-3.0000 2.0000 -2.00002.0000 -1.0000 1.0000-1.0000 1.0000 -2.0000 2：（1）：B=[2 4 3];B'ans =243（2）：A=[1 2 3];B=[2 4 3];A.*B,B.*Aans =2 8 9ans =2 8 93：（1）：A=[0 1 0;1 0 0;0 0 1];B=[1 0 0;0 0 1;0 1 0];C=[1 -4 3;2 0 -1;1 -2 0];A^(-1),B^(-1),X=A^(-1)*C*B^(-1) ans =0 1 01 0 00 0 1ans =1 0 00 0 10 1 0X =2 -1 01 3 -41 0 -2（2）：>> A=[1 2 3;2 2 3;3 5 1];B=[1 0 0;2 0 0;3 0 0];A^(-1),x=A^(-1)*Bans =-1.0000 1.0000 0.00000.5385 -0.6154 0.23080.3077 0.0769 -0.1538x =1 0 00 0 00 0 0练习 4.41：（1）：A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0];b=[2;10;8];B=[A,b];rank(A),rank(B)ans =2ans =3（2）：A=[2 1 -1 1;3 -2 1 -3;1 4 -3 5];b=[1;4;-2];B=[A,b];rank(A),rank(B)ans =2ans =2（3）：A=[ 1 1 1 1; 1 2 -1 4;2 -3 -1 -5;3 1 2 11];b=[5;-2;-2;0];B=[A,b];rank(A),rank(B)ans =4ans =4（4）：A=[ 1 1 2 -1; 2 1 1 -1;2 2 1 2];b=[0;0;0];B=[A,b];rank(A),rank(B)ans =3ans =32：syms a;A=[-2 1 1;1 -2 1;1 1 -2];b=[-2;a;a^2];B=[A,b];rank(A),rank(B)ans =2ans =3练习4.51：（1）：A=[0 1;-1 0];[a,b]=eig(A)a =0.7071 0.70710 + 0.7071i 0 - 0.7071ib =0 + 1.0000i 000 - 1.0000i（2）：A=[0 0 1;0 1 0;1 0 0];[a,b]=eig(A)a =0.7071 0.7071 00 0 -1.0000-0.7071 0.7071 0b =-1 0 00 1 00 0 1（3）：A=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];[a,b]=eig(A)a =0.0185 -0.9009 -0.3066-0.7693 -0.1240 -0.7248-0.6386 -0.4158 0.6170b =-3.0527 0 00 3.6760 00 0 8.3766（4）：A=[1 1 1 1;1 1 -1 -1;1 -1 1 -1;1 1 -1 1];[a,b]=eig(A)a =0.5615 0.3366 0.2673 -0.7683-0.5615 -0.3366 0.0000 -0.0000-0.5615 -0.3366 -0.5345 -0.6236-0.2326 0.8125 0.8018 -0.1447b =-1.4142 0 0 00 1.4142 0 00 0 2.0000 00 0 0 2.0000（5）：A=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10];[a,b]=eig(A)a =0.8304 0.0933 0.3963 0.3803-0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286-0.2086 0.7603 -0.2716 0.55200.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209b =0.0102 0 0 00 0.8431 0 00 0 3.8581 00 0 0 30.2887（6）：A=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0 ;0 1 5 6 0 ;0 0 1 5 6; 0 0 0 1 5 ]; [a,b]=eig(A)a =0.7843 -0.7843 -0.9860 -0.9237 -0.92370.5546 0.5546 0.0000 0.3771 -0.37710.2614 -0.2614 0.1643 -0.0000 0.00000.0924 0.0924 0.0000 -0.0628 0.06280.0218 -0.0218 -0.0274 0.0257 0.02579.2426 0 0 0 00 0.7574 0 0 00 0 5.0000 0 00 0 0 2.5505 00 0 0 0 7.4495 2：（1）：A=[0 1;-1 0];[a,b]=eig(A)a =0.7071 0.70710 + 0.7071i 0 - 0.7071ib =0 + 1.0000i 00 0 - 1.0000i>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'P =-0.7071 -0.70710 - 0.7071i 0 + 0.7071iB =0 + 1.0000i 0 - 0.0000i0 - 0.0000i 0 - 1.0000ians =1.0000 0 + 0.0000i0 - 0.0000i 1.0000>> inv(a)*A*a0 + 1.0000i 000 - 1.0000i3：（1）：A=[2 0 0;0 3 2;0 2 3]; [a,b]=eig(A)a =0 1.0000 0-0.7071 0 0.70710.7071 0 0.7071b =1.0000 0 00 2.0000 00 0 5.0000>> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'P =-1.0000 0 -0.00000.0000 0.7071 0.7071-0.0000 -0.7071 0.7071B =2.0000 0.0000 0.00000.0000 1.0000 00.0000 0 5.0000ans =1.0000 -0.0000 0.0000-0.0000 1.0000 -0.00000.0000 -0.0000 1.0000（2）：A=[1 1 0 -1;1 1 -1 0;0 -1 1 1;-1 0 1 1];[a,b]=eig(A)a =-0.5000 0.7071 0.0000 0.50000.5000 -0.0000 0.7071 0.50000.5000 0.7071 0.0000 -0.5000-0.5000 0 0.7071 -0.5000 b =-1.0000 0 0 00 1.0000 0 00 0 1.0000 00 0 0 3.0000 >> P=orth(a),B=P'*A*P,P*P'P =-0.5000 -0.4998 -0.4783 -0.52100.5000 -0.4822 0.5212 -0.49580.5000 0.4998 -0.4964 -0.5037-0.5000 0.5175 0.5031 -0.4786 B =-1.0000 0.0000 0.0000 0.00000.0000 2.9988 -0.0362 0.03440.0000 -0.0362 1.0007 -0.00060.0000 0.0344 -0.0006 1.0006 ans =1.0000 0.0000 0.0000 -0.00000.0000 1.0000 -0.0000 00.0000 -0.0000 1.0000 0.0000-0.0000 0 0.0000 1.0000练习5.3 1: [m,v]=unifstat(1,11)m =6v =8.33332:[m,v]=normstat(0,16)m =v =256>> s=sqrt(v)s =163:x=randn(200,6);s=std(x)s =0.9094 0.9757 0.9702 0.9393 0.9272 1.09824: x=normrnd(0,16,300,1);hist(x,10)练习 5.61：x=[352 373 411 441 462 490 529 577 641 692 743];y=[166 153 177 201 216 208 227 238 268 268 274];plot(x,y,'*')4：（1）：x=[10 10 10 15 15 15 20 20 20 25 25 25 30 30 30];y=[25.2 27.3 28.7 29.8 31.1 27.8 31.2 32.6 29.7 31.7 30.1 32.3 29.4 30.8 32.8]; plot(x,y,'*')。