行列式计算证明题

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线性代数课后习题答案第一章行列式

第一章行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(2)ba c ac b c b a ; 解ba c a cbc b a=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a cb a ; 解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;解逆序数为0(2)4 1 3 2;解逆序数为4:41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);解逆序数为2)1(-nn:3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:(1)7110025*******214; 解 7110251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解 265232112131412-26503212213041224--=====cc 041203212213041224--=====rr000003212213041214=--=====r r .(3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b ec b e c b ad f ---=a b c d e fa d fbc e 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---.解dc b a100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++=====d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cdc ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213ab a b a a b a ab ac c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3. (2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b ba a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得) 022122212221222122222=++++=d d c c b ba a .(4)444422221111d c b a d c b a d c b a=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明444422221111d c b a d c b a d c b a)()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++-++------=)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ). (5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n +⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1,则D n 按第一列展开, 有111 00 10 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得nnnn a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明DD D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明因为D =det(a ij ), 所以nnn n n n nnnn a a a aa a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a DD n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=.D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n行展开))1()1(10 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=an-a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上 , 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解根据第6题结果, 有nnn n n n n n n n a a a n a a a na a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112;解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开)nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+.再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)d e t (⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121n n n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 0011332212132 11113121121110 00011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n nn a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i nn a a a a a a a a 1111131********0010000 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 2841120351*******1512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==DD x , 222==DD x , 333==D D x , 144-==D D x .(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解因为665510006510006510065100065==D ,15075100165100065100650000611==D , 114551010651000650000601000152-==D ,7035110065000060100051001653==D , 39551000601000051000651010654-==D ,2121105100065100651100655==D ,所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ)=(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.令D=0,得λ=0,λ=2或λ=3.于是,当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.。

(完整版)行列式试题库1

一．判断题（易）1、n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（）．答案：×（较容易）2、62162100000000λλλ=λλλ．（）．答案：×（较容易）3、82182100000000k k k k k k=．（）．答案： √（较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √二．填空题（中等）1.设1234577733324523332246523=A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________答案：0，0（中等）2.1234243141321432=D , 求11213141+++A A A A =________答案：0（较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3（较容易）4.db acd b c a bd c a b d a c = ．答案：0（较容易）5.yx yx x y x y x y x x y x 323222 +++++=．答案：)(2y x xy +-（较容易）6. 6217213424435431014327427246-=答案：510294⨯-（中等）7．已知三阶行列式 987654321 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ），则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为．答案： 987321 c b a（中等）8．设行列式30402222,075322D =-- 则第四行各元素余子式之和的值为 .答案：–28（较容易）9．11110011110y y y x xx--= ．答案：22x y（中等）10．行列式1111111111111111--+---+---x x x x = ．答案：4x（较容易）11．当λ= 或μ= 时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解．答案：1，0（较容易）2. 设222233331111a bcdD ab c da b c d =,则D=______________答案：()()()()()()d c d b d a c b c a b a ------（较容易）13. 已知四阶行列式D 的第二行元素分别为3, 1, -1, 2, 他们对应的余子式分别为1, 2, 2, -1, 则行列式=D ______ 答案：-1（较容易）14. 设A 是三阶方阵, 且3||=A , 则|)2(|1-A =_______答案：124（容易）15. A 为正交矩阵, 则=||A _____________答案：1或-1 （较容易）16. 已知四阶行列式D 的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=________ 答案：5（容易）17. 行列式25613412a中元素a 的代数余子式 = _________ 答案：－４（较容易）18.四阶行列式D 的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则D= _________ 答案：0（较容易）19.设A 是三阶行列式，且1A =，则2A A =______ 答案：512（较容易）20.设五阶矩阵A 的行列式2A =-，则其伴随矩阵*A 的行列式*A = ____ 答案：16（容易）21. 已知三阶行列式251102321-=D , 则第3行第2列元素的代数余子式32A =_____________答案：7（容易）22. 按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为．. 答案：1（容易）23. 当=i =k 时排列1274i 56k 9为偶排列．答案：8，3（容易）24. 排列1 3 …（12-n ）2 4…（n 2）的逆序数为 _______ ．答案：(1)2n n - （容易）25. 在五阶行列式中项5541322413a a a a a 前面应冠以号（填正或负）．答案：负（容易）26. 四阶行列式中含有因子2311a a 且带负号的项为_____ 答案：44322311a a a a -（容易）27. 设A 为n 阶矩阵,且T A A E =，则必有________A =答案：1 或－1（容易）28. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果2A =,则*A =________答案：12n -（容易）29. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果 2A =- ,则*A =________答案：1(2)n --（容易）30. 设A 为n 阶矩阵,且TA A E =，则必有T A =________答案：1 或－1（容易）31.设A 是n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 若a A =||, 则||*A =__________答案：1n a-（容易）32.若2||44-=⨯A , 则=||*A _________ 答案：8（容易）33.设3211111410D -=-,则313233A A A ++=_____ 答案：0（较容易）34. 若0x a aax a a ax=，则a =_____答案：2a -或0（较容易）35.已知3021111xy z =，则33332222x y zx y z x y z ++=+++_____ 答案：2（较容易）36.设12234000000000a a D a a =121340000200003004a a D a a =，则1D =_____2D 答案:24（容易）37.120034000054045D --==-- ____答案:-18（容易）38.1200340000130051D ==- ____答案:32（较容易）39.1111001100111001D == ____答案:0（较容易）40.若齐次线性方程组03030x y z x y z x y z λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩有非零解,则λ=____答案:12λ=-（容易）41.行列式A 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系____ 答案:(1)i jij ij A M +=-（较容易）42.若n 阶方阵A 的秩为n-1,在A =____ 答案:0（较容易）43.设A,B 是两个三阶的方阵,且1A =-,2B =,那么133()TA B -=____答案:278-（容易）44.设三阶方阵A 的不同特征值为-1,2,4 ,则A =____ 答案:-8（较容易）45.若A,B 为n 阶方阵,且1,32A B ==-,则*12A B --=____ 答案:12(1)3n +- （容易）46.A 为三阶方阵,2A =,则12A =____ 答案:14（较容易）47.设行列式2345246812035643D =,则414243442468A A A A +++=____答案:0（较容易）48.若3022111xy z =-,则413111111x y z ---=____答案:2（较容易）49.8276412549162523451111= ____答案:12（较容易）50. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则11121321222331323332623a a a a a a a a a ---= ____ 答案:-18（较容易）51. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = ____ 答案:24（容易）52.已知三阶方阵A 的三个特征值为1，－2，3 ，则A =____ 答案：－6（容易）53. 010000200000100n D n n ==- 答案：1(1)!n n +-（容易）54. 0x y Dxz y z=---＝答案：0（容易）55.已知125328401390216D ----=,23A = 答案：－9（容易）56. efcfbf de cdbd aeacab ---= 答案：4abcdef（较容易）57. 33221111110011001b b b b b b D ------== 答案：1（较容易）行列式2001021*********＝答案：9三．选择题（容易）1. 如果⎩⎨⎧=-+=+-0)1(202)1(2121x k x x x k 仅有零解,则( ).A. 1≠k ,B. 1-≠k 或3≠k ,C. 3=k ,D. 1-≠k 且3≠k .答案：D（较容易）2. 设,,D αβγ=, ,,αβγ分别表示行列式D 的三个列，则D =（）A. ,,γβαB. ,,αββγγα+++C. ,,αβγ---D. ,,ααβαβγ+++答案：D（较容易）3．四阶行列式D=112233440000000a b a b b a b a 的值等于（） A. 12341234a a a a b b b b - B. 12341234a a a a b b b b +C. 12123434 ()()a a b b a a b b --D. 23231414()()a a b b a a b b --答案：D（容易）4.如果1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a =（） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 答案:D（较容易）5.已知4阶方阵A ，其第三列元素分别为1，3，－2，2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式A =( )A. 5B. -5C. -3D. 3 答案:A（中等）6.设231111111()114118x f x x x -=-,则方程()0f x =的三个根分别为( )A. 1,-1,2B. 1,1,4C. 1,-1,8D. 2,4,8 答案: A（较容易）7.行列式112233110a ba ca ba c ab ac ++++++=( )A. 0B. b c -C. 21()()c b a a --D. 21()b a a - 答案:C（容易）8.行列式132520103D -=--中元素32a 的代数余子式为( ) A. 0 B. -10 C. 10 D. 3 答案:B（容易）9.行列式21312201D -=中元素32a 的代数余子式为( ) A. 4 B. -4 C. 0 D. 2 答案:A（较容易）10.若1112132122233132331a a a a a a a a a = 则313233212223111213222333a a a a a a a a a ---=( ) A. -5 B. 6 C. -1 D. 1 答案: B（较容易）11.设22115()114723f x x x =+-,则方程()0f x =的根分别为( )A. 1,1,3,3B. -1,-1,3,3C. -1,-1,-3,-3D. 1,-1,3,-3答案：D (较容易)12.已知111213212223313233a a a a a a d a a a =,则行列式313233111213211122122313333232323a a a a a a a a a a a a ---=+++( )A. 6d -B. 6dC. 3d -D.3d 答案：A（较容易）13.1231231233a a a b b b c c c ⨯=( ) A. 123123123333a a a b b b c c c B. 123123123333333333a a a b b b c c c C. 123123123333a a a b b b c c c -D. 123123123333a a a b b b c c c 答案:D（较容易）14.行列式0003001002000100000002D -==--( ) A. -12 B. 12 C. -6 D. 6 答案:A（较容易）15.设det()n ij D a =,则0n D =的充分必要条件是( ) A. n D 中有两行(列)元素对应成比例 B. n D 中有一行(列)的元素均为零 C.11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+== D. 11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+=≠ 答案:C（中等）16.1223()71043171xx x x f x x--=--是( )次多项式A. 4B. 3C. 2D. 1 答案:C （较容易）17.四阶行列式D 的某行元素依次为-1,0,k,6, 它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且9D =-,则k =( )A. 0B. 3C. 1D. -1 答案:B(较容易)18.若1112132122233132331a a a a a a a a a =,则131112112321222133313231454545a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 5 B. -5 C. 20 D. -20 答案:A（容易）19.222a ab acab bbc ac bc c =( ) A. abc B. 1 C. 0 D. 222a b c 答案:C（较容易）20. 设*1,A A -分别为n 阶方阵A 的伴随矩阵和逆矩阵,则*1A A -=（） A. nA B. 1n A- C. 2n A- D. 3n A-答案:C（较容易）21.已知A 为三阶矩阵,其第三行元素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则A =( )A. 5B. -5C. 7D. -7 答案:C（较容易）22.如果1112132122233132331a a a a a a a a a =,则111112132121222331313233423423423a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 8 B. -12 C. 24 D. -24 答案：B（较容易）23.行列式103100204199200395301300600=（）A. 1000B. -1000C. 2000D.-2000 答案：C（较容易）24.行列式40105022*********D =的值为（）A. -12B. -24C. -36D. -72 答案：D（较容易）25.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则（） A. A 中必有两行(列)的对应元素成比例;B. A 中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;C. A 中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;D. A 中至少有一行(列)向量为零向量答案：C（较容易）26. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则行列式2A =( )A. 0B. 1C. 6D. 36 答案：D（较容易）27. 如果m a a a a a a a a a D ==333231232221131211，1312112322213332311333333333a a a a a a a a a D = 那么=1D （）．A.m 3；B.m 3-；C. m 9；D. m 27-．答案：D（较容易）28.已知0001001010001000001D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则D =（）A. 1B. -1C. (1)2(1)n n -- D. (1)(2)2(1)n n ---答案：D29.行列式D 非零的充要条件是（） A.D 的所有元素都不为零 B.D 至少有2n n -个元素不为零 C.D 的任意两列元素之间不成比例D.以D 为系数行列式的线性方程组有惟一解答案：D四．解答题（较难）1.123111111111111111(0,1,2,,)111111+++≠=+i na a a a i n a解：123111111111111111111111++++na a a a 11213111111000000+-=--na a a a a a a 112131111110000000+---na a a a a a a 11223111110000000=++=∑ni ina a a a a a 231120000100=⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦∑ni i n a a a a a a 111(1)===+∑∏nni i i i a a（较难）2．12323413452121-nnn 解：12323413452121-nnn ＝1223123411245212121++++++++++++-n n n n n n ＝123011113410111(1)(12)14522011111211121------++++=-----n n n n n n n n n＝1111111111(1)(1)211111111+---------+---------n n n n n n n n ＝11000(1)(1)20001111+-+----n n n nn n n＝12000(1)(1)(1)2n nn n n n n n+-+--＝(1)(4)11322(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22-++--++----=-n n nn n n n n n n n（较难）3．-=------n x a a a a a xa a a D a axa a a a aax解：00--=+-------n xa a x a a a axaaxaa D a a a x aa a aa＝111000()()()0000---+-+--+=-+++---n n n x a a x x a a x x a D x a D a x a x aaaaa由递推关系有1()()2⎡⎤=++-⎣⎦n n n D x a x a （较难）4．111111-=--n n D n n解：10100111001011111+----==+------n nnn nDn n n n＝111(1)(1)01010+---------n n n n n＝121(1)(1)(1)(1)010111+------------n n n n n n n＝254113112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)+-+----------=-+n n n n n n n n n＝222(1)1122(1)(1)(1)(1)(1)++-----+=-+n nn n n n n n n（中等）5. 写出四阶行列式23740101201035--=D 中元素4,13323=-=a a 的代数余子式，并求其值.解： 23701135)1(3223-⨯-=+A 237013430---.96102623343=+-=--=2015)1()2(23020135)1(223333++-⨯-=--⨯-=A .2010)2(-=⨯-=.176)20(4960033332323-=-⨯+-=+++=A a A a D（中等）6. 计算行列式7325254346323214-----解:7325254346323214----- =13723103419503100010------1373103195010)1(121----⨯=+137231031500-----.310625)697(5723315=⨯=+-=--=（中等）7. 计算(2)≥n n 阶行列式000100000001000aa D a a = 解: 按第一行展开，得()1000000000001000010na aa a D aa a+=+-．再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到()()()()1112222111nn n n n n n D a a a a a a +-+---=+--=-=-（中等）8．计算行列式ab b b ba b b D bb a b bbba= 解: D =()()()()1111a n b b b b a n ba b b a n bb a b a n bbba+-+-+-+- []11(1)11b b ba b ba nb b a b bba=+-=[]1(1)b b ba ba nb a ba b-+---（较容易）9.计算行列式 .2143000012009687843415089715032-=D 解:231509750821001414437896823034(83)0340210141021020003400102141111(412)1116176.34D --===+⋅--=⋅=+=⨯=（较容易）10. k 取何值时，下列齐次线性方程组有非零解：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++.02,0,0321321321x x x x kx x kx x x 解: 方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零.2111111--=kk D kkk k --++2211011kk k --+2201111)1(11(1)011004k k k+-).4)(1(k k -+=即 .0)4)(1(=-+k k所以当1-=k 或4=k 时，齐次线性方程组可能有非零解.（中等）11. 计算行列式1314211311023351-----=D .解： 1192101110160551003351-----=D 1113200112033515----=112320011103351)5(-----=1300320011103351)5(------=211000320011103351)5(-----=55-=（中等）12. 计算行列式x a a a x a aa x D n=．解： xa a a x a a n x D n r r r n111])1([)(21-+=+++ax a x a n x ---+=00111])1([1)]()1([---+=n a x a n x（中等）13. 计算行列式的值1118101711101325--=D解：10113-D=1181107113521101--0217015501101---==8200712055100111---8201790055100111--410017900551001112--=1794100551001112---=38194100551001112-=----=（难）4. 计算n 阶行列式的值52 (00)35...000... 00 (5200) (35)200...035=n D解按第一行展开，得：21116552 (00)35...000..................00...52000 (350)00 (0323)5-----=-=n n n n n D D D D 按第一列展开得到递推式：2165---=n n n D D D写作）（211232----=-n n n n D D D D ，可得）（1221232D D D D n n n -=--- 写作）（211323----=-n n n n D D D D ，可得）（1221323D D D D n n n -=---而195235,521===D D⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴--nn n nn n D D D D 233211 解之得1123++-=n n n D （中等）15. 计算n 阶行列式xyy x y x yxy x D 0 (00)...0000 00 (000) (00)00...00=的值解按照第一列展开nn n n n n n n n y x y y x x y y xy x y y x x y x y xx D 111111111)1()1(...000 0...00...00...00)1(...000 0...00...00...0)1(+-+--+-+-+=⨯-⨯+⨯=-⨯+-⨯=（较容易）16. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组 1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故11011111111(1)012200λλμλλμλμμμλμμμ----===--即0μ=或1λ=齐次线性方程组有非零解。

第一章行列式作业及答案

第一部分行列式作业（一）选择题(15分)１．在5阶行列式展开式中，12335544i j a a a a a 是其中带有正号的一项，则,i j 之值为（）(A) 1,2i j == (B) 2,3i j == (C) 1,3i j == (D) 2,1i j ==２．在5阶行列式展开式中，包含1325,a a 并带有负号的项是（）(A) 1325344251a a a a a - (B) 1325314254a a a a a - (C) 1325324154a a a a a - (D) 1325314452a a a a a -３．已知行列式111213212223313233a a a a a a m a a a =，则行列式212213311132123313112112221323222222a a a a a a aa a a a a aa a ---=+++（）(A)－４m (B)－２m (C)２m (D)４m４．已知4101111111111111x D ---=----，则4D 中x 的系数是（）(A)4 (B)-4 (C)-1 (D)1５．设方程组123123123112x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩ ，若方程组有惟一解，则λ的值应为（）(A)0 (B)1 (C)-1 (D)异于0与1±的数（二）填空题(15分)１．排列(1)(2)321n n n -⋅-⋅⋅⋅ 的逆序数为。

２．排列12n a a a 与排列121n n a a a a - 的逆序数之和等于。

３．行列式D 中第2行元素的代数余子式之和21222324A A A A +++= ，其中1111111111111111D -=--。

４．若行列式11121321222331323312a a a a a a a a a =，则行列式111311122123212231333132222222a a a a a a a a a a a a --=- 。

线性代数课后习题与答案

《线性代数》课程习题第1章行列式习题 1.11．计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2．计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3．用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习题 1.21．计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习题 1.31．解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习题五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004，（2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------，（5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ，求3A -2B +C 。

线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式00100201000000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nnn a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b Dbb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b ab b D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

关于行列式两个命题的证明

（）
（ａ）
０
３ ‘ ‘ ‘ ａｎ
ｘ
Ｉ－
ｌＡ（ａ。
Ｙ； … 一。
证明，ｍ）＝ｆ＋宅ｎ，］兀（一）。
证明：给出行列式：
ｌＹｌ …
．ｙ２ ’ ’
（ｄ） …
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅａｄｏｐｅｍｅｈｏｄｔｏｐｒｏｖｅｔｗｏｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｂｙｕｓｉｎｇｓｏｍｅｕｎｋｎｏｗｎｅｌｅｍｅｎｔｓｔｏｔａｋｅ
证毕。
（） …
（
Ｄｚ＝
相同，必然有（ — Ｙ。）（一） … （一）与
０ｂ．－．口Ｏ
例１：证明范德蒙德（Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ）行列
式
１ｌ１
１
ｂ０
ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ＤｏｍａｉｎｌＵｎｄｅｔｒｍｉｎｅｄＥｌｅｍｅｎｔＳｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄ；Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ
命题一：设行列式。
口・ａｉ
Ｆ为一域，在域Ｆ（ｙｌ，Ｙ２， … ，Ｙｎ）中，由于
ｓ（ｙ，）：Ｏ（ｉ＝１，２， …，），且Ｙｌ，：， …，Ｙ各不
口） … Ｉｌ（ｑ）（

线性代数(化材)综合复习资料

《线性代数（材化）》综合练习资料第一章 n 阶行列式一、判断题1．任意一个n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列1 2 3 …n 。

（）2．每作一次对换改变排列的奇偶性。

( )3．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。

（）4、若排列abcdfe 为奇排列，则排列badcfe 为偶排列．（） 5．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。

（） 6．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号( ). 7. 已知n 阶矩阵A 各列元素之和为0，则A ＝0 ( ) 8．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( )9、齐次线性方程组有非零解，则系数行列式的值一定为零。

（） 10、1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ （）二.填空题：1．排列54218637的逆序数为______________。

2、五阶行列式的含乘积5243142531a a a a a 的项的符号为 .3．多项式=)(x P 333322221111x c b a x c b a xc b a（其中a,b,c 是互不相同的数）的根是 . 4．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+430302321321321ax x x x ax x x x ax 有非零解的充要条件是a 满足._____________ 5.. 三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 。

6,____________.n ij ij D a a D a ===-=若则 7.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且|A |=3，|B|=2，C=00A B ⎛⎫⎪⎝⎭，则|C |=___________.8、设四阶行列式321421431432，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则_______3331=+A A ， _______3432=+A A . 9．已知4阶行列式D 的第一行元素分别是－1，1，0，2；第四行元素对应的余子式依次为5，x ，7，4，则x ＝10、已知n 阶行列式100110111 =D ，则D 的所有元素的代数余子式之和等于 .三.选择题1. 关于n 级排列i 1i 2…i n ,以下结论不正确的是（）(A)、逆序数是一个非负整数 (B)、一个对换改变其奇偶性 (C)、逆序数最大为n (D)、可经若干次对换变为12…n2、设）（则=---===333231312322212113121111333231232221131211324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D （A)0 ；（B)―12 ；（C ）12 ；（D ）13．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D= ( )（A ） -5 （B ） 5 （C ） 0 （D ） 1 4、设5阶方阵,()i j A a =的行列式展开式中应有一项为（）(A) 1123455344a a a a a (B) 1123344554a a a a a (C)1123355244a a a a a (D) 1123355144a a a a a5、已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（）（A ） 2 ；（B ） 0 ；（C ） ―1 ；（D ） ―26、n 阶行列式D 不为零的充分必要条件是（）（A ）D 中至少有n n -2个元素不为零（B ）D 中所以元素都不为零（C ）D 的任意两列元素之间不成比例（D ）以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解7．如果行列式0200200011=kk k ，则（）。

考研专项练习线性代数--习题集

第一章行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为______.2. 排列i1i2…i n可经______次对换后变为排列i n i n－1…i2i1.3. 在五阶行列式中=______.4. 在函数中, x3的系数是______.5. 设a, b为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, .6. 在n阶行列式D = |a ij|中, 当i < j时a ij = 0 (i, j =1, 2, …, n), 则D = ______.7. 设A为3×3矩阵, |A| =－2, 把A按行分块为, 其中A j (j= 1, 2, 3)是A的第j 行, 则行列式______.二．计算证明题1. 设2. 计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.3. 计算n阶行列式(n 2).4. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.5. 试证: 如果n次多项式对n+ 1个不同的x值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)6. 设第二章矩阵一. 填空题1. 设1, 2, 3, , 均为4维向量, A = [1, 2, 3, ], B = [1, 2, 3, ], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______.2. 若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______.3. 设A为m阶方阵, 存在非零的m×n矩阵B, 使AB= 0的充分必要条件是______.4. 设A为n阶矩阵, 存在两个不相等的n阶矩阵B, C, 使AB = AC的充分条件是______.5. = ______.6. 设矩阵= ______.7. 设n阶矩阵A满足= ______.8. 设=______.9. 设10. 设矩阵, 则A的逆矩阵= ______.二. 单项选择题1. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P, 使(C) 存在可逆矩阵C, 使 (D) 存在可逆矩阵P和Q, 使2. 设A、B都是n阶可逆矩阵, 则等于(A) (B) (C) (D)3. 设A、B都是n阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A、B均可逆, 则A + B可逆. (B) 若A、B均可逆, 则AB可逆.(C) 若A + B可逆, 则A－B可逆. (D) 若A + B可逆, 则A, B均可逆.4. 设n维向量, 矩阵, 其中E为n阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D)5. 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 =(A) (B) (C) (D)6. 设A为n阶可逆矩阵, 则(－A)*等于(A) －A* (B) A* (C) (－1)n A* (D) (－1)n－1A*7. 设n阶矩阵A非奇异(n 2), A*是A的伴随矩阵, 则(A) (B)(C) (D)8. 设A为m×n矩阵, C是n阶可逆矩阵, 矩阵A的秩为r1, 矩阵B = AC的秩为r,则(A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n三. 计算证明题1. 设, . 求: i. AB－BA ii. A2－B2 iii. B T A T2. 求下列矩阵的逆矩阵i.ii.iii.iv.3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, , . 试求矩阵A.4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆.6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| 0, A－E可逆, 且(A－E)－1 = (B－E)T, 求证A 可逆.9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)－1 = A－1 + B－1.10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .11. 设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)－1A为对称矩阵.12. 设, 求A n.13. A是n阶方阵, 满足A m = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素a ij用其代数余子式A ij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.14. 设矩阵i. 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵) ii. 求A100.15. 当时, A6 = E. 求A11.16. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(A－B)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0.第三章向量一. 填空题1. 设, 则k = ______时, 1, 2, 3, 4线性相关.2. 设, 则t = ______时, 1, 2, 3, 4线性相关.3. 当k = ______时, 向量 = (1, k, 5)能由向量线性表示.4. 已知, 则秩(1, 2, 3, 4) = ______.5. 设, 则秩(A) = ______.7. 已知向量, 且秩(1, 2, 3, 4) = 2, 则t = ______.二. 单项选择题1. 设向量组1, 2, 3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) 1 + 2, 2 + 3, 3 + 1 (B) 1, 1 + 2, 1+ 2 + 3(C) 1－2, 2－3, 3－1 (D) 1 + 2, 22 + 3, 33 + 12. 设矩阵A m×n的秩为R(A) = m < n, E m为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B = 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(E m,0)的形式3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则(A) (I)相关(II)相关 (B) (I)无关(II)无关(C) (II)无关(I)无关 (B) (I)无关 (II)无关4. 设, 1, 2线性相关, , 2, 3线性无关, 则(A) 1, 2, 3线性相关 (B) 1, 2, 3线性无关(C) 1可用, 2, 3线性表示 (D) 可用1, 2线性表示5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则(A) 秩(A－B) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A)(C) 秩(A－B) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) 秩(A) + 秩(B)三. 计算证明题1. 设有三维向量, ,, 问k取何值时i. 可由1, 2, 3线性表示, 且表达式唯一;ii. 可由1, 2, 3线性表示, 但表达式不唯一;iii. 不能由1, 2, 3线性表示.2. 设向量组1, 2, 3线性相关, 向量组2, 3, 4线性无关, 问i. 1能否由2, 3线性表出? 证明你的结论;ii. 4能否由1, 2, 3线性表出? 证明你的结论3. 已知m个向量1, 2, …m线性相关, 但其中任意m－1个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式k11 +k22 + … + k mm = 0则这些系数k1, k2, …k m或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式k11 +k22 + … + k mm = 0l11 +l22 + … + l mm = 0其中l1 0, 则.4. 设向量组1, 2, 3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件a1－2, b2－3, c3－1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组A k x = 0有解向量, 且A k－1 0, 证明: 向量组, A, , A k－1是线性无关的.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii.7. 已知三阶矩阵, 讨论秩(A)的情形.8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A E, 试证明 (秩(A－E)－1) (秩(A + E)－1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则A－E的秩为n－r, 其中E 是n阶单位矩阵.10. 设A为n阶方阵, 证明: 如果A2 = E, 则秩(A + E) + 秩(A－E) = n.第四章线性方程组一. 填空题1. 在齐次线性方程组A m×n x = 0中, 若秩(A) = k且1, 2, …, r是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解.2. 若n元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.3. 齐次线性方程组只有零解, 则k应满足的条件是______.4. 设A为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A*x = 0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.5. 设, 则A x = 0的通解为______.6. 设1, 2, …s是非齐次线性方程组A x = b的解, 若C11 + C22 + … + C ss也是A x = b的一个解, 则C1 + C2 + … + C s = ______.7. 方程组A x = 0以为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.8. 设A x = b, 其中, 则使方程组有解的所有b是______.9. 设A, B为三阶方阵, 其中, , 且已知存在三阶方阵X, 使得, 则k = ___________.二. 单项选择题1. 要使1 = (1, 0, 1)T, 2 = (－2, 0, 1)T都是线性方程组的解, 只要系数矩阵A 为(A) (B) (C) (D)2. 设的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成(A) 的一个等阶向量组 (B) 的一个等秩向量组(C) (C)3. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量(C) 有解 (D) 当时, , 其中4. 设n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r, 则有非零解的充分必要条件是( A ) ( B ) ( C ) ( D )5. 设矩阵, 矩阵, 则线性方程组( A ) 当时仅有零解. ( B ) 当时必有非零解.( C ) 当时仅有零解. ( D ) 当时必有非零解.6. 设n阶矩阵A的伴随矩阵, 若是非齐次线性方程组的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组的基础解系( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量三. 计算证明题1. 求方程组的通解, 并求满足方程组及条件的全部解.2. 设有线性方程组, 问m, k为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解.3. 问为何值时, 线性方程组有解, 并求出解的一般形式.4. 已知, , 及.i. a, b 为何值时, 不能表示成的线性组合.ii. a, b 为何值时, 有的惟一线性表示, 并写出该表示式.5. 知方程组与同解, 试确定a, b, c.6. 已知下列非齐次线性方程组( I )、( II )( I ) ( II )i. 求解方程组( I ), 用其导出组的基础解系表示通解;ii. 当方程组( II )中的参数m, n, t为何值时, 方程组( I )与( II )同解.7. 设A是m×n矩阵, R是m×n矩阵, x = , B是m×m矩阵, 求证: 若B可逆且BA 的行向量都是方程组的解, 则A的每个行向量也都是该方程组的解.8. A是n阶矩阵, 且A 0. 证明:存在一个n阶非零矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是.9. 假设A是m×n阶矩阵,若对任意n维向量x, 都有, 则A = 0.10. 假设. 如果是方程组的一个解, 试求的通解.11. 假设. 如果矩阵方程有解, 但解不惟一, 试确定参数a.第五章特征值和特征向量一. 填空题1. 设A是n阶方阵, 为A的伴随矩阵, |A| = 5, 则方阵的特征值是______, 特征向量是______.2. 三阶方阵A的特征值为1, －1, 2, 则的特征值为_______.3. 设且A的特征值为2和1(二重), 那么B的特征值为_______.4. 已知矩阵相似, 则x = _____, y = ______.5. 设A, B为n阶方阵, 且, 则AB与BA相似, 这是因为存在可逆矩阵P = ______, 使得.二. 单项选择题1. 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件2. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则(A) 对任意, 都是A的特征向量.(B) 存在常数, 是A的特征向量.(C) 当时, 不可能是A的特征向量.(D) 存在惟一的一组常数, 使是A的特征向量.3. 设是n阶矩阵A的特征值, 且齐次线性方程组的基础解系为, 则A的属于的全部特征向量是(A) (B)(C) (为任意常数) (D) (为不全为零的任意常数)4. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则有是(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量5. 与n阶单位矩阵E相似的矩阵是(A) 数量矩阵 (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1)(C) 单位矩阵E (D) 任意n阶矩阵A6. 是n阶方阵, 且, 则(A) 的特征矩阵相同 (B) 的特征方程相同(C) 相似于同一个对角阵 (D) 存在正交矩阵T, 使得三. 计算证明题1. 设是矩阵的特征值, 求: i. t的值; ii. 对应于的所有特征向量.2. 求n阶矩阵的特征值与特征向量.3. 假定n阶矩阵A的任意一行中, n个元素的和都是a, 试证是A的特征值,且(1, 1, …, 1)T是对应于的特征向量, 又问此时的每行元素之和为多少?4. 设均是n阶方阵, 且, 证明有公共的特征向量.5. 设三阶矩阵A满足, 其中列向量, ,, 试求矩阵A.6. 设矩阵A与B相似, 其中, ,i. 求x和y的值; ii. 求可逆矩阵P, 使得.7. 设矩阵, 矩阵, 其中k为实数, E为单位矩阵, 求对角矩阵, 使得B与相似,并求k为何值时, B为正定矩阵.8. 设n阶矩阵A的特征值为1, 2, …, n, 试求.12. 设是方阵A的两个不同的特征值, 是A的对应于的线性无关的特征向量, 是A的对应于的线性无关的特征向量, 证明,线性无关.9. 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计, 然后将熟练工支援其它生产部门, 其缺额由招收新的非熟练工补齐. 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工, 设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和, 记成向量 i. 求与的关系式并写出矩阵形式: = A;ii. 验证, 是A的两个线形无关的特征向量, 并求出相应的特征值;iii. 当 = 时, 求.第六章二次型一. 填空题1. 二次型的矩阵是______.2. 矩阵对应的二次型是________.3. 当_______时, 实二次型是正定的.4. 设A是实对称可逆矩阵, 则将化为的线性变换为______.5. 设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1, 2, …, n, 则当t ______ 时, 是正定的.二. 单项选择题1. 设均为n阶方阵, , 且, 当( )时,(A) 秩(A) = 秩(B) (B) (C) (D) 且2. 下列矩阵为正定的是(A) (B) (C) (D)3. 设均为n阶正定矩阵, 则( )是正定矩阵.(A) (B) (C) (D)三．计算证明题1. 用配方法将下列二次型化为标准形2. 用正交变换将下列实二次型化为标准形i.ii.3. 设A为n阶实对称矩阵, 且满足, 证明A是正定矩阵.4. 设实对称矩阵A的特征值全大于a, 实对称矩阵B的特征值全大于b, 证明A + B的特征值全大于a + b.5. 设A为n阶实对称矩阵, 证明: 秩(A) = n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B, 使是正定矩阵.。

行列式的例题

行列式的例题一．直接用行列式的性质计算行列式 1．试证明2221112222221111112c b a c b a cb a b a ac c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得22222111112222211111b a ac c b a a c c b a a c c b a a c b b a a c b b a a c b +++++++++++++=左2222111122221111b a ac b a a c b a a c a a c b a a c b a a c b +++++++= 222111222111b ac b a c b a c a c b a c b a c b+= 222111222111a cb ac b ac b a c b a c b a c b += 2221112a c b a c b a c b ==右2．计算n 阶行列式nn n n nnn b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++=212221212111解：当n=1时，D 1=a 1+b 1 ，当n=2时，D 2=（a 1+b 1）（a 2+b 2）-（a 1+b 2）（a 2+b 1） =（a 1-a 2）（b 1-b 2）当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 011113131312121212111=---------+++=a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a D n n n nn综上所述⎪⎩⎪⎨⎧≥=--=+=3,02),)((1,212111n n b b a a n b a D n 。

3． n 阶行列式D 中每一个元素a ij 分别用数b i-j (b≠0)去乘得到另一个行列式D 1 ，试证明D 1=D 。

线代第三章习题解答

第三章行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）()2,1,0,,,0000000222211114=≠=i d c b a d c b a d c b a D ii i i解：设444⨯=ija D 则4D 中第1行的非0元为113111,b a a a ==，故11,3j =同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2，故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=(2)010...0002 0000...000 0n D n =M M MM解：由行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑L L L仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12121()(231)1212231(1)(1)(1)(1)(1)12(1)!n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L习题3.23.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γγγβββααα证明:22222222222222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c αααααααβββββββγγγγγγγ-=-+-左0= (2) 322)(11122b a b b a a b ab a -=+证明:23222212()()2()11001c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a ba b b a b a b a b --------==---左右=-=3)(b a(3) 121211221100001000001n n n n n nn n x x x a x a x a x a x a a a a a x-------=+++++-+L L M MM O M M L L L证明: 按最后一行展开，得1211000000010001000(1)(1)00010000100101n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L LL左321220000100000000100(1)(1)0001000000001001n n n x x x x a a x x +----+-++----LL L L L M M M O M M M M M O M M L L LL21100100()(1)000100nx x x a x x--++--LL M M M O M M L L222222121221(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x a x x a x ----=-+-+-++-++-L 2211221n n n n n n a a x a x a x a x x ----=++++++=L 右3=2-3．计算下列行列式（1）11111100((1))((1))x a a a x a ax a x a x n a x n a a a xa a xx a-=+-=+--LL L LLLM M O M M M OM MM O M LLL])1([)(1a n x a x n -+-=-(2)()()()()()()111(1)211111111()1(1)(1)111111nnnn n n n n n n n n nnna a a n a a a n a a a n D a a a n a a a n a a a n ---++---------==-------L L L LM MOMMM O ML L LL（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n 行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。

练习1.3 行列式按行(列)展开定理与克莱姆法则

练习1.3 行列式按行(列)展开定理与克莱姆法则一、填空题:1. 已知,表示第行第列元素的余子式, 则 . 解：因为，故应填.2. .解：，故应填3. 当时, 方程组有非零解.解：方程组有非零解，由于，所以或.故应填或.二、选择题：1．设, 则多项式次数最高可能为 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：，将其按第一行展开，得.若，则是常数；若，则是一次多项式，故应选(A).2. 设,且其每列元素之和为, 则的第一行元素的代数余子式之和 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：, 显然，与第一行元素的代数余子式相同，所以，故应选(B).3. 行列式非零的充分条件是 [ ](A) 的所有元素非零； (B) 的任意两行元素之间不成比例；(C) 至少有个元素非零； (D) 以为系数行列式的齐次线性方程组有唯一解.解：选项(A),(B),(C)均不是非零的充分条件，故应选(D).4. 齐次线性方程组只有零解, 则应满足的条件是 [ ](A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：齐次线性方程组只有零解, 而，所以，故应选(D).三、证明: (1) ; (2)证明：（1），得证.(2) ，得证.四、计算下列行列式:(1) ； (2) .解：(1)将的第行经次行的调换调至第一行，第行经次行的调换调至第二行,…, 第2行经1次行的调换调至第行, 于是经过次行调换，故得（2）将按第列展开，得，但此递推公式难以推出的表达式. 由于于是我们猜测. 事实上，假设结论对于小于阶的行列式均成立，则对于阶，由递推公式有，故由数学归纳法，得.。

线性代数习题册行列式-习题详解

行列式的概念一、选择题1．下列选项中错误的是( ) (A)ba d c dc b a -= ； (B)acb d dc b a =；(C)dc b a dcd b c a =++33； (D)dc b a dc b a -----=.答案：D2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（）．(A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号．答案：C二、填空题1.ab b a log 11log = .解析：0111log log log 11log =-=-=ab abb a ba . 2.6cos3sin6sin3cosππππ= . 解析：02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6cos 3sin6sin3cos==-=πππππππππ3.函数x x xxx f 121312)(-=中，3x 的系数为； xx xx x x g 21112)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.5. 三阶行列式11342321-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案：5.6.若02182=x，则x = . 答案：2. 7.在n阶行列式ija D =中，当i<j 时，),,2,1,(0n j i a ij L ==，则D = .答案：nn a a a Λ2211.8.设a ,b 为实数，则当a = ,b = 时，010100=---ab b a .解析：0)()1(1010022=+-=--=---b a ab ba abb a故0,0==b a .三、解答题1.用行列式的定义计算.(1)1100001001011010；解：原式=100010101)1(1010000011)1(14121++-⨯+-⨯110010100-=--=(2)000000hgf e d c b a.原式=00000gf e d b hf e dc a - =00000g f bd hf df e c a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=bdfg adfh -2. 设行列式λλλ01010101-=D , 3512321132=D ,若21D D =,求λ的值.解：由对角线法则，得()()0,11221=-+=D D λλ若21D D =,则()()0112=-+λλ于是1-=λ或1.四、证明题1.（略）行列式的性质一、选择题1．设行列式x x xD 0101011-=, 1133512322=D ,若21D D =,则x 的取值为 ( ).(A)2，-1； (B)1，-1； (C)0，2； (D)0，1．答案：B2．若3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则3332333123222321131213111525252a a a a a a a a a a a a D +++==（）． (A)30； (B) -30； (C)6； (D)-6．答案：C二、填空题1．若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x ，19，则x = . 解析：1820190,4x x ⨯-+⨯==. 2．2016201420182016 = .解析：4202220162014222016201420182016===.3.行列式cb dc a bcb aD =，则312111A A A ++= . 解析：312111A A A ++0111==cb c acb .4.行列式xx x xx D 31213231232154-=的展开式中，4x 的系数为；3x 的系数为 .解析：xxx x x x x x xx D 312131232321531213231232154--=-=xx x x 3121312512585103215---= 含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素之积项，故4x ，3x 的系数分别为15，-3.三、解答题1.计算下列行列式 .(1)3214214314324321；解：各行加到第一行，得原式=32142143143211111032142143143210101010==160400400121011111012301211210111110=---=------.(2)4444333322225432154321543215432111111；解：原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.(3)49362516362516925169416941；原式=02222222297531694113119711975975316941==.(4)000000xyy x y x x y ；原式=xy x yx x xyy y xy 00000000-- =22222)(y x xyy x xxyy x y--=-.(5)xy z zx yyzx111；原式=)(0)(01x z y x z x y z x y yzx------ =))()((11))((x z z y y x yz x z x y ---=---.(6)200012000000130012000101--；原式=31012010140131201014200013012001012---=--=--=2031124=---. (7)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.2.设4322321143113151-=D ，计算44434241A A A A +++的值.其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式.解：44434241A A A A +++61111321143113151=-=.3. 已知1142113110111253------=D ,求41312111M M M M +++.解：41312111M M M M +++=41312111)1(1)1(1M M M M --⋅+--⋅=1141113110111251-------=0.4.计算下列n 阶行列式.(1)211121112ΛMM M ΛΛ；解：原式=211121111ΛM M MΛΛ+++n n n =211121111)1(ΛMMM ΛΛ+n =1100010111)1(+=+n n ΛMM M ΛΛ. (2)xy yyy x y yy y x yy y y x ΛM M M M ΛΛΛ ；解：原式=[]x y y y y x y yy y x yy n x ΛM M M M ΛΛΛ1111)1(-+ =[]yx y x y x y n x ----+ΛM M M MΛΛΛ0000001111)1(=[]1)()1(---+n y x y n x .(3)),,2,1,0(010011111021n i x x x x i nΛΛM M M M ΛΛΛ=≠.解：原式=nni ix x x x ΛM M M M ΛΛΛ0000000011101211∑=- =)1(121∑=-ni in x x x x Λ.四、证明题1.设a ,b ,c 是互异的实数，证明0111333=c b a c b a的充分必要条件是a+b+c=0.证明：33333333001111a c ab aa c ab acbac b a----==3333a c a b a c a b ----=222211))((a ac c a ab b a c a b ++++--=))()((22ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0,由于a ,b ,c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c da a ab a bc a b cd a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++证明：左边43322102320363a b c d r r a a b a b cr r a a b a b c r r a a b a b c-+++-+++-+++433210002003a b c d r r a a b a b ca ab r r a a b-++++-+4430002000a b c d a a b a b cr r a a a b a+++-=+=右边克莱姆法则一、选择题1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1,1,1321321321x x x x x x x x x λλλ, 有唯一解,则( ).(A)1-≠λ且2-≠λ； (B) 1≠λ且2-≠λ；(C) 1≠λ且2≠λ； (D) 1-≠λ且2≠λ．解析：由克莱姆法则，当0)1)(2(1111112≠-+=λλλλλ，即1≠λ且2-≠λ，选B.2.当≠a （）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解.(A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则，当0)2(212012100121210≠-=--=-a aaa aa即2≠a ，选D.三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x解： 03112221121≠=---=D ，由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，31132231221=---=D ，61322311212=-=D ，93323312213==D ，因此方程组的解为11==D D x ,22==D Dy ，33==DD z .(2)..23342,223,3232,124321432143214321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x解：043342123121321121≠=---=D由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，833421232213311211=---=D ， 233221221213211112-=---=D ,232421231233211213=--=D ,223422231313211214=-=D .因此方程组的解为211==D D x ,2122-==D D x ，2133==D D x ,2144==D D x . 2.判断线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0285,042,022321321321x x x x x x x x x 是否有非零解解：因为系数行列式285122421285421122----=---=D=0305009604212218960421≠-=--=----, 所以，方程组只有零解.3.已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=-+02,0,0321321321x x x x x kx x kx x 有非零解，求k 的值.解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即32101101111211112k k kk kk --+--=--=)21)(1()1(32k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得，k =-1或k =4.4.当μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，0111213142=------μμμ,解得3,2,0=μ.第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式n D 中的n 最小为2.( ╳ )2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数，则D 必为整数.( √ )3.413223144433221144413332232214110000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳)二、选择题1.若11131--+=x x x D ，211122-+=x x D ，则1D 与2D 的大小关系是( ).(A)21D D <； (B)21D D >；(C)21D D =；(D)随x 值变化而变化.答案：C 2.行列式{})2,1,1,,,(-∈d c b a dc b a 的所有可能值中，最大的是( ).(A) 0； (B)2； (C)4； (D)6.答案：D三、填空题1.︒︒︒︒40cos 20sin 40sin 20cos = .解析：︒︒-︒︒=︒︒︒︒40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos2160cos =︒=. 2.若y y x x y x -=-1122,则x+y = . 解析：由y y x x y x -=-1122，得xy y x 222-=+ 即0)(2=+y x ，从而x+y =0.3.已知111,0112==yx x ，则y = . 解析：由111,0112==yxx ,得x =2,x-y =1,从而y =14. 若222222222642531C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析：242312=-=C .5.设xxx x xx f 111123111212)(-=，则4x 的系数为；3x 的系数为 .解析：当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4x ，系数为2；含3x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积，系数为-1. 答案：2，-1.6.设0123411222641232211154321=D ,则(1)333231A A A ++= ； (2)3534A A + ；（3）5554535251A A A A A ++++ . 解析：0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A于是0333231=++A A A ，03534=+A A .5554535251A A A A A ++++1111111222641232211154321=01111133333641232211154321==. 即0555*******=++++A A A A A .四、解答题1.计算下列行列式.(1)44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++；解：原式=14131214141312131413121214131211y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+=000000000014131214131211=------+x x x x x x y y y y y y y x .(2)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.(3)2007000002006000200500020001000ΛΛΛMM M M M ΛΛ. 解：原式=!2006)1(2007220052006⨯-⋅=!2007-2.已知123452221127312451112243150D ==, 求(1)434241A A A ++；(2)4544A A +. 解：27)(21114544434241=++⋅+⋅+⋅A A A A A0)()(24544434241=++++A A A A A得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式.(1)nn n n n n n D ΛM M M ΛΛΛ222333222111=；解：（利用范德蒙行列式计算）1122133321111!--==n n n Tn n n n n D D ΛM MMΛΛΛ [])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n ΛΛΛ!2)!2()!1(!Λ--=n n n .(2)211121112ΛMM M ΛΛ；解：原式=211121111ΛM M MΛΛ+++n n n =211121111)1(ΛMMM ΛΛ+n =1100010111)1(+=+n n ΛMM M ΛΛ.(3)mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=ΛM M M ΛΛ212121解：将第2列，L ，第n 列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得m x x mx x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++=ΛΛM M MΛΛΛΛ221221221mx x x m x x x m x x x n n n n ---+++=ΛMM M ΛΛΛ22221111)(mm m x x x n ---+++=ΛM M M ΛΛΛ0101001)(21121))((---+++=n n m m x x x Λ(4)nn n n n a a a a a a b b b b b D 1322113210000000-----=ΛM M M M M ΛΛΛ （其中n i a i ,,2,1,0Λ=≠）解： 1221100000000)1(-+----=n nn n a a a a b D ΛM M M M ΛΛ1222112210000000------+n n n n n a a a a a b b b b a ΛM M M M ΛΛΛ 121-+⋅=n n nnn D a a b a a a Λ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n i i in a b a a a 121ΛΛ. 三、证明题1.试证：如果n 次多项式n n x a x a a x f +++=Λ10)(对n+1个不同的x 值都是零，则此多项式恒等于零.(提示：用范德蒙行列式证明)。

线性代数第3版习题全解上海交通大学

线性代数第3版习题全解上海交通大学(总85页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1. 计算下列行列式：(1)7415； ()()cos sin 2;3sin cos x y z x x zx y x xyzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x； (5)xy x y yx y x x yxy+++。

解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zzx zx++=++=++++()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。

(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。

(5)xy x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。

解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==,121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。

线性代数练习题

习题练习答案整理一、行列式求解方法练习题知识点导航：本部分主要是求解行列式，我们上课所讲到求解行列式有三种方法：一是求逆序法，此方法不常用，只在求展开项正负项和行列式每一行只有一个为零的数且每行不为零的数是错位的或者是符合阶梯型行列式等；二是讲行列式化为阶梯型行列式在求解；三是利用代数余子式按照行列展开求解，后两种是常用方法。

1.练习演练（1）3214214314321111=D解：16040401210400401210111111311311032111113,2,11=---=---=--==--I R R I I D （2）abc d e e d c b a D 010000010000010=解：依次按照第2行展开2201001000010e a a eeaa bee d a ab c eedc a D -====。

（3）1020110220101221=D解：91221122112`0021`00`````10`1212`211100101221001221====D（4）dc b a D 004030020100=解：()()4641324`001`00`````00`300`200410003002013--====ab bc da cb da cb da cb D C（5）bb a a D -+-+=1111111111111111 解：220000000011100000011114321b a bba ab aba a a aD C baC b a C C =--=-----+=-+-（6）用行列式性质计算下列n(n>1)阶行列式（要求写出计算过程）：1121122112111211111-----+++n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a解：分析把行列式归结化简为上（下）三角形行列式来求解.),,2(,0000000111111211211112112211211121n i b b b a a a R R b a a a a b a a a a b a a a a n n i n n n n n=-+++-------.1-n 21b b b 上三角形（7）111110000000001-n 1-n 2211a a a a a a ---解：），（1,,2,1132100000000000111110000000012111-n 1-n 2211-=----+----+n i nn a a a C C a a a a a a n i i.1-121-n na a na ）（下三角形（8）2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a解： 2212221222122212,5232125232125232125232122222233422221++++--++++++++++++--d d c cb b a a C C C C d d d dc c c cb b b b a a a a C C i i=0（9）计算行列式.84212793111111111----=D解： D 是4阶范德蒙德行列式），，（2-3,1-1=D 的转置，所以)32()12)(13()12)(13)(11()2,3,1,1(--⋅+-+⋅-----=--=D D .240)5()4(12=-⨯-⨯=（10）.100000000000010001321nn a a a a a-解：逐次按第2行展开===-nnn a a a a a a a a a 0100100100000000000010003121321).1(1111321132-==--n n nn a a a a a a a a a a （11）计算行列式：.8814412-21111132x xx - 解：)12)(12)(22)(1)(2)(2(),2,2,1(8814412-21111132-------+=-=-x x x x D x x x).4)(1(122--=x x（12）计算n （n>1）阶行列式：.0000000000000000x y y x x y x y x解：yxx y xy y xy x y x xxyy x x y x y x n0000000000)1(00000)1(10000000000000000111++-+-列展开按第.)1(1n n n y x +-+=（13）计算当),,2,1(0n i a i =≠时，.1111111111111111321na a a a ++++解：)1,,1(11110000001111111111111111321321-=+----++++=n i a a a a a a a R R a a a a D nn nn n i n n， )0(,11000000011132111≠++----+∑∑-=-=i n i in n n n nn i ii n a a a a a a a a a a R a R 注意).11(121∑=+=ni i n a a a a（14）计算.15432215433215443215543215=D解：)5,4,3,2(4111332202223011110543215154315215415321515432115543215154322154332154432155432115215=-----------+=∑=i R R C C D i i i ，.53500550005550011110543215,234252423⨯=----------+++R R R R R R ，二、解线性方程组方法练习 1.练习演练（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+--=++-=+-+-=++-42315223322124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解：对增广矩阵进行初等行变换化为阶梯型⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=5`42002`31004`71001`21114`23111`52112`33221`2111A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→1`00002`100004`71001`21113`100002`100004`71001`2111 增广矩阵的秩与系数矩阵的秩不同，所以原方程组无解。

习题1 部分习题解答

an1D1 a b n2 2 L a b2 n2 abn1 +bn
an1(a b) an2b2 L a b2 n2 abn1 +bn
an an1b an2b2 L a2bn2 abn1+bn n
aibni i0
13 设有n阶行列式D |aij|, 若其元素满足aij =-a ji ,则称为反对称行列式。试证明：
所求项：(-1) (23514)a12a23a35a41a54 +(-1) (24513)a12a24a35a41a53
=a12a23a35a41a54 a12a24a35a41a53
x 7 3 1 8 在多项式f (x) 1 4 x 0 中，求x2的系数。
0 x 1 5 21 2 3
解：含有x2的项： (1) (1342) a11a23a34a42 (1) (1423) a11a24a32a43
Dn (a b)Dn1 abDn2
Dn aDn1 bDn1 abDn2 b(Dn1 aDn2 )
b2 (Dn2 aDn3 )
L bn2 (D2 aD1)
bn2( a b
ab a a b ) bn2 (b2 ) bn
1 ab
Dn =aDn1 +bn =a(aDn2 +bn1)+bn a2Dn2 abn1 bn =a2 (aDn3 bn2 ) abn1 bn a3Dn3 a b2 n2 abn1+bn =L
0 1 10 87 r4+2r3
0 1 10 87
200
200
0 0 -25 1364
0 0 -25 1364
0 0 51 572
0 0 1 3300
1 23 33

高等代数与解析几何1~4章习题答案

高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ）二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个奇排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝xxx xx x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式） 4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ）三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2，则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000000001000001____________.2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解方程组的增广矩阵为：B = ⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nnnn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n nn n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a 是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分)因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。

完整word版,《线性代数》中的证明题集

1．利用行列式展开定理证明：当时，有L 0 01L 001L 0n1n1D n．MMM O MM00L000 L 1证：将行列式按第一行展开，得D n()D n 1 D n 2 ，则D nD n 1( D n 1D n2)2(D n2D n 3)n2n22nL n 2(D 2D 1)n 2[()2()]所以 D nD n 1n（1）由D n 关于与对称，得D nD n 1n（2）n1n1由（ 1）与（2）解得 D n证：构造 5 阶行列式2．已知 1326、2743、5005、3874 都能被 13，不计算行列式的值，证明1 32 6 2 7 43 5 0 0 5 3 8 7 41 32 61 32 13262 7 4 32 7 4 2743 证：5 0 0 5 c41000c 1 5 0 0 5005 c4 100c 23 8 74 c410c 33 8 7 3874所以原行列式能被 13 整除．3．证明 : 111a 2 a 4abc22 bc 44 bc 1 dd 2 d 4(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) ．由已知，得后行列式的第 4 列具有公因子 131111 abcd则 D 5 (b a)( c a )( d 比较( 1) D5 a 2 b 2 c 2 d 23333abcd 4444abcda)(c b)( db)(d c)(x a)(x b)(x c)(x d) ．1 1 111 1 1 1 a b c d4abc d2 2 2 2 x 4 (2222a b 2 c d 2a b 2 c d 2 3 3 3 34 4 4 4a b 3 c d 3a b 4 c d 4 将 D 5 按第 5 列展开，得与( 2)右边知结论成立． D 5 )x 33 x 3的系数，1)2)4．证明：当 (a 1)2 4b 时，齐次线性方程组证：方程组的系数行列式11 1a12 11D11 3111a a b当 D 0 ，即 (a 1)2 4b 时，方程组有非零解． 2(a 1)2 4b ，5．若 A 为 n 阶对称矩阵， P 为 n 阶矩阵，证明 P T AP 为对称矩阵． A T A 证：因为 (P T AP)T P T A T (P T )T P T AP ，所以 P T AP 为对称矩阵． x 1 x 2x 3ax 4 0,x 1 2x 2x 3 x 4 0,有非零x 1 x 2 3x 3x 40, x 1 x 2a x 3 (a b)x 46．设 A,B,C 都是 n 阶矩阵，证明： ABC 可逆的充分必要条件是 A,B,C 都可逆．证： ABC 可逆 ABC 0 A B C 0 A 0, B 0,C 0 A,B,C 都可逆．(A 2E) A 2EE ，21A E 所以 A 2E 可逆，且 A 2E A E．22 E 及(E A)(E A A 2) E ，所以 E A 及E A 都是可逆矩阵．9．（1）设P 1AP B ，证明B k P 1A k P ．1 0 01 00（2）设AP PB ，且 P2 1 0 , B0 00 ，求 A 与A20112 1 10 01证：1）k 1 kB k ( P 1AP )kP 11A(PP 1) A(PP1)L ( PP 1 1k)AP P 1A kP ．2）由 AP PB ，得 APBP 1，且 A 20 11PB 2011P 1 ．又1 0 01 0 0P 121 0 , B 20110 0 0 B，41 10 011 0 0所以 A 20 0 2011,APBP1A ．6 1 110．（ 1）设AO C B O，且 m 阶矩阵 B 和n 阶矩阵 C 均可逆，试证明 A 1 OCB 1 Oa 10 L0 0 a 2L（ 2）设矩阵AM M MM，其中a 1, a 2 ,L ,a n 为非零常数，求A 1．0 0 0 L a n 1a n 0 0 L证：由 A 2 3A O ，得 (A 2E)(A E) 2E ，即7．设 n 阶方阵 A 满足 A 2 3AO ，证明 A 2E 可逆，并求A 2E8．设 A 为 n 阶矩阵，且 A 3 O ，证明 EA 及 E A 都是可逆矩阵．证：22由 A 2 O ，得 (E A)( E A A 2 )12．证明：（ 1）设 A,B 为矩阵，则 AB BA 有意义的充分必要条件是 A, B 为同阶矩阵．（2）对任意 n 阶矩阵 A, B ，都有 AB BA E ，其中 E 为单位矩阵．证：（ 1）设A 为 m n 矩阵，B 为 s t 矩阵，则证：O1）因为COB 1C 11BB1OCC 1E ，所以 A 可逆，且2）将矩阵进行如下分块：a n则A 1 ．又 B 1A 1A 1a 1a 2Mdiag (a 1 1,a 2 ,L C 1a n 1L,a n 1),C(a n 1) 所以1a 11 01a 21 1a n 111．设 A 为 n 阶矩阵，满足 A 25A 6E证明：R(A 2E)R(A 3E) n ．证：由 A 2 5A 6E O ，得 (A 2E)(A3E) O ，所以所以 R（AR(A 2E)R(A 3E) n .R(A 2E)2E) R(AR(A 3E)3E) R( A 2E) R(A 3E) R(E) n ，n .n s,t m,m n s t ，m s,t n.A A T A A T其中为对称矩阵，为反对称矩阵．2与偶函数之和)14．已知 n 阶矩阵 A,B 满足 AB A B ，试证 A E 可逆，并求 (A E) 证：由 AB A B ，得(A E)(B E) E ，所以 A E 可逆，且 (A E) 1 B E ．1115．设 A 为元素全为 1的 n(n 1)阶方阵，证明： E A 1E A ． n11 n 12 2 证： E A (E A) E A A 2 ．又 A 2 nA ，故 n 1 n 1 n 11 E A (E A) E ， n111 所以 E A 1 E 1A ．AB BA 有意义即 A,B 为同阶矩阵．2)设 A (a ij )n n ,B(b ij )n n ，则 AB BA 的主对角线上元素之和为nnnna ikb kib st a ts1k1 s1t1n n n na ikb kia tsb st0 ，i 1 k 1 t 1 s1而 E 的主对角线上元素之和为 n ，所以 AB BA E ．证设 A 为任意 n 阶矩阵，则A A AT2 A A T ，2你是否能联系到函数可以表示为奇函数n113．证明：任意 n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和．16．设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，且 A 0，证明 B 0．证： A 与B 等价，则存在 n 阶可逆矩阵 P 与Q ，使得 B PAQ ，有B PAQ P A Q 0 ．：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性．17．设 A 为 n 阶方阵，且 A 2 A ，证明RARA E n ．证：因为 A(A E)2 A 2A O ，所以 R AR A E n ．又RA R A E RARA E R(E) n ，所以 R A R A En ．18．设 A 是 n m 矩阵， B 是 m n 矩阵，其中 nm．若 AB E ，其中 E 为 n 阶单位矩阵．证明方程组 BX O 只有零解．证：由 AB E ，得 R(AB) n ．又 n R(B) R(AB) n ，得 R(B) n ，所以方程组BX O 只有零解．19．（ 1）设 R n ，证明：线性相关当且仅当0．（2）设 1, 2 R n，证明：1,2线性相关当且仅当它们对应的分量成比例．证：（１）线性相关 k0,k0 0 ．（2）1, 2 线性相关 k 1 1k 2 2 0 ，其中 k 1,k 2 不全为零．不妨设 k 1 0，则所以1, 2, 3 , 4必线性相关．2 对应的分量成比例．2线性相关20．任取23R n，又记 1121，证明 4必线性相关．证：显然134 2 4，即1( 1) 2 3( 1) 4 0，21．设1, 2,L , s R n为一组非零向量，按所给的顺序，每一i(i 1,2,L ,s) 都不能由它前面的i 1个向量线性表示，证明向量组1, 2,L , s 线性无关．证：用数学归纳法证明．s 1时，10，则1线性无关．设s m时成立，即1, 2,L , m 线性无关．当s m 1时，若1, 2,L , m, m 1线性相关，则m1可由1, 2,L , m线性表示，矛盾，所以向量组1, 2,L , s 线性无关．22．设非零向量可由向量组1, 2,L , s 线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组1 ,2 , L , s 线性无关．证：可由向量组1, 2 ,L , s 线性表示R(1,2,L , s) R( 1, 2 ,L, s| ) ．则表示法唯一x1 1 x2 2 L x s s有唯一解R(1 ,2 ,L , s ) R( 1,2 ,L , s |)sR(1, 2,L , s ) s 1 , 2,L ,s 线性无关．23．设1, 2 ,L,n R ，证明：向量组1 , 2 ,L ,n 线性无关当且仅当任一n 维向量均可由1, 2,L , n 线性表示．证：必要性：1, 2,L , n线性无关，任取R n，则1, 2,L , n, 线性相关，所以可由1, 2,L , n 线性表示．充分性：任一n维向量均可由1, 2,L , n线性表示，则单位坐标向量e1,e2,L ,e n 可由1, 2 ,L , n线性表示，有n R(e1,e2,L ,e n) R( 1, 2,L , n) n ，所以R( 1, 2,L , n ) n ，即1, 2,L , n线性无关．24. 设A：1,L , s和B：1,L , t为两个同维向量组，秩分别为r1和r2 ；向量组C AUB的秩为r3 ．证明：max r1,r2 r3 r1 r2．证：先证max r1,r2 r3．显然A组与B组分别可由C组线性表示，则r1 r3 ，且r2 r3，所以max r1,r2 r3 ．次证r3 r1 r2．设i1,L , ir1为A组的一个极大无关组，i1,L , ir2为B组的一个极大无关组，则C 组可由i1,L , ir1, i1,L , ir2线性表示，有r3 R( i1,L , ir1, i1,L , ir2) r1 r2 ．25．设B为n阶可逆阵，A与C均为m n矩阵，且AB C．试证明R(A) R(C)．证：由AB C ，知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则R(C) R(A)．1因为B 可逆，则A CB 1，知A的列向量组可由C 的列向量组线性表示，则R(A) R(C) ．所以R(A) R(C) ．26．设A为m n矩阵，证明：A O当且仅当R(A) 0．证：必要性显然，下证充分性：R(A) 0 A O ．设为A的任一列向量，则R( ) R(A) 0，所以R( ) 0 0 ．由的任意性知A O ．T T T 327．设 1 ( 2,1,3)T , 2 ( 1,0,1)T , 3 ( 2, 5, 1)T．证明向量组1, 2, 3是R3的一组基，并求向量(2,6,3)T在这组基下的坐标．26 MM 257281 MMM 001 010 1003 7 1得1, 2, 3是R3的一组基，且在这组基下的坐标为（ , 8, ）．2228．设1, 2 , , m是齐次线性方程组AX 0 的基础解系，求证 1 2, 2,L , m 也是AX 0 的基础解系．证：显然 1 2, 2,L , m 是AX 0 的解，只需证明它们线性无关．1 0 L 01 1 L 0(12, 2,L , m) ( 1, 2,L , m) ( 1, 2,L , m)K m m．M M M0 0 L 1由K 1 0，得R( 1 2, 2,L , m) R( 1, 2,L , m) m ，所以 1 2, 2,L , m 线性无关．29．设A是n阶方阵．证明：存在一个n阶非零矩阵B，使AB O 的充要条件是Α 0．证：存在B O ，使得AB O AX 0 有非零解30．设A是n阶方阵，B为n s矩阵，且R（B） n．证明：（1）若ABO，则A O ；（2）若AB B，则A E n．证：（1）AB O ，则R(A) R(B)n ．又R( B)nR(A)0 A O（2）AB B (A E)B O ．由（１）得A E O A E ．31．设1,2,, s为n维非零向量，A为n阶方阵，若A 1 2, A 2 3, ,A s 1s，A s 0 ，试证明1,2,, s 线性无关．证：设x11x2 2 L x s 1 s 1 x s s 0 ．该式两边左乘以A，得x1 2 x2 3 L x s 1 s 0依此类推，得x1 s 0．由s 0，得x1 0．同理可证x20,L , x s 0．所以12 s 线性无关．12r可由 1, 2,r线性表示，所以B 组可由 A 组线性表示 .故 A 组与 B 组等32．设 A 11,A 212, A 323，其中 A 为 3 阶方阵，1, 2, 3为 3 维向量，且 1 0 ，证明1, 2 , 3 线性无关．证：设 x 1 1 x 2 2 x 3 30．（1）（ 1）式两边左乘以 A ，得(x 1x 2 ) 1(x 2x 3) 2 x 3 3 0．（2）（2）减去（1），得 x 21 x320 ．（3）（3）式两边左乘以 A ，得(x 2x 3) 1x 320 ．（4）（4）减去（3），得 x 3 1 0 ．因为 10，所以 x 3 0 ．代入（３），得 x 2 10，所以 x 2 0．代入（ 1），得 x 1 10，所以 x 1 0 ．所以1, 2, 3 线性无关．33．设 A 为n 阶方阵，为n 维列向量．证明：若存在正整数 m ，使A m 0，而 A m1 0，则 ,A ,L ,A m 1 线性无关．证：设 x 0 x 1A L x m 1A0 ，该式两边左乘以 A ，得x 0A m 10 ．因为 A m 10 ，所以 x 0 0．同理可证 x 1 Lx m 1 0．所以 ,A ,L ,A m 1 线性无关．34．设向量组 A 的秩与向量组 B 相同，且 A 组可由 B 组线性表示，证明 A 组与 B 组等价．证：设R （A ） R （B ） r ， 1, 2, , r 为 A 组的一个极大无关组， 1, 2, , r 为B 组的一个极大无关组．由 A 组可由 B 组线性表示，得（ 1, 2, , r ）（ 1, 2, , r ）K r r .又r R （K ） R （ 1, 2,L , r ） r ，则 R （K ） r ，即 K 为可逆矩阵，有1（ 1, 2,L , r ）（ 1, 2,L , r ）K 1，价．35．设向量组 A ： 1, 2, , s 线性无关，向量组 B ： 1, 2,L , r 能由 A 线性表示为 ( 1 , 2 ,L , r ) ( 1 ,2 , L , s ) K s r ，其中 r s ，证明：向量组 B 线性无关当且仅当 K 的秩 R(K) r ．证：向量组 B 线性无关 ( 1, 2,L , r )X r 1 0只有零解( 1, 2,L , s )(K sr X r 1) 0只有零解1, 2 ,L , s 线性无关K s r X r 1 0 只有零解 R(K ) r ．36．设 A,B 都是 m n 矩阵，试证明： R(A B) R(A|B) R(A) R(B) ．证：先证 R(A B) R(A|B)．显然 A B 的列向量组可由 A 的列向量组和 B 的列向量组线性表示，则 R(A B) R(A|B) ．此证 R(A|B) R(A) R(B)．设 R(A) r,R(B) s ，A ?与 B ?分别为 A 与B 的列向量组的一个极大无关组，则 ( A | B)的列向量组可由 A ?与 B ?线性表示，有R(A| B) r s R(A) R(B)，即 R(A|B) R(A) R(B) ．1)证明 1, 2, 3是 R 3 的一组基； 2)求由基 1, 2, 3 到基 1, 2, 3的过渡矩阵；3)若向量在基 1, 2, 3 下的坐标为 (1,0,0) ，求向量在基 1, 2, 3下的坐标．101证：( 1 , 2, 3 ) ( 1, 2 , 3 ) 1 1 001137．设 1, 2, 3是 R 3的一组基，2，2 2 3， 3 3 1 ．１)101(１)由1 1 0011所以1, 2, 3是R3的一组基．1012)由(１)式，得由基1, 2, 3 到基1, 2, 3 的过渡矩阵1 1 0011 3 ) 在基1, 2, 3 下的坐标10111 1 1 1 1111 1 1 TY P 1X 1100 1 1 1 02(12,12,12)0110 1 1 1 038．设A 为m r 矩阵，B 为r n 矩阵，且AB O ．求证：(1) B 的各列向量是齐次线性方程组AX 0 的解；(2)若R( A) r ，则B O；(3)若B O ，则A 的各列向量线性相关．证： (1)令B ( 1, 2,L , n)．由AB O ，得(A 1,A 2,L ,A n) (0,0, L ,0) ，即A j 0, j 1,2,L ,n，所以B 的各列向量是齐次线性方程组AX 0的解．(2)若R(A) r ，则AX 0只有零解，所以B O．(3)若B O ，则AX 0 有非零解，所以A 的各列向量线性相关．39．设A为n阶方阵( n 2 )，证明：(1)当R(A) n时，R(A ) n； (2)当R(A) n 1时，R(A ) 1；(3)当R(A) n 1时，R( A ) 0．n1证： (1)当R(A) n时，A 0 A* A n 1 0 ，所以R(A ) n ．(2)当R(A) n 1时，由AA*A E O，得R(A) R(A*) n有R(A*) 1．又A中2 0 ，得R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3)3 ，则1, 2, 3线性无关，至少有一个n 1 阶子式不为零，则A O R(A ) 1，所以R(A ) 1 ．(3)当R(A) n 1时，则A中所有一个n 1阶子式全为零，有A* O R(A*) 0 ．240．设矩阵A满足等式A2 3A 4E 0，试证明A的特征值只能取值1或4．证：设为A的特征值．由A2 3A 4E 0 ，得满足2 3 4 0，解得1 或4．41．设方阵A满足A T A E，其中A T是A的转置矩阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的模等于1．证：设X 为A 的实特征向量，对应的特征值为，则AX X ．由A T A E ，得X T A T AX X T EX X T X ，即(AX)T(AX) X T X，有2X T X X T X ．又X T X 0，则2 1，所以1．42．设矩阵A与B 相似，试证：T T 1 1(1)A T与B T相似；(2)当A可逆时，A 1与B 1相似．证：A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得B P 1AP．T 1 T T T 1 T T T T 1(1) B T(P1AP)T P T A T(P1)T P T A T(P T)1．因为P T也可逆，所以A T与B T相似．(2) B 1 (P 1AP) 1 P 1A 1(P 1) 1 P 1A 1P，所以A 1与B 1相似．43．设A,B 都是n阶实对称矩阵，证明A与B 相似的充要条件是A与B 有相同的特征值．证：必要性：A与B相似，则存在可逆阵P，使得P 1AP B．有|B E| |P 1AP E| |P 1(A E)P| |P 1| | A E| |P| | A E|，所以A与B有相同的特征多项式，即有相同的特征值．充分性：若实对称矩阵A与B有相同的特征值，设1, 2, n 为它们的特征值．令diag ( 1, 2,L , n) ．则A与相似，B与相似，所以A与B相似．44．设 A 为 3 阶矩阵， 1, 2为 A 的分别属于特征值 1,1的特征向量，向量3满足A 3 2 3 ．（1）证明 1, 2 , 3线性无关；(2)令 P ( 1, 2, 3)，求 P 1AP ．证：（ 1）设 x 1 1x 2 2 x 330 ，（1）（1）式两边左乘以 A ，得x 11(x 2 x 3 ) 2 x 3 3 0 ．（2）（1）- ( 2)，得2x 1 1 x 3 20．显然 1, 2线性无关，则 x 1 0,x 3 0 ．代入（１），得x 220 ，有 x 20 ，所以 1, 2, 3 线性无关．2)AP A( 1, 2, 3)(A 1,A 2,A 3)(1, 2 , 23)1 0 01 0 0( 1 , 2 , 3 ) 0 1 1P 0 1 1，0 0 10 11 0 0 1 0 0即 AP P 01 1 ．由第一部分知 P 可逆，所以 P 1 AP 0 1 1 ．0 0 10 145．设 A,B 均为 n 阶方阵，且 R （A ） R （B ） n ．试证： A, B 有公共的特征向量．A证：考虑方程组 B A X n 1 0，其系数矩阵的秩AR R(A) R(B) n ， B A则方程组有非零解，即 0 ，故BA 0,B 0 ，即 0是 A,B 的公共特征值，是 A,B 属于特征值0 的公共的特征向量．46．设 A 是n 阶方阵，且满足 R(E A) R(E A) n ．试证: A 2 E ．证：设 R( E A) r ． (1) 若r 0，则 E A 0，即 AE ，有 A 2 E ．(2)若 r n ，则 R(E A) 0，即 A E ，有 A 2 E ．3)若 0 r n ，则 (A E)X 0的基础解系 1, 2,L1的线性无关特征向量；又 R(E A) n r ，则 (A E)X48．证明：若矩阵 A 正定，则矩阵 A 的主对角线元素全大于零．证：设实对称矩阵 A (a ij )n n 正定，则二次型x 1 0,L , x i 1 0,x i 1,x i 1 0,L ,x n 0，则 f a ii 0．由 i 的任意性，所以 A 的主对角线元素全大于零．1 a n 12,L ,r 就是A 的属于特征值 1 的线性无关特征向量；从而 A 有 n 个线性无关特征向量： 2,L , nr 2,L , r，所以 A 能相似对角化．令P 2 ,L , 1, 2 ,L ,r ，有 1APE n rOOE r， En rOE n rP 1 ，所以 A 2 E ．47． n 阶矩阵证：由 ABA,B 满足 AB A 不是 A 的特征值． B ，得(A A E)( B E) E B ，证明 1不是 A 的特征值．，所以 A E 可逆，有 A E 0 ，所以 1n r 就是A 的属于特征值0的基础解系nnX T AX a ij x i x j 正定．取i 1 j 1。

行列式证明题

选择题：下列哪个选项是证明行列式性质时常用的数学归纳法的前提？A. 假设n阶行列式的性质成立B. 假设n-1阶行列式的性质成立（正确答案）C. 假设n+1阶行列式的性质成立D. 假设所有阶行列式的性质都成立在证明行列式的某一性质时，若采用反证法，首先假设的是：A. 该性质在所有情况下都成立B. 该性质在某一特定情况下不成立（正确答案）C. 该性质在所有情况下都不成立D. 该性质与已知事实相矛盾下列哪个选项是证明行列式按行（列）展开定理时常用的方法？A. 代数法B. 数学归纳法（正确答案）C. 反证法D. 几何法在证明行列式的转置性质时，主要利用的是行列式的哪个基本性质？A. 交换两行（列）行列式变号B. 某一行（列）的元素全为0，行列式的值为0C. 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面D. 行列式与它的转置行列式相等（正确答案）下列哪个选项不是证明行列式性质时常用的技巧？A. 利用行列式的定义B. 通过行列式的运算性质进行化简C. 引入辅助行列式进行证明D. 直接使用行列式的展开定理进行计算（正确答案）在证明行列式的拉普拉斯展开定理时，主要采用的是哪种方法？A. 代数法结合数学归纳法（正确答案）B. 反证法C. 几何法D. 直接计算法下列哪个选项是证明行列式某一性质时，可能需要构造的反例？A. 一个满足该性质的行列式B. 一个不满足该性质的行列式（正确答案）C. 一个与该性质无关的行列式D. 一个任意构造的行列式在证明行列式的某一运算性质时，若采用代数法，主要步骤不包括：A. 根据行列式的定义进行展开B. 对展开后的式子进行化简C. 利用已知的行列式性质进行推导D. 直接得出结论而不进行任何推导（正确答案）下列哪个选项是证明行列式某一性质时，引入辅助行列式的目的？A. 使证明过程更加复杂B. 使证明过程更加直观易懂（正确答案）C. 与原行列式无关D. 增加证明的难度。

行列式试题库1

一．判断题（易）1、n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ )．答案:×（较容易）2、62162100000000λλλ=λλλ．（）．答案:×(较容易）3、82182100000000k k k k k k=．（）．答案： √（较容易)4.若方阵A 的各行元素之和为零,则0A = （）答案： √ 二．填空题（中等）1。

设1234577733324523332246523=A ，313233++=A A A _________，3435+=A A ________答案:0，0(中等）2。

1234243141321432=D , 求11213141+++A A A A =________ 答案：0 （较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1，1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3，－2，0,1，则=D ________。

答案：3（较容易）4.db acd b c a bd c a b d a c = ．答案:0（较容易)5.yx yx x y x y x y x x y x 323222 +++++=．答案:)(2y x xy +-(较容易）6。

6217213424435431014327427246-=答案：510294⨯-（中等）7．已知三阶行列式 987654321 =D ,它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ），则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为．答案： 987321 c b a(中等)8．设行列式30402222,07005322D =-- 则第四行各元素余子式之和的值为 . 答案：–28（较容易）9．111100111100 y y y x x x --= ．答案：22x y（中等)10．行列式1111111111111111--+---+---x x x x = ．答案：4x（较容易）11．当λ= 或μ= 时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解．答案：1，0（较容易)2. 设222233331111a bcdD a b c da b c d =，则D=______________答案：()()()()()()d c d b d a c b c a b a ------（较容易）13。

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1-513
113 4
112 3
1•设 2 2…
2.计算元素为a” = |i —j
1
的n阶行列式
01A n -1
1 A冋一］
1^1 =
1
TH
0 A n ?3
—2
由最后一和起，每行减刖一行1-1 A
c
-1
解.IvJ
n - J
1 M -
2 A 0
lw
J_
1
1 A-1
1 A A
粕一
1
0-2 A A -1
每列力口錦鬥列M O0 A A =1-1严严0?・1) M M 0-2
00A0-1
X] +1Xj 2A
D x=
x2 + 1+ 2A总+麗
A A A A
3.计算n阶行列式心+1召+ 2A
(n 2)
是| A|中元素a ij的代数余子式
: -5 1 3 1-60
: 1 3 4 1 02
: 123 1 0 1 解.A41 + A42 + A3 + A44[ 1 1 1 0 0-6
计算Al l + Al2 + A43 + Al4 =, 其中A j 1,2, 3, 4)
十1严
2
解.当<■ >;
Xj + 2 A 丑+用
1 齐+ 2
A 巧+肚
D n 二 % + 2 A
:
冷亠2 A
巧+ w
A A
A A
上 A
A A
心+2
A 忌+用 +
-. 每+ 2
A
珂 Xj + 3
A 耳i 十挖
工！ 2 +3 A
盖i +
曲
% 心十？
A 兀2 +超
总2
^ + 3 A 工2 +
用
M
M M
M M
M M M
M M
% 珀+3
A
+ 珀2
兀+ 3 A
心+用
1咼
x : + 3
A 卞1十
肚
1 2
+ 3 A 简十抡
1 x
2 屯十H A x 2 + w
1 2 z 2 +3 A x 2 + ?s
M M
M M M
M M M M M
+ 1為
心+孑 A 码* + 1 2
4+3 A 心+冲
1可
©十3 A H ］十
圧
1 r a 亏+3 A Jt 3 + W M M M
M M
1 0
心+了 A
可十1 画十2
4.设a , b , c 是互异的实数,证明:
1
A 咼十肚 1
A 工2十肚
M M M M
M
1
A
X, +w
1 7]
3 A 雄i 十耳
1 x
2
3 A 心+血 M M M M M
1 x #
3 A
兀 j *
冲
=0
的充要条件是a + b + c =0.
证明：考察范德蒙行列式：
=(a 一对o —
=-i ■.■:•■ ：i J■ i . ■■■ ■ ； i .
行列式即为y2前的系数•于是
=:...■:二一:.. - •-
=0
所以的充要条件是a + b + c = 0.
5.证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零
证明：丨’1I （n为奇数）.所以| A = 0.
111111
/(0) =353=0/(!) =2 2 2二0
证明：-1-1-1 512
证明：可以找出数(0 < < 1), 使'(提示：使用罗尔定理).
由罗尔定理，存在数(0 < < 1), 使■' ■- ■-.
7.试证：如果n次多项式■'- 1■ 一： ' 丁「对n+ 1个不同的x值都是零，则此多项式恒等于零.(提示：用范德蒙行列式证明)
证明：假设多项式的n + 1个不同的零点为x o, X i,…,x n.将它们代入多项式，得关于C方程组
= 0
q斗=o
系数行列式为X0, X1,…,X n的范德蒙行列式，不为0.所以
= Cj = A = = 0
刊力=1
8•设°
3x2\t求F®
K 2 X1凤＞）
二
12x3x a2x1解.026J=p
3
X 孟
1 X『 1 7 F 2r 弓J?2z0 x 2x22?0 1 2x
1 3J0 1 3J0 1 3x
1 X X3I 2??0 1 2r =
0 0 x。