相似三角形的判定(复习)
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相似三角形的判定（复习）
四皓中学 王化贤
知识回顾
1、什么是相似三角形？
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
2、学过的判定两个三角形相似的方法有哪些？ （1）定义：
（2）预备定理：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或 延长线），所得三角形和原三角形相似。
（3）三组边的比对应相等的两个三角形相似。
∠∠AA´´==112200ºº，，AA´´BB´´==33厘厘米米，，AA´´CC´´==66厘厘米米；； ⑵⑵AABB==44厘厘米米，，BBCC==66厘厘米米，，AACC==88厘厘米米，，
AA´´BB´´==1122厘厘米米，，BB´´CC´´==1188厘厘米米，，AA´´CC´´==2244厘厘米米
3.如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ， 且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
A
E F
B
C
D
4.判断下列说法是否正确 （1）两个顶角相等的等腰三角形是相似三角形 （√ ） （2）两个等腰直角三角形是相似三角形（√ ） （3）底角相等的两个等腰三角形是相似三角形 （√ ）
（4）两个直角三角形一定是相似三角形（ ×） （5）一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能 相似（×）
思考其他证明方法？
∵
D
,
11 已知△ABC 中∠C＝90°，D、E分别是AB、 AC上的点且AD·AB= AE·AC
求证：ED⊥AB
B
D
A
EC
12.如图AB=4,AC=5,CD=3,BE=6 求证： △ADE∽△ABC
D
C
E
A
B
直角三角形相似的模糊辨析
❖ 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90, AC=a,BC=b, 当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，
Ａ
Ｄ ●
Ｂ
Ｃ
9.已知：如图A`B`∥ AB，B`C`∥ BC
求证： △A`B`C`∽ △ ABC
分析:三角形相似需要等角和比例线段
平行线能给相似提供哪些条件? A 你想选用哪种判定方法?
A`
证明：∵ A`B`∥ AB
O
C`
B`
B
C∴∠A`B`O=∠ABO,
A`B ` AB
=
OB` OB
同理:∠C`B`O=∠CBO,B`C`= OB`
AP
解：①∵∠A=∠A
B
C
∴当∠1=∠B时 ，△ACP∽△ABC
②∵∠A=∠A
∴当AC:AP = AB:AC 时，△ACP∽△ABC
变式1
如图，已知在△ABC中，P是AB上一点，连结CP， 添加一个什么条件，使△ACP∽△ ABC？写出所 有的可能，并选择其中一个结论说明理由．
Ａ
Ｐ
Ｂ
Ｃ
变式2
如图，已知在△ABC中，Ｄ是AＣ上一点，过 Ｄ画线段ＤＥ使Ｅ在△ABC的边上，并且点Ｄ、 Ｅ和△ABC的一个顶点组成的小三角形与 △ABC相似，你能想出一种不同的画法？
（6）有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形（×） （7）有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形（√） （8）所有的正三角形都相似（ √）
（9）两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似（×）
55..依依据据下下列列各各组组条条件件，，判判定定△△AABBCC与与△△AA´´BB´´CC´´是是不不是是相相似似，，并并 说说明明为为什什么么：： ⑴⑴∠∠AA==112200ºº，，AABB==77厘 厘米米，，AACC==1144厘厘米米，，
6．如图3：若∠1=∠C，则△ ∽△___
A
D 1
C 图3
BB
A
D
C
图4
7．在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上 的高，图中相似的三角形有：__________.
8.已知△ABC,P是AB边上的一点,连结CP.
A
①∠1满足什么条件时 , △ACP∽△ABC ？
P
② AC满足什么 条件时 , △ACP∽△ABC ？
(1)△ABC∽△CDB?
A
(2)△ABC∽△BDC?
C
(3)图中的两个三角形相似？
Tips:
如果结论中已经出现了“∽” 符号，则隐含了对应线段；如果
B
D
只是用文字表示，则对应关系没
有给出，需要自行找对应。
直角三角形相似的提高运用
❖ 已知：如图，AC⊥BD于C, AB·EC=BA C·DE. 求证:(1)DF⊥AB;(2)EF·DF=BF·AF.
(4)两个角对应相等的两个三角形相似 （5）两边对应成比例并且夹角对应成比例的两个三角形相似
3.相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
我能行
知识运用
1.根据条件指出下列图形中的相似三角形，并 写出理由。
A
B
E
A D
C
D
条件:∠B=∠D
B
C
∠ACD=∠ABC
A 2D 1
B
四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°， BD⊥DC
1、要准确地把等 积式变成有用的比 例式
F E
2、能由比例式判
断出相似，也要能
由相似得到有用的 B
C
D
比例式
判定定理2、3的提高运用
❖ 如图，在△ABC中，∠C=60°，BE⊥ AC于E， AD⊥ BC于D。求证： ∠ CED＝ ∠ CBA
1、通过相似三角形证对应 角相等是获得等角的一条 重要途径 2、根据要证相等的角，找 到所在的一组相似三角形 3、利用判定2、3关键要 找准对应边，并熟悉对应 边成比例的两种表达方式
C
2、如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 BG交对角线AC于E，交AD于F，则：
(1)图中与△AEF相似的三角形是_△__C__E_B_．
(2)图中与△ABC相似的三角形是_△__C_D__A_．
G
A来自百度文库
F
D (3)图中与△GFD相似的
E
B
C
三角形是_△__G__B_C_、__△__B_F_A_．
BC OB
还证有 明其方法他吗的？∴∴∠△AA``BB`C`C`=`∽∠△ABCA,BCAA`BB `
=
B`C` BC
10.如图 ，D、E、F分别是△ABC的三边的中点.
求证: △ DEF∽△ABC.
A F
分析:1找两对角对应相等
2.三边对应成比例 E 3.两边对应成比例且 夹角相等.
B
D
C
证
明
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四皓中学 王化贤
知识回顾
1、什么是相似三角形？
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
2、学过的判定两个三角形相似的方法有哪些？ （1）定义：
（2）预备定理：平行于三角形一边的直线，和其他两边（或 延长线），所得三角形和原三角形相似。
（3）三组边的比对应相等的两个三角形相似。
∠∠AA´´==112200ºº，，AA´´BB´´==33厘厘米米，，AA´´CC´´==66厘厘米米；； ⑵⑵AABB==44厘厘米米，，BBCC==66厘厘米米，，AACC==88厘厘米米，，
AA´´BB´´==1122厘厘米米，，BB´´CC´´==1188厘厘米米，，AA´´CC´´==2244厘厘米米
3.如图，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ， 且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？
A
E F
B
C
D
4.判断下列说法是否正确 （1）两个顶角相等的等腰三角形是相似三角形 （√ ） （2）两个等腰直角三角形是相似三角形（√ ） （3）底角相等的两个等腰三角形是相似三角形 （√ ）
（4）两个直角三角形一定是相似三角形（ ×） （5）一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能 相似（×）
思考其他证明方法？
∵
D
,
11 已知△ABC 中∠C＝90°，D、E分别是AB、 AC上的点且AD·AB= AE·AC
求证：ED⊥AB
B
D
A
EC
12.如图AB=4,AC=5,CD=3,BE=6 求证： △ADE∽△ABC
D
C
E
A
B
直角三角形相似的模糊辨析
❖ 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90, AC=a,BC=b, 当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，
Ａ
Ｄ ●
Ｂ
Ｃ
9.已知：如图A`B`∥ AB，B`C`∥ BC
求证： △A`B`C`∽ △ ABC
分析:三角形相似需要等角和比例线段
平行线能给相似提供哪些条件? A 你想选用哪种判定方法?
A`
证明：∵ A`B`∥ AB
O
C`
B`
B
C∴∠A`B`O=∠ABO,
A`B ` AB
=
OB` OB
同理:∠C`B`O=∠CBO,B`C`= OB`
AP
解：①∵∠A=∠A
B
C
∴当∠1=∠B时 ，△ACP∽△ABC
②∵∠A=∠A
∴当AC:AP = AB:AC 时，△ACP∽△ABC
变式1
如图，已知在△ABC中，P是AB上一点，连结CP， 添加一个什么条件，使△ACP∽△ ABC？写出所 有的可能，并选择其中一个结论说明理由．
Ａ
Ｐ
Ｂ
Ｃ
变式2
如图，已知在△ABC中，Ｄ是AＣ上一点，过 Ｄ画线段ＤＥ使Ｅ在△ABC的边上，并且点Ｄ、 Ｅ和△ABC的一个顶点组成的小三角形与 △ABC相似，你能想出一种不同的画法？
（6）有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形（×） （7）有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形（√） （8）所有的正三角形都相似（ √）
（9）两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似（×）
55..依依据据下下列列各各组组条条件件，，判判定定△△AABBCC与与△△AA´´BB´´CC´´是是不不是是相相似似，，并并 说说明明为为什什么么：： ⑴⑴∠∠AA==112200ºº，，AABB==77厘 厘米米，，AACC==1144厘厘米米，，
6．如图3：若∠1=∠C，则△ ∽△___
A
D 1
C 图3
BB
A
D
C
图4
7．在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上 的高，图中相似的三角形有：__________.
8.已知△ABC,P是AB边上的一点,连结CP.
A
①∠1满足什么条件时 , △ACP∽△ABC ？
P
② AC满足什么 条件时 , △ACP∽△ABC ？
(1)△ABC∽△CDB?
A
(2)△ABC∽△BDC?
C
(3)图中的两个三角形相似？
Tips:
如果结论中已经出现了“∽” 符号，则隐含了对应线段；如果
B
D
只是用文字表示，则对应关系没
有给出，需要自行找对应。
直角三角形相似的提高运用
❖ 已知：如图，AC⊥BD于C, AB·EC=BA C·DE. 求证:(1)DF⊥AB;(2)EF·DF=BF·AF.
(4)两个角对应相等的两个三角形相似 （5）两边对应成比例并且夹角对应成比例的两个三角形相似
3.相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
我能行
知识运用
1.根据条件指出下列图形中的相似三角形，并 写出理由。
A
B
E
A D
C
D
条件:∠B=∠D
B
C
∠ACD=∠ABC
A 2D 1
B
四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°， BD⊥DC
1、要准确地把等 积式变成有用的比 例式
F E
2、能由比例式判
断出相似，也要能
由相似得到有用的 B
C
D
比例式
判定定理2、3的提高运用
❖ 如图，在△ABC中，∠C=60°，BE⊥ AC于E， AD⊥ BC于D。求证： ∠ CED＝ ∠ CBA
1、通过相似三角形证对应 角相等是获得等角的一条 重要途径 2、根据要证相等的角，找 到所在的一组相似三角形 3、利用判定2、3关键要 找准对应边，并熟悉对应 边成比例的两种表达方式
C
2、如图，G是ABCD的CD延长线上一点，连结 BG交对角线AC于E，交AD于F，则：
(1)图中与△AEF相似的三角形是_△__C__E_B_．
(2)图中与△ABC相似的三角形是_△__C_D__A_．
G
A来自百度文库
F
D (3)图中与△GFD相似的
E
B
C
三角形是_△__G__B_C_、__△__B_F_A_．
BC OB
还证有 明其方法他吗的？∴∴∠△AA``BB`C`C`=`∽∠△ABCA,BCAA`BB `
=
B`C` BC
10.如图 ，D、E、F分别是△ABC的三边的中点.
求证: △ DEF∽△ABC.
A F
分析:1找两对角对应相等
2.三边对应成比例 E 3.两边对应成比例且 夹角相等.
B
D
C
证
明
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