13第8章4卷积拉氏变换的应用.

则
L[y] sY (s) y(0) sY (s) 1
L[y ] s2Y (s) s 1y(0)
对原方程的两边 进行拉氏变换得到
s2Y (s) s 1 4sY (s) 4 3Y (s) 1
s1 (s2 4s 3)Y (s) s 5
1
Y (s)est
(s2 6s 6) est (s 3)(s 1)2
满足初始条件 y(0) 0, y(0) 1 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y ] sY (s) y(0)
L[y ] s2Y (s)1y(0)
对原方程的两边进行拉氏变换得到
s2Y (s) 1 3sY (s) 2Y (s) es 1
(s2
3s
s
2)Y (s)
1
es
s
Y (s) 1 1 es es es
2i
2i
2i
7
例5 求微分方程 y 3 y3 y y 1
满足初始条件 y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y] sY (s)
L[y ] s2Y (s) L[y ] s3Y (s)
进行拉氏变换得到
Y (s)
1 s(s
求其逆变换
s 1 s 2 2s s 1 2(s 2)
y(t ) e t e2t [ 1 e(t1) 1 e2(t1) ]H (t 1)
2
2
4
172页10(1) 求微分方程 y 4 y3 y et
满足初始条件 y(0) 1, y(0) 1 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y ] s2Y (s) sy(0) y(0)
s2Y (s) s 2
进行拉氏变换得到
s2Y (s) s 2
Y (s)
4 s2 1
5s s2
4
L[cos kt L[ sin kt
] ]
s2 s2
(s2
s k2 k k2
1)Y
(
s)
4 s2 1
5s s2
4
s
2
Y
(s)
s2
2
1
§8.4 拉氏变换的应用
1.线性性质 L[a f (t) ] a L[f (t)] L[f (t) g(t)] =L[f (t)]+L[g(t)]
2. 微分性质 设 L[f (t)] F (s) Re(s) c
则 L[f (t) ] s L[f (t)] f (0) sF (s) f (0) L[f (t)] s L[ f (t)] f (0) s2 F (s)sf (0) f (0) L[f (t) ] s L[f (t ) ] f (0)
两Yy(边(tLs))进[eea行[stLc(t2os[拉(s(ctssko氏1tse]变k1(11t)(换i]ei2s))sst(2ti]2s)ssYa2s2)((21tas1ss)i)kkee2[21(s2(2t1s(siYs)it1)(2s1))ti的ee)2st2t二Y]e(级ists1)极ie点(its2ss(tse11t)1s21in)ii1t
满足初始条件 y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y] sY (s)
L[y ] s2Y (s) L[y ] s3Y (s)
对原方程的两边进行拉氏变换得到
s3Y (s)3s2Y (s) 3sY (s)Y (s) 6
6 Y (s) (s 1)4
s3F (s) s2 f (0)sf (0) f (0)
L[f (4) (t ) ] s L[f (3) (t )] f (3) (0)
s4F (s) s3 f (0)s2 f (0) sf (0) f (0) 1
例1 求微分方程 y 2 y 3 y et
满足初始条件 y(0) 0, y(0) 1 的解
求其逆变换
s1
Y (s)est
6e s t (s 1)4
的4级极点 s 1
y(t)
6 3!
L[y ] s2Y (s) 2y(0)
两边 进行拉氏变换得到 s2Y (s) 2 2sY (s) Y (s) 0
Y (s)
(s
2 1)2
Y (s)est
2e s t (s 1)2
的孤立奇点 s 1
y(t) [2est ] 2te t
s1
3
172页10(2) 求微分方程 y 3 y2 y H (t 1)
t
s
3)
s1
求其逆变换
的孤立奇点 s 1,1,3
y(t) 1 e t 3 e t 1 e3t
4 88
2
练习172页10(6) 求微分方程 y 2 y y 0
满足初始条件 y(0) 0, y(0) 2 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y] sY (s) y(0)
1)3
Y(s
s3Y (s) )est
s(
3
est s
s2Y 1)3
(s) 3sY (s)Y ( 的孤立奇点 s
s) 1 s
0, 1
y(t )
1
1 2!
[s1e s t]
s1
1
1 2
2 2st s2t 2 s3
est s1
1 1 (2 2t t2 ) et 2
8
练习 求微分方程 y 3 y3 y y 6et
s1 求的其孤逆立变奇换点 s 3, 1
y(t)
3 e3t[s2 4
6s 6 s3
est] s1
3 4
e 3 t
7 4
e t
t et 25
例3求微分方程 y y 4sin t 5cos 2t
满足初始条件 y(0) 1, y(0) 2 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y ] sY (s) y(0)
L[y ] s2Y (s)1y(0)
对原方程的两边进行拉氏变换得到
s2Y (s) 1 2sY (s) 3Y (s) 1
s1 (s2 2s 3)Y (s) 1
1
Y
பைடு நூலகம்
(
s)e
s
t(
s
(s 1)(
2) es s 1)(
s s2 4
y(t) 2sin t cos 2t6
172页10(3) 求微分方程 y 2 y2 y 2et cos t
满足 初始条件 y(0) 0, y(0) 0 的解
解 设 y y(t), L[y] Y (s)
则
L[y] sY (s) y(0)
L[y ] s2Y (s) sy(0) y(0)