任意角的三角函数(第二课时)PPT课件
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6.2 任意角的三角函数课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第六章三角函数
A．1
B．－1 C．2
D．－2
【解析】 原式＝ 23× 3－1×0＋ 33× 23＝32＋12＝2，故选 C.
3．已知角 θ 终边上一点的坐标为(3a，4a)(a＜0)，则sintaθn－ θc－os1θ＝
( A)
A．－35
B．－45
3 C.5
4 D.5
【解析】 因为角 θ 终边上一点的坐标为(3a，4a)(a＜0)，令 a＝－1，
D．cosC＝1
对边
【解析】 ∵△ABC 为直角三角形，BC＝3，由勾股定理得 sinC＝斜边
＝BACB＝ 36，cosC＝斜邻边边＝ABCC＝ 33，tanC＝邻对边比＝AABC＝ 22，cosC≠1，
故选 A.
6．已知 α 是第四象限角，|ssiinnαα|＋|ccoossαα|＋|ttaannαα|＝( B )
6 3
＝ 2，
cos(A＋C)＝cos90°＝0，故选 C.
【融会贯通】 在△ABC 中，已知 AC＝ 6，BC＝ 2，B＝90°，
则下列等式正确的是( C )
A．sinA＝
2 2
B．cosA＝
6 2
C．tanA＝
2 2
D．cos(A＋B)＝1
对边
【解析】 ∵△ABC 为直角三角形，由勾股定理 AB＝2，sinA＝斜边＝
【解】 因为 sinθ·tanθ＜0，则有 sinθ＞0 且 tanθ＜0，或 sinθ
＜0 且 tanθ＞0.
① 当 sinθ＞0 时，θ为第一、二象限的角或终边落在 y 轴正半轴上，
当 tanθ＜0 时，θ为第二、四象限的角，
所以 θ 为第二象限的角；
② 当 sinθ＜0 时，θ为第三、四象限的角或终边落在 y 轴负半轴上， 当 tanθ＞0 时，θ为第一、三象限的角，
单位圆与任意角的三角函数课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
已知任意角终边上除原点外的另外一点 , ，求角的正弦函数值和余弦函数值。
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标
=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习
1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标
=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习
1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也
1.2.1任意角的三角函数课件
小结： 小结：
（1）任意角的三角函数的定义； ）任意角的三角函数的定义； （2）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； ）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； （3）诱导公式一及其应用； 公式一及其应用； ）诱导公式一及其应用 （4）体会定义过程中体现的数形结合的思想 ）体会定义过程中体现的数形结合的思想.
-
(+)
(+ )
( )
-
ycos r
y a = tan x
求证：当且仅当下列不等式组成立时， 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 为第三象限角. 角 θ 为第三象限角
证明： 证明： 因为① 成立,所以 因为①式sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 或第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上； 又因为② 成立， 又因为②式 tan θ > 0 成立，所以角θ 的终边可能位于 第一或第三象限. 第一或第三象限 因为①②式都成立， 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立，所以角θ 的终边只能位于第三象限 ①②式都成立 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
探究： 探究：
1.三角函数的定义域 三角函数的定义域 三角函数
sin α cos α tan α
定义域
π α α ≠ kπ + ,k ∈ Z 2
R R
2.三角函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限的符号
(+ ) ( )
（+ ） ( )
( )
-
(+ )
( )
-
(+)
-
任意角三角函数的定义(二)课件--2025学年高一上学期中职数学人教版(2021)基础模块上册
'
10
10
4
(4)因为
是第三象限角，所以：
2 ，可知：
3
3
3
10
tan
0
3
实例剖析
例2：设 sin 0且tan 0，确定 是第几象限角 .
解：因为 sin 0 ，所以 的终边在第三、四象限，或者y轴负半
轴上；又因为 tan 0 ，所以 的终边在第一、三象限.
比值
叫做角 的正切.记作 tan
x
P(x,y)
x
三角函数
定义域
sin
cos
tan
R
R
{ |
2
k , k Z }
O
M X
新知探究
任意角三角函数在各象限内的符号：
第一象限：
sin ＞ 0, cos ＞ 0, tan＞ 0,
第二象限：
sin ＞ 0, cos＜0,
意得：
解得：
3a 9 0
a 2 0
2 a 3
实例剖析
例1：确定下列各值的符号。
(1) cos260 ；
(3) tan(-67220’)；
(2) sin( − ) ；
3
(3)tan( 10)
3
解:（1）因为260是第三象限角，所以cos260<0;
(2)因为 是第四象限角，所以 sin( ) 0 ;
因此，同时满足 sin 0且tan 0 的 是第三象限角 .
04
归纳总结
任意角三角函数在各象限内的符号：
记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
10
10
4
(4)因为
是第三象限角，所以：
2 ，可知：
3
3
3
10
tan
0
3
实例剖析
例2：设 sin 0且tan 0，确定 是第几象限角 .
解：因为 sin 0 ，所以 的终边在第三、四象限，或者y轴负半
轴上；又因为 tan 0 ，所以 的终边在第一、三象限.
比值
叫做角 的正切.记作 tan
x
P(x,y)
x
三角函数
定义域
sin
cos
tan
R
R
{ |
2
k , k Z }
O
M X
新知探究
任意角三角函数在各象限内的符号：
第一象限：
sin ＞ 0, cos ＞ 0, tan＞ 0,
第二象限：
sin ＞ 0, cos＜0,
意得：
解得：
3a 9 0
a 2 0
2 a 3
实例剖析
例1：确定下列各值的符号。
(1) cos260 ；
(3) tan(-67220’)；
(2) sin( − ) ；
3
(3)tan( 10)
3
解:（1）因为260是第三象限角，所以cos260<0;
(2)因为 是第四象限角，所以 sin( ) 0 ;
因此，同时满足 sin 0且tan 0 的 是第三象限角 .
04
归纳总结
任意角三角函数在各象限内的符号：
记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
三角函数的概念(第二课时)+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
新高考人教版(2019)必修第一册
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一 情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =
那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6
解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645
sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9
2
（2）cos cos( 2 ) cos
sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而 的终边在 x 轴上，所以 tan 0
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：
（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为
4
是第四象限角，所以
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一 情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =
那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6
解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645
sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9
2
（2）cos cos( 2 ) cos
sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而 的终边在 x 轴上，所以 tan 0
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：
（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为
4
是第四象限角，所以
任意角(第二课时)象限角及其表示(课件)高一数学同步备课(北师大版2019 必修第二册)
相同的角所组成的集合
3.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角
数学抽象
数学抽象
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奥运会赛场上，跳水运动员的优美动作引来阵阵喝彩
• 单击此处编辑母版文本样式
声．跳水
– 第二级
• 第三级
(Diving)是一项优美的水上运动，它是从高处通过空中转
– 第四级
» 第五级
体，并以特定动作入水的运动．
角的终边在第三象限角,所以945°角是第三象限角；
(3)因为−950°12’=129°48′+ −3 ×360°，而129°48′角的终边在第
二象限角,所以−950°12’角是第二象限角.
单击此处编辑母版标题样式
思考：图3中，30°，390°和-690°三个角有什么关系？
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第三级
－360°<α<360°，－360°<β<360°；
– 第四级
(2)写出终边相同的角：边界线为射线时，终边相同的角为α＋k·
360°，β＋
» 第五级
k·360°，k∈Z；边界线为直线时，终边相同的角为α＋k·180°，β＋
k·180°，k∈Z；
(3)写出角的集合：按逆时针旋转规则，从小到大写出角的集合．
» 第五级
+ 360° ∙ < < 270° + 360° ∙ ，k ∈ Z}
或 {|(−180° + 360° ∙ < < −90° + 360° ∙ ，k ∈ Z}
第四象限角：{|270° + 360° ∙ < < 360° + 360° ∙ ，k ∈ Z}
1.2.1任意角的三角函数(2)
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例1 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672 ) = tan(48 2 360 ) tan 48， 而 48是第一象限角，所以 tan(672 ) 0 ； sin 0 . （3）因为 是第四象限角，所以 4 4
y
T M O P
α的终边
y
A(1, 0) x
M A(1, 0) O PT
x
α的终边
因 P(x，y)，所以线段OM的长度为 | x | ， 线段MP的长度为 | y | .
|MP|=|y|=|sinα|;
|OM|=|x|=|cosα|
思考:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的 取值与P点的坐标一致? 以坐标轴的方向来规定OM,MP的方向，以 使他们与P点的坐标联系起来。
p15练习(7)题
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
p17练习(2)题
cos x x x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、 AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线 、正切线．
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例1 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672 ) = tan(48 2 360 ) tan 48， 而 48是第一象限角，所以 tan(672 ) 0 ； sin 0 . （3）因为 是第四象限角，所以 4 4
y
T M O P
α的终边
y
A(1, 0) x
M A(1, 0) O PT
x
α的终边
因 P(x，y)，所以线段OM的长度为 | x | ， 线段MP的长度为 | y | .
|MP|=|y|=|sinα|;
|OM|=|x|=|cosα|
思考:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的 取值与P点的坐标一致? 以坐标轴的方向来规定OM,MP的方向，以 使他们与P点的坐标联系起来。
p15练习(7)题
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
p17练习(2)题
cos x x x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、 AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线 、正切线．
任意角的三角函数PPT优秀课件
2.确定下列三角函 符数 号值 ：的
(1)sin256;
(2)cos(406);
23
(3)tan .
3
3.角 的终边 P (上 m ,5)且 ,有 co 一 sm (点 m 0),
13
求 sin co 值 s.
小结： 1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域； 3．正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号．
1．2．1任意角的三角函数（1）
问题1:你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数(正弦, 余弦,正切)的定义吗?
在RtPO中 M
如何 将POM 放到平面直角 坐标系中？
sin PM
P
OP
co sOM OP
tanPM OM
O
M
锐角三角函数
问题2：将POM 放到平面直角坐， 标系中
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
(1)cos 7 ; (2)sin4(6)5; (3)tan11 .
12
3
解： (1) 7 是第二象限角 co， s7所 0.以
12
12
(2) 因为 4652360225,即465是第三象限角，所 sin(465)0.
(3) 因为 1125,即11 是第四象 ,所限 以角
中职数学4.3 任意角的三角函数课件
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 已知cos＞0, 且tan ＜0, 试确定角 是第几象限角．
解 因为cos＞0, 所以角 可能是第一或第四象限角, 也
可能终边在 x 轴的正半轴上.
又因为tan＜0，所以角 可能是第二或第四象限角． 故满足cos＞0且tan＜0的角 是第四象限角．
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 判断下列各三角函数值的符号.
解 (1) 因为−325°＝35°−360°，所以－325°角是第一象限角， 故sin(−325°)＞0； (2)
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.3.2 单位圆与三角函数
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 判断下列三角函数值的符号：
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______.
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 求90°角的正弦、余弦和正切. 解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为(0,1) ， 所以 sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.
苏教版高中数学必修第一册7.2.1任意角的三角函数【授课课件】
股定理得－122＋y2＝1，y<0，
7.2.1 任意角的三角函数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
解得 y＝－ 23， 所以 P－12，－ 23．因此 sin α＝－123＝－ 23， cos α＝－112＝－12，tan α＝－－2213＝ 3．
第7章 三角函数
7.2 三角函数概念 7.2.1 任意角的三角函数
7.2.1 任意角的三角函数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．理解三角函数的定义，会使用定义 求三角函数值．(重点、易错点) 2．会判断给定角的三角函数值的符 号．(重点) 3．会利用三角函数线比较两个同名三 角函数值的大小．(难点)
当 α 的终边在第四象限时，在 α 终边上取一点 P′(1，－ 3)，则 r＝2，
所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3．
7.2.1 任意角的三角函数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2．将本例(1)的条件“在直线 y＝－2x 上”，改为“过点 P(－ 3a,4a)(a≠0)”，求 2sin α＋cos α．
[解] 当 α 的终边在第二象限时，在 α 终边上取一点 P(－1，2)，
则 r＝ －12＋22＝ 5，
所以
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝－51＝－
55，tan
α＝－21＝－2．
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
1.2.1 任意角的三角函数2ppt
P(x,y)
y
rห้องสมุดไป่ตู้
P 1
O
x
复习巩固
2.三个三角函数的定义域
三角函数 定义域
sin
cos
tan
{ | k , k Z } 2
R R
复习巩固
3.三角函数值的符号问题
y
正弦为正 正切为正
三角函数全为正
x
o
余弦为正
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
新知探究 终边相同的角的三角函数
9 ; （5）cos 4
11 tan( ;（6） ) 6
.
3.写出角的终边在图中阴影区域内 的角的集合(不包括边界).
作业：
P20-21：4，7，
9：（1）（2）
《学海导航》第三课时
3.在求任意角的三角函数值时，上述公 式有何功能作用？
例1. 求证：当且仅当不等式组
sin 0 成立时，角θ 为第三象限角. tan 0
例2.确定下列三角函数值的符号. （1）cos 250 ;（2）sin( ) ;（3）tan(672 ) ;
4
（4） tan3
1.终边相同的角的同名三角函数值相等.
k Z
sin( 2k ) sin
公式一：
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
k Z
2p
新知探究
1.若sinα =sinβ ，则角α 与β 一定相 同吗？
2p
2.函数的对应形式有一对一和多对一两 种，三角函数是哪一种对应形式？
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 1.2.1 任意角的三角函数 2（新人教A版）
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教学PPT精品课件
概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中 线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察 相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰 〰〰 〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4
∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用 【例 3】 在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状． 思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式 解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱 数学运算核心素养.
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于第一或第三象限。 因为① ②式都成立，所以角θ的终边只能位于第
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x
交换三个比值的前后项是否可以得出三个 新的三角函数?
余切cotα＝x/y，
正割secα＝r/x ， 余割cscα＝r/y
2020年10月2日
2
设α是任意角，p（x，y）是角α终边上任 意一点，PO= x2 y2 =r（r＞0），则把下面 六个函数
正弦：sinα=y/r 余弦：cosα=x/r
正切：tanα=y/x 余切：cotα=x/y
正割：secα=r/x 余割：cscα=r/y
统称为角α的三角函数
2020年10月2日
3
三角函数值与P点的位置 无关 角α的三角函数也可以看成 “实数”的函数
注意六个三角函数之间的关系的运用。
2020年10月2日
14
y ++
Y>0 Y>0
x
－0 － Y<0 Y<0
sinα cscα
y
－
+
X<0 －0
X>0 x +
X<0 X>0
cosα sec α
y －+
X<0，y>0 X>0，y>0
x +0 －
X<0，y<0 X>0，y<0
tanα cotα
它是今后角的讨论及确定三角函数值符号的重要依据。
=cos(π/4)= /2
②tan（－11π/6)=tan(π/6－2π)
2020年10月2日
=tan(π/6)= /3
11
例4 证明：充分性，即如果式都成立，那么θ为第三象
限的角。 因为①式sin θ ＜成立，所以角θ的终边可能位于
第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上； 又因为②式tan θ >0成立，所以角θ的终边可能位
（3）课下研究：三角函数值在象限中的变化规律。
20义，三角函数的定义域，以及三 角函数值的符号，其中正确理解三角函数定义是前提；
设α是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)， 它与原点的距离是r(r＞0)，则
sinα＝y/r， cosα＝x/r， tanα＝y/x， cotα＝x/y， secα＝r/x， cscα＝r/y， 叫做α的六个三角函数。
{x|x∈R，且x≠2kπ＋3π/2，k∈Z}
练习P19-1、2
三角函数值在各象限的符号是怎样的？
2020年10月2日
6
y ++
Y>0 Y>0
x
－0 － Y<0 Y<0
sinα cscα
y
－
+
X<0 －0
X>0 x +
X<0 X>0
cosα sec α
y －+
X<0，y>0 X>0，y>0
x +0 －
六个三角函数之间的关系。
三角函数的定义域：
三角函数 sinα cosα
2020年10月2日
tanα
定义域
R R
{x|x/2k,k Z}
4
例题1：已知角α的终边经过点p(2，－3)，求α的六个三 角函数值； 解：
∵ x＝2，y＝－3
∴r＝
＝
∴sinα＝y/r ＝－3/ ＝－3
/ 13
cosα＝x/r＝2 / ＝2 /13
公式一：sin(α ＋ k·360° )＝sinα cos(α ＋ k·360° )＝cosα
tan(α ＋ k·360°)＝tanα
(k∈z)
其它的三个三角函数是否有同样的规律？
2020年10月2日
8
1 运用公式时， k∈z不能省略！ 2 α ＋ k·360°， k∈z表示任意
与 α终边相同的角。 3 此公式表明求任意角的三角函数
2020年10月2日
15
sin(α ＋ k·360° )＝sinα cos(α ＋ k·360° )＝cosα tan(α ＋ k·360°)＝tanα
(k∈z)
作业布置： 习题4.3
7、8、9、10；
2020年10月2日
16
2020年10月2日
17
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
X<0，y<0 X>0，y<0
tanα cotα
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余
割为正,其余均为负
第三象限正切、余切为正，其余为负，第四象限余弦及与之相关
的正割为正，其余皆为负。
2020年10月2日
7
终边相同的同名三角 函数值什么关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等！
∴ tanα＝y/x＝－3/2 cotα＝x/y＝－2/3 secα＝r/x＝ /2 cscα＝r/y＝－ /3
2020年10月2日
5
例2 求函数y＝1/(1＋sinx)的定义域。 解：∵1＋sinx≠0， ∴ sinx≠－1
即角x的终边不能在y轴的负半轴上。
∴x≠2kπ＋3π/2，k∈Z，
故函数的定义域是
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x
交换三个比值的前后项是否可以得出三个 新的三角函数?
余切cotα＝x/y，
正割secα＝r/x ， 余割cscα＝r/y
2020年10月2日
2
设α是任意角，p（x，y）是角α终边上任 意一点，PO= x2 y2 =r（r＞0），则把下面 六个函数
正弦：sinα=y/r 余弦：cosα=x/r
正切：tanα=y/x 余切：cotα=x/y
正割：secα=r/x 余割：cscα=r/y
统称为角α的三角函数
2020年10月2日
3
三角函数值与P点的位置 无关 角α的三角函数也可以看成 “实数”的函数
注意六个三角函数之间的关系的运用。
2020年10月2日
14
y ++
Y>0 Y>0
x
－0 － Y<0 Y<0
sinα cscα
y
－
+
X<0 －0
X>0 x +
X<0 X>0
cosα sec α
y －+
X<0，y>0 X>0，y>0
x +0 －
X<0，y<0 X>0，y<0
tanα cotα
它是今后角的讨论及确定三角函数值符号的重要依据。
=cos(π/4)= /2
②tan（－11π/6)=tan(π/6－2π)
2020年10月2日
=tan(π/6)= /3
11
例4 证明：充分性，即如果式都成立，那么θ为第三象
限的角。 因为①式sin θ ＜成立，所以角θ的终边可能位于
第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上； 又因为②式tan θ >0成立，所以角θ的终边可能位
（3）课下研究：三角函数值在象限中的变化规律。
20义，三角函数的定义域，以及三 角函数值的符号，其中正确理解三角函数定义是前提；
设α是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)， 它与原点的距离是r(r＞0)，则
sinα＝y/r， cosα＝x/r， tanα＝y/x， cotα＝x/y， secα＝r/x， cscα＝r/y， 叫做α的六个三角函数。
{x|x∈R，且x≠2kπ＋3π/2，k∈Z}
练习P19-1、2
三角函数值在各象限的符号是怎样的？
2020年10月2日
6
y ++
Y>0 Y>0
x
－0 － Y<0 Y<0
sinα cscα
y
－
+
X<0 －0
X>0 x +
X<0 X>0
cosα sec α
y －+
X<0，y>0 X>0，y>0
x +0 －
六个三角函数之间的关系。
三角函数的定义域：
三角函数 sinα cosα
2020年10月2日
tanα
定义域
R R
{x|x/2k,k Z}
4
例题1：已知角α的终边经过点p(2，－3)，求α的六个三 角函数值； 解：
∵ x＝2，y＝－3
∴r＝
＝
∴sinα＝y/r ＝－3/ ＝－3
/ 13
cosα＝x/r＝2 / ＝2 /13
公式一：sin(α ＋ k·360° )＝sinα cos(α ＋ k·360° )＝cosα
tan(α ＋ k·360°)＝tanα
(k∈z)
其它的三个三角函数是否有同样的规律？
2020年10月2日
8
1 运用公式时， k∈z不能省略！ 2 α ＋ k·360°， k∈z表示任意
与 α终边相同的角。 3 此公式表明求任意角的三角函数
2020年10月2日
15
sin(α ＋ k·360° )＝sinα cos(α ＋ k·360° )＝cosα tan(α ＋ k·360°)＝tanα
(k∈z)
作业布置： 习题4.3
7、8、9、10；
2020年10月2日
16
2020年10月2日
17
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X<0，y<0 X>0，y<0
tanα cotα
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余
割为正,其余均为负
第三象限正切、余切为正，其余为负，第四象限余弦及与之相关
的正割为正，其余皆为负。
2020年10月2日
7
终边相同的同名三角 函数值什么关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等！
∴ tanα＝y/x＝－3/2 cotα＝x/y＝－2/3 secα＝r/x＝ /2 cscα＝r/y＝－ /3
2020年10月2日
5
例2 求函数y＝1/(1＋sinx)的定义域。 解：∵1＋sinx≠0， ∴ sinx≠－1
即角x的终边不能在y轴的负半轴上。
∴x≠2kπ＋3π/2，k∈Z，
故函数的定义域是