高中数学：命题及其关系、充分条件与必要条件练习

高中数学：命题及其关系、充分条件与必要条件练习

1．命题“若a ＞b ,则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( A )

A ．若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋c

B ．若a ＋c ≤b ＋c ,则a ≤b

C ．若a ＋c ＞b ＋c ,则a ＞b

D ．若a ＞b ,则a ＋c ≤b ＋c

解析：将条件、结论都否定．命题的否命题是“若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋c ”．

2．(江西九江十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

e x ，x ≥－1，ln (－x )，x ＜－1，

则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( B )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件 解析：若x ＝0,则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1,则e x ＝1或ln(－x )＝1,解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件．

3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下,则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( D )

A ．都真

B ．都假

C ．否命题真

D ．逆否命题真

解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下,则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”,这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅,则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题,因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时,可以有a ＞0,即抛物线的开口可以向上,因此否命题也是假命题,故选D.

4．(河南郑州一模)下列说法正确的是( D )

A ．“若a ＞1,则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1,则a 2≤1”

B ．“若am 2＜bm 2,则a ＜b ”的逆命题为真命题

C ．存在x 0∈(0,＋∞),使3x 0＞4x 0成立

D ．“若sin α≠12,则α≠π6”是真命题

解析：对于选项A,“若a ＞1,则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1,则a 2≤1”,故选项A 错误；对于选项B,“若am 2＜bm 2,则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ,则am 2＜bm 2”,因为当m ＝0时,am 2＝bm 2,所以逆命题为假命题,故选项B 错误；对于选项C,由指数函数的图象知,对任意的x ∈(0,

＋∞),都有4x ＞3x ,故选项C 错误；对于选项D,“若sin α≠12,则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6,

则sin α＝12”,该逆否命题为真命题,所以原命题为真命题,故选D.

5．(江西鹰谭中学月考)设f (x )＝x 2－4x (x ∈R ),则f (x )＞0的一个必要不充分条件是( C )

A ．x ＜0

B ．x ＜0或x ＞4

C ．|x －1|＞1

D ．|x －2|＞3

解析：依题意,f (x )＞0⇔x 2－4x ＞0⇔x ＜0或x ＞4.

又|x －1|＞1⇔x －1＜－1或x －1＞1,即x ＜0或x ＞2,而{x |x ＜0或x ＞4}

{x |x ＜0或x ＞2},

因此选C.

6．(山东日照联考)“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( A )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 解析：当m ＜0时,由图象的平移变换可知,函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时,m ≤0,所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件,故选A.

7．(安徽两校阶段性测试)设a ∈R ,则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( D )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：∵当a ≠0时,a 2＝8a ＝－8－a

⇒直线l 1与直线l 2重合,∴无论a 取何值,直线l 1与直线l 2均不可能平行,当a ＝4时,l 1与l 2重合．故选D.

8．(山西太原模拟)已知a ,b 都是实数,那么“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的( D )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：充分性：若2a ＞2b ,

则2a －b ＞1,∴a －b ＞0,∴a ＞b .

当a ＝－1,b ＝－2时,满足2a ＞2b ,

但a 2＜b 2,故由2a ＞2b 不能得出a 2＞b 2,

因此充分性不成立．

必要性：若a 2＞b 2,则|a |＞|b |.

当a ＝－2,b ＝1时,满足a 2＞b 2,但2－2＜21,

即2a ＜2b ,故必要性不成立．

综上,“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件,故选D.

9．(2017·天津卷)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪

⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( A ) A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6,sin θ＜12⇔θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z ,

⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝ ⎛⎭

⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z , ∴“⎪⎪⎪⎪

⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 10．(江西红色七校模拟)在△ABC 中,角A ,B 均为锐角,则“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的( C )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：因为cos A ＞sin B ,所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－B , 因为角A ,B 均为锐角,所以π2－B 为锐角,

又因为余弦函数y ＝cos x 在(0,π)上单调递减,

所以A ＜π2－B ,所以A ＋B ＜π2,

在△ABC 中,A ＋B ＋C ＝π,所以C ＞π2,

所以△ABC 为钝角三角形；

若△ABC 为钝角三角形,角A ,B 均为锐角,

则C ＞π2,所以A ＋B ＜π2,所以A ＜π2－B ,