高中数学：命题及其关系、充分条件与必要条件练习

高中数学：命题及其关系、充分条件与必要条件练习1．命题“若a ＞b ,则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( A )A ．若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ,则a ≤bC ．若a ＋c ＞b ＋c ,则a ＞bD ．若a ＞b ,则a ＋c ≤b ＋c解析：将条件、结论都否定．命题的否命题是“若a ≤b ,则a ＋c ≤b ＋c ”．2．(江西九江十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥－1，ln (－x )，x ＜－1，则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( B )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若x ＝0,则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1,则e x ＝1或ln(－x )＝1,解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件．3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下,则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( D )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下,则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”,这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅,则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题,因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时,可以有a ＞0,即抛物线的开口可以向上,因此否命题也是假命题,故选D.4．(河南郑州一模)下列说法正确的是( D )A ．“若a ＞1,则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1,则a 2≤1”B ．“若am 2＜bm 2,则a ＜b ”的逆命题为真命题C ．存在x 0∈(0,＋∞),使3x 0＞4x 0成立D ．“若sin α≠12,则α≠π6”是真命题解析：对于选项A,“若a ＞1,则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1,则a 2≤1”,故选项A 错误；对于选项B,“若am 2＜bm 2,则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ,则am 2＜bm 2”,因为当m ＝0时,am 2＝bm 2,所以逆命题为假命题,故选项B 错误；对于选项C,由指数函数的图象知,对任意的x ∈(0,＋∞),都有4x ＞3x ,故选项C 错误；对于选项D,“若sin α≠12,则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6,则sin α＝12”,该逆否命题为真命题,所以原命题为真命题,故选D.5．(江西鹰谭中学月考)设f (x )＝x 2－4x (x ∈R ),则f (x )＞0的一个必要不充分条件是( C )A ．x ＜0B ．x ＜0或x ＞4C ．|x －1|＞1D ．|x －2|＞3解析：依题意,f (x )＞0⇔x 2－4x ＞0⇔x ＜0或x ＞4.又|x －1|＞1⇔x －1＜－1或x －1＞1,即x ＜0或x ＞2,而{x |x ＜0或x ＞4}{x |x ＜0或x ＞2},因此选C.6．(山东日照联考)“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当m ＜0时,由图象的平移变换可知,函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时,m ≤0,所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件,故选A.7．(安徽两校阶段性测试)设a ∈R ,则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵当a ≠0时,a 2＝8a ＝－8－a⇒直线l 1与直线l 2重合,∴无论a 取何值,直线l 1与直线l 2均不可能平行,当a ＝4时,l 1与l 2重合．故选D.8．(山西太原模拟)已知a ,b 都是实数,那么“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：若2a ＞2b ,则2a －b ＞1,∴a －b ＞0,∴a ＞b .当a ＝－1,b ＝－2时,满足2a ＞2b ,但a 2＜b 2,故由2a ＞2b 不能得出a 2＞b 2,因此充分性不成立．必要性：若a 2＞b 2,则|a |＞|b |.当a ＝－2,b ＝1时,满足a 2＞b 2,但2－2＜21,即2a ＜2b ,故必要性不成立．综上,“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件,故选D.9．(2017·天津卷)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( A ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6,sin θ＜12⇔θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z ,⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6,k ∈Z , ∴“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 10．(江西红色七校模拟)在△ABC 中,角A ,B 均为锐角,则“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为cos A ＞sin B ,所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B , 因为角A ,B 均为锐角,所以π2－B 为锐角,又因为余弦函数y ＝cos x 在(0,π)上单调递减,所以A ＜π2－B ,所以A ＋B ＜π2,在△ABC 中,A ＋B ＋C ＝π,所以C ＞π2,所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形,角A ,B 均为锐角,则C ＞π2,所以A ＋B ＜π2,所以A ＜π2－B ,所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ,即cos A ＞sin B . 故“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件．11．设向量a ＝(sin2θ,cos θ),b ＝(cos θ,1),则“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分__条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：a ∥b ⇔sin2θ＝cos 2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝12,所以“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分条件．12．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0,条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 . 解析：方法一 命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1, 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞1或x ＜12. 綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12. 方法二 命题p ：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1, 命题q ：B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴p 是q 的充分不必要条件,即A B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a ＜12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＞1，a ≤12，∴0≤a ≤12.13．已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞,－1)上是单调函数,q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0,且a ≠1)在(－1,＋∞)上是增函数,则綈p 是q 的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：易知p 成立⇔a ≤1,q 成立⇔a ＞1,所以綈p 成立⇔a ＞1,则綈p 是q 的充要条件,故选C.14．(昆明诊断)下列选项中,说法正确的是( D )A ．若a ＞b ＞0,则ln a ＜ln bB ．向量a ＝(1,m ),b ＝(m,2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1” D ．已知函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的,则命题“若f (a )·f (b )＜0,则f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：∵函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数,∴若a ＞b ＞0,则ln a ＞ln b ,故A 错误；若a ⊥b ,则m ＋m (2m －1)＝0,解得m ＝0,故B 错误；命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2n －1”,故C 错误；命题“若f (a )·f (b )＜0,则f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ,b )内至少有一个零点,则f (a )·f (b )＜0”是假命题,如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象连续不断,且在区间(－2,4)内有两个零点,但f (－2)·f (4)＞0,D 正确．15．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，x ∈R ,B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1,x ∈R },若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是(2,＋∞)__．解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}, ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,∴A B ,∴m ＋1＞3,即m ＞2.16．(石家庄模拟)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0),且綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是[9,＋∞)__．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x ≤10, ∴綈p 对应的集合为{x |x ＞10或x ＜－2},设A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0),得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0),∴綈q 对应的集合为{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ,m ＞0}, 设B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ,m ＞0}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴B A ,∴⎩⎨⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9,∴实数m 的取值范围为[9,＋∞)．法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件,由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0),得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ,m ＞0}, 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ,m ＞0},又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x ≤10, ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10},设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知,N M ,∴⎩⎨⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9,＋∞)．。