2018六年级奥数.杂题.统筹与规划(ABC级).学生版
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本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工 作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。
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站点5
【例 7】 在一条公路上每隔 100 千米，有一个仓库(如图)共有 5 个仓库，一号仓库存有 10 吨货物，二号
仓库有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中
存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费，那么最少要多少运费才行？
700
西安 1000 600
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【巩固】北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地 10 台，上海可 以支持外地 4 台．现决定给重庆 8 台，汉口 6 台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造 的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？
站点1
站点2
⑵若有 3 个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．
站点1 站点2
站点3
⑶若有 4 个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．
站点1 站点2
站点3
站点4
⑷若有 5 个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．
站点1 站点2 站点3
站点4
⑸若有 59 个回收站点，请说明这个处理场应设的位置．
板块四、其他最优化问题
【例 14】用 10 尺长的竹竿做原材料，来截取 3 尺、4 尺长的甲、乙两种短竹竿各 100 根，至少要用去原 材料几根？怎么截法最合算？
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【巩固】189 米长的钢筋要剪成 4 米或 7 米两种尺寸，如何剪法最省材料？
A
BC
D
EF
G
H
10 30
20 5 10
60
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【例 8】 有七个村庄 A1 ， A2 ， ， A7 分布在公路两侧(见右图)，由一些小路与公路相连，要在公路上设 一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？
A1 C
B
A2
A5
A6
D
F
E
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例题精讲
一、 合理安排时间
【例 1】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎 1 张饼需要 2 分钟(正面、反面各 1 分钟)．问：煎 3 张 饼需几分钟？怎样煎？
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【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去 3 分钟，那么用一次可容下 2 块 饼的锅来烙 21 块饼，至少需要多少分钟？
【巩固】有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要 12 分钟；孩 子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8 分钟；母亲则一直坚持劳 作，动作还算敏捷，过桥要 6 分钟；两个孩子中姐姐需要 3 分钟，弟弟只要 1 分钟．当时正是初 一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏 油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持 30 分钟了！他 们焦急万分，该怎样过桥呢？
【例 4】 有甲、乙两个水龙头，6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分 别是 5 分钟、4 分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟．怎么安排这 6 个人打水，才能使他们 等候的总时间最短，最短的时间是多少？
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板块二、合理安排地点
【例 6】 如图，在街道上有 A、B、C、D、E、F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站 的距离之和最短，车站应该设在何处？
A
B
C
D
E
F
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【巩固】道路沿线有一些垃圾回收站点，现需要将每个回收站点的垃圾都运送到一个处理场(处理场也可以 设在站点上)，希望所有站点到处理场的距离总和最短．⑴若有 2 个回收站点，请在下面线上用▲ 标出这个处理场的位置．
运费/元 到站 汉口 发站
北京
4
重庆 8
上海
3
5
【例 11】 北仓库有货物 35 吨，南仓库有货物 25 吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去．其中甲工厂需 要 28 吨，乙工厂需要 12 吨，丙工厂需要 20 吨．两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位： 公里)．已知运输每吨货物 1 公里的费用是 1 元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多 少元？
统筹与规划
知识框架
（1） 掌握合理安排时间、地点问题. （2） 掌握合理布线和调运问题．
重难点
知识点说明：
统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好 先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领 小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统 筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划， 使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对 策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知 识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索 的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最 好的思维锻炼题目。
一
二
三
四
五
10吨 20吨
40吨
【巩固】在一条公路上，每隔 100 千米有一座仓库，共有 8 座，图中数字表示各仓库库存货物的重量(单位：
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吨)，其中 C、G 为空仓库．现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米 需要 0.5 元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？
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【例 3】 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让 2 个人同时通过，否则桥会倒 塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4 个人的行走速度不同： 小强用 1 分种就可以过桥，中强要 2 分中，大强要 5 分中，最慢的太强需要 10 分中．17 分钟后 桥就要倒塌了．请问：4 个人要用什么方法才能全部安全过桥？
30
0
20
运费/元 到站 甲
乙
丙
发站
A
2
7
3
B
3
10
5
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【例 13】一支勘探队在五个山头 A、B、C、D、E 设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同， 如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）
公路
A3 A4 A7
【巩固】某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好？(运输总量的千克千米数越 小越好．)
3000千克
F 2000千克 D
E
5000千克
C 1000千克
G A
6000千克
4000千克
B
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【巩固】下图是一个交通示意图， A 、B 、C 是产地(用●表示，旁边的数字表示产量，单位：吨)，D 、E 、 F 是销地(用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨)，线段旁边有括号的数字表示两地每吨货物 的运价，单位：百元(例如 B 与 D 两地，由 B 到 D 或由由 D 到 B 每吨货物运价100 元)．将产品由 产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？
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【巩固】设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要 1 分钟，注满 第二个人的桶需要 2 分钟，……．如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水， 使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？
【例 5】 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度 比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可以看成是固定不变的)，在任何情况 下，他总是采用时间最少的最佳方案.下表表示他到达 A、B、C 三地采用最佳方案所需要的时间. 为了到达离住地 8 千米的地方，他需要花多少时间？并简述理由.
板块三、合理布线和调运
【例 9】 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水(如下图，距离单位为千米)，要安装水管有粗 细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用 8000 元， 细管每千米要 2000 元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项 工程费用最低？费用是多少元？
【例 2】 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要 20 分钟，收拾厨房要 15 分钟，洗脏衣服的领子、袖口要 10 分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要 40 分钟，晾衣服要 10 分钟。妈妈干完所有这些事情最少 用多长时间？
【巩固】小明在家的一面墙上贴奖状，一共有 32 张，给一张奖状涂满胶水需要 2 分钟，涂完胶水后要过 2 分钟才能往墙上贴，贴的过程需要 1 分钟，但是如果等待超过 6 分钟的话胶水就会干掉不能再贴， 问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？
30 县城
5 2 4 2 3 222 5
A1
A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10
【例 10】北京、洛阳分别有 11 台和 5 台完全相同的机器，准备给杭州 7 台、西安 9 台，每台机器的运费 如右表，如何调运能使总运费最省？
运费/元 到站 发站
北京
杭州 800
洛阳
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【巩固】一家人 6 口人，夜间要过一架独木桥，他们仅有一盏油灯照明，借助这盏灯，每次最多两人可 以走过独木桥．而这 6 人过桥所需要的时间分别是 1 ， 3 ， 6 ， 8 ， 12 ， 20 分钟，要 命的是这盏灯只能点燃 47 分钟了，而没有灯照明，任何人企图过河那是必然跌落到深谷中．
10 甲
8
北仓库
6 乙
5
12 丙
16
南仓库
【例 12】A、B 两个粮店分别有 70 吨和 60 吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要 30 吨、40 吨和 50 吨大米．从 A，B 两粮店每运 1 吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最 少？
运费/元 到站 甲
乙
丙
发站
A
0
40
30
B
【例 15】山区有一个工厂．它的十个车间分散在一条环行的铁道上．四列货车在铁道上转圈运送货物。 货车到了某一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物．各车间由于工作 量不同，所需装卸工人 数也不同，各车间所需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车；也可以坐在 货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸 工固定在车间，另一部分跟车．问怎样安排跟 车人数和各车间固定人数，才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？
自来水厂 30
A
B C DE F G H I
J
5 2 42 3 22 2 5
【巩固】有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、 细两种水管，粗管每千米 7000 元，细管每千米 2000 元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能 供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示(图中单位是千米)，现要求按最节约的方法铺设， 总费用是多少？
【巩固】一个工厂有 7 个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品．每个车间装卸货物所需 工人数为 25、18、27、10、20、15、30．若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安 排多少名装卸工，所用总人数最合理？
“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。
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站点5
【例 7】 在一条公路上每隔 100 千米，有一个仓库(如图)共有 5 个仓库，一号仓库存有 10 吨货物，二号
仓库有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中
存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费，那么最少要多少运费才行？
700
西安 1000 600
MSDC 模块化分级讲义体系
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【巩固】北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地 10 台，上海可 以支持外地 4 台．现决定给重庆 8 台，汉口 6 台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造 的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？
站点1
站点2
⑵若有 3 个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．
站点1 站点2
站点3
⑶若有 4 个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．
站点1 站点2
站点3
站点4
⑷若有 5 个回收站点，请在下面线上用▲标出这个处理场的位置．
站点1 站点2 站点3
站点4
⑸若有 59 个回收站点，请说明这个处理场应设的位置．
板块四、其他最优化问题
【例 14】用 10 尺长的竹竿做原材料，来截取 3 尺、4 尺长的甲、乙两种短竹竿各 100 根，至少要用去原 材料几根？怎么截法最合算？
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【巩固】189 米长的钢筋要剪成 4 米或 7 米两种尺寸，如何剪法最省材料？
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【例 8】 有七个村庄 A1 ， A2 ， ， A7 分布在公路两侧(见右图)，由一些小路与公路相连，要在公路上设 一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？
A1 C
B
A2
A5
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一、 合理安排时间
【例 1】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎 1 张饼需要 2 分钟(正面、反面各 1 分钟)．问：煎 3 张 饼需几分钟？怎样煎？
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【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去 3 分钟，那么用一次可容下 2 块 饼的锅来烙 21 块饼，至少需要多少分钟？
【巩固】有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要 12 分钟；孩 子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8 分钟；母亲则一直坚持劳 作，动作还算敏捷，过桥要 6 分钟；两个孩子中姐姐需要 3 分钟，弟弟只要 1 分钟．当时正是初 一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏 油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持 30 分钟了！他 们焦急万分，该怎样过桥呢？
【例 4】 有甲、乙两个水龙头，6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分 别是 5 分钟、4 分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟．怎么安排这 6 个人打水，才能使他们 等候的总时间最短，最短的时间是多少？
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板块二、合理安排地点
【例 6】 如图，在街道上有 A、B、C、D、E、F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站 的距离之和最短，车站应该设在何处？
A
B
C
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【巩固】道路沿线有一些垃圾回收站点，现需要将每个回收站点的垃圾都运送到一个处理场(处理场也可以 设在站点上)，希望所有站点到处理场的距离总和最短．⑴若有 2 个回收站点，请在下面线上用▲ 标出这个处理场的位置．
运费/元 到站 汉口 发站
北京
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【例 11】 北仓库有货物 35 吨，南仓库有货物 25 吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去．其中甲工厂需 要 28 吨，乙工厂需要 12 吨，丙工厂需要 20 吨．两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位： 公里)．已知运输每吨货物 1 公里的费用是 1 元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多 少元？
统筹与规划
知识框架
（1） 掌握合理安排时间、地点问题. （2） 掌握合理布线和调运问题．
重难点
知识点说明：
统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好 先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领 小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统 筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划， 使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对 策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知 识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索 的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最 好的思维锻炼题目。
一
二
三
四
五
10吨 20吨
40吨
【巩固】在一条公路上，每隔 100 千米有一座仓库，共有 8 座，图中数字表示各仓库库存货物的重量(单位：
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吨)，其中 C、G 为空仓库．现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米 需要 0.5 元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？
MSDC 模块化分级讲义体系
六年级奥数.杂题.统筹与规划（ABC 级）.学生版
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【例 3】 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让 2 个人同时通过，否则桥会倒 塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4 个人的行走速度不同： 小强用 1 分种就可以过桥，中强要 2 分中，大强要 5 分中，最慢的太强需要 10 分中．17 分钟后 桥就要倒塌了．请问：4 个人要用什么方法才能全部安全过桥？
30
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运费/元 到站 甲
乙
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A
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【例 13】一支勘探队在五个山头 A、B、C、D、E 设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同， 如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）
公路
A3 A4 A7
【巩固】某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好？(运输总量的千克千米数越 小越好．)
3000千克
F 2000千克 D
E
5000千克
C 1000千克
G A
6000千克
4000千克
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【巩固】下图是一个交通示意图， A 、B 、C 是产地(用●表示，旁边的数字表示产量，单位：吨)，D 、E 、 F 是销地(用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨)，线段旁边有括号的数字表示两地每吨货物 的运价，单位：百元(例如 B 与 D 两地，由 B 到 D 或由由 D 到 B 每吨货物运价100 元)．将产品由 产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？
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【巩固】设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要 1 分钟，注满 第二个人的桶需要 2 分钟，……．如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水， 使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？
【例 5】 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度 比自行车速度快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间可以看成是固定不变的)，在任何情况 下，他总是采用时间最少的最佳方案.下表表示他到达 A、B、C 三地采用最佳方案所需要的时间. 为了到达离住地 8 千米的地方，他需要花多少时间？并简述理由.
板块三、合理布线和调运
【例 9】 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水(如下图，距离单位为千米)，要安装水管有粗 细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用 8000 元， 细管每千米要 2000 元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项 工程费用最低？费用是多少元？
【例 2】 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要 20 分钟，收拾厨房要 15 分钟，洗脏衣服的领子、袖口要 10 分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要 40 分钟，晾衣服要 10 分钟。妈妈干完所有这些事情最少 用多长时间？
【巩固】小明在家的一面墙上贴奖状，一共有 32 张，给一张奖状涂满胶水需要 2 分钟，涂完胶水后要过 2 分钟才能往墙上贴，贴的过程需要 1 分钟，但是如果等待超过 6 分钟的话胶水就会干掉不能再贴， 问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？
30 县城
5 2 4 2 3 222 5
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【例 10】北京、洛阳分别有 11 台和 5 台完全相同的机器，准备给杭州 7 台、西安 9 台，每台机器的运费 如右表，如何调运能使总运费最省？
运费/元 到站 发站
北京
杭州 800
洛阳
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【巩固】一家人 6 口人，夜间要过一架独木桥，他们仅有一盏油灯照明，借助这盏灯，每次最多两人可 以走过独木桥．而这 6 人过桥所需要的时间分别是 1 ， 3 ， 6 ， 8 ， 12 ， 20 分钟，要 命的是这盏灯只能点燃 47 分钟了，而没有灯照明，任何人企图过河那是必然跌落到深谷中．
10 甲
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北仓库
6 乙
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12 丙
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南仓库
【例 12】A、B 两个粮店分别有 70 吨和 60 吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要 30 吨、40 吨和 50 吨大米．从 A，B 两粮店每运 1 吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最 少？
运费/元 到站 甲
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【例 15】山区有一个工厂．它的十个车间分散在一条环行的铁道上．四列货车在铁道上转圈运送货物。 货车到了某一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物．各车间由于工作 量不同，所需装卸工人 数也不同，各车间所需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车；也可以坐在 货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸 工固定在车间，另一部分跟车．问怎样安排跟 车人数和各车间固定人数，才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？
自来水厂 30
A
B C DE F G H I
J
5 2 42 3 22 2 5
【巩固】有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、 细两种水管，粗管每千米 7000 元，细管每千米 2000 元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能 供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示(图中单位是千米)，现要求按最节约的方法铺设， 总费用是多少？
【巩固】一个工厂有 7 个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品．每个车间装卸货物所需 工人数为 25、18、27、10、20、15、30．若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安 排多少名装卸工，所用总人数最合理？