用逆矩阵解矩阵方程
矩阵求逆解方程组的解
矩阵求逆解方程组的解
要求解方程组Ax=b，其中A为一个m×n矩阵，b为一个m维向量，可以使用矩阵求逆的方法来求解。
具体步骤如下：
1. 计算矩阵A的行列式|A|；
2. 如果|A|=0，则方程组无解，直接返回；
3. 计算矩阵A的伴随矩阵A，公式为：(A)ij = (-1)^(i+j) a(ji);
4. 计算矩阵A的行列式|A|，并求其模值，即|A|/|A|；
5. 将矩阵A的转置矩阵AT与|A*|/|A|相乘，得到逆矩阵M，公式为：M = AT (A)^-1;
6. 使用逆矩阵M求解方程组，即：x = M^-1 b;
需要注意的是，在实际操作中，由于浮点数精度问题等原因，可能会出现数值不稳定的情况，需要采取一些数值稳定性措施。
此外，如果方程组的解不唯一或不存在整数解时，也需要特殊处理。
Toeplitz矩阵及逆矩阵求解
③一般右端项的Toeplitz方程组：（4阶右端项的Toeplitz方程组R1[1]保存方程组的阶 数） please input the flag 1 to 3: 3 please input the string R1[N]: “矩阵系数” 3416 R1[N] R1[0]=5.000000 R1[1]=3.000000 R1[2]=4.000000 R1[3]=1.000000 R1[4]=6.000000 please input the string b[N]: 6724 b[N] “右端项” b[0]=5.000000 b[1]=6.000000 b[2]=7.000000 b[3]=2.000000 b[4]=4.000000 结果： x[0]=5.000000 x[1]=6.000000 x[2]=1.375000 x[3]=4.512821 x[4]=-0.100273
X = Tn−1 − Tn−1 En −1γ n −1vT = Tn−11 + vvT / σ , −1 −1 −
Tn−11 = [tij ] 是广对 称的，故从（5.19）可得 −
（5.19）
−1 其中的最后一个等式利用到了 T n −1 En −1rn −1 = − En −1 yn −1 , 和（5.17）。由于
T σ = 1 / (1 + γ n −1 yn −1 ).
v = σ En −1 yn −1
（5.18）
这样，我们只要求得n-1阶Yule-Walker方程组之解 yn −1 就可由（5.18）和（5.17） 求出 Tn
−1
的最后一列和最后一行。
下面再来看 X = [ξ ij ] 所具有的特性，从（5.14）可得
5.3 Toeplitz矩阵的逆 矩阵的逆 最后，我们来考虑 Tn− t 的计算问题。 设 可得
2-3 逆矩阵
例 3 判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵.
1 2 3 2 3 1 A 2 1 2 , B 1 3 5 . 1 3 3 1 5 11 1 2 3
解
A 2 1 2 4 0， A 可逆. 1 3 3 2 1 3 1 5 0，故 B 不可逆.
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3 2 6 4 1 2 1 1 1 A A 3 6 5 3 2 3 5 2 A 2 1 1 1 2 2 2
1 评析 本例采用的方法： A A . A
1
注 本例方法应用于二阶可逆矩阵，有 1 d b a b 1 A (可作为公式) A A c a c d 此结果可概括为“两调一除”：调换主对角元位置， 调换副对角元符号，除以A .
目录 上页 下页
B 1 3
5 11
A 中各元素的代数余子式： A11 3, A12 4, A22 0, A21 3,
A31 1,
A13 5, A23 1,
A33 3.
A32 4,
1 3 3 1 1 1 4 . A A 4 0 4 A 5 1 3
cof A的转置矩阵称为 A 的伴随矩阵，记作 A*，即
A11 A12 T A* (cofA) A 1n A21 A22 A2 n An1 An 2 Ann
目录 上页 下页
1 2 例如，A 3 4
2 x z 2 y t 1 0 y 0 1 x
目录 上页 下页2x 源自 z 1 2y t 0 x0 y 1
《线性代数》逆矩阵
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E， 即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵， 所以BCA＝E,正确选项为④ ．
用逆矩阵求解线性方程组的方法-Read
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
也是方程组的 1 解.
例 1.16 解线性方程组
x1 3 x2 7 x3 2 2 x1 4 x2 3 x3 1 3 x 7 x 2 x 3 1 2 3
1 2 2 3
1, M 5
1 0
0, M 6
0 0
0 1
0 4 D M 1 A1 M 2 A2 M 3 A3 M 4 A4 M 5 A5 M 6 A6
0
由拉普拉斯定理知
3 13 1 4 43
由此可见，当选出的行（列）中所组成的k阶子式 大部分为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值 比较简单.
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,, Anj 依次乘方程组1的n个方程, 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
解： 系数行列式 1 3 7 D 2 4 3 196 3 7 2
由于系数行列式不为零， 所以可以使用克拉默法则， 方程组有唯一解。此时
1 D 2 3
3 4 7
7 3 196 2
2 D1 1 3
1
3 4 7
广义逆矩阵求法
广义逆矩阵
定理：设 阵方程
A 是数域 K 上一个s n 矩阵，则矩
AXA A
(1)
总是有解。如果 rank( A) r ，并且
( I nn A A) A A
A ( A ) 0
所以 X ( I nn A A) Z 是方程组 的通解。
AX 0
利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的 另一种形式的通解。
推论：设数域 K 是 n 元非齐次线性方程组 AX 有解，则它的通解为
即
I r B 1 Q P C D 先分析 Q 与 P 1 之间的关系。由已知 A ，
因此我们有
I r 0 1 0 0 Q P 1 分别把 Q , P 分块，设 行 Y1 }r Q Y2 }n r行
伪逆矩阵
定义：设 A C mn，若 A C nm ，且同时有
AA A A ,
H
A AA A
( AA ) AA ,
( A A) A A
H
则称 A 是 A 的伪逆矩阵。上述条件称为 Moore－ Penrose 方程。 例：
1 设 A 0
取 B 0, D 0, C (0,,0, k Y ,0,,0)
1 i 2
则
Ir C
于是
0 1 Ir P C 0
1
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
矩阵求逆法求方程的解matlab
矩阵求逆法求方程的解matlab在数学和计算机科学领域，矩阵求逆法是一种常用的技术，用于解决线性方程组和矩阵方程的问题。
这种方法在矩阵计算和数字模拟中得到了广泛的应用，其中MATLAB作为一种强大的数学软件，在矩阵求逆法方面有着非常强大的功能和应用，本文将介绍矩阵求逆法在MATLAB中的应用，以及如何利用MATLAB求解线性方程组和矩阵方程。
一、矩阵求逆法的原理和方法1.1 矩阵求逆原理矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
矩阵求逆法主要利用线性代数的理论，通过矩阵的初等行变换、伴随矩阵和初等矩阵等方法，求解矩阵的逆矩阵。
1.2 矩阵求逆方法矩阵求逆的常用方法有伴随矩阵法、初等行变换法和逆矩阵的性质法等。
伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法，适合于小规模的矩阵计算；初等行变换法是一种通过初等行变换将原矩阵化为单位矩阵，从而得到逆矩阵的方法，适合于大规模的矩阵计算；逆矩阵的性质法是通过矩阵的性质和性质矩阵的快速求解，适合于特定类型的矩阵。
二、MATLAB中矩阵求逆的应用2.1 MATLAB的矩阵操作MATLAB作为一种专业的数学软件，具有强大的矩阵计算和矩阵操作功能。
在MATLAB中，可以通过一系列的内置函数和操作符，快速有效地实现矩阵的加减乘除、转置、逆矩阵等计算。
2.2 MATLAB中矩阵求逆函数在MATLAB中，有多种函数和命令可以实现矩阵求逆的操作，其中最常用的是inv()函数。
该函数可以接受一个矩阵作为输入，输出该矩阵的逆矩阵。
MATLAB还提供了pinv()函数来求解矩阵的伪逆矩阵，以及linsolve()函数来求解线性方程组的解。
2.3 MATLAB中矩阵求逆的实例下面通过一个简单的实例来演示在MATLAB中如何利用矩阵求逆来求解线性方程组的解。
假设有一个线性方程组Ax=b，其中矩阵A为：A = [1, 2; 3, 4]向量b为：b = [5; 7]要求解x，可以通过如下MATLAB代码实现：A = [1, 2; 3, 4];b = [5; 7];x = inv(A) * b;通过上述代码，可以得到线性方程组的解x，从而实现了通过矩阵求逆方法来求解线性方程组的目的。
矩阵的逆与线性方程组的求解
● 02
第2章 矩阵的逆
逆矩阵的定义
逆矩阵是指如果一个 矩阵A存在逆矩阵， 那么称矩阵A为可逆 矩阵。逆矩阵具有一 个重要特点，即矩阵 A与其逆矩阵的乘积 等于单位矩阵，也就 是AA的逆 A的逆A = I。
QR分解
01 定义
QR分解的概念
02 计算方法
如何进行QR分解
03 应用
最小二乘拟合、信号处理
● 06
第六章 线性方程组的求解
线性方程组的矩 阵表示
线性方程组$Ax b$ 可以用矩阵表示为 $[A | b]$，这种表示 方法有利于对线性方 程组进行进一步的计 算和求解。矩阵表示 简洁明了，便于处理 复杂的线性方程组。
比较
应用领域
非齐次线性方程 组在实际问题中
的应用
求解方法
通过矩阵求逆或 消元法等方式解 决非齐次线性方
程组
线性方程组的数值解法
01 高斯消元法
一种常用的线性方程组数值解法，通过消元 和回代来求解
02 追赶法
一种适用于特定类型线性方程组的迭代解法
03 数值稳定性
分析不同数值解法的稳定性和精度
总结
转置可逆性质
若矩阵A是可逆矩阵，则A的转置也是可逆 矩阵
04、
总结
逆矩阵在数学中扮演着重要角色，不仅可以帮助 解决线性方程组，还在计算机图形学等领域有着 广泛的应用。了解逆矩阵的定义、求解方法及性 质，对于深入理解线性代数具有重要意义。
● 03
线性代数2_3逆矩阵
又因为
0 −1 B= 1 2
AB
BA
2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
《线性代数》
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结束
2. 可逆矩阵的定义 定义1 对于n阶矩阵 阶矩阵A，如果存在n阶矩阵 阶矩阵B， 定义 对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 ，使得 AB=BA=E， = = ， 那么矩阵A称为可逆矩阵， 称为可逆矩阵 称为A的逆矩阵 那么矩阵 称为可逆矩阵，而B称为 的逆矩阵. 称为 的逆矩阵. 定理1 如果矩阵A可逆 可逆， 的逆矩阵是唯一的. 定理 如果矩阵 可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵是唯一的 即若AB= = = A的逆矩阵记为 −1 . 即若 =BA=E ，则B=A−1 . 的逆矩阵记为A 的逆矩阵记为 由于A， 位置对称 位置对称， 互逆， 由于 ，B位置对称，故A，B互逆，即B=A−1， A=B−1. 如 ， 互逆 = ， =
2a + c = 1, 2b + d = 0, ⇒ − a = 0, − b = 1,
《线性代数》
a = 0, b = −1, ⇒ c = 1, d = 2.
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0 −1 ∴B = 1 2
结束
例1
设
2 A= −1
1 , 求 A 的逆阵 . 0
逆矩阵(inverse matrix) 第3节 逆矩阵
3.1 逆矩阵的定义 3.2 方矩阵可逆的充分必要条件 3.3 可逆矩阵的性质 3.4 用逆矩阵求解线性方程组 3.5 用逆矩阵求解矩阵方程 3.6 伴随矩阵的常用性质
2-3逆矩阵【课件】线性代数
故 A A1 E 1, 所以 A 0. 当 A 0时,
一：逆矩阵的概念与性质
AA
A A
AE
A A
A
A
E,
AA
按逆矩阵的定义得
A1 A . A
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵. 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵.
§2．3
可 逆 矩 阵
逆矩阵的概念 逆矩阵的运算性质 伴随矩阵 逆矩阵的计算 矩阵方程
概念的引入
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
我们令 a11
A
a21
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
说明2：并不是所有的矩阵都有逆矩阵？ 设矩阵A有逆矩阵B 则 AB=BA=E 取行列式有：| AA B0 |=|A||B|=|E|=1
2 6 4
A* A12 A22 A32 2 3 1
A13
A23
A33
1
2 1
问题：计算 AA* 与 A*A 的积。
一：逆矩阵的概念与性质
AA
a11 a12
a21 a22 a11 A11
a1n a2n
a12 A12
A11 A12
A21
A22 a1n
A1n
An1 An2 A
i=j
故 AA A ij A ij A E.
矩阵的逆与方程组的解法
矩阵的逆与方程组的解法矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
矩阵的逆和方程组的解法是矩阵理论中的两个基本问题，它们相互关联，共同构成了矩阵运算的重要部分。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指对于任何一个可逆矩阵A，都存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
当矩阵A可逆时，我们可以使用逆矩阵来解决一些与A相关的问题。
1. 逆矩阵的计算方法对于一个n阶矩阵A，如果其逆矩阵存在，那么可以使用伴随矩阵的方法来计算逆矩阵。
伴随矩阵的计算方式是将A的每个元素的代数余子式组成的矩阵，记作Adj(A)。
然后，逆矩阵可以通过公式A^(-1) = (1/|A|) * Adj(A)来计算，其中|A|表示矩阵A的行列式。
2. 逆矩阵的应用逆矩阵在方程组的解法中起到了重要的作用。
当我们需要求解一个线性方程组Ax=b时，如果矩阵A可逆，那么方程的解可以表示为x=A^(-1)b。
通过计算逆矩阵，我们可以高效地求解这个方程组，得到其唯一解。
二、方程组的解法方程组是由多个方程构成的数学等式组合，常用于描述多元线性关系。
对于一个n元方程组，可以使用矩阵的方法来求解。
1. 列主元消元法列主元消元法是常用的方程组求解方法之一。
首先，将方程组的增广矩阵进行初等行变换，化为上三角矩阵，然后通过回代的方式求解各个未知数。
2. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是另一种常用的方程组求解方法。
其思想与列主元消元法类似，但是在选取主元时，高斯-约当消元法关注的是当前列中绝对值最大的元素，而不是每个列的第一个非零元素。
3. 矩阵求逆法在一些情况下，我们可以通过求解方程组的逆矩阵来得到方程组的解。
当系数矩阵A可逆时，方程组的解可以表示为x=A^(-1)b，其中b 是方程组的常数向量。
不论是矩阵的逆矩阵求解，还是方程组的解法，都是矩阵理论中非常基础且重要的内容。
它们在线性代数、数学建模、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
矩阵的逆和方程组的解法不仅能够帮助我们求解现实问题，更深入理解矩阵运算的本质和规律。
矩方程的求解方法
矩方程的求解方法矩阵方程是解决实际问题中常见的问题之一，如电路分析和控制理论等。
求解矩阵方程有多种方法，本文将介绍其中常见的三种方法：逆矩阵法、克拉默法和思特伯格法。
一、逆矩阵法矩阵方程形如Ax=B，其中A为n行n列的矩阵，B为n行1列的矩阵，x为n行1列的未知矩阵。
如果矩阵A可逆，则可以将方程两边同时乘以A的逆矩阵，得到x=A⁻¹B。
因此，逆矩阵法求解矩阵方程的步骤为：1. 判断矩阵A是否可逆，若不可逆则无解；2. 计算矩阵A的逆矩阵；3. 将矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵，得到未知矩阵x。
逆矩阵法的优点是简单易懂，适用于小规模矩阵方程求解。
但是当矩阵A的阶数很大时，计算A的逆矩阵的复杂度很高，耗时较长。
二、克拉默法克拉默法是一种利用矩阵的行列式求解矩阵方程的方法。
对于方程Ax=b，如果矩阵A满足行列式不为零，则可以利用克拉默法求解。
具体步骤如下：1. 计算出矩阵A的行列式|A|；2. 分别将矩阵A的第1列到第n列替换为矩阵B，得到n个矩阵A₁到An，分别计算出它们的行列式|A₁|到|An|；3. 未知量x₁至xn分别等于|A₁|/|A|到|An|/|A|。
克拉默法优点是能够精确求解，适用于比较小的矩阵方程。
缺点是计算复杂度高，需要计算n+1个行列式。
三、思特伯格法思特伯格法是一种迭代求解矩阵方程的方法，其基本思想是将矩阵方程转化为递推形式，通过不断迭代逼近解。
具体步骤如下：1. 对于方程Ax=B，将A分解为L+D+U的形式，其中L为下三角矩阵，D为对角矩阵，U为上三角矩阵；2. 将矩阵方程转化为迭代形式x⁽ⁿ⁺¹⁾=Tx⁽ⁿ⁾+c，其中T=-(D+L)⁻¹U，c=(D+L)⁻¹B；3. 选择初始向量x⁽⁰⁾，通过不断迭代x⁽ⁿ⁺¹⁾=Tx⁽ⁿ⁾+c逼近解。
思特伯格法的优点是收敛速度较快，适用于大规模矩阵方程的求解。
但是由于需要进行迭代计算，因此每次迭代的计算量较大。
逆矩阵的初步应用
逆矩阵的初步应用
逆矩阵在许多领域都有应用，以下是逆矩阵的一些初步应用：
1. 线性方程组的求解：对于一个线性方程组Ax=b，如果矩阵A是可逆矩阵，那么可以使用逆矩阵求解该方程组，即x=A−1b。
2. 矩阵的除法：如果A和B是可逆矩阵，那么可以定义矩阵除法
A/B=AB−1，其中B−1是B的逆矩阵。
3. 求解矩阵的行列式：对于一个n阶方阵A，可以使用逆矩阵计算其行列式，即A=1/A−1，这在某些情况下可以简化计算。
4. 矩阵的相似变换：对于两个n阶方阵A和B，如果它们可以表示为
A=PBP−1，那么称A和B相似，P是可逆矩阵。
相似变换在矩阵的谱分析、矩阵的对角化等问题中有重要应用。
5. 加密技术：在保密通信中，如果A为可逆矩阵，则方程CAB=有唯一解
−1BAC=，其中−1A是A的逆矩阵。
因此，可逆矩阵可以有效地应用于加
密技术。
总之，逆矩阵是数学中的重要概念之一，它在实际生活中也有着广泛的应用。
通过逆矩阵的计算和处理，可以解决各种复杂的问题，从而为人类的生产和生活提供更强大的技术支持。
循环矩阵的逆矩阵解方程组法证明
循环矩阵的逆矩阵解方程组法证明循环矩阵是一种特殊的方阵，其中每一行都等于前一行右移一位。
循环矩阵在很多数学、物理等领域中被广泛使用，其中一个重要的应用就是解决线性方程组。
然而，循环矩阵的逆矩阵解方程组法在解决循环矩阵的线性方程组时能发挥出非常重要的作用。
下面，我们将对循环矩阵的逆矩阵解方程组法进行证明。
首先，我们先定义循环矩阵和逆矩阵。
一个$n\times n$的循环矩阵$C$定义为：$$C=\begin{bmatrix}c_1 & c_2 & \cdots & c_{n-1} & c_n \\c_n & c_1 & \cdots & c_{n-2} & c_{n-1} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\c_2 & c_3 & \cdots & c_n & c_{n-1}\\c_{n-1} & c_n & \cdots & c_2 & c_1 \\\end{bmatrix}$$其中，$c_1,c_2,\cdots,c_n$是循环矩阵中的元素。
而循环矩阵的逆矩阵$C^{-1}$就是一个$n\times n$的矩阵，满足：$$CC^{-1}=C^{-1}C=I$$其中，$I$是$n\times n$的单位矩阵。
接下来，我们将证明循环矩阵的逆矩阵解方程组法的正确性。
假设我们有一个由循环矩阵$C$表示的线性方程组：$$Cx=b$$其中，$x$是一个$n$维向量，$b$是一个$n$维向量。
由于循环矩阵$C$是一个方阵，因此我们可以将其逆矩阵$C^{-1}$应用于两边，得到：$$C^{-1}Cx=C^{-1}b$$由于$CC^{-1}=C^{-1}C=I$，因此上式可以化简为：$$x=C^{-1}b$$这就得到了循环矩阵的逆矩阵解方程组法。
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3 8 6
2 9 6
2 12 9
▌
矩阵方程：
AX = C， XB = D， AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时，
AX = C X A1C
XB = D X CB 1 AXB = F X A1FB 1
[BT ( I AB1)T ]1 {[( I AB1)B]T }1
[( B A)T ]1
1 0 0 0
1
0 0
0 2 0
0 0 3
0 1
0
0 0
0
1 2 0
0
1 3
0
0
0 0 0 4 0 0 0 1 ▌
4
例 设矩阵X 满足 AX A 2X ， 其中
4 2 3
A 1 1 0
第7讲用逆矩阵解矩阵 方程
主讲教师：张丽清
知识结构
矩阵方程
复习
行变换
主要内容
矩阵方程是什么？ 怎么解矩阵方程？
实例1 矩阵用来表示 线性方程组
下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质 量以适当的单位计量）。
根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入 的上述三种食物的量。
（另法）
（1）由 AX A 2X得
A( X I ) 2X 2( X I ) 2I
整理后可得
( A 2I )[1 ( X I )] I 2
于是 A 2I可逆。
（2）由上式得
X I 2( A 2I )1
1 0 0 1 4 3 0 1 0 2 1 5 3
0 0 1 1 6 4
则线性方程组的矩阵形式为
矩阵方程
形如AX = C
XB = D
AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
则这三者都是矩阵方程
逆矩阵解法
特殊的矩阵
矩阵可逆
唯一解
例 解矩阵方程
2 1
5 3
X
1 2
6 1
例 解矩阵方程
1 1 1
X 0 1
1 0
2
2
1 2
1 1
0 3
例 已知矩阵A、B、X满足下述关系
其中
(I AB 1)T X (BT )1
1 1 0 0
A
0 0
1 0
1 1
01,
0 0 0 1
求0
1 0 4 1
0 0 0 5
解 由 ( I AB1 )T X ( BT )可1 得 X [( I AB1 )T ]1( BT )1
1
2
3
(1) 证明：A 2I 可逆；(2) 求X。
解 （1）
2 2 3
1 1 0
∵
A
2I
1
1 0 行0
1
1
1 2 1
0 0 1
∴ A 2I 满秩 由此得 A 2I可逆。
（2）由 AX A 2X可得 ( A 2I ) X ，A故
X
(
A
2
I
)1
A
3 2
8 6
9 6
2 12 9