用逆矩阵解矩阵方程

1
2
3
(1) 证明：A 2I 可逆；(2) 求X。
解 （1）
2 2 3
1 1 0
∵
A
2I
1
1 0 行0
1
1
1 2 1
0 0 1
∴ A 2I 满秩 由此得 A 2I可逆。
（2）由 AX A 2X可得 ( A 2I ) X ，A故
X
(
A
2
I
)1
A
3 2
8 6
9 6
2 12 9
3 8 6
2 9 6
2 12 9
▌
矩阵方程：
AX = C， XB = D， AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时，
AX = C X A1C
XB = D X CB 1 AXB = F X A1FB 1
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例 已知矩阵A、B、X满足下述关系
其中
(I AB 1)T X (BT )1
1 1 0 0
A
0 0
1 0
1 1
01,
0 0 0 1
求X。
2 1 0 0
B
0 0
3 0
1 0 4 1
0 0 0 5
解 由 ( I AB1 )T X ( BT )可1 得 X [( I AB1 )T ]1( BT )1
第7讲用逆矩阵解矩阵 方程
主讲教师：张丽清
知识结构
矩阵方程
复习
行变换
主要内容
矩阵方程是什么？ 怎么解矩阵方程？
实例1 矩阵用来表示 线性方程组
下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质 量以适当的单位计量）。
根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入 的上述三种食物的量。
（另法）
（1）由 AX A 2X得
A( X I ) 2X 2( X I ) 2I
整理后可得
( A 2I )[1 ( X I )] I 2
于是 A 2I可逆。
（2）由上式得
X I 2( A 2I )1
1 0 0 1 4 3 0 1 0 2 1 5 3
0 0 1 1 6 4
[BT ( I AB1)T ]1 {[( I AB1)B]T }1
[( B A)T ]1
1 0 0 0
1
0 0
0 2 0
0 0 3
0 1
0
0 0
0
1 2 0
0
1 3
0
0
0 0 0 4 0 0 0 1 ▌
4
例 设矩阵X 满足 AX A 2X ， 其中
4 2 3
A 1 1 0
则线性方程组的矩阵形式为
矩阵方程
形如AX = C
XB = D
AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
则这三者都是矩阵方程
逆矩阵解法
特殊的矩阵
矩阵可逆
唯一解
例 解矩阵方程
2 1
5 3
X
1 2
6 1
例 解矩阵方程
1 1 1
X 0 1
1 0
2
2
1 2
1 1
0 3