30、反函数与对数运算(含答案)
对数运算及反函数
一、知识与方法
1、对数的运算法则（将高一级运算向低级运算转化）
（1）N M MN a a a log log log += （2）N M N
M
a a a log log log -= （3）M n M a n a log log = （4）M n
M a n a log 1
log =
2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的
3、几个常用的对数结论
01log =a 1log =a a n a n a =log b a b a =log
m n a n a m =
log b m
n b a n
a
m l o g l o g = 1l o g l o g =?a b b a 4、换底公式：a
b
a b b c c a lg lg log log log =
=
5、常用对数与自然对数
6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数
7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发
8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原函数值域求得 9、求反函数的基本步骤，分段函数的反函数分段求得 10、原函数与反函数的图像关于x y =对称 11、()[
]x x f
f =-1
()f R x ∈
()[]x x f f =-1()D x ∈
12、反函数具有保奇性，并且保持单调性不变 13、函数()a x f y +=与()a x f
y +=-1
不是互为反函数关系
14、互为反函数的公共点不一定在x y =上 二、练习
1、若2log (2)log log a a a M N M N -=+，则N
M
的值为__________ 2、计算：① =8log 2
2
_______ ② 2
log 293+=________ ③ 1
3log 22-=____________
④ =-2lg 20lg _____ ⑤=+?+5lg 5lg 2lg 22lg 2
2
________
⑥=+++2
1
lg 20lg 1000lg 01.0lg ______
⑦(
1
3___________+=⑧_____)
2(lg 50lg 2lg 25lg 2
=++
3、已知732log [log (log )]0x =，那么12
x -等于__________
4、计算：11
log log a
a
b b
-之值为__________ 5、若3log 41x =，则332222x x
x x
--++的值是_______________
6、已知32a
=，那么33log 82log 6-用a 表示是__________ 7、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 8、已知35a
b
m ==，且
11
2a b
+=，则m 之值为 __________ 9、如果方程()07lg 5lg lg 7lg 5lg lg 2=?+++x x 的两根是,αβ，则βα?的值是________ 10、求下列函数的反函数
（1）≤0) （2）)3(42-<--=x x
x y
（3）)21
,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且 （4）()
()
???>-≤=0302
x x
x x y
11、若函数()1
y f x -=的图象经过点（-2，0）
，则函数(5)y f x =+的图象经过点_______
12、已知函数12y x m =
+与1
3
y nx =-互为反函数，则__________,________m n == 13、已知函数5
()2x f x x m
-=+的图象关于直线y x =对称，则_________m =
14、若点（4，3）既在函数1y =数的解析式为___________
15、已知()1f x =的反函数为1
()f x -,则1(2)f --的值为___________
16、已知x
x x x x f ---+=
2222)(（1）求1
()f
x -；
（2）求()f x 值域；（3）判断1
()f x -的奇偶性 17、函数()x f 的定义域为R ，对任意R a ∈，()a x f
y +=-1
的反函数为()a x f y +=，
（1）若()21=f ，求()2f 的值；（2）判断函数()x f 单调性，并加以证明
30、反函数与对数运算
1、4
2、（1）2（2）29（3）
2
6
（4）21（5）1（6）2（7）2-（8）2
3、
4
2
4、0
5、37
6、2-a
7、12
8、15
9、351
10（1）()02≥-=x x y （2）()342<---=x x y （3）()12
21-≠+-=
x x x
y （4）
()()
?????<-≥-=03
0x x
x x y
11、()2,5-- 12、2,6
1
==
n m 13、1-=m 14、x y 5241-+= 15、8
16、（1）1()f x -()111
1
log 2>-<-+=orx x x x （2）()()∞+?-∞-.11,（3）奇函数 17、（1）()a x f
y +=-1
的反函数为()a x f y -=，则()()a x f a x f -=+，令1==a x ，
则()()1112=-=f f
（2）任取21x x <，可得：()()02112<-=-x x x f x f ，则()x f 为减函数
幂函数指数函数和对数函数·反函数
幂函数、指数函数和对数函数·反函数 教学目标 1．使学生正确理解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法． 2．培养学生分析问题、解决问题的能力及抽象概括的能力． 3．使学生思维的深刻性进一步完善． 教学重点与难点 教学重点是求反函数的技能训练． 教学难点是反函数概念的理解． 教学过程设计 一、揭示课题 师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数． （板书：反函数 1．反函数的概念） 二、讲解新课 师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数y=2x+1中，如果把x当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？ 生：可以构成一个函数． 师：为什么是个函数呢？ 一的x与之相对应． 师：根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数y=2x+1是存在反函数的．这个反函数的解析式是怎样的呢？
师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x 表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以 是不是同一函数呢？ 生：是． 师：能具体解释一下吗？ 和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数． 生：有．就是y=2x+1． 那么，是不是所有函数都会有反函数呢？ 生：不是所有函数都有反函数． 师：能举个例子说明吗？ 生：如函数y=x2，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1，则对应x=±1，因此不能构成函数，说明它没有反函数． 师：说得非常好．如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图1，从图中可看出给出一个y能对应两个x．
对数函数性质及练习(有答案)
对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因 是不符合对数函数解析式的特点． 【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质
(1)图象与性质 谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上
反函数_典型例题精析
2．4 反函数·例题解析 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1) ＝≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----22 2 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．
反函数典型例题精析.doc
学习必备 欢迎下载 2． 4 反函數·例題解析 【例 1】求下列函數的反函數： (1)y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 ) ． 2x 1 2 (2)y ＝ x 2 － 2x ＋ 3， x ∈ ( －∞， 0] ． 1 (3)y ＝ x 2 1 (x ≤ 0) ． x +1 ( －1≤x ≤ 0) (4)y ＝ － x (0＜x ≤1) 解 (1) ∵ y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 )，∴ y ≠ 3 ， 2x 1 2 2 由 y ＝ 3x 5 得 (2y － 3)x ＝－ y － 5， 2x 1 ∴ x ＝ y 5 所求反函数为 y ＝ y 5 (x ≠ 3 )． 3 2y 3 2y 2 解 (2)∵ y ＝(x －1) 2 ＋ 2， x ∈ (－∞， 0]其值域為 y ∈ [2，＋∞ )， 由 y ＝ (x － 1) 2 ＋ 2(x ≤ 0) ，得 x －1＝－ y 2，即 x ＝ 1－ y 2 ∴反函数为 f 1 (x) ＝ 1－ x 2， (x ≥ 2) ． 解 (3)∵y ＝ 1 ，它的值域为 0＜y ≤1， x 2 (x ≤ 0) 1 由 y ＝ 2 1 得 x ＝－ 1 y ， x 1 y ∴反函数为 f 1 (x) ＝－ 1 x (0 ＜x ≤1) ． x 解 (4)由y ＝ x 1(－1≤ x ≤ 0)， 得值域 0≤y ≤1，反函数 f 1 (x) ＝ x 2 －1(0≤x ≤1)． 由 y ＝－ x (0＜x ≤1)， 得值域－ 1≤ y ＜ 0，反函数 f 1 (x) ＝x 2 ( －1≤x ＜ 0)， x 2 －1 (0≤ x ≤ 1) 故所求反函数为 y ＝ 2 ( － ≤ ＜ ． x 1 x 0)
第20讲 对数函数的性质及反函数
（一） 教学目标 1.教学知识点 1． 对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小； ４．对数形式的复合函数的定义域、值域； ５．对数形式的复合函数的单调性． 2.能力训练要求 1． 掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法； ３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域； 5．掌握对数形式的复合函数的单调性； 6．培养学生的数学应用意识． 3.众优渗透目标 1．用联系的观点分析问题、解决问题； ２．认识事物之间的相互转化． 教学重点 1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小； 2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法； 3．求对数形式的复合函数的单调性的方法． 教学难点 1．不同底数的对数比较大小；２．对数形式的复合函数的单调性的讨论． 教学过程 一、 复习引入： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 2、
2． 函数y =x +a 与x y a log =的图象可能是__________ 二、新授内容： 例1．比较下列各组中两个值的大小： ⑴6log ,7log 76； ⑵8.0log ,log 23π． （3）6log ,7.0,67.067.0 解：⑴16log 7log 66=> ，17log 6log 77=<，6log 7log 76>∴． ⑵01log log 33=>π ，01log 8.0log 22=<，8.0log log 23>∴π． 小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小． 练习： 1．比较大小（备用题） ⑴3.0log 7.0log 4.03.0<； ⑵2 1 6.04.3318.0log 7.0log - ?? ? ??<<； ⑶1.0log 1.0log 2.03.0> ． 例2．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2 – x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )34 9 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ， 解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 , 2( 例3．若函数)10(log )( <<=a x x f a 在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍， ③
反函数典型例题
反函数求值 例1、设有反函数，且函数与 互为反函数，求的值． 分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设，则点在函数的图象上，从而点 在函数的图象上，即．由反函数定义有，这样即有，从而． 小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解． 两函数互为反函数,确定两函数的解析式 例2 若函数与函数互为反函数，求 的值. 分析：常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何 布列如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，有如下解法： 解：∵ g(x)的定义域为且，的值域为 . 又∵g(x) 的定义域就是的值域, ∴. ∵g(x) 的值域为 , 由条件可知的定义域是 , , ∴. ∴.
令, 则即点(3,1) 在的图象上. 又∵与g(x) 互为反函数, ∴ (3,1) 关于的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上. ∴ 3=1+ , . 故 . 判断是否存在反函数 例3、给出下列函数: (1)； (2)； (3)； (4)； (5) . 其中不存在反函数的是__________________. 分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数. 解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和 ,且 . 对于(4)时,和 .对于(5)当时,和 . 故(3),(4),(5)均不存在反函数. 小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可. 求复合函数的反函数
反函数例题讲解
反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <21-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -=x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ???<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ??≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ??<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ??<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，的图像（如图），依图更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）．
由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f －1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x )的图像是 ( ) （A （（B （C
对数与对数函数知识点与题型归纳
●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27
注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a(MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N； ③log a M n＝nlog a M(n∈R)； ④log a m M n＝n m log a M. (2)对数的性质
①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数， 它们的图象关于直线y ＝x 对称． (补充) 设y ＝f(x)存在反函数，并记作y ＝f －1(x)， 1) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的图象 关于直线y x =对称．
指数函数与对数函数关系的典型例题
经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数. 思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域). 解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5， ∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2 .∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式. 思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程. 解： ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253 x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2.
函数反函数对数及对数函数
函数 一、函数：1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: 重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义 1． 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数 4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 )32(log 22 1++-=x x y 就是利用函数u y 2 1log =和322++-=x x u 的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2 21 22 +-+= x x x y 的值域 由2 2122+-+=x x x y 得012)1(22 =-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0 =y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2 ≥--+-=?y y y 得
高一反函数·典型例题精析
反函数·例题解析 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝ ≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1
得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x 【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x
对数函数与反三角函数
对数函数与反三角函数 大家应该都知道，这两个函数是高中里的重要的反函数。 然而呢，这两个反函数又与一般的反函数不一样。因为原函数是代数函数，一般的反函数是属于代数函数，而指数函数和三角函数都是超越函数，所以对数函数与反三角函数也是超越函数。 在学习的时候，不难发现，对数函数与反三角函数这两个函数很多类似点。首先，这两个函数都是出于逆向研究而建立的。一个是要研究全体实数和指数的关系，一个是要研究三角函数值与弧度的关系。而且两个都引入了新的数学符号，都有一系列的恒等公式和反演式。 当然，它们也有许多不同点，因为值域和定义域的不同，反三角函数常常在化简时要非常小心。而且反三角函数有周期性，一般都取一个周期来算。对数函数则全体一一对应。 对于代数函数，我曾经推导过导数。那么对数函数和反三角函数的导数又如何求呢？ 首先，用一般的极限法来对对数函数x x f ln )(=求导： x x x x x x x x x f x x f x y x f x x x x ??+=?-?+=?-?+=??=→?→?→?→?)1ln()ln()ln()()()('0 0000000lim lim lim lim 接下来的就感觉无从入手了，无法将x ?消去。 用同样的方法对反三角函数)sin(arc )(x x f =求导：
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x y x f x x x x x x ?--?+-?+=?-?+?+=?-?+=?-?+=?-?+=??=→?→?→?→?→?→?) 1)(1)arcsin(()))(cos(arcsin ))(sin(arcsin ))(cos(arcsin ))(arcsin(arcsin(sin )))arcsin()(arcsin(arcsin(sin )arcsin()arcsin()()()('2002000 000000000000000lim lim lim lim lim lim 很显然，遇到了和对数函数差不多的情况。 对数函数与反三角函数的加减相当的麻烦，几乎如果不是凑好的数据，很难进行运算。 那么反三角函数和对数函数有没有什么另外的方法求导呢？ 在前面求导过程中，反三角函数的反演公式的运用给了我启发。 既然x e x =)(ln ，那么令)ln()(,x x f e y x == 则=)('x e f 1 （1为x 求导后的结果） 那么)('y f 又等于什么呢？ 很明显，这是一个复合函数的求导，那么要用到链式法则 )()(')('x x e y f e f ?=的导数 而x e 的导数刚好也是x e 1)('-=∴=y y f y e x 那么一般的对数函数一样可以这样求，不过略微复杂一些 1log )(',log )(-?==x e x f x x f a a 反三角函数是不是也可以这样求导呢？ 既然x x =)(sin arcsin ，那么令)arcsin()(,sin x x f x y == 则=)(sin 'x f 1 （1为x 求导后的结果） 链式法则(CHAIN RULE) 若H(X)=F(G(X)) 则H'(X)=F'(G(X))G'(X)
高中数学-反函数例题选讲
高中数学-反函数例题选讲 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝ ≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232 3521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x
【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－ ≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即 ＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113 x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．
反函数题型及解析
反函数题型及解析 1.求下列函数的反函数，找出它们的定义域和值域（1）y=2+lg（x+1）；（2）y=3+；（3）y=． 2.求函数的反函数（1）y=（2）y=（3）y=lnx+1 （4）y=3x+2 3.求下列函数的反函数的定义域（1）y=（2）（3） 4.求下列函数的反函数，并指出该函数和它的反函数的定义域（1）y=；（2）y=；（3）y=e x﹣1 5.求下列函数的反函数（1）y=；（2）y=（e x﹣e﹣x）；（3）y=1+ln（x﹣1） 6.求下列函数的反函数． （1）y=log（1﹣x）+2（x＜0）；（2）y=2﹣（﹣2≤x≤0）；（3）y=（﹣1≤x≤0）；（4）y=x|x|+2x．
反函数题型解析 1.分析:（1）由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，化对数式为指数式，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域； （2）由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域； （3）由分式的分母不为0求出原函数的定义域，进一步求出原函数的值域，把原函数变形，求出x，再把x，y 互换求出原函数的反函数，得到反函数的定义域和值域． 解：（1）y=2+lg（x+1），由x+1＞0，可得x＞﹣1，∴原函数的定义域为（﹣1，+∞），值域为R． 由y=2+lg（x+1），得lg（x+1）=y﹣2，化为指数式得，x+1=10y﹣2，x，y互换得：y=10x﹣2﹣1， 此反函数的定义域为R，值域为（﹣1，+∞）； （2）y=3+，由x≥0，可得原函数的定义域为[0，+∞），值域为[3，+∞）．由y=3+，得，x=（y ﹣3）2，x，y互换得：y=（x﹣3）2，此反函数的定义域为[3，+∞），再由为[0，+∞）； （3）y=，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴原函数的定义域为{x|x≠﹣1}，由y==，∴原函数的值域为{y|y≠1}．由y=，得yx+y=x﹣1，即（1﹣y）x=1+y，∴x=，x与y互换得：，此反函数的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠﹣1}． 2. 分析：由已知的解析式求出x的表达式，再把x换成y、y换成x，并注明反函数的定义域． 解：由y=的得，xy+4y=x﹣4，解得（y≠1），所以（x≠1），则函数y=的反函数是（x≠1）．（2）函数y=可得：2x=2x y+y．可得2x（1﹣y）=y，2x=，可得x=，函数y=的反函数为y=．（3）由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1，∵x＞0，∴y∈R所以函数f （x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）；（4）∵y=3x+2，∴3x=y﹣2，又3x＞0，故y＞2，∴x=log3（y﹣2）（y＞2），∴函数y=3x+2的反函数是y=log3（x﹣2）（x＞2） 3.分析：欲求反函数的定义域，可以通过求原函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可，反函数的定义域即为原函数的值域求解即可 解：（1）∵y=，∴ye x+y=e x，∴（y﹣1）e x=﹣y，∴，∴x=ln，x，y互换，得函数y= 的反函数为：，，解得反函数的定义域为：{x|0＜x＜1} （2）反函数的定义域即为原函数的值域，由，x＞0，所以，所以， 则y＜0，反函数的定义域为（﹣∞，0） （3）由得，e x=．∵e x＞0，∴＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1） 4.解：（1）由y=，即2xy﹣y=x，x（2y﹣1）=y，解得x=，x，y互换得y=，其定义域为{x|x ≠} （2）由（2）y=可得y2=2x﹣3，即x=（y2+3），x，y互换得y=（x2+3），因为原函数的值域为[0，+∞）， 则反函数的定义域为[0，+∞） （3）由y=e x﹣1则x﹣1=lny，即x=1+lny，x，y互换得y=1+lnx，则其定义域为（0，+∞）
高一数学对数函数及其性质完美版
高一数学对数函数及其性质（一）说课稿 一、教材分析 “对数函数”的内容出现在人教课标版高一数学第二学期第五章§5.9节，它是在学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上，以类比的方法进行学习，这有利于学生加深和巩固对函数、反函数以及对数函数和指数函数的认识与函数性质的理解；同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例（统计、规划等）有广泛的应用，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。本节内容安排两课时，第一课时是理解对数函数的意义及图像与性质的掌握；第二课时是对数函数图像、性质的应用，本节课是第一课时。 二、学生情况分析 进校时大部分学生数学基础较差，表现在理解能力，运算能力，思维能力等方面较差，学习缺乏主动性，有一部分学生对学好数学的信心不足，有畏难情绪。 三、教学目标的确定： 根据教学大纲，对数函数及其相关知识历来是高考的考点。它的具体要求是能在学习指数函数的基础上，利用反函数的思想来研究对数函数的定义、图象及其性质。根据教材要求，学生的认知结构，学生情况及年龄特点，确定教学目标如下： 1、知识与技能：（1）理解对数函数的概念，理解指数函数与对数函数的内在关系； （2）掌握对数函数的概念、图象和性质，以及初步应用。 （3）培养学生自主学习、综合归纳、数形结合的能力。 2、过程与方法：培养学生用类比方法探索研究数学问题及其反思学习的素养 3、情感态度与价值观：（1）培养学生对待知识的科学态度、勇于探索和创新的精神。 （2）在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流，树立学生学好 数学的自信心。 教学重点、难点： 重点：对数函数的概念、图象和性质； 难点：由指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质； 四、教学方法和手段： 1、本节课采用建构式教学法，流程是：创设情景、提出问题---合作交流、联想类比---数形结合、加深理解---练习反馈、巩固提高---归纳小结、布置作业。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，是学生在已具备对数、反函数以及指数函数的一定的情境背景下，以学生为主体，教师为主导，充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终在学习过程中达到帮助学生很好地掌握对数函数的概念、图象和性质，并对指数函数与对数函数的内在关系达到较深刻的理解的意义建构的目的。 ２、教学手段：计算机多媒体教学 （1）通过动画课件让学生直观、深刻的了解指数函数和对数函数这对反函数的图象之间的关系。 （2）通过列表，对比指数函数与对数函数的性质以达到对对数函数的意义建构的目的。 （3）通过多媒体教学，加大教学容量，提高教学质量和教学效率。
对数函数 学情分析
对数函数学情分析 教学目标 1．掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能实行初步的应用．(1) 能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系准确描绘对数函数的图象．(2) 能把握指数函数与对数函数的实质去研究理解对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题． 2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维水平． 3．通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生实行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性． 教学建议 教材分析 (1) 对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这个重要数学思想的进一步理解与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决相关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础． (2) 本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．因为对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点．(3) 本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展
开．而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适合，把握不住关键，所以应是本节课的难点． 教法建议 (1) 对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的理解逐步转化为对对数函数的理解，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也能够多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质． (2) 在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师仅仅持续地反函数这条主线引导学生思考的方向．这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提升学习兴趣． 2．8对数函数(板书) 一. 对数函数的概念 1. 定义：函数的反函数叫做对数函数． 因为定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的理解是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去理解，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件． 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．
反函数习题精选
习题精选 一、选择题 1．在同一坐标系中,图象表示同一曲线的是( ). A．与 B．与 C．与 D．与 2．若函数存在反函数,则的方程为常数)( ). A．至少有一实根 B．有且仅有一实根 C．至多有一实根 D．没有实根 3．点在函数的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是 ( ). A． B． C． D． 4．（）的反函数是（） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．设函数，，则的定义域是（） A． B． C． D． 6．已知，则的表达式为（） A． B． C． D． 7．将的图象向右平移一个单位，向上平移2个单位再作关于的对称图象，所得图象的函数的解析式为（）
A． B． C． D． 8．定义在上的函数有反函数，下例命题中假命题为（） A．与的图象不一定关于对称； B．与的图角关于轴对称； C．与的图象不可能有交点； D．与的图象可能有交点，有时交点个数有无穷多个9．若有反函数，下列命题为真命题的是（） A．若在上是增函数，则在上也是增函数； B．若在上是增函数，则在上是减函数； C．若在上是增函数，则在上是增函数； D．若在上是增函数，则在上是减函数 10．设函数（），则函数的图象是（） 11．函数（）的反函数 =（） A．（）B．（）
C．（）D．（） 二、填空题 1．求下列函数的反函数: （1） ; （2） ; （3） ; （4） . 2．函数的反函数是_____________________． 3．函数（）的反函数是_________． 4．函数的值域为__________ ． 5． ,则的值为_________. 6．要使函数在上存在反函数,则的取值围是 _____________． 7．若函数有反函数,则实数的取值围是_____________．8．已知函数（），则为__________． 9．已知的反函数为，若的图像经过点，则 =________． 三、解答题 1．求函数的反函数．