30、反函数与对数运算(含答案)

对数运算及反函数

一、知识与方法

1、对数的运算法则（将高一级运算向低级运算转化）

（1）N M MN a a a log log log += （2）N M N

M

a a a log log log -= （3）M n M a n a log log = （4）M n

M a n a log 1

log =

2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的

3、几个常用的对数结论

01log =a 1log =a a n a n a =log b a b a =log

m n a n a m =

log b m

n b a n

a

m l o g l o g = 1l o g l o g =⋅a b b a 4、换底公式：a

b

a b b c c a lg lg log log log =

=

5、常用对数与自然对数

6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数

7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发

8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原函数值域求得 9、求反函数的基本步骤，分段函数的反函数分段求得 10、原函数与反函数的图像关于x y =对称 11、()[

]x x f

f =-1

()f R x ∈

()[]x x f f =-1()D x ∈

12、反函数具有保奇性，并且保持单调性不变 13、函数()a x f y +=与()a x f

y +=-1

不是互为反函数关系

14、互为反函数的公共点不一定在x y =上 二、练习

1、若2log (2)log log a a a M N M N -=+，则N

M

的值为__________ 2、计算：① =8log 2

2

_______ ② 2

log 293+=________ ③ 1

3log 22-=____________

④ =-2lg 20lg _____ ⑤=+⋅+5lg 5lg 2lg 22lg 2

2

________

⑥=+++2

1

lg 20lg 1000lg 01.0lg ______

⑦(

1

3___________+=⑧_____)

2(lg 50lg 2lg 25lg 2

=++

3、已知732log [log (log )]0x =，那么12

x -等于__________

4、计算：11

log log a

a

b b

-之值为__________ 5、若3log 41x =，则332222x x

x x

--++的值是_______________

6、已知32a

=，那么33log 82log 6-用a 表示是__________ 7、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 8、已知35a

b

m ==，且

11

2a b

+=，则m 之值为 __________ 9、如果方程()07lg 5lg lg 7lg 5lg lg 2=⋅+++x x 的两根是,αβ，则βα⋅的值是________ 10、求下列函数的反函数

（1）≤0) （2）)3(42-<--=x x

x y

（3）)21

,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且 （4）()

()

⎩⎨⎧>-≤=0302

x x

x x y

11、若函数()1

y f x -=的图象经过点（-2，0）

，则函数(5)y f x =+的图象经过点_______

12、已知函数12y x m =

+与1

3

y nx =-互为反函数，则__________,________m n == 13、已知函数5

()2x f x x m

-=+的图象关于直线y x =对称，则_________m =

14、若点（4，3）既在函数1y =数的解析式为___________

15、已知()1f x =的反函数为1

()f x -,则1(2)f --的值为___________

16、已知x

x x x x f ---+=

2222)(（1）求1

()f

x -；

（2）求()f x 值域；（3）判断1

()f x -的奇偶性 17、函数()x f 的定义域为R ，对任意R a ∈，()a x f

y +=-1

的反函数为()a x f y +=，

（1）若()21=f ，求()2f 的值；（2）判断函数()x f 单调性，并加以证明

30、反函数与对数运算

1、4

2、（1）2（2）29（3）

2

6

（4）21（5）1（6）2（7）2-（8）2

3、

4

2

4、0

5、37

6、2-a

7、12

8、15

9、351

10（1）()02≥-=x x y （2）()342<---=x x y （3）()12

21-≠+-=

x x x

y （4）

()()

⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=03

0x x

x x y

11、()2,5-- 12、2,6

1

==

n m 13、1-=m 14、x y 5241-+= 15、8

16、（1）1()f x -()111

1

log 2>-<-+=orx x x x （2）()()∞+⋃-∞-.11,（3）奇函数 17、（1）()a x f

y +=-1

的反函数为()a x f y -=，则()()a x f a x f -=+，令1==a x ，

则()()1112=-=f f

（2）任取21x x <，可得：()()02112<-=-x x x f x f ，则()x f 为减函数