5.5图乘法及其应用

1 1 Pl 1 l EI 2 4 2 1 Pl 2 ( ) 16 EI
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
P
B
l
Mi
1
l
EI
MP
l
解: By

MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
§5.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 Δ EI

B
MM P d x


1 Δ EI
( ) A y
k
k
结构位移计算与虚功原理 6.5 图乘法
2016-11-15-22:09
3. 杆段的抗弯刚度EI分段不同；
1 B Δ MM P d x EI A 1 1 MM P d x MM P d x EI1 1 EI2 2
A
l/2 C
l/2
Mi
ql2 / 2
EI l/2 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( 1 EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 2 1 l ql 1 l C ) q 2 2 8 3 2 2 ql / 8 17 ql 4 () 384 EI ql2 / 32
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A B
1 2 ql 8 1 2
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
三、图形分解
求 B
MP
20
A
B
20 A 20 kN m
EI
MP图
5ql4 ΔCy () 384EI
.
求A端截面的转角及C点的竖向位移。 EI = 1.5105kNm2
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M (3)求位移A
M
k k
解：1.求A端截面的转角
1 Δ EI 1 A EI
( ) A y
k
( ) A y
k
MP图(kNm)
40
Mi
20
B
1 1 2 ( 10 40 EI 2 3 1 1 100 20 10 ) ( ) 2 3 EI
三、图形分解
求 B
MP
q
B
2
A
q
ql / 8
EI
ql2 / 4
l
1
Mi
ql2 / 8
ql 2 4
1 2 ql 1 1 ql 2 B ( l l 1) EI 3 8 2 2 4 3 3 ql ( ) 24EI
1
1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 B ( l ) ( EI 2 4 2 16EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
A
MP
60
20
40 B 20 kN m
EI
B
20
40 kN m 10 m
1
1 1 2 ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
1
1 1 B 10 1 (20 EI 2 2 500 20 ) ( ) 3 3EI
Mi
1/ 2 2 / 3
1 1 2 B ( 10 20 EI 2 3 1 500 10 20 ) ( ) 2 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取哪 个图形的面积均可.
四、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
yc 应取自直线图中。 yc取正值； 2. 若 与 yc 在杆件的同侧，
（ 3） 反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
五、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求A、B两点相对水平位移
B
Mi
1
l
ql / 4
2
l
ql2 / 4
MP
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
ql / 4
1 2 ql 2 1 CD EI EI 3 8 2 ql3 ql / 4 ( ) 24EI
yc
练习
求B点水平位移。
4 EI
Pl
EI
B P
Mi
l
1
l
EI A
MP
yc
练习
求C、D两点相对水平位移 CD 。
P
C
EA A
MP
D
P
l
EI Pl
B
1
1
Pl EI
l
l
Mi
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
N i N Pl 1 1 2 1 B Pl l l 4 (2 P)(2) l EI EA EI 2 3 EA 4 Pl 3 4 Pl () 3EI EA
40
B
20 kN m
A
40 B 40 kN m
40 kN m 10 m
1
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
求 B
MP
20 A 20 kN m
EI
40
B
40 kN m 10 m
k
k
1 ΔCy EI
( ) A y
k
M (m)
k
1 +1 2 ( 300 6) 6 EI 2 3 1 ( – 2 45 6) 1 6 2 3 2 EI 6660 0.0444 m ( ) EI
MP图(kNm)
ΔCy 0.0444m( )
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
B
c
y c
ql2 / 2
ql2 / 8
已知 EI 为常数，求B截面转角。
B
2kN/m
4
MP
6kN
12
M 1
3m
Mi
A
4m
2m
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B

y c
EI

1 1 1 2 1 ( 4 12 1 4 4 ) EI 2 3 3 2 )
取“+”，当面积A与竖向标距y0位于杆件的异侧时，取
“ - ”。 (2) 竖向标距y0必须取自直线图；当两个弯矩图均为直 线图时，可从任一图中取竖向标距，另一图求面积。
2. 单位荷载产生的弯矩图为几段直线组成的折线图， 而MP图为曲线图；
1 1 ( ) ( A1 y1 A2 y 2 A3 y3 ) 2 3 A EI 1 EI 1 1 A y ( ) Ak yk k k EI EI 方法：分杆段后分别图乘，然后相加。
EI EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
hl n 1
wk.baidu.com
C
h
l n2
( n 1)l n2
复杂图形的图乘法
Δ
1 1 Ay0 MM P d x EI EI l

1 ( ) Ay0 EI
1. 注意：
(1) 正负号：当面积A与竖向标距y0位于杆件的同侧时，


1 d c y1 2 3 3
2 d y2 1 c 3 3
方法：面积图应分成上下两个三角 形，与取竖向标距的图形分别图乘 后相加。
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1
l/2
EI
B 1
Mi
l/2 Pl / 4
解: B

MM P EI ds yc EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx EI yc tan 1 ip xc yc EI
8 ( 3EI
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移
CD
。
1
ql
C
D
l
A
q
B
ql
q
1
l
ql 2
l
MP
l
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
1 1 1 2 ql 2 2 2 2 CD ( l ql l l ql l l l) EI EI 2 3 2 3 8 11ql 4 ( ) 12EI
yc
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P A C B
a
l
2
l
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
NP P / 2
A
l 2
D P
Ni 1 / 2
D
a
B
2
Pl 4
A
l 2
1 C
l
a
B
2
l 4
C l
MP
M
2 1 l Pl 2 l 1 1 P Pl3 Pa Cy [( ) ] a () EI 2 2 4 3 4 EA 2 2 48EI 4 EA
三、图形分解
求 B
A
MP
P EI
Pl / 4 l/2
B
l/2
Mi
1 1 l 1 2 Pl B ( EI M 2 i图面积乘 2 2 3 4 能用 l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl ? ) M P 图竖标吗 2 2 2 4 2 2 2 3 4 Pl 2 ( ) 16EI
4. 两个梯形图形图乘； 1 1 B ( ) Ay0 Δ MM P d x A EI EI 要注意MP图是由叠加原理得到。 M P M P1 M P2 1 B M ( M P1 M P2 ) d x Δ A EI B 1 B ( MM P1 d x A MM P2 d x ) EI A 1 ( A1 y1 A2 y2 ) EI A2 1 bl A1 1 al 2 2
2
2
练习 求B端截面的转角及中间C点的竖向位移。
解：1.求B端截面的转角
(1)虚设单位荷载
(2)画弯矩图 M P , M (3)求位移B 1 Δ ( ) Ak yk EI M 1 B ( ) Ak yk EI 1 2 ql2 y0 1 A l 2 3 8 MP图 ql3 1 1 3 B 2 ( ) ql 1 1 －2 ql 12 2 EI ( l) 1 B 3 24EI 2 ql () 3 8 EI ( ) 24EI



1 1 A2 y2 A1 y1 EI1 EI2


1 Ak yk EIk 1 ( ) Ak yk EIk
方法：根据刚度变化，两图分杆段后分别图乘，然后相加。
Δ

( )
1 Ak yk EIk
Δ
1 EI
( ) A y
k
k
结构位移计算与虚功原理 6.5 图乘法
2016-11-15-22:09
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
yc
注意:各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 B Pl l l 2 Pl l l EI EI 2 3 4 EI 5 Pl 3 () 8 EI
图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B

AB
。
h
q l
2
q
ql / 8
MP
1
1
h
Mi
2
h
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
AB
y c
1 2 ql l h EI EI 3 8
qhl3 ( ) 12EI
五、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。 l q
A
C
1 1
+1 1 1 ( 300 6) 1 EI 2 3
300 0.002rad () EI
A 0.002rad
()
提示：采用荷载分段画图进行计算
2.求C点的竖向位移
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M
(3)求位移Cy
Δ
1 EI
( ) A y


2.中间C点的竖向位移
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M
(3)求位移Cy
Δ
1 EI
( ) A y
k
k
ΔCy
1 EI

( ) Ak yk
2
M
+2 ql l 5 l 1 ) 2 ( 3 8 2 8 4 EI 5ql4 ( ) 384EI