5.5图乘法及其应用
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图乘法及其应用
1 1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l ∆C = ∑ = ⋅ × ⋅ + ⋅ ⋅ ) ( ⋅ EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4 5 ql 3 = ( ↓) 128 EI
ωyc
三、应用举例
为常数， 例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 点竖向位移
ql 2 / 2
MP
三、应用举例
为常数，求铰C两侧截面相对转角 例 2. 已知 EI 为常数，求铰 两侧截面相对转角 ϕ C 。 l q
A C =1 =1
B
Mi
1
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l 0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
ql / 4
1 2 ql 2 1 ∆ CD = ∑ =− × × × 8 2 EI EI 3 ql 3 ql / 4 =− ( ) 24 EI
ωyc
注意:各杆刚度 注意 各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 ∆B = ∑ = ⋅ ⋅ Pl ⋅ l ⋅ ⋅ l × 2 + ⋅ Pl ⋅ l ⋅ l 3 4 EI EI EI 2 5 Pl 3 = (→ ) 8 EI
为常数， 并画出变形图。 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 ∆CD,并画出变形图。 、 两点相对水平位移 并画出变形图
=1
1 1 2 × ( ×10 × 60 × − 3 EI 2 1 100 20 ×10 × ) = ( ) 2 EI
40
Mi
1 1 2 ϕB = ⋅ ×10 ×1× (60 × − 20) EI 2 3 100 = ( ) EI
20
ϕB =
1 1 2 × ( ×10 × 60 × − EI 2 3 1 100 20 ×10 × ) = ( ) 2 EI
图乘法及其应用
38
4 128EI
温 度
4. 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移； 3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
P
MM Pds EI
FN FNds EA
1 EI
( l ql 2 28
l 1 22
1 l 3ql 2 32 8
3 l) 42
1 (ql 4 3ql 4 ) 5ql 4 ( )
EI 64 128 128EI
?
解法一、
q
ql 2
2
ql 2
A
l2
C l2
B
8
B
A
C
MP 图
Cy
1 EI
[( l ql 2 28
38
2
1 ql 3 24 EI
（
）
例 2. 已知 EI 为常数，求刚架C、D两点
距离的改变 CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
p117
2
yc h
CD
yc
EI
1 EI
2 ql 2 l h 38
qhl 3 ( ) 12 EI
例 3. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位
4k
由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为
MMP ds Fk FPk
EI
k
例 5. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
q
A
l2
54图乘法及其应用
10 20
三、图形分解
求
20 A
B
40
B
B
20
1 EI 2 3
1 2
10 1 ( 20 ( )
MP
20 kN m
EI
10 m
40 kN m
1
)
500 3 EI
Mi
1/ 2 2 /3
B
1 EI
(
1 2
10 20 500 3 EI (
对称结构的对称弯矩图与 EI
yc
l
l
l
1 1
1
1
EI 2 3 反对称弯矩图 3 10 Pl ( ) 3 EI yc Mi 0 ABX EI 对称弯矩图 1 1
Mi
AB
yc
EI
0
1
Mi
l
l
1
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
2 3
MP
20
20 kN m 10 m
40 kN m
1
20 10
)
Mi
1 EI ( 1 2 ) 2 3
20
40
B
100 EI
10 1 ( 60
20 )
B
1 EI
( 1 2
1 2
10 60 100 EI ( )
2 3
20 10
6.7 线弹性结构的互等定理
（Reciprocal Theory in Linear Structures)
线弹性结构的互等定理
第五章 结构位移计算
MP
1 2
qx12
MP
1 2
ql 2
求刚架A点的竖向位移。
AB： FN 0 FQ 1 M x1
BC： FN 1 FQ 0 M l
Ay
FN FNPds EA
kFQFQPds GA
MM Pds EI
5ql 4 8EI
8I ( 5 Al 2
求解的关键是找出虚力状态的静力平衡关系。
【例2】 已知支座A的位移为，求C点位移和杆CD的转角。
【解】
虚设单位力状态。
1
C
1 3
0
C
1 3
1 1 0
2l
1
2l
A
l 位移状态
A
1
l
3
虚单位力状态
所得正号表明位移方向 A
与假设的单位力方向一致。 1
MP
1 2
ql 2
AB：
FN 0 FQ 1 M x1
BC：
FN 1 FQ 0 M l
x2
x2
q
B
A
x1 A'
l
（实际位移状态）
C
l
F 1
B
x1
A
虚设单位力状态
C
实际位移状态
虚单位力状态
AB： FNP 0
BC：FNP ql
FQP qx1
FQP 0
P
FN FNP EA
kFQ FQP GA
MM P EI
ds
《图乘法力学》课件
与数值法的比较
数值法通过计算机模拟得出结果，适用于复杂问题但需要专业软件；图乘法简单易行，但计算能力有限。
05
CHAPTER
图乘法的发展趋势与展望
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，图乘法在分析飞行器结构、优化设计等方面将有更广泛的应用。
1
2
3
图乘法在多物理场耦合分析方面具有优势，未来研究将进一步深化其在流固耦合、热固耦合等领域的应用。
直观易懂
图乘法在处理某些复杂问题时，可以简化计算过程，提高解题效率。
计算简便
图乘法适用于多种类型的力学问题，尤其在解决平面问题和旋转问题时表现出色。
适实际实验获取数据，真实度高但受实验条件限制；图乘法不受实验条件限制，但结果依赖于绘图精度。
与解析法的比较
解析法通过数学公式解析问题，精确度高但计算复杂；图乘法在保持一定精确度的同时，简化了计算过程。
详细描述
02
CHAPTER
图乘法的基本原理
图乘法涉及到代数运算，包括线性代数和矩阵运算等。
代数基础
几何基础
微积分基础
图乘法涉及到几何图形，如平面图形和立体图形等。
图乘法涉及到微积分的知识，如微分和积分等。
03
02
01
图乘法可以用于结构分析，通过计算结构的位移和应力等参数，评估结构的性能。
结构分析
在机械结构分析中，图乘法常用于计算机械零件的应力和变形。通过将机械零件各部分离散化，并利用图乘法计算各部分产生的内力和变形，可以得出整个机械零件的受力状态和变形情况。这对于确保机械零件的安全性和稳定性至关重要。
总结词
详细描述
04
CHAPTER
图乘法的优缺点分析
图乘法通过图形直观地展示力学问题，使得学生更容易理解。
图乘法
2、求ΔCV ① MP图如图(b)所示。 ② 单位弯矩图M如图(d)所示。 ③ 计算A、yC。 2×l/2=ql3/24 A=2/3×1/8ql yC=5/8×l/4=5l/32 ④ 计算ΔCV ΔCV=2(1/EI*A*yC)= 5ql4/384EI (↓)
【课后作业】习题8-6（用图乘法）
【预习】：静定结构的位计算习题课
三、几个规则图形的面积和形心位置
顶点：指曲线上切线平行于底边的点 标准抛物线：指顶点在中点或端点的抛物线
四、图乘法技巧
1、图形分解图乘 当图形的面积和形心不 便确定时，可以将其分 解成几个简单的图形， 分别与另一图形相应的 纵坐标相乘。
（1）梯-梯同侧组合（三角形为特殊情况）
（2）、梯-梯同侧组合：
剪力与轴力项能用图乘法？
3、图乘法求位移的一般表达式
注意：
y [1]. c
应取自直线图中。 [2].若 A 与 yc 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值（不是MP与M 图位于杆件同侧或异侧）。 [3]. 如图形较复杂，可分解为几个简 单图形。
二、图乘法步骤 (1) 画出结构在实际荷载作用下的弯 矩图（荷载弯矩图）MP； (2) 根据所求位移选定相应的虚拟力 状态，画出单位弯矩图M(注：M图不标 单位）； (3) 分段计算一个弯矩图形的面积A 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖 标yC； (4) 将A、yC代入图乘法公式计算所 求位移。
解：1、求φA ① 实际荷载作用 下的弯矩图MP如图(b) 所示。 ② 在A端加单位力 偶m=1，其单位弯矩图M 如图(c)所示。
③ MP图面积及其形心 对应M图竖标分别为：
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 ④ 计算φA φA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24 EI
朱明zhubob结构力学5-5图乘法
直角三角形
三角形
二次抛物线
A1
2 3
hl
A2
1 3
hl
二次抛物线
A1
3 4
hl
A2
1 4
hl
三次抛物线
⒊ 应用图乘法时的几个具体问题 ⑴ 如果两个图形都是直线, 则标距y0可取自其中任一个图形。 ⑵ 如果一个图形是曲线, 另一个图形是由几段直线组成的折
线, 则应分段考虑。
Mi Mkdx A1 y1 A2 y2 A3 y3
1
y0
A
1 ql 2 8
⑶ 求位移（用图乘法）。
MMP dx
EI
1 EI
Ay0
1 EI
2 3
ql 2 8
l
1 2
ql 3 24EI
例2 求中点C的挠度ΔC
FP l
y0
1
解：⑴ 虚设单位荷载。 ⑶ 求位移（用图乘法）。
A 1 l l l2 2 22 8
⑵ 用图乘法求位移。
方法一：
ql 2 MP图
ql 2 8
8
ql 2 4
1 M图
ql 2 8
例5-4 求图示悬臂梁C点的竖向位移, 设EI=常数。
ql 2
2
ql 2
8
A3
ql 2 4
A2
ql 2 8
ql 2
A1
8
l 2
y3 y2 y1
1
yC
17ql 4 384EI
解：⑴ 作荷载作用下的弯矩图和单位 荷载作用下的弯矩图。
结构力学5-5图乘法
ql 2 ql 2 l a , b , c , d 0 2 8 2
整理后, 得： yC
17ql 4 384 EI
2
yC
2 1 2 l ql 1 l ql 2 l l ql l 2 2 2 0 0 8 2 EI 3 2 32 2 2 12 EI
§5-5 图乘法
MM P 求积分： ds EI
MM P 1 ds MM P dx EI EI
xdA A x ,
0
1 tan xM P dx EI 1 tan xdA EI
x0 tan y0
⑴ 只适用于等截面直杆； ⑵ 至少有一个弯矩图是直线图形； ⑶ y0只能取自直线图形； ⑷ 可采用分段图乘的方法解决不满足 上述适用条件的杆件和弯矩图。
5 2 3 y1 10m, y2 y4 10, y3 10, 6 3 4 4 5 y5 10kN , y6 10m, y7 0 3 3
⑵求B点水平位移。
M P图
M图
xB
3188kN m 3 EI
1 1 A1 5m 50kN m , A2 A4 5m 25kN m , 2 2 1 1 A3 5m 25kN m , A5 10m 10kN m , 3 2 1 1 A6 10m 20kN m , A7 5m 35kN m 2 2
1 1 120 103 2m EA 2 160 103 N m 2.1 105 MPa 1.6 104 m 4 120 103 N m 2.1 105 MPa 5.0 104 m 2
图乘法及其应用
绘制变形图时， 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的 凹凸方向，注意反弯点的利用。 凹凸方向，注意反弯点的利用。如：
FPl/2
FPl/2
FPl/2 FP FP
FPl/4
MP 图
FPl/4
已知： 、 、 为常数 为常数， 例 4. 已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
FP A C B
a
l
2
l
2
一、图乘法
MMP ds ∫ EI 1 = ∫ MMPds EI 1 = ∫ x tanα MPdx EI tanα = ∫ xMPdx EI tanα 1 = ω xc = ωyc EI EI
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 于 年提出的， 图乘法是 年提出的 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。 二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FPl/2 FPl/2 FPl/2 FP FPl/4
MP 图
EI 2EI
M 图
FPl/4
在
M
图求面积， 图取竖标， 图求面积，在 MP图取竖标，有：
ωyc
1 l FPl 1 3l FPl Ay = ∑ = × ×l × ×l × × EI EI 2 2 2EI 2 4 FPl 3 = ( ↓) 16EI
2
2
ql 4
ql 2 M= 8 2
ql 2 8
解法二、 解法二、
ql 2 2
ql 2 8
ql 2 2
A
ql 2 32
ql 2 8
1 1 l ql l × ) Cy = [( × × EI 2 2 2 3 A 2 1 l ql l +( × × × ) 2 2 8 6 2 4 2 l ql l 17ql ( × × × )] = ( ↓) 3 2 32 4 384EI
结构力学-图乘法
实例分析：圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析：圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小，取较大 者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号，绘制扭矩 图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来，从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下，结构的变形是线性的，即变 形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设，即变形量与结构 尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题，对于非线 性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时，需要保证图形函数的准 确性，否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时， 其内部产生的抵抗弯曲变 形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内 力，其方向与构件轴线垂 直。
弯矩
作用于构件横截面上的内 力偶矩，其大小等于该截 面左侧或右侧所有外力对 截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构 中的力学元素和它们之间 的关系，使得分析结果更 直观，易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法，图 乘法能够更快地给出结构 分析的近似解，适用于初 步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同 类型的结构，包括静定结 构和超静定结构，具有较 广泛的适用性。
5.5 图乘法
P=1
a/2
a/2 M 3a/4
例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
C
Ay0 EI
1l l
××
222
×5 Pl 6
5 Pl 3 48 EI
P
l/2
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
5
M
⑦非标准图形乘直线形
2）假设：温度沿截面高度为线性分布。
t0 (h1t2 h2t1) / h (t1 t2 ) / 2 t1
t t2 t1
3）微段的变形
t0
at0
t2
d / ds [a (t2 t1)ds / h] / ds
h h1 h2 ds
at1ds dθ
at0ds at2ds
二、位移互等定理
P1
①
P112 P221 12 P2 21 P1
△21
P2
②
△12
d ij ij Pj 称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。 d12 d 21
位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相
应的位移影响系数δ21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数 δ12 。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移δ21等于由单位荷 载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移δ12 。
二次抛物线A=2hl/3 顶点
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线A=hl/3
5l/8
3l/8
探究图乘法的简便应用
探究图乘法的简便应用
图乘法有一些简便的应用方法，举例如下：
1. 如果要求变换输入，可以采用图乘法构造图，然后对其中的节点进行遍历访问，以获取所需的结果。
2. 可以使用图乘法来模拟智能体在某种环境中行为决策，比如智能汽车在道路上的行驶，可以根据道路的拓扑特征构成一个图，通过图乘法来确定车辆的行驶方向。
3. 图乘法也可以用于求解给定的线性方程组。
我们可以把线性方程组表示为图中的邻接矩阵，然后通过图乘法来求解。
图乘法及其应用
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
三、图形分解
求 B
A
MP
P
Pl / 4 l/2
B
EI
l/2
Mi
1 1 l 1 2 Pl B ( EI 2 2 2 3 4 能用 Mi图面积乘 l l 1 Pl 1 l 1 1 Pl MP图竖标吗 ? ) 2 2 2 4 2 2 2 3 4 Pl 2 ( ) 16EI
一、图乘法
MM P ds EI 1 (对于等Vereshagin于 图乘法是 M M d s P 截面杆 ) EI 1925 年提出的，他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 M M d x (对于直杆) P EI的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx EI yc tan 1 ip xc yc EI
求 B
MP
20 A 20 kN m
EI
40
B
40 kN m 10 m
1
1 1 B 10 1 (20 EI 2 2 500 20 ) ( ) 3 3EI
Mi
1/ 2 2 / 3
1 1 2 B ( 10 20 EI 2 3 1 500 10 20 ) ( ) 2 3EI
40
Mi
1 1 2 B 10 1 (60 20) EI 2 3 100 ( ) EI
20
B
1 1 2 ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
三、图形分解
求 B
MP
q
B
2
A
结构力学图乘法
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
（1）常见图形面积和形心：
矩形
a
l
A al
三角形
a
l
A
1 2
al
xc
1 2
l
xc
1 3
l
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A
1 3
al
A
2 3
al
a 1 b 2 状态II FPa FPb M FQFN
ds M ds
EI
0ds
kFQ GA
ds
ds FN ds
EA
ds M ds
EI
ds FN ds
EA
0ds
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
所以 r21C1C2 r12C2C1
得
说明：
r12 r21
rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的 力。其量纲为 (W c1c2 ) 。
i 产生支座反力的方位；
j 产生支座移动的支座。
在移起任的C2相一与应线位的性移反变C1力相形影应体响的系系反中数力，r影位21响移等系C于1数引由起r位12的。移与C2位引
EI
93 3
3
156 17.33 ( ) 9EI EI
y2
5.5图乘法(远程教学)
5.5 图乘法
二、公式推导： 设AB杆段，由荷载所引起的
微面积
y M Pdx d
所MP引P 图起为E1的I曲M线图l 图M为M形直P，dx线由图单形位E1。I力 y0
现设单位弯矩图的直线与基线
M P图
A
B
dx
M x tg
交于O点，并设夹角为。
l MM Pdx AB x tgα MP dx
A MP图 4m
（三）利用公式
1 EI
y0
求位移：
CH
1 EI
1 2
4
4
(
2 3
80
80)
3200 (
3EI
)
5.5 图乘法
规律2：
当MP 图的形心不便确定时，可将该图形
分解为几个易于确定形心的部分后再分别
与`M 图相乘。
重点小结
1.常见图形的面积和形心的位置 2.图乘法计算静定结构的位移
y0
应用条件：
1.各构件是等截面直杆；
2.各构件EI为常数；
3.各构件MP、`M 图中至少有
一个是直线图形， 而 y0则必 须取自直线图形。
四、位移符号： ω与y0同侧相乘为正，异侧为负。
5.5 图乘法
五、几种常见图形的面积和形心的位置：
l
m
l/2
w lh
P w lh 2
h h
h h
w lh 3
P C
B
（一）建立相应的虚力状态：
（二）分别作出`M、MP图：
（三）利用公式求位移：
1 EI
y0
jB
1 ( 1 l Pl 1) Pl 2 EI 2 4 2 16EI
(
)
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A
B
AB
。
h
q l
2
q
ql / 8
MP
1
1
h
Mi
2
h
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
AB
y c
1 2 ql l h EI EI 3 8
qhl3 ( ) 12EI
五、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。 l q
A
C
1 1
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
2.中间C点的竖向位移
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M
(3)求位移Cy
Δ
1 EI
( ) A y
k
k
ΔCy
1 EI
( ) Ak yk
2
M
+2 ql l 5 l 1 ) 2 ( 3 8 2 8 4 EI 5ql4 ( ) 384EI
§5.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx EI yc tan 1 ip xc yc EI
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A B
1 2 ql 8 1 2
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
三、图形分解
求 B
MP
20
A
B
20 A 20 kN m
EI
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
yc
注意:各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 B Pl l l 2 Pl l l EI EI 2 3 4 EI 5 Pl 3 () 8 EI
图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
1 Δ EI
B
MM P d x
1 Δ EI
( ) A y
k
k
结构位移计算与虚功原理 6.5 图乘法
2016-11-15-22:09
3. 杆段的抗弯刚度EI分段不同；
1 B Δ MM P d x EI A 1 1 MM P d x MM P d x EI1 1 EI2 2
4. 两个梯形图形图乘； 1 1 B ( ) Ay0 Δ MM P d x A EI EI 要注意MP图是由叠加原理得到。 M P M P1 M P2 1 B M ( M P1 M P2 ) d x Δ A EI B 1 B ( MM P1 d x A MM P2 d x ) EI A 1 ( A1 y1 A2 y2 ) EI A2 1 bl A1 1 al 2 2
四、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
yc 应取自直线图中。 yc取正值； 2. 若 与 yc 在杆件的同侧，
（ 3） 反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
五、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求A、B两点相对水平位移
1 1 Pl 1 l EI 2 4 2 1 Pl 2 ( ) 16 EI
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
P
B
l
Mi
1
l
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
1
1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 B ( l ) ( EI 2 4 2 16EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
A
MP
60
20
40 B 20 kN m
EI
B
20
40 kN m 10 m
1
1 1 2 ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
EI EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
hl n 1
C
h
l n2
( n 1)l n2
复杂图形的图乘法
Δ
1 1 Ay0 MM P d x EI EI l
1 ( ) Ay0 EI
1. 注意：
(1) 正负号：当面积A与竖向标距y0位于杆件的同侧时，
40
B
20 kN m
A
40 B 40 kN m
40 kN m 10 m
1
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
求 B
MP
20 A 20 kN m
EI
40
B
40 kN m 10 m
40
Mi
20
B
1 1 2 ( 10 40 EI 2 3 1 1 100 20 10 ) ( ) 2 3 EI
三、图形分解
求 B
MP
q
B
2
A
q
ql / 8
EI
ql2 / 4
l
1
Mi
ql2 / 8
ql 2 4
1 2 ql 1 1 ql 2 B ( l l 1) EI 3 8 2 2 4 3 3 ql ( ) 24EI
k
k
1 ΔCy EI
( ) A y
k
M (m)
k
1 +1 2 ( 300 6) 6 EI 2 3 1 ( – 2 45 6) 1 6 2 3 2 EI 6660 0.0444 m ( ) EI
MP图(kNm)
ΔCy 0.0444m( )
2
2
练习 求B端截面的转角及中间C点的竖向位移。
解：1.求B端截面的转角
(1)虚设单位荷载
(2)画弯矩图 M P , M (3)求位移B 1 Δ ( ) Ak yk EI M 1 B ( ) Ak yk EI 1 2 ql2 y0 1 A l 2 3 8 MP图 ql3 1 1 3 B 2 ( ) ql 1 1 －2 ql 12 2 EI ( l) 1 B 3 24EI 2 ql () 3 8 EI ( ) 24EI
取“+”，当面积A与竖向标距y0位于杆件的异侧时，取
“ - ”。 (2) 竖向标距y0必须取自直线图；当两个弯矩图均为直 线图时，可从任一图中取竖向标距，另一图求面积。
2. 单位荷载产生的弯矩图为几段直线组成的折线图， 而MP图为曲线图；
1 1 ( ) ( A1 y1 A2 y 2 A3 y3 ) 2 3 A EI 1 EI 1 1 A y ( ) Ak yk k k EI EI 方法：分杆段后分别图乘，然后相加。
B
Mi
1
l
ql / 4
2
l
ql2 / 4
MP
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
ql / 4
1 2 ql 2 1 CD EI EI 3 8 2 ql3 ql / 4 ( ) 24EI
yc
练习
求B点水平位移。
4 EI
Pl
EI
B P
Mi
l
1
l
EI A
MP
+1 1 1 ( 300 6) 1 EI 2 3
300 0.002rad () EI
A 0.002rad
()
提示：采用荷载分段画图进行计算
2.求C点的竖向位移
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M
(3)求位移Cy
Δ
1 EI
( ) A y
B
c
y c
ql2 / 2
ql2 / 8
已知 EI 为常数，求B截面转角。
B
2kN/m
4
MP
6kN
12
M 1
3m
Mi
A
4m
2m
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
y c
EI
1 1 1 2 1 ( 4 12 1 4 4 ) EI 2 3 3 2 )
8 ( 3EI
已知 EI 为常数，求C、D两点来自对水平位移 CD。
1
ql
C
D
l
A
q
B
ql
q
1
l
ql 2
l
MP
l
Mi
B
AB
。
h
q l
2
q
ql / 8
MP
1
1
h
Mi
2
h
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
AB
y c
1 2 ql l h EI EI 3 8
qhl3 ( ) 12EI
五、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。 l q
A
C
1 1
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
2.中间C点的竖向位移
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M
(3)求位移Cy
Δ
1 EI
( ) A y
k
k
ΔCy
1 EI
( ) Ak yk
2
M
+2 ql l 5 l 1 ) 2 ( 3 8 2 8 4 EI 5ql4 ( ) 384EI
§5.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx EI yc tan 1 ip xc yc EI
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A B
1 2 ql 8 1 2
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
三、图形分解
求 B
MP
20
A
B
20 A 20 kN m
EI
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
yc
注意:各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 B Pl l l 2 Pl l l EI EI 2 3 4 EI 5 Pl 3 () 8 EI
图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
1 Δ EI
B
MM P d x
1 Δ EI
( ) A y
k
k
结构位移计算与虚功原理 6.5 图乘法
2016-11-15-22:09
3. 杆段的抗弯刚度EI分段不同；
1 B Δ MM P d x EI A 1 1 MM P d x MM P d x EI1 1 EI2 2
4. 两个梯形图形图乘； 1 1 B ( ) Ay0 Δ MM P d x A EI EI 要注意MP图是由叠加原理得到。 M P M P1 M P2 1 B M ( M P1 M P2 ) d x Δ A EI B 1 B ( MM P1 d x A MM P2 d x ) EI A 1 ( A1 y1 A2 y2 ) EI A2 1 bl A1 1 al 2 2
四、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
yc 应取自直线图中。 yc取正值； 2. 若 与 yc 在杆件的同侧，
（ 3） 反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
五、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求A、B两点相对水平位移
1 1 Pl 1 l EI 2 4 2 1 Pl 2 ( ) 16 EI
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
P
B
l
Mi
1
l
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
1
1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 B ( l ) ( EI 2 4 2 16EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
A
MP
60
20
40 B 20 kN m
EI
B
20
40 kN m 10 m
1
1 1 2 ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
EI EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
hl n 1
C
h
l n2
( n 1)l n2
复杂图形的图乘法
Δ
1 1 Ay0 MM P d x EI EI l
1 ( ) Ay0 EI
1. 注意：
(1) 正负号：当面积A与竖向标距y0位于杆件的同侧时，
40
B
20 kN m
A
40 B 40 kN m
40 kN m 10 m
1
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
求 B
MP
20 A 20 kN m
EI
40
B
40 kN m 10 m
40
Mi
20
B
1 1 2 ( 10 40 EI 2 3 1 1 100 20 10 ) ( ) 2 3 EI
三、图形分解
求 B
MP
q
B
2
A
q
ql / 8
EI
ql2 / 4
l
1
Mi
ql2 / 8
ql 2 4
1 2 ql 1 1 ql 2 B ( l l 1) EI 3 8 2 2 4 3 3 ql ( ) 24EI
k
k
1 ΔCy EI
( ) A y
k
M (m)
k
1 +1 2 ( 300 6) 6 EI 2 3 1 ( – 2 45 6) 1 6 2 3 2 EI 6660 0.0444 m ( ) EI
MP图(kNm)
ΔCy 0.0444m( )
2
2
练习 求B端截面的转角及中间C点的竖向位移。
解：1.求B端截面的转角
(1)虚设单位荷载
(2)画弯矩图 M P , M (3)求位移B 1 Δ ( ) Ak yk EI M 1 B ( ) Ak yk EI 1 2 ql2 y0 1 A l 2 3 8 MP图 ql3 1 1 3 B 2 ( ) ql 1 1 －2 ql 12 2 EI ( l) 1 B 3 24EI 2 ql () 3 8 EI ( ) 24EI
取“+”，当面积A与竖向标距y0位于杆件的异侧时，取
“ - ”。 (2) 竖向标距y0必须取自直线图；当两个弯矩图均为直 线图时，可从任一图中取竖向标距，另一图求面积。
2. 单位荷载产生的弯矩图为几段直线组成的折线图， 而MP图为曲线图；
1 1 ( ) ( A1 y1 A2 y 2 A3 y3 ) 2 3 A EI 1 EI 1 1 A y ( ) Ak yk k k EI EI 方法：分杆段后分别图乘，然后相加。
B
Mi
1
l
ql / 4
2
l
ql2 / 4
MP
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
ql / 4
1 2 ql 2 1 CD EI EI 3 8 2 ql3 ql / 4 ( ) 24EI
yc
练习
求B点水平位移。
4 EI
Pl
EI
B P
Mi
l
1
l
EI A
MP
+1 1 1 ( 300 6) 1 EI 2 3
300 0.002rad () EI
A 0.002rad
()
提示：采用荷载分段画图进行计算
2.求C点的竖向位移
(1)虚设单位荷载 (2)画弯矩图 M P , M
(3)求位移Cy
Δ
1 EI
( ) A y
B
c
y c
ql2 / 2
ql2 / 8
已知 EI 为常数，求B截面转角。
B
2kN/m
4
MP
6kN
12
M 1
3m
Mi
A
4m
2m
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
y c
EI
1 1 1 2 1 ( 4 12 1 4 4 ) EI 2 3 3 2 )
8 ( 3EI
已知 EI 为常数，求C、D两点来自对水平位移 CD。
1
ql
C
D
l
A
q
B
ql
q
1
l
ql 2
l
MP
l
Mi