统计学：第七章 方差分析

因此，食品制造商可以对麦片成份及甜味 剂类型给予充分的关注以生产更合儿童口味的 麦片，而对制作时间不必太介意。 方差分析可以用来分析不同因素（如上例 中小麦与玉米的比例、甜味剂类型、制作时 间）对总体特征是否有显著影响。
所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均 值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借 助于方差 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的 分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进 行方差分析时，需要考察数据误差的来源
单因素方差分析：只针对一个因素进行分析； 多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
2、进行方差分析必须满足如下假设 （1）每个总体的相应变量（因素）服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布
总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布
（2）所有总体相应变量（因素）的方差相等2 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同 （3）不同观察值（水平）相互独立（每个样本点的
如果原假设成立：说明某因素不同水平的影响不显著（无系统 性影响），只剩下随机性影响，因此组间方差与组内方差差别不 大，它们的比接近于1。 如果原假设不成立：说明某因素不同水平的影响显著（存在系 统性影响），组间方差与组内方差差别较大，它们的比远超出1。
组间方差 F 组内方差
二、单因素方差分析的步骤 • 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
相等的证据也就越充分 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据 就越充分

如果原假设成立，即H0: 1 = 2 = 3 = 4

四种颜色饮料销售的均值都相等 没有系统误差

这意味着每个样本都来自均值为、差为2 的同一正态总体
f(X)
1 2 3 4
X

提出假设
1.
一般提法

2.
H0: 1 = 2 =…= k (因素有k个水平） H1: 1 ，2 ，… ，k不全相等
对前面的例子 H0: 1 = 2 = 3 = 4
• 颜色对销售量没有影响 H0: 1 ，2 ，3， 4不全相等 • 颜色对销售量有影响
构造检验的统计量
n n 式中：n n1 n2 nk

n x
i 1
i i
构造检验的统计量
表8-2 四种颜色饮料的销售量及均值
超市 (j)
1 2 3 4 5
合计
(前例计算结果 )
水平A ( i )
粉色(A2)
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
取值不影响其他样本点的取值） 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立
1.
2.
在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
27.32 2.67 1.64
29.56 2.14 1.46
26.44 3.31 1.82
31.46 1.66 1.29
四种颜色可以看作是四个总体
要知道颜色是否对饮料销售有显著影响，就是 要知道四种颜色饮料销售量的均值是否有显著差 异，即进行下述假设检验： H0: 1=2=3=4
H1: 四个总体均值不全相等
xi
x
j 1
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
构造检验的统计量
1. 全部观察值的总和除以观察值的总个数 2. 计算公式为
x
(计算全部观察值的总均值 )
k ni kHale Waihona Puke Baidu
x
i 1 j 1
ij
一、方差分析的内容
方差分析主要用来对多个总体均值是否相等作 出假设检验。 例：某饮料制造商生产一种新型饮料，共有四 种颜色： (1)橘黄、(2)粉红、(3)绿色、(4)无色。 该制造商想知道颜色是否对销售量有显著影响， 随机抽取了5家超市前一期的销售量（下表）进 行分析。
下表
四种饮料销售量情况
样本均值 样本方差 样本标准差
如果备择假设成立，即H1: i (i=1，2，3，4)不全相 等

至少有一个总体的均值是不同的 有系统误差

这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总
体
f(X)
3 1 2 4
X
三、方差分析的原理
观察值之间的差异来自两个方面： 某因素不同水平的影响 （系统性影响） 水平间方差 （组间方差） 其他随机因素的影响 （随机性影响） 水平内方差 （组内方差）
其中， i(I=1,2,3,4) 表示所有饮料（无色、粉红、橘黄、绿色） 销售量之均值。
样本来自于一 个相同的总体
样本来自于不同的总体
二、方差分析的假设
1、相关术语 因素：是一个独立的变量，是方差分析的研究 对象 （上例中的饮料颜色）；
水平：因素中的内容 （上例中饮料的四种颜色：无色、粉色、橘 黄色、绿色 ）
第七章 方差分析


一、 方差分析的基本问题 二、 单因素方差分析 三、 双因素方差分析
一、 方差分析的基本问题
方差分析（Analysis of Variance, ANOVA)是假设 检验的一种延续与扩展，它可以解决诸如多个均值是 否相等等方面的检验问题，在因素分析中具有一定的 优势。
例4：一个儿童食品制造商生产儿童麦片，该制造商认为 以下三种因素影响麦片味道： （1）麦片中小麦与玉米的比例； （2）甜味剂类型的选择：糖、蜂蜜等； （3）制作时间的长短。 该例中，食品制造商通过生产出不同类型的麦片并邀请儿 童进行品尝试验，最后发现： （1）麦片成份及甜味剂类型对麦片食味有很大影响； （2）制作时间对麦片食味没有影响。
1.
2.
为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 离差平方和 均方(MS)
构造检验的统计量
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为 ni的简单 2.
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
(计算水平的均值 )