弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法

用张量公式表示为
σ ij , j + Fbi = 0
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
几何方程：
∂u ∂u ∂v ⎫ εx = γ xy = + ⎪ ∂x ∂y ∂x ⎪ ∂v ∂v ∂w ⎪ εy = γ yz = + ⎬ ∂y ∂z ∂y ⎪ ∂w ∂w ∂u ⎪ εz = γ zx = + ⎪ ∂z ∂x ∂z ⎭
2
1 ∂ 2σ v ⎛ ∂ Fbx ∂ Fby ∂ Fbz ∇ σy + = − + + ⎜ 2 ∂y ∂z 1 + v ∂y 1 − v ⎝ ∂x
2
1 ∂ 2σ v ⎛ ∂ Fbx ∂ Fby ∂ Fbz ∇ σy + = − + + ⎜ 2 ∂y ∂z 1 + v ∂y 1 − v ⎝ ∂x
2
⎞ ∂ Fbx − 2 ⎟ ∂x ⎠ ∂ Fby ⎞ − 2 ⎟ ∂y ⎠ ∂ Fby ⎞ − 2 ⎟ ∂y ⎠
本构方程：
全量理论
3ε eij = sij 2σ
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ E σm ⎪ , K= εm = 3K 3 (1 − 2v ) ⎪ ⎭
除上述方程外，塑性力学问题还需要增加一个屈服条件方程
屈服条件方程：
ϕ (σ ij , ξα ) = 0
弹性区 塑性区
ϕ (σ ij , ξα ) < 0
ϕ (σ ij , ξα ) = 0
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
v 1+ v ε ij = σ ij − δ ijσ kk E E
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学边界条件
应力边界条件 ：
p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫ ⎪ p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬ ⎪ pz = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎭
平衡方程：
增量理论
dσ ij , j + dFbi = 0 dσ ij , j 为应力增量， dFbi 为体力增量。
全量理论
σ ij , j + Fbi = 0
6.3 塑性力学基本方程与求解方法
几何方程：
增量理论
d ε ij 为应变增量， dui 为位移增量。 1 全量理论 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2 本构方程：
平衡方程： 几何方程： 本构方程：
σ ij , j + Fbi = 0
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2 v 1+ v ε ij = σ ij − δ ijσ kk E E
6.2 弹性力学问题的基本解法
6.2.1 位移法
位移法是以位移为基本未知量的解法，为此需要用位移表示 平衡方程。即先将应力用应变表示，再将应变用位移表示；最后 代入平衡方程，得到用位移表示的平衡方程 ⎧ ∂θ 2 λ μ μ + + ∇ u + Fbx = 0 ( ) ⎪ ∂x ⎪ ∂θ ⎪ 2 λ μ μ v + Fby = 0 + + ∇ ( ) ⎨ ∂y ⎪ ⎪ ∂θ 2 w + Fbz = 0 λ μ μ + + ∇ ( ) ⎪ ∂z ⎩ 其中
6.4.1 解的唯一性定理
* σ 综上所述， ij 满足无体力、无面力的自然状态下的平衡方程
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和边界条件，此时 所以
σ =0
* ij
σ ij − σ ij = σ = 0
* ij
(1)
(2 )
(2 ) (1) 即 σ ij 和 σ ij 实际上是同一组解，由此说明弹性力学问题的
解是唯一的。
6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
增量理论中塑性力学问题的提法：
已知物体的加载历史、应力场、应变场、位移场、加载面 方程，以及t 时刻物体上的体力增量、边界面力增量（给定力边 界）、边界位移增量（给定位移边界），求解t + Δ t时刻的位移 场、应变场和应力场。
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
τ xy ⎫ 1 ⎤ γ xy = v − + εx = ⎡ σ σ σ ( ) ⎪ x y z ⎣ ⎦ G E ⎪ τ yz ⎪ 1 εy = ⎡ σ y − v (σ z + σ x ) ⎤ γ yz = ⎬ ⎣ ⎦ E G⎪ 1 τ zx ⎪ ⎡ ⎤ ε z = ⎣σ z − v (σ x + σ y )⎦ γ zx = ⎪ E G⎭
( λ + μ ) u j , ji + μui , jj + fi = 2μ (ωeij ), j
首先令 ω = 0，上式退化为线弹性方程，求得弹性解；再将 弹性解作为第一次近似解，代入式上右端项作为已知量，求解 上式，得到二次近似解。重复以上过程，直到前后两次近似解 的值差别很小，即可认为得到弹塑性解。
弹性与塑性力学引论
配套教材：《弹性与塑性力学引论》
中国水利水电出版社，丁勇 宁波大学 建筑工程与环境学院
联系方式：137210762@qq.com
弹性与塑性力学引论
第6章 弹性与塑性力学问题的 建立与基本解法
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
平衡方程：
⎫ ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ⎪ ∂x ∂y ∂z ⎪ ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy ⎪ + + + Fby = 0 ⎬ ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪ ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ⎪ ∂x ∂y ∂z ⎭
6.4 解的唯一性定理
6.4.1 解的唯一性定理
圣维南原理
叠加原理
弹塑性力学基本方程在给定边界条件情况下，其解是唯一 的。下面在小变形、线弹性条件下来证明。 假设同一弹性力学问题的存在两组应力解，它们的差为
(1) (2 ) * σ ij = σ ij − σ ij
由平衡方程 得到
σ ij , j + Fbi = 0
（张量形式)
pi = σ ij n j
位移边界条件 ：
ui = ui
（张量形式)
混合边界条件 ：
pi = σ ij n j
在 Sσ 上 在 Su 上
ui = ui
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学问题的提法：
弹性力学问题是在给定边界或内部作用（温度、外力 等）下，求解物体内部的应力、应变和位移场。 弹性力学问题共有15个方程，即3个平衡方程、6个几何方 程、6个本构方程；求解变量也是15个，即3个位移分量、6个 应变分量、6个应力分量，在给定边界条件时，问题可解。
6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理
6.4.2 圣维南原理
作用在弹性体表面局部面积上的力系，如果被同一作用面上 的等效力系所代替，只会影响与荷载作用处很近处的应力，对荷 载较远处只有极小的影响。
上图钳子夹住一根直杆，那么直杆上加上了一组平衡力 系，实验证明，无论作用的力有多大，在A区域以外的应力很 小。这一现象可以用圣维南原理来解释。研究表明，影响区域 的大小，大致与外力作用区的大小相当。
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
∇ τ xy
2
∇ 2τ yz ∇ 2τ zx
⎛ ∂F ∂F ⎞ 1 ∂ 2σ + = − ⎜ by + bx ⎟ ∂y ⎠ 1 + v ∂x∂y ⎝ ∂x ∂F ⎞ ⎛ ∂F 1 ∂ 2σ + = − ⎜ bz + by ⎟ 1 + v ∂y∂z ∂z ⎠ ⎝ ∂y 1 ∂ 2σ ∂F ⎞ ⎛ ∂F + = − ⎜ bx + bz ⎟ 1 + v ∂z∂x ∂x ⎠ ⎝ ∂z
(1)
(2 ) σ ij , j + Fbi = 0
* σ ij ,j = 0
（*） （**）
由应变协调方程得到 由边界条件 得到
* ∇ 2σ ij +
(1) σ ij n j = Pi
(2 ) σ ij n j = Pi
* σ ij nj = 0
1 σ *, ij = 0 1+ v
（***）
6.4 解的唯一性定理 圣维南原理 叠加原理
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
塑性力学边界条件
增量理论
应力边界条件 ： d pi = dσ ij n j 位移边界条件 ： dui = dui 应力边界条件 ： 位移边界条件 ：
Pi = σ ij n j
全量理论
ui = ui
塑性力学问题共有16个方程，即3个平衡方程、6个几何方 程、6个本构方程，1个屈服条件方程；求解变量也是15个，即 3个位移分量、6个应变分量、6个应力分量，1个塑性参 数 d λ 。在给定边界条件时，问题可解。
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡 方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。
6.3 塑性力学基本方程与求解方法
6.3.1 基本方程
塑性力学可采用增量理论或全量理论求解，相应的基本 方程与边界条件有所不同。
由应力求得的应变还需要满足应变协调方程。因为前面的应变 协调方程是用应变表示的，所以还需要转化为用应力表示。
6.2 弹性力学问题的基本解法
应力法：
应力表示的应变协调方程称为米切尔方程：
v ⎛ ∂ Fbx ∂ Fby ∂ Fbz 1 ∂ 2σ ∇ σx + = − + + ∂ x ∂ y ∂z 1 + v ∂x 2 1− v ⎜ ⎝
根据全量理论的平衡方程、几何方程、本构方程、屈服条 件、边界条件，获得某一时刻的应力、应变和位移场。 实际解法与弹性问题一样，有位移法、应力法两种基本方 法。
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
全量理论的尹留申弹性解法 ：
把应力应变偏量之间的关系式 sij = 2G ⎡ ⎣1 − ω ( ε ) ⎤ ⎦ eij 代入位移 法平衡方程的推导中，得到
6.2 弹性力学问题的基本解法
6.2.1 应力法
应力法是以应力为基本未知量的方法，平衡方程
⎧ ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx ⎪ ∂x + ∂y + ∂z + Fbx = 0 ⎪ ⎪ ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + Fby = 0 + ⎨ ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪ ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z ⎪ ∂x + ∂y + ∂z + Fbz = 0 ⎩
6.4.1 解的唯一性定理
解的唯一性定理可以简化弹塑性力学问题的求解，它是逆解 法、半逆解法的理论依据。
逆解法 ：
预先选取一组位移或应力函数，然后验证其满足弹塑性基 本方程和边界条件 ，该组函数即为问题的解。
半逆解法 ：
在所有的未知量中，预先假设一部分已知，另一部分则 根据基本方程和边界条件求出，从而得到全部的未知量 解的唯一性定理说明由逆解法、半逆解法得到的解答是弹 塑性力学问题的唯一解。
增量理论对应的解法：
根据增量理论的平衡方程、几何方 σ ij = σ ij + dσ ij ⎫ t +Δt t ⎪ 程、本构方程、屈服条件、边界条件， ⎪ 求出 t + Δ t时刻的应力增量、应变增量、 ε ij t +Δt = ε ij t + d ε ij ⎬ ⎪ 位移增量，从而获得此时的应力、应变 ui t +Δt = ui t + dui ⎪ ⎭ 和位移场。