二阶等差数列及其通项公式

二阶等差数列及其通项公式

李清振

青岛城市管理职业学校

一、引子：

在《数列》知识的学习中有一种求数列通项公式类型的题目。如，试求出下列数列的通项公式：

⑴ 21、32、43、54、6

5，…

⑵ - 1、21、31-、41、51

-，…

⑶ 211

⨯、321⨯、431⨯、5

41⨯，…

上述数列，都易于通过观察、分析，而总结推断出其通项公式，分别为

1

+=n n

a n

，n n

n

a 1)1(-=，)1(1+=n n a n

.

再如等差数列、等比数列，教材中已分别介绍过其通项公式。但有数列，如：

⑷ 1，2，4，7，11，16，22，… ⑸ 1，3，6，10，15，21，28，… ⑹ 1，3，7，13，21，31，43，…

通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。

本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。

二、预备知识：

1、等差数列的定义：如果一个数列

a1，a2，a3，…，a n，…，

从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2 - a1 = a3 - a2=… = a n - a n-1 = d，则称此数列为等差数列，常数d叫等差数列的公差。

2、等差数列的通项公式：a n =a1 + ( n - 1 ) d，

公差： d = a2 - a1.

三、二阶等差数列的定义及其通项公式：

a)定义：如果一个数列

a1，a2，a3，…，a n，…，（★）

从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3，…， a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。

相应地，d =（a3 - a2） - （a2 - a1）= a3 + a1 - 2a2称为二阶等差数列的二阶公差。

显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。

其二阶公差分别为1、1、2.

说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.

⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系：

二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。

b)二阶等差数列的通项公式：

设数列a1，a2，a3，…，a n，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列

a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3，…，a n - a n-1，…

为 b1 , b2 , b3 , …，b n-1 , …， (☆)

即记b n= a n+1 - a n， (n≥1，n∈Z)

则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。

显然，对于数列(☆)，d = b2 - b1 = a1 + a3 - 2a2，

根据等差数列的通项公式,则有

b n= a n+1 - a n = b1 + (n-1) d，（n≥1,n∈Z）

由此得，a n +1= a n + b1 + (n-1) d

依此规律，则有

a2 = a1 + b1，

a3 = a2 + b1+d，

a4 = a3 + b1+2d，

…………………

a n = a n-1 + b1 + (n-2 ) d，

由上面各式左右分别相加，可得

此即为二阶等差数列的通项公式，

其中，b1 = a2 - a1,

［注：b n= a n+1 - a n， (n≥1，n∈Z)］

c)例证：

对于数列⑷，知a1 =1，b1 =1，d=1，则由公式（●）可得，a n=1+

（n-1）×1+

2)2

)(

1

(-

-n

n

=

1 2

2

+ -n

n

，

代入验证，正确。

同理可求知⑸、⑹的通项公式：

⑸、a n =

2 2n n+

⑹、an = n2-n+1

由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式：

⑺、2、2、5、11、20、32、47，…

⑻、2、3、8、17、30、47、68，…