二阶等差数列及其通项公式
2阶等差数列公式
2阶等差数列公式一、2阶等差数列的定义。
1. 首先明确等差数列的概念。
- 对于数列{a_n}，如果从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，即a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)，这个数列就叫做等差数列，d叫做等差数列的公差。
2. 2阶等差数列（也叫二阶差数列）- 设数列{a_n}，计算相邻两项的差b_n=a_n + 1-a_n得到数列{b_n}。
如果数列{b_n}是等差数列，那么原数列{a_n}就叫做二阶等差数列。
- 例如数列1,3,7,13,21,·s- 先计算相邻两项的差：3 - 1 = 2，7-3 = 4，13 - 7=6，21-13 = 8，得到差数列为2,4,6,8,·s，这个差数列是等差数列（公差为2），所以原数列1,3,7,13,21,·s是二阶等差数列。
二、2阶等差数列的通项公式推导。
1. 设二阶等差数列{a_n}，它的一阶差数列{b_n}（b_n=a_n + 1-a_n）是首项为b_1，公差为d的等差数列。
- 因为b_n=b_1+(n - 1)d。
- 又因为a_n-a_n-1=b_n - 1（n≥slant2）。
- 那么a_n=a_1+∑_k = 1^n - 1b_k（n≥slant2）。
- 由于b_k=b_1+(k - 1)d，则∑_k = 1^n - 1b_k=∑_k = 1^n - 1[b_1+(k - 1)d]。
- 先计算∑_k = 1^n - 1[b_1+(k - 1)d]=b_1(n - 1)+d∑_k = 1^n - 1(k - 1)。
- 而∑_k = 1^n - 1(k - 1)=∑_i = 0^n - 2i=((n - 2)(n - 1))/(2)。
- 所以a_n=a_1+(n - 1)b_1+((n - 2)(n - 1))/(2)d（n≥slant2），当n = 1时，a_1=a_1，所以二阶等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a_1+(n - 1)b_1+((n - 2)(n - 1))/(2)d。
猜想——二阶等差数列及其通项公式
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
5、按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是.
6、下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是．
7、观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个．
8、用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出却有难处。
一、等差数列的定义及其通项公式：
1、等差数列的定义：如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，
从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2- a1= a3- a2=…= an- an-1= d，则称此数列为等差数列，常数d叫等差数列的公差。
由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。
读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式：
⑺、2、2、5、11、20、32、47，…
⑻、2、3、8、17、30、47、68，…
中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量，an看成函数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,…an满足 (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项 是关于n的二次函数。我们学习过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。
二阶等差数列及其通项公式
二阶等差数列及其通项公式⑷1，2，4，7，11，16，22，…⑸1，3，6，10，15，21，28，…⑹1，3，7，13，21，31，43，…通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。
本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。
二、预备知识：1、等差数列的定义：如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2 - a1 = a3 - a2=…= a n - a n-1 = d，则称此数列为等差数列，常数d 叫等差数列的公差。
2、等差数列的通项公式：a n =a1 + ( n - 1 ) d，公差：d = a2 - a1.三、二阶等差数列的定义及其通项公式：a)定义：如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，（★）从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3，…，a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。
相应地，d =（a3 - a2）- （a2 - a1）= a3 + a1 - 2a2称为二阶等差数列的二阶公差。
显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。
其二阶公差分别为1、1、2.说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系：二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。
b)二阶等差数列的通项公式：设数列a1，a2，a3，…，a n，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3，…，a n - a n-1，…为b1 , b2 , b3 , …，b n-1 , …，(☆)即记b n= a n+1 - a n，(n≥1，n∈Z)则数列(☆) 是一个一阶等差数列。
等差数列的定义与通项公式修改版
（1）2 ，( 3 ) ， 4
ab 2
（2）-12，( -6 ) ，0
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
an1
an
an2 2
例4 求证：一个数列 an 为等差数列的等
价条件是 an pn q ( p, q为常数)
等差数列
定义与通项公式
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
抢答：下列数列是否为等差数列？
1，2，4，6，8，10，12，…
①
0，1，2，3，4，5，6，…
②√
3，3，3，3，3，3，3，…
③√
2，4，7，11，16，…
④
－8，－6，－4，-2 ， 0，2，4，…
⑤√
3，0，－3，－6，－9，…
⑥√
想一想
思考：在数列 探究一中的4个等差数列的公差依次是多少？
（3），a =？ (1)1984,1988,1992,1996,2000,2004
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解
(3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
公差d为0的0数列叫
等差、等比数列常用公式对照表
是等比数列
1、定义：
1、
2、通项：
2、
3、公差：
3、公比：
4、若m+n=p+q，则
特殊情况：若m+n=2p，则பைடு நூலகம்
称为 与 的等差中项
4、若m+n=p+q，则
特殊情况：若m+n=2p，则
称为 与 的等比中项
5、
5、
6、 是公差为md的等差数列
6、 是公比为 的等比数列
7、 是公差为 的等差数列
7、 是公比为 的等比数列
8、证明等差数列的方法：
1、定义法： ，d为常数
2、通项法： ，k、b为常数
3、前n项和法： ，A,B常数
4、等差中项法：
8、证明等差数列的方法：
1、定义法： ，q为常数
2、通项法： ，c、q为常数
3前n项和法： ，k,q常数
4、等差中项法：
9、 是等差数列， 、 是等差数列
9、 是等比数列， 、 、 、 、是等比数列
10、若 ，则用累加法求
10、若 ，则用累乘法求
11、若 、 是等差数列， ，求 用裂项相消法
11、若 是等比数列、 是等差数列， 或 ，求 用错位相减法
一、求 的方法：1、公式法；2、观察归纳法；3、累加法、累乘法；4、特征方程法
二、求 的方法：1、裂项相消法；2、错位相减法；3、倒序相加法；4、分组求和法
4.2.1.1等差数列得的概念和通项公式(知识梳理+变式+例题))
4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。
等差数列通项公式总结
等差数列通项公式总结等差数列通项公式总结_数列公式学好数学的关键是公式的掌握，数学是一种工具学科，是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。
下面是小编为大家整理的等差数列通项公式总结，希望能帮助到大家!等差数列通项公式总结an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
必修5课件2.2.2等差数列的通项公式
2在数列 an 中, 如果对于任意的正整数n n 2, 都有
an 1 an 1 an , 那么 an1 an an an1 n 2. 2 这表明, 这个数列从第2 项起 , 后一项减去前一项所 得的差始终相等, 所以数列 an 是等差数列.
an1 an 1 所以有 an . 2
2 . 2 . 2 等 差 数 列的 通 项 公 式
观察等差数列 an : 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ,
如何写出它的第 项呢 ? 100
我们有 a1 4 , a2 7 4 3 , a3 10 4 3 2 ,
a4 13 4 3 3 ,
an a1 n 1 d .
证 因为 an 为等差数列, 所以当n 2时, 有
a2 a1 d , a3 a1 d , an an1 d .
将上面 n 1 个等式的两边分别相加 , 得
an a1 n 1 d , 所以 an a1 n 1 d .
例6 如图, 三个正方形的边 AB, BC , CD的长组成等差数 列, 且AD 21cm, 这三个正方 形的面积之和是179cm 2 C B A D 21cm 1求AB, BC , CD 的长 ; 2以 AB, BC , CD 的长为等差数列的前三 ,以第10 项为边长 项 的正方形的面积是多少 ? 解 1 设公差为d d 0, BC x , 则 AB x d , CD x d . x d x x d 21 , x 7, x 7,舍去. 解得 则 或 2 2 2 x d x x d 179, d 4 d 4 所以 AB 3 cm, BC 7 cm, CD 11 cm.
等差数列的通项公式
等差数列的的例题3
a1 33, a12 110 , n 12, a12 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (12 1)d ,
即 110=33+11d,
an 表示题中的等差数列，由已知条件，有
an a1 (n 1)d
解得 d=7 a2 因此， 3
a 96 7 103
11
33 7 40 a 40 7 47
答：梯子中间各级的宽从上到下依次是 40cm, 47cm, 61cm, 68cm, 75cm, 82cm, 89cm, 96cm, 103cm.
54cm,
等差数列的的练习1
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
an a1 (n 1)d
定，所以该数列的 观察数列 ( 1) 4，5，6，7，8，9，10. 公差 d=1 递增数列 增减性尚不能确定。 (2) 1，4，7，10，13，16，… 公差 d=3 递增数列
因为x的正负性不确 等差数列的有关概念
(3) 7x， 3x，-x，-5x，9x，… (4) 2，0，-2，-4，-6，…
9 8 （2）数列：7，4，1，-2，…
●
7 6 5 4
3 2 1 0 1
●
●
2
3
4
●
5
6
7
8
9
10
等差数列的图象 3 10
9 8 （1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
7 6 5 4
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
等差中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等差数列： 3 （1）2 ， ， 4 （2）-1，2 （4）0， 0 ，5 ，0
二阶等差数列及其通项公式
二階等差數列及其通項公式李清振青島城市管理職業學校一、引子：在《數列》知識の學習中有一種求數列通項公式類型の題目。
如，試求出下列數列の通項公式：⑴ 21、32、43、54、65，… ⑵ - 1、21、31-、41、51-，… ⑶ 211⨯、321⨯、431⨯、541⨯，… 上述數列，都易於通過觀察、分析，而總結推斷出其通項公式，分別為1+=n n a n ，n nn a 1)1(-=，)1(1+=n n a n. 再如等差數列、等比數列，教材中已分別介紹過其通項公式。
但有數列，如：⑷ 1，2，4，7，11，16，22，…⑸ 1，3，6，10，15，21，28，…⑹ 1，3，7，13，21，31，43，…通過觀察分析，也能發現上面三個數列有其內在規律與特點，但若想輕易寫出通項公式卻有難處。
本文旨在由等差數列推導出如⑷、⑸、⑹這樣の一類數列の通項公式，並給出一個相關定義。
二、 預備知識：1、 等差數列の定義：如果一個數列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，從第二項起，每一項與它の前一項の差都等於同一個常數d ，即a 2 - a 1 = a 3 - a 2=… = a n - a n-1 = d ，則稱此數列為等差數列，常數d 叫等差數列の公差。
2、 等差數列の通項公式：a n =a 1 + ( n - 1 ) d ，公 差： d = a 2 - a 1.三、 二階等差數列の定義及其通項公式：a) 定義：如果一個數列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， （★）從第二項起，每一項與它の前一項の差按照前後次序排成新の數列，即 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…， a n - a n-1，…成為一個等差數列，則稱數列（★）為二階等差數列。
相應地，d =（a 3 - a 2） - （a 2 - a 1）= a 3 + a 1 - 2a 2稱為二階等差數列の二階公差。
顯然，依此定義可以判斷，⑷、⑸、⑹均是二階等差數列。
等差数列an通项公式
等差数列an通项公式等差数列是数学中常见的一种数列，其中相邻两项之差都相等。
如果我们知道等差数列的首项和公差，我们就能够轻松地求出任意项的值。
而等差数列的通项公式则是一种便捷的方法，可以直接求出第n项的值，而无需逐一计算。
对于等差数列an的通项公式，我们可以通过以下步骤来推导出来：设等差数列的首项为a₁，公差为d，通项公式为an。
首先，我们知道等差数列的性质，即每一项与它前一项的差值都是相等的，即an - an-1 = d。
我们可以根据这一性质，推导出等差数列的通项公式：an = a₁ + (n-1)d。
这个公式可以帮助我们计算等差数列中的任意一项的值。
其中，a₁为等差数列的首项，d为等差数列的公差，n为我们要求的项数。
举个例子来说明，如果我们有一个等差数列的首项为2，公差为3，我们想要求出该等差数列的第10项的值，我们可以代入公式中进行计算：a₁ = 2，d = 3，n = 10。
代入公式an = a₁ + (n-1)d，即可得到第10项的值。
an = 2 + (10-1) * 3 = 2 + 27 = 29。
因此，等差数列的第10项的值为29。
通过等差数列的通项公式，我们可以快速计算等差数列中的任意一项的值，而无需逐一进行差值计算。
这对于数学问题的解决来说，是一种非常有效的方法。
在实际的数学问题中，等差数列的通项公式经常被使用，特别是在数列求和、数列的性质分析等方面。
熟练掌握等差数列的通项公式，可以帮助我们更加高效地解决数学问题，提高数学问题的解题速度和准确性。
总的来说，等差数列的通项公式是数学中的一个重要概念，通过掌握这个公式，我们可以更好地理解等差数列的性质，解决数学问题，提高数学能力。
希望以上内容能帮助您更好地理解等差数列的通项公式。
(整理)几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多•斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
等差数列的性质总结(复习知识)
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
等差数列的概念与通项公式 课件
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．
【例题解析】 例 1 已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出
它的通项公式． (1)a3＝5，a7＝13； (2)前三项为：a,2a－1,3－a.
解 (1)设首项为 a1，公差为 d，则
a3＝a1＋2d＝5， a7＝a1＋6d＝13，
探究点一 等差数列的概念 问题 1 我们先看下面几组数列：
(1)3,4,5,6,7，…； (2)6,3,0，－3，－6，…； (3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…； (4)－1，－1，－1，－1，－1，…. 观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是 __从__第__2_项__起__，__每___一__项__与__前__一__项__的__差__都__等___于__同__一__常__数__．
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d， …
由此得出：an＝a1＋(n－1)d.
探究 2 由等差数列的定义知：an－an－1＝d(n≥2)，可以采用 叠加法得到通项公式 an.
a2－a1＝d
答
a3－a2＝d a4－a3＝d
(n－1)个
⋮
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3； (2)是等差数列，a1＝31，d＝－6； (3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b； (5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
探究 如何准确把握等差数列的概念？谈谈你的理解．
答 (1)等差数列{an}从第 2 项起，每一项与它的前一项的差 都是同一个常数，这一点说明一个等差数列至少有 3 项． (2)如果一个数列，不从第 2 项起，而是从第 3 项起或第 4 项 起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是 等差数列，但可以说从第 2 项或第 3 项起是一个等差数列． (3)一个数列，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差，尽管 等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数可 以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同 一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．
等差数列的定义及通项公式
a12＝a5＋(12－5)d＝a5＋7d，
即 31＝10＋7d，∴d＝3.
∴an＝a5＋(n－5)d＝10＋(n－5)×3＝3n－5.
∴等差数列的通项公式为 an＝3n－5.
求等差数列的通项公式①确定首项a1 和 公差d，需建立两个关于a1 和d 的方程，通过解含a1 与d 的方 程求得a1 与d 的值；②直接应用公式an＝am＋(n－m)d 求解．
C．2n－1
D．2n＋1
解析：由已知2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，整理得a＝0，
∴a1＝－1，a2＝1，d＝a2－a1＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－3.
重点 等差数列的单调性及通项公式
(1)由等差数列的定义知 an＋1－an＝d， 当 d＞0 时， an＋1＞an 即{an}为递增数列； 当 d＝0 时，an＋1＝an 即{an}为常数列； 当 d＜0 时，an＋1＜an 即{an}为递减数列． (2)等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，等差数列任意的 两项间有 an＝ak＋(n－k)d，即 d＝ ann－－kak.
巩固练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1， 则 a 等于（ )
A. 1
B. -1
C.- 1
5
D.
3
11
提示： (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 .
提示： d=an+1- an=-4
难点 等差数列常见的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)； (2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2，证明三个数 a、b、c 成等差 数列，一般利用等差中项证明 b＝a＋2 c； (3)通项公式为 n 的一次函数：an＝kn＋b(k、b 为常数)．
等差等比数列通项及前N项和公式
等差等比数列通项及前N项和公式数列是数学中的一个重要概念，它是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，等差数列和等比数列是最基本的两种形式。
而通项公式和前N项和公式则是用来表示等差数列和等比数列的重要公式。
本文将详细介绍等差数列和等比数列的概念，并给出它们的通项公式和前N 项和公式。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，这个常数称为公差。
等差数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d2.前N项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前N项的和为Sn，则等差数列的前N项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2在等差数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。
根据这个公式，我们可以很方便地计算等差数列的前N项和。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，这个常数称为公比。
等比数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)2.前N项和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，前N项的和为Sn，则等比数列的前N项和公式为：Sn=(a1*(q^N-1))/(q-1)（当q≠1时）在等比数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。
需要注意的是，当公比q等于1时，等比数列通项公式中含有0的指数项，这时候通项公式的形式为an = a1，等比数列变成了一个常数数列。
三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。
在实际生活中，很多事物的变化规律都可以用等差数列或等比数列来描述。
1.等差数列应用举例：（1）一些数学问题中常常出现等差数列的求和问题，比如计算一些等差数列的前N项和，这在数学竞赛中是经常出现的题型。
数列的通项公式与求和公式
数列的通项公式与求和公式数列是指按照一定规律排列的一系列数字的集合，是数学中重要的概念之一。
在数列中，每个数字称为该数列的项。
数列有许多不同的类型，如等差数列、等比数列等。
在讨论数列时，我们经常需要找到数列的通项公式和求和公式，以便能够方便地计算出数列中的任意项以及求和。
本文将介绍常见数列的通项公式与求和公式，并以具体的例子加以说明。
一、等差数列的通项公式与求和公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an为等差数列的第n项。
等差数列的求和公式为：Sn = (n/2) * [2a1 + (n-1)d]其中，Sn表示等差数列的前n项和。
举个例子来说明，比如一个等差数列的首项a1为2，公差d为3，则该数列的通项公式为an = 2 + (n-1)3，求和公式为Sn = (n/2)(2 + 2n)。
二、等比数列的通项公式与求和公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)其中，an为等比数列的第n项。
等比数列的求和公式分两种情况：1. 若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 若公比q等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = n * a1举个例子来说明，比如一个等比数列的首项a1为3，公比q为2，则该数列的通项公式为an = 3 * 2^(n-1)。
若q不等于1，则求和公式为Sn = 3 * (1 - 2^n) / (1 - 2)；若q等于1，则求和公式为Sn = 3n。
三、其他数列的通项公式与求和公式除了等差数列和等比数列之外，还有其他类型的数列，如等差- 等比混合数列、斐波那契数列等。
对于这些数列，通项公式和求和公式的推导可能会更加复杂。
§12.03等差数列的概念与通项公式
§12.3 等差数列的概念与通项公式教学目标(1)进一步熟悉等差数列的定义和通项公式，并能利用它们解决数列的相关问题；(2)了解等差数列的一些简单性质．重点、难点重点：等差数列定义及其通项公式的应用；难点：等差数列的性质．教学过程一、回顾复习1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ；a n ＝a m ＋(n －m )d ．(n ，m ∈N *)．3．等差中项若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，其中A ＝a ＋b 2． 4．等差数列的判定方法利用定义判定：{a n }成A ．P ． a n ＋1－a n ＝d ．二、数学探究与应用1．探究一问题1 等差数列的通项公式是什么？问题2 如何方便地画出等差数列的图象？问题3 我们知道函数y ＝kx ＋b 的图象是一条直线，那么如果一个数列{a n }的通项公式为a n ＝kn ＋b ，其中k ，b 都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？分析 由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n －a n －1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数．证明 因为当n ≥2时，a n －a n －1＝(kn ＋b )－[k (n －1)＋b ]＝k (为常数)，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝k ＋b ，公差为k ．注：①若k ＝0，则{a n }是公差为0的等差数列，即为常数列b ，b ，b ，…．②若k ≠0，则{a n }是关于n 的一次式,从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，一次项的系数是公差，直线在y 轴上的截距为b ．2．数学应用1例1 已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －１，求首项a 1和公差d ．解 由题知a 1＝2×1－1＝1，a 2＝2×2－1＝3，所以d ＝a 2－a 1＝2．例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，a 2＝4，求a n ；(2)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，a 7＝28，求a n ；(3)在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 9＝28，求a n ． 解 (1)因为d ＝ a 2－a 1＝4－10＝－6，所以a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝10－6(n －1)＝16－6n ．(2)因为a 7＝a 1＋6d ＝10＋6d ＝28，所以 d ＝3，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋3(n －1)＝3n ＋7．(3)解法一：因为a 3＝10，a 9＝28，所以 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋8d ＝28， 解得 ⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝3．所以a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝4＋3(n －1)＝ 3n ＋1．解法二：因为d ＝a 9－a 39－3＝3， 所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝10＋3(n －3)＝3n ＋1． (或a n ＝a 9＋(n －9)d ＝28＋3(n －9)＝3n ＋1)例3 梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，试求梯子中间各级的宽度． 解 梯子共有12级，设a n 表示梯子自上而下第n 级的宽度，所以a 1，a 2，…，a n …，a 12成等差数列．由已知条件，a 1＝33，a 12＝110，可得a 12－a 1＝(12－1)d ＝110－33，解得 d ＝7．因此 a 2＝a 1＋d ＝33＋7＝40，a 3＝a 2＋d ＝40＋7＝47，a 4＝a 3＋d ＝47＋7＝54，a 5＝a 4＋d ＝54＋7＝61，a 6＝a 5＋d ＝61＋7＝68，a 7＝a 6＋d ＝68＋7＝75，a 8＝a 7＋d ＝75＋7＝82，a 9＝a 8＋d ＝82＋7＝89，a 10＝a 9＋d ＝89＋7＝96，a 11＝a 10＋d ＝96＋7＝103，答 梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm ，47cm ，54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm ．3．探究2问题4 如果A ，B ，C 成等差数列，则A ，B ，C 满足什么关系？问题5 任意给一个等差数列{a n }，任取其相邻的三项，该三项是否构成等差数列？问题6 问题5中任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1满足什么关系？ 问题7 在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n +12，那么数列{a n }一定是等差数列吗？证明：在数列{a n }中，对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n +12， 那么 a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． 这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{a n }是等差数列．说明：如果a n ＝a n －1＋a n +12，则称a n 为a n －1，a n ＋1的等差中项． 4．数学应用2例4 如图，三个正方形的边AB ，BC ，CD的长组成等差数列，且AD ＝21cm ，这三个正方形的面积之和是179cm 2．(1)求AB ，BC ，CD 的长； (2)若AB ，BC ，CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解 (１)设公差为d (d ＞0)，BC ＝x ，则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d ．由题意得 ⎩⎨⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179， 解得 ⎩⎨⎧x ＝7，d ＝4．所以AB ＝3(cm)，BC ＝7(cm)，CD ＝11(cm)．(2)因为正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n }，所以a 10＝3＋(10－1)×4＝39．a 210＝392＝1521(cm 2)．答 所求正方形的面积为1521cm 2．5．探究3数列：1，3，5，7，9，11，13…中，5是3和7的等差中项，也是1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项．由此我们发现，在这个数列中，a 1＋a 5＝a 2＋a 4，a 3＋a 7＝a 4＋a 6．从而可得：在等差数列{a n }中，若n ＋m ＝p ＋q ，且n ，m ，p ，q ∈N*，则a n ＋a m ＝a p ＋a q ．问题8 在等差数列{a n }中，若a n ＋a m ＝a p ＋a q ，且n ，m ，p ，q ∈N*，则n ＋m ＝p ＋q 成立吗？6．数学应用3例5 在等差数列{a n }中，若a 1＋a 6＝9，a 4＝7，求a 3，a 9． 分析 要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差)，本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手．解 因为{a n }是等差数列，所以 a 1＋a 6＝a 4＋a 3＝9，a 3＝9－a 4＝2，所以 d ＝a 4－a 3＝7－2＝5，A B C D所以 a 9＝a 4＋(9－4)d ＝32．故 a 3＝2，a 9＝32．例6 等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝－12，且a 1·a 3·a 5＝80，求通项a n ．分析 要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题．而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元(项)或再弄一个等式出来．解 因为 a 1＋a 5＝2a 3且a 1＋a 3＋a 5＝－12，所以 a 1＋a 5＝－8，a 3＝－4．所以 ⎩⎨⎧a 1 a 5＝－20，a 1＋a 5＝－8． 解得 ⎩⎨⎧a 1＝－10，a 5＝2或⎩⎨⎧a 1＝2，a 5＝－10．因为 d ＝a 5－a 15－1， 所以 d ＝3或d ＝－3，所以 a n ＝－10＋3(n －1)＝3n －13或 a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5．例7 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少共同项？分析 两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个新的等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数． 解 设两个数列的共同项组成的新数列为{a n }，则{a n }是首项为11的等差数列．因为等差数列5，8，11，…和3，7，11…的公差分别为3与4，所以数列{a n }公差d ＝3×4＝12，所以 a n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1．因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别为302与399，所以 a n ＝12n －1≤302，所以 n ≤25.5，因为 n ∈N*，所以所给两数列有25共同项．例8 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋6a n(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解 因为 a n ＋1＝a n 1＋6a n ，a 1＝1， 所以 a n ≠0．否则，若存在a k ＝0(k ≥2)，则根据a k ＝a k －11＋6a k －1a k －1＝0，从而可推得a 1＝0，与a 1＝1≠0矛盾．所以 1a n ＋1＝1a n ＋6，所以数列{1a n }是以1a 1＝1为首项，6为公差的等差数列， 所以 1a n＝1＋6(n －1)＝6n －5， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝16n －5． 三、课堂反馈1．已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数．2．成等差数列的四个数之和为26，第二数与第三数之积为40．求这四个数．3．有四个数成等差数列．四个数的平方和等于94，第一数与第四数的积比第二数与第三数的积少18，求这四个数．4．在三角形ABC 中，若角A ，B ，C 成等差数列，则求B ．5．已知实数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成等差数列，求证：1b ＋c1c ＋a ，1a ＋b成等差数列．四、回顾反思1．利用定义判定：{a n }成A ．P ．⇔a n ＋1－a n ＝d ．说明：(1)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)a n ＝kn ＋b (k ，n 为常数)⇔{a n }是等差数列．等差数列的通项公式可以表示为a n ＝kn ＋b ，通项公式是a n ＝kn ＋b 的数列是等差数列，其中k 是该数列的公差． 等差数列的性质2．在公差为d 的等差数列{a n }中．(1)若d ＞0，则{a n }是递增数列；若d ＜0，则{a n }是递减数列．(2)d ＝a n ＋1－a n ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m． (3)设n ，m ，p ，q ，k ∈N*，若n ＋m ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q ；若n ＋m ＝2k ，则a n ＋a m ＝2a k ．反之不成立．(4){a n }是有穷等差数列，则首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n ＋1－k ．(5)若{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，则{a n ±b n }，{ka n ±b n }也是等差数列．五、课堂反馈P 37——1，2，3，4，5，6．六、课外作业P 38——7，8，10．。
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二阶等差数列及其通项公式
李清振
青岛城市管理职业学校
一、引子：
在《数列》知识的学习中有一种求数列通项公式类型的题目。
如，试求出下列数列的通项公式：
⑴ 21、32、43、54、6
5，…
⑵ - 1、21、31-、41、51
-，…
⑶ 211
⨯、321⨯、431⨯、5
41⨯，…
上述数列，都易于通过观察、分析，而总结推断出其通项公式，分别为
1
+=n n
a n
，n n
n
a 1)1(-=，)1(1+=n n a n
.
再如等差数列、等比数列，教材中已分别介绍过其通项公式。
但有数列，如：
⑷ 1，2，4，7，11，16，22，… ⑸ 1，3，6，10，15，21，28，… ⑹ 1，3，7，13，21，31，43，…
通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。
本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。
二、预备知识：
1、等差数列的定义：如果一个数列
a1，a2，a3，…，a n，…，
从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d，即a2 - a1 = a3 - a2=… = a n - a n-1 = d，则称此数列为等差数列，常数d叫等差数列的公差。
2、等差数列的通项公式：a n =a1 + ( n - 1 ) d，
公差： d = a2 - a1.
三、二阶等差数列的定义及其通项公式：
a)定义：如果一个数列
a1，a2，a3，…，a n，…，（★）
从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3，…， a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。
相应地，d =（a3 - a2） - （a2 - a1）= a3 + a1 - 2a2称为二阶等差数列的二阶公差。
显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。
其二阶公差分别为1、1、2.
说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列.
⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系：
二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。
b)二阶等差数列的通项公式：
设数列a1，a2，a3，…，a n，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列
a2 - a1，a3 - a2，a4 - a3，…，a n - a n-1，…
为 b1 , b2 , b3 , …，b n-1 , …， (☆)
即记b n= a n+1 - a n， (n≥1，n∈Z)
则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。
显然，对于数列(☆)，d = b2 - b1 = a1 + a3 - 2a2，
根据等差数列的通项公式,则有
b n= a n+1 - a n = b1 + (n-1) d，（n≥1,n∈Z）
由此得，a n +1= a n + b1 + (n-1) d
依此规律，则有
a2 = a1 + b1，
a3 = a2 + b1+d，
a4 = a3 + b1+2d，
…………………
a n = a n-1 + b1 + (n-2 ) d，
由上面各式左右分别相加，可得
此即为二阶等差数列的通项公式，
其中，b1 = a2 - a1,
［注：b n= a n+1 - a n， (n≥1，n∈Z)］
c)例证：
对于数列⑷，知a1 =1，b1 =1，d=1，则由公式（●）可得，a n=1+
（n-1）×1+
2)2
)(
1
(-
-n
n
=
1 2
2
+ -n
n
，
代入验证，正确。
同理可求知⑸、⑹的通项公式：
⑸、a n =
2 2n n+
⑹、an = n2-n+1
由此通项公式，则可求出二阶等差数列后面未给出的任何一项。
读者可方便地求出下面的二阶等差数列的通项公式：
⑺、2、2、5、11、20、32、47，…
⑻、2、3、8、17、30、47、68，…。