四种命题与充要条件

常用逻辑用语与充要条件

【高考考情解读】 1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．

1．命题的定义

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p ；否命题为若┐p则┐q ；逆否命题为若┐q则┐p .

(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

命题真假判断的方法：

(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．

(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．

(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．

3．充分条件与必要条件的定义

(1)若p⇒q且q p，则p是q的充分非必要条件．

(2)若q⇒p且p q，则p是q的必要非充分条件．

(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．

(4)若p q且q p，则p是q的非充分非必要条件．

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A⊇B，则p是q的充分不必要条件；

(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B⊇A，则p是q的必要不充分条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A B，且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．充分、必要条件的判定方法

(1)定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假．

(2)传递法．

(3)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q 的充要条件．

(4)等价命题法：利用A⇒B与┐B⇒┐A，B⇒A与┐A⇒┐B，A⇔B与┐B⇔┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．

(2)简单复合命题的真值表：

p q ┐p ┐q p或q p且

q

┐(p或q)

┐(p且

q)

┐p或

┐q

┐p且

┐q

真真假假真真假假假假

真假假真真假假真真假

假真真假真假假真真假

假假真真假假真真真真

2. 全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有

的”等．

3．全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题．

(2)含有存在量词的命题叫特称命题．

4．命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.

注：

1．逻辑联结词“或”的含义

逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p 真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．

2．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．

3．含一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

1．(2013·皖南八校)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B. 2．(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()

A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案 B

解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B。

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

答案 A

解析从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A正确．