高中数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件 新人教A版选修2-2
高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
【巩固训练 】计 算：(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i). (2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i). (3)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]. (4)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a，b∈R). 【解析】(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i. (2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i. (3)原式=5i-(4+i)=-4+4i. (4)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.
【过关小练】 1.复数z1=2- i，z2= -2i，则z1+z2等于( )
【解析】选C.z1+z2=
2.在复平面内，向量 对应的复数为3-4i，点B对应的复数为
-2+2i，则向量
对应的复数为( )
A.5-6i
B.1-2i
C.-5+6i
D.5-2i
【解析】选B.由复数加法运算的几何意义知，
对应的复数
【解析】(1)选A.(3+i)-(2+i)=1. (2)①(2+2i)+(1-4i)-(5+7i) =(2+1-5)+(2-4-7)i=-2-9i. ②-i-[(3-4i)-(-1-3i)]=-i-(4-i)=-4. ③(x+yi)-(3x-2yi)-4i =(x-3x)+(y+2y-4)i =-2x+(3y-4)i(x，y∈R).
即为(3-4i)+(-2+2i)，即1-2i.
主题二：复数的减法 【自主认知】 1.规 定：复数的减法是加法的逆运算，若复数z=z1-z2，则复 数z1等于 什么？ 提示：z1=z+z2.
高二数学人教A版选修1-2：3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件
设向量O→Z1及O→Z2在复平面内分别与复数 z1＝5＋3i 及复 数 z2＝4＋i 对应，试计算 z1－z2，并在复平面内表示出来．
[解析] z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋ 2i.
如下图所示，Z→2Z1即为 z1－z2 所对应的向量． 根据复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是连结向量O→Z1，O→Z2
第三页，编辑于星期一：点 五十九分。
已知复数 z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i 及其对应的向量O→Z1＝ (x1，y1)，O→Z2＝(x2，y2)．以O→Z1和O→Z2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，如图．对角线 OZ 所表示的向量O→Z＝O→Z1＋O→Z2， 而O→Z1＋O→Z2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复 数之和 z1＋z2 所对应的有序实数对．
第二十六页，编辑于星期一：点 五十九分。
3．在复平面内，向量A→B，A→C对应的复数分别为－1＋2i，
－2－3i，则B→C对应的复数为
()
A．－1－5i
B．－1＋5i
C．3－4i
D．3＋4i
[答案] A [解析] B→C＝A→C－A→B，故B→C对应的复数为(－2－3i)－ (－1＋2i)＝－1－5i.
即 B 点对应的复数为 1＋6i.
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[点评] 本题给出了几何图形上一些点对应的复数，因 此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利用复 数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面：(1)利用 几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为 工具运用于几何之中．例如：已知复数z1，z2，z1＋z2在复平 面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，判 断四边形OACB的形状．把关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|给予几何解 释 为 ： 平 行 四 边 形 两 对 角 线 长 相 等 ， 故 四 边 形 OACB 为 矩 形．
2019人教版高中数学选修2-2课件：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
考点类析
[小结] (1)根据复数的几何意义可知,复数的加减运算可以转化为点的坐标运 算或向量的加减法运算; (2)复数的加减运算用向量进行时,同样满足平行四边形法则和三角形法则; (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可 能.对于一些较复杂的复数运算问题,特别是与模有关的问题,将复数与点及 向量加以转化可有助于问题的解决.
[探究] 两个复数的和是个什么数?这个数唯一确定吗? 解:仍然是个复数,且是一个唯一确定的复数.
预习探究
[讨论] (1)实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?并 试着证明. (2)类比于复数的加法法则,试着给出复数的减法法则.
解:(1)满足,对任意的z1,z2,z3∈C,有交换律:z1+z2=z2+z1. 结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 证明:设z1=a+bi,z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z2+z1=(c+a)+(d+b)i, 显然,z1+z2=z2+z1,同理可得(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
考点类析
备课素材
1．中点问题 例1 四边形ABCD是复平面内 的平行四边形，A，B，C三点对 应的复数分别为1＋3i，－i，2 ＋i，求D点对应的复数．
解：由已知应用中点公式可得 A，C 的中点 对应的复数为32＋2i，所以 D 点对应的复数 为 2×32＋[2×2－(－1)]i＝3＋5i.
3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义课件人教新课标
（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－ d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法 则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
归纳总结
一、复数加法与减法的运算法则
即：两个复数相加(减)就是实部与实部,虚 部与虚部分别相加(减).结果还是一个复数。
例题讲授
例1、计算(5－6i )+(-2－i) － (3+4i)
y
Z2
| z1 z2 || (a c) (b d )i |
Z1
(a c)2 (b d )2
0
x
❖复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
我们规定复数的加法法则：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0， d=0时与实数加法法则保持一致。 （2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的 加法可以推广到多个复数相加的情形。
距离。
|z|=
z=a+bi Z (a,b)
y
O
x
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(2)这些复数对应的点在复平面上构 成怎样的图形？
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
【全程复习方略2014-2015学年高中数学 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件 新人教A版选修2-2
(2)已知z1，z2∈C，|z1|=|z2|=1，|z1+z2|= 3, 求|z1－z2|．
【解题探究】1.点A,B,C的坐标分别是多少？向量 AB 与向量
DC 是否相等？
2.由复数的几何意义可知，z1,z2,z1+z2在复平面上对应的点分
别为Z1,Z2,Z，则它们与原点构成了一个什么样的图形？
(3)借助向量的运算 OB OA OC. 【解析】(1) AO 则 AO 对应的复数为－(3＋2i)， ＝－OA ， 即－3－2i. (2) CA＝OA－OC ，所以 CA 对应的复数为(3＋2i)－(－2+4i) ＝5－2i. (3) OB ＝OA ＋AB ＝OA ＋OC ， 所以 OB 对应的复数为(3＋2i)＋ (－2＋4i)＝1＋6i.
【题型示范】
类型一
复数的加法、减法运算
【典例1】 (1)若z1=2+i,z2=3+ai,复数z1+z2所对应的点在实轴
上,则a=
A.-2
(
B.2
)
C.-1 D.1
(2)计算:①(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); ②1+(i+i2)+(-1+2i)+(-1-2i).
【解题探究】1.复数z1+z2的值是多少?实轴上的点所对应复数 的虚部是多少? 2.题(2)中①各小括号内的复数所对应的实部与虚部分别是多 少?②中的i2等于多少? 【探究提示】1.z1+z2=5+(a+1)i,实轴上点的纵坐标为0,则实 轴上的点所对应复数的虚部是0. 2.①各小括号内的复数所对应的实部分别是1,-2,-2,1,虚部分 别是2,1,-1,-2.②中的i2等于-1.
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人 教 A 版 高中 数学选 修22《 复数代 数形式 的加、 减运算 及其几 何意义 》PPT 课件
例1 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)． 【思路点拨】 对于复数代数形式的加减运算只 要把实部与实部、虚部与虚部分别相加减即可．
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若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数
z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为两邻边的_平__行__四__边__形__的对角
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【解】 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i. 【思维总结】 复数的加减法运算，只需把“i”看 作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进 行．
知新益能
1．复数的加法与减法 (1)复数的加、减法法则 (a＋bi)＋(c＋di)＝_(_a_＋__c)_＋__(_b_＋__d_)i_； (a＋bi)－(c＋di)＝_(_a_－__c)_＋__(_b_－__d_)i_. 即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与 虚部分别_相__加__(_减__)．
选修2-2课件：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
探究三? 探究三?
类比复数加法的几何意义,请指出复数减法的几何意义? 类比复数加法的几何意义,请指出复数减法的几何意义?
设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi 对应, 及复数 c + di对应,则 OZ1 ,= ( a, b) OZ 2 = (c, d ) y Z 1
Z 2 Z1 = OZ1 OZ 2 = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)
意z1∈C,z2∈C,z3∈C , ,
z1+z2=z2+z1 z1+z2=z2+z1 显然 (z1 (z 3=z1+(z2+z3) 同理可得 +z2)+z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
点评:实数加法运算的交换律,结合律在复数集 中 点评:实数加法运算的交换律,结合律在复数集C中 依然成立. 依然成立.
作业:课本 作业 课本P61,第1,2,3题 课本 第 题
3.2.1复数代数形式的加减运算 复数代数形式的加减运算 及其几何意义
第二课时) (第二课时)
知识回顾: 知识回顾:
1,复数的加减法法则: ,复数的加减法法则: 是任意两个复数, 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数, 是任意两个复数 那么(a+bi) ±(c+di)=____ 那么 ) ____ ; 两个复数的和或减是一个确定的_____; 两个复数的和或减是一个确定的 2,复数的加法在几何上可 , 以按照____来进行; 以按照____来进行; ____来进行 减法在几何上可以按 ____来进行 来进行; 照____来进行;
思考? 思考?
是共轭复数,则在复平面上, 若z1,z2是共轭复数,则在复平面上,它们 所对应的点有怎样的位置关系? 所对应的点有怎样的位置关系?
高中数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件 新人教A版选修1-2
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基础预习点拨 要基点础探预究习归点纳拨 知要能点达探标究演归练纳 课知后能巩达固标作演业练 课后巩固作业
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基础预习点拨 要基点础探预究习归点纳拨 知要能点达探标究演归练纳 课知后能巩达固标作演业练 课后巩固作业
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高中数学第三章3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义讲义新人教A版选修2_2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□06终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数． (3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□07|z 1－z 2|. 其中z 1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．1．两点间的距离公式结合模的知识可得复平面上两点间的距离公式，设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.2．复数模的两个重要性质(1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i探究1 复数的加减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. 拓展提升复数代数形式的加减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．【跟踪训练1】 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i) ＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. 探究2 复数加减运算的几何意义例2 已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设D 点对应复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )． 又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．[解] 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当ABCD 是平行四边形时，D 点对应的复数是3＋5i.②当ABDC 是平行四边形时，D 点对应的复数为1－3i.③当ADBC 是平行四边形时，D 点对应复数为－1＋i.拓展提升(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能． 【跟踪训练2】 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210，所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 探究3 复数加减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解]解法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.解法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.拓展提升掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．【跟踪训练3】若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋y＋12＋x2＋y－12＝2，又x2＋y＋12＝2－x2＋y－12≥0，所以0≤1－y＝x2＋y－12≤2，即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.所以x＝0且－1≤y≤1，则z＝y i(－1≤y≤1)．所以|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋y＋12≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．所以|z＋i＋1|的最小值为1.1.复数的加法规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加，两个复数的和仍是一个复数，这一法则可以推广到多个复数相加.2.因为复数可以用向量来表示，所以复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.3.复数的减法可根据复数的相反数，转化为复数的加法来运算.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ， ∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D．4i 答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3.故选B.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( ) A ．O A →＝O B → B ．|O A →|＝|O B →| C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数； (2)向量CA →对应的复数； (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
高中数学人教A版选修2-2课件3-2-1复数代数形式的加减运算及其几何意义2
3．复数加减法的几何意义 若复数 z1、z2 对应的向量O→Z1、O→Z2不共线，则复数 z1＋ z2 是以O→Z1、O→Z2为两邻边的 平行四边形 的对角线O→Z所对应 的 复数 ，即复数的加法可以按照向量的 加法 来进行，如 图(1)这就是复数加法的几何意义．
这两个复数的差 z1－z2 与向量O→Z1－O→Z2(等于Z→2Z1)对 应．作O→Z＝Z→2Z1，则点 Z 对应复数 z1－z2(如图 2)，即复数(a －c)＋(b－d)i.
• 相加(共有1 004个式子)，得 • 原式＝1 004(－1＋i)＋(2 009－2 010i)＝(－1 004＋2 009)＋(1
004－2 010)i＝1 005－1 006i.
二. 复数加、减运算的几何意义
如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i.求：
典例剖析
• 复数z满足|z－1－i|＝1，求|z＋1＋i|的最小值．
【错解】 复数 z 对应的点的轨迹是以点(－1，－1)为 圆心，以 1 为半径的圆，|z＋1＋i|表示圆上的点到复数 1＋i 对应的点(1,1)的距离，
所以|z＋1＋i|的最小值为 －1－12＋－1－12－1＝ 2 2－1.
• 【错因】 本题错用了复数减法的几何意义，其实|z－1－i|表 示复数z对应的点到复数1＋i对应的点的距离，而|z＋1＋i|表示 复数z对应的点与－1－i对应的点之间的距离．
人教版 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其 几何意义
• 1．已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)． • [问题1] 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如
高中数学新课标人教A版选修2-2《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》课件2
z1 (z2 z3 ) z1z2 z1z3.
例2
第四页，编辑于星期一：点 二十分。
例2.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= (6 4i 3i 2i2)(1 3i)
复数的乘法与多项式 的乘法是类似的.
= (8 i)(1 3i)
我们知道多项式的乘法用
= 8 24i i 3i2 = 5 25i
(4)两个虚数的差还是虚数 。
(2)
第十一页，编辑于星期一：点 二十分。
例4、下列命题中的真命题 为：
(A)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
(B)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
(C)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
(D)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
D
第十二页，编辑于星期一：点 二十分。
吻合!
这就是复数加法的几何意义.
类似地
第六页，编辑于星期一：点 二十分。
类似地,复数减法: y
Z2(c,d) OZ1-OZ2
Z1(a,b)
O
x
Z
这就是复数减法的几何意义.
第七页，编辑于星期一：点 二十分。
练习
1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;
解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-20022003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.
高中数学(新课标)选修2课件3.2.1复数代数形式的加、减运算及其集合意义
状元随笔 (1)复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部与
虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数，但是两 个虚数之和不一定是一个虚数．
(2)当 b＝d＝0 时，z1＝a，z2＝c，z1＋z2＝a＋c，即当两个复数 虚部等于零时，复数的加法法则与实数的加法法则一致．
(3)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部 分别相加，虚部分别相加．
方法归纳
1．设出复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念， 可把条件转化为 x，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本 章“复数问题实数化”思想的应用．
2．在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C， O 为坐标原点，①四边形 OACB 为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－ z2|，则四边形 OACB 为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边 OACB 为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
4．复数 z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯 虚数，则实数 a＝________，b＝________.
解析：z1＋z2＝(a－3)＋(b，由已
知得 ba＋ ＋43＝ ＝00 4－b≠0
，解得ba＝＝－－43 ，∴a＝－3，b＝－4.
(4)复数中出现字母时，首先要判断其是否为实数，再确定复数 的实部与虚部，最后把实部与虚部分别相加．
跟踪训练 1 计算：(1)(－ 2＋ 3i)－[( 3－ 2)＋( 3＋ 2)i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R)； (3)(i2＋i)＋| 3－i|＋(i－2)．
答案：－3 －4
高中数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件 新人教A版选修22
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二审结论，明确解题方向(fāngxiàng)，求|z1＋z2|的取值范 围，可利用复数运算法则及模的定义转化为求三角函数值域， 要特别注意求值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．
[解析(jiě xī)] (1)(3＋5i)＋(3－4i) ＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i ＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i) ＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.
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牛刀小试
3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
若向量O→A、O→B对应的复数分别是 3＋i、－1＋3i，则C→D对应的
复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
[答案(dáàn)] D
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[解析] 依题意有C→D＝B→A＝O→A－O→B，而(3＋i)－(－1＋3i) ＝4－2i，
成才之路 ·数学 (shùxué)
人教A版 ·选修(xuǎnxiū)2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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数系的扩充(kuòchōng)与复数的引入
第三章
第二页，共43页。
3.2 复数(fùshù)代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数(dàishù)形式的加减运算及其几何意 义
高中数学选修2-2第3章3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件人教A版
)
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知识梳理 知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.复数加法的几何意义 如图,若复数 z1,z2 对应的向量������������1 , ������������2 不共线, 则复数 z1 + z2 就是以������������1 , ������������2 为邻边的平行四边形的对角线������������所对应的复数, 即复数的加法可以按照向量的加法来进行. 这是复数加法的几何意义.
反思复数的加法、减法法则的记忆: 方法一:复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. 方法二:把i看作一个字母,类比多项式加减运算中的合并同类项.
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【变式训练 1】 计算:(1)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); (2)(i2+i)+|i|+(1+i); (3)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i); (4)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]. 解:(1)原式=(-1+3i)+(-2-i)+(1-2i)=(-3+2i)+(1-2i)=-2. (2)原式=(-1+i)+ 0 + 12 + (1 + i) = −1 + i + 1 + (1 + i) = 1 + 2i. (3)原式=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i. (4)原式=5i-(4+i)=-4+4i.
3.2.1
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2．在复平面内，复数 z1、z2、z 的对应点分别为 Z1、Z2、Z， 已知O→Z＝O→Z1＋O→Z2，z1＝1＋ai，z2＝b－2i，z＝3＋4i(a，b∈ R)，则 a＋b＝________________.
[答案] 8 [解析] 由条件知 z＝z1＋z2， ∴(1＋ai)＋(b－2i)＝3＋4i， 即(1＋b)＋(a－2)i＝3＋4i，
若 z1、z2 在复平面内的对应点分别为 Z1、Z2，由向量运算
法则
知O→Z1＝
→ OZ2
→ ＋___Z_2_Z_1____
，依
据向
量与
复数的对
应关系
知，Z→2Z1对应的复数为__(a_－__c_)_＋__(_b_－__d_)i_.
∴复数 z2－z1 是指连接向量O→Z1、O→Z2的终点，并指向被减 →
牛刀小试
3．(2014～2015·西宁高二检测)在平行四边形 ABCD 中，对
角线 AC 与 BD 相交于点 O，若向量O→A、O→B对应的复数分别是
3＋i、－1＋3i，则C→D对应的复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
[答案] D
[解析] 依题意有C→D＝B→A＝O→A－O→B，而(3＋i)－(－1＋3i) ＝4－2i，
→ OZ1
＋
→ OZ2
，
而
→ OZ1
＋
→ OZ2
所
对
应
的
坐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
标
是
(_x_1_＋__x2_，__y_1_＋__y_2)_，这正是两个复数之和 z1＋z2 所对应的有序实
数对．
牛刀小试
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
[答案] B
[解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.
[答案] B
[解析] 以 OA，OB 为邻边作▱OACB，则由题设条件知O→C 对应复数为 z1＋z2，B→A对应复数为 z1－z2，
∵|z1＋z2|＝|z1－z2|，∴|O→C|＝|B→A|， 即▱OACB 的两条对角线长相等， ∴▱OACB 为矩形，∴OA⊥OB， ∴△AOB 为直角三角形．
5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝______________. [答案] 3i [解析] 设 z＝a＋bi(a、b∈R)， ∵|z|＝3，∴a2＋b2＝9. 又 w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 为纯虚数， ∴ab＝ ＋03≠0 ，即ab＝ ≠0－3 ，又 a2＋b2＝9， ∴a＝0，b＝3.∴z＝3i.
思维导航
2．实数的加法满足交换律、结合律，上述规定的复数加 法运算满足交换律、结合律吗？
3．我们已知复数与复平面内的点、平面向量具有一一对 应的关系，那么复数加法的几何意义是什么？
新知导学
2．设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则 z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i，设在复平面内 z1、z2 的对应点为 Z1、Z2，则O→Z1 ＋O→Z2对应的复数为___(a_＋__c_)_＋__(b_＋__d_)_i____.
3．复数加法的几何意义
复数加法的几何意义就是向量加法的
平行四边形法则(或三角形法则)．
已知复数 z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i 及其
对应的向量O→Z1＝(x1，y1)，O→Z2＝(x2，y2)．以
O→Z1和O→Z2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，如图．对角线 OZ 所表
示
的
向
量
→ OZ
＝
重点：复数代数形式的加减法． 难点：复数代数形式加减法的几何意义．
复数代数形式的加法运算及其几何意义
思维导航
1．实数有四则运算，扩展到复数集后，还可以进行四则 运算吗？怎样规定复数的运算才能与原有实数的运算法则相一 致？
新知导学
1．复数加法的运算法则 设 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di 是 任 意 两 个 复 数 ， 则 z1 ＋ z2 ＝ __(_a_＋__c)_＋__(_b_＋__d_)i___.
典例探究学案
复数的加减运算
计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)． [分析] 直接运用复数的加减法运算法则进行计算．
[解析] (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝(－1＋1)＋( 2－ 2)i＝0. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋ (4b－3)i. [方法规律总结] 复数与复数相加减，相当于多项式加减 法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与 虚部相加(减)．
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
数系的扩充与复数的引入 第三章
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其 几何意义
第三章
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业
自主预习学案
掌握复数加法、减法的运算法则及其几何意义，并能熟练 地运用法则解决相关的问题．
由复数相等的条件知，1a＋ －b2＝ ＝34， ， ∴b＝2，a＝6，a＋b＝8.
复数代数形式的减法运算及其几何意义
思维导航
4．在实数范围内，减法是加法的逆运算，为了使在复数 范围内，原实数运算性质、法则依然有效，应怎样规定复数的 减法运算？其几何意义是什么？
新知导学
4．设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)，则 z1－z2 ＝___(a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i____.
数的向量____Z_2_Z_1____所对应的复数．要注意向量知识对复数学 习的催化作用．
由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数 z1 与 z2 对应的两点之间的__距__离____．
5．对复数加减法几何意义的理解 它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形 的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算 也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 6．从类比的观点看，复数加减法运算法则相当于多项式 加减运算中的____合__并__同__类__项_____．
即C→D对应的复数为 4－2i. 故选 D.
4．(2014～2015·丽江高二检测)A，B分别是复数z1，z2在复 平 面 内 对 应 的 点 ， O 是 原 点 ， 若 |z1 ＋ z2| ＝ |z1 － z2| ， 则 三 角 形 AOB一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形