高中数学圆的标准方程精品导学案
2.2.1圆的标准方程-导学案
圆与圆的方程2.1圆的标准方程（导学案）使用说明：1．用15分钟左右的时间，阅读课本内容，自主高效预习，理解公式中各量的含义。
2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究。
【学习目标】⑴ 掌握确定圆的几何要素⑵ 掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程 ⑶ 能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径【重点难点】重点是圆的标准方程，难点是根据不同的条件求圆的标准方程相关知识：1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？教材助读：1.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？2.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：___________________________________________________________________3.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在圆点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？预习自测1.写出下列各圆的方程：（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3； （2） 圆心在圆点，半径为5；（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。
2.圆22(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为基础知识探究1.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足怎样的关系式P P P ⇒⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩点在圆内点在圆外点在圆上2.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是综合应用探究1.已知ABC Rt ∆ 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？预习案 探究案2.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。
高一年级数学 圆的标准方程导学案
圆的标准方程导学案 一、学习目标 1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程； 2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和 半径；由不同的已知条件求得圆的方程. 3.掌握点和圆的位置关系. 二、温故知新回顾直线方程的知识完成下列问题：（1）直角坐标系中任意两点),(11y x A ，),(22y x B 的距离=||AB ；特殊的，),(y x P 与原点的距离为 ；AB 的中点M 的坐标为 ．（2）已知两点)2,2(),1,1(-B A ，则线段AB 的垂直平分线的方程是 ．三、合作探究任务一 推导圆的标准方程．（类比直线的方程）任务二 认识圆的标准方程．写出下列圆的圆心坐标和半径.圆心坐标 半径6)1()4(22=-+-y x4)4()1(22=++-y x9)2(22=++y x8)3(22=-+y x2223)(-=+y x222)(a y a x =+-任务三 圆的标准方程的应用模块一 判断点和圆的位置关系例1 写出圆心为)1,0(O ，半径为25的圆的方程，并判断点)8,1(A ，)2,2(B ，)5,6(C 是否在圆上．点),(00y x P 与圆222)()(:r b y a x C =-+-的位置关系判定方法：模块二 求圆的标准方程例2 ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)82(),37(),15(--，，，C B A ，求它的外接圆的方程．例3 已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线01:=+-y x l 上，求圆心为C 的圆的标准方程．练习题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝92．点)5,(m P 与圆2522=+y x 的位置关系（ ）A ．在圆外 B.在圆上 C. 在圆内 D.在圆上或在圆外3．圆x 2＋y 2＝1上的点到点M(3，4)的距离的最小值是( )A ．1B ．4C ．5D ．64．若点)12,15(a a P +在圆1)1(22=+-y x 的外部，则a 的取值范围为________．5. 一圆经过点P(－4，3)，圆心在直线2x －y ＋1＝0上，且半径长为5，求该圆的方程．6．平面直角坐标系中有A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(－1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？。
高中数学《圆的标准方程》导学案
2.1 圆的标准方程[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系.【主干自填】1．确定圆的条件(1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程(1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为□06⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.4．点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上； 若|CM |>r ，则点M 在□08圆外； 若|CM |<r ，则点M 在□09圆内．(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在□10圆上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在□11圆外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2；点M(m，n)在□12圆内⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2.【即时小测】1．思考下列问题若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？提示：圆心坐标(－a，－b)，半径：|t|.2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13提示：B设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵圆心是C(2，－3)且过原点，∴a＝2，b＝－3.∴r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.3．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(1,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外提示：C∵(1－2)2＋(2－3)2＝2<4，∴点在圆内．4．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()A．π B．2π C．4π D．8π提示：C由题可知r＝2，∴S＝πr2＝4π.例1写出下列各圆的标准方程．(1)圆心在原点，半径为8；(2)圆心在(2,3)，半径为2；(3)圆心在(2，－1)且过原点．[解]设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，∴圆的方程为x2＋y2＝64.(2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.(3)∵圆心在(2，－1)且过原点，∴a＝2，b＝－1，r＝(2－0)2＋(－1－0)2＝ 5.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.类题通法求圆的标准方程的方法直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．[变式训练1]求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．解(1)由两点间距离公式，得r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229，∴半径r＝29.∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.例2已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？[解]由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r＝12|P1P2|＝12(3＋1)2＋(6－2)2＝2 2.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8.∵(2－1)2＋(2－4)2＝5<8，(5－1)2＋(0－4)2＝32>8，(3－1)2＋(2－4)2＝8，∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上．类题通法判断点与圆位置关系的方法判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，即比较|MC|与r的关系：若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.[变式训练2]点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a<－1或a>1 D．a＝±1答案A解析∵点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得－1<a<1.例3求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程．[解]解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a－b－3＝0，(5－a)2＋(2－b)2＝r2，(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝2，b＝1，r＝10.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.解法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上， 线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，由⎩⎨⎧2x －y －3＝0，y ＝－12(x －4)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.即圆心C 的坐标为(2,1)． ∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.类题通法用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(1)设出圆的标准方程．(2)根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值． (3)代入标准方程，得出结果．[变式训练3] 一圆过原点O 和点P (1,3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的标准方程．解 解法一：圆心在直线y ＝x ＋2上， ∴设圆心坐标为(a ，a ＋2)，半径为r ， 则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2. ∵点O (0,0)和P (1,3)在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(0－a )2＋(0－a －2)2＝r 2，(1－a )2＋(3－a －2)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，r 2＝258.∴所求的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －742＝258.解法二：由题意，圆的弦OP 所在直线的斜率为3，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴弦OP 的垂直平分线方程为y －32＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋3y －5＝0.∵圆心在直线y ＝x ＋2上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x ＋3y －5＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝74，即圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，74.又∵圆的半径r ＝|OC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫742＝258，∴所求的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －742＝258.易错点⊳忽略圆的标准方程中隐含条件——半径大于零[典例] 已知点A (1,2)在圆C ：(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2的外部，求实数a 的取值范围．[错解] ∵点A (1,2)在圆的外部，∴(1＋a )2＋(2－a )2>2a 2，即5－2a >0，∴a <52， ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52.[错因分析] 忽略的圆的标准方程中隐藏着r 2>0.[正解] ∵点A (1,2)在圆的外部，∴(1＋a )2＋(2－a )2>2a 2，即5－2a >0，∴a <52，又2a 2>0，∴a ≠0.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52.课堂小结1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)，2答案D解析根据圆的标准方程可知圆心为(2，－3)，半径为 2.2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝2答案B解析以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.3．圆的直径端点为A(2,0)，B(2，－2)，则此圆的标准方程为________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析圆心C(2，－1)，半径r＝12(2－2)2＋(0＋2)2＝1，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．答案x2＋(y－1)2＝1解析由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.时间：25分钟1．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20答案C解析因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝(－1－0)2＋(2－0)2＝5，又圆心为C(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选C.2．经过A(－1,1)，B(2,2)，C(3，－1)三点的圆的标准方程是()A．(x＋1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝5C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝5答案D解析由已知条件可得，线段AC的垂直平分线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2，线段AB的垂直平分线方程为y－32＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x－12，这两条直线的交点坐标为M(1，0)，又由|MA|＝5，可得过三点A，B，C的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5.3．过点C(－1,1)和点D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10答案D解析 ∵圆心在x 轴上， ∴可设方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ (－1－a )2＋1＝r 2，(1－a )2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10.故方程为(x －2)2＋y 2＝10.4．设M 是圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上的点，则M 到3x ＋4y －2＝0的最小距离是( )A ．9B ．8C ．5D ．2 答案 D解析 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离 d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝|15＋12－2|5＝5，∴所求的最小距离是5－3＝2.5．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0，故圆心位于第四象限．6．已知点P (a ，a ＋1)在圆x 2＋y 2＝25的内部，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－4,3) B ．(－5,4) C ．(－5,5) D ．(－6,4) 答案 A解析 由a 2＋(a ＋1)2<25，可得2a 2＋2a －24<0，解得－4<a <3.7．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________． 答案 (x －2)2＋(y ＋3)2＝25解析 因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.8．圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4上存在相异的两点关于过点(0,1)的直线l 对称，则直线l 的方程为________．答案 x －y ＋1＝0解析 易得直线l 必过圆心(－2，－1)，故直线l 的方程是y －1＝－1－1－2－0(x －0)，即x －y ＋1＝0.9．已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解 (1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝R 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.10．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程．解 设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧ n －1m ＋3＝47，14·－3＋m 2＋8·1＋n 2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.。
2.4.1 圆的标准方程 导学案正文
2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程【学习目标】1.能描述确定圆的几何要素,能根据给定圆的几何要素推导出圆的标准方程.2.能分析圆的标准方程中相关量的几何意义.3.能根据给定圆的几何要素求出圆的标准方程.◆知识点一圆的标准方程1.圆的标准方程圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程是.和分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.2.几种常见的特殊的圆的方程条件方程形式圆心在原点x2+y2=r2(r>0)过原点(x-a)2+(y-b)2= a2+b2(a2+b2≠0)圆与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)圆与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)圆与两坐标轴都相切(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. ( )(3)圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心坐标是(1,2),半径是4.( )(4)已知A为定点,点M满足集合P={M||MA|=r(r>0)},则点M的轨迹为圆.( )◆知识点二点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断方法位置关系判断方法几何法代数法点M在圆上|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2 点M在圆外|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2 点M在圆内|CM|r (x0-a)2+(y0-b)2r2◆探究点一求圆的标准方程例1根据下列条件,求圆的标准方程:(1)圆心为点A(2,-1),且经过点B(-2,2);(2)经过点C(0,0)和点D(0,2),半径为2;(3)E(1,2),F(3,4)为直径的两个端点;(4)圆心在直线l:2x+3y-8=0上,且经过点P(1,0)和点Q(3,2).例2已知半径为3的圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线x-y+1=0对称,则圆C的标准方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=9B.(x-1)2+(y-1)2=9C.x2+(y+1)2=9D.x2+y2=9变式1圆心在直线y=x+3上,且过点A(2,4),B(1,-3)的圆的标准方程为.变式2已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.[素养小结]求圆的标准方程一般有两种方法:(1)直接法.通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的标准方程.(2) 待定系数法.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),先根据条件列出关于a,b,r的方程组,然后解出a,b,r,最后代入标准方程.拓展已知二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A,B两点,交y轴于C点.若圆M过A,B,C三点,求圆M的标准方程.◆探究点二判断点与圆的位置关系例3 (1)已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的标准方程,并判断点M(5,3),N(3,4),P(3,5)与圆的位置关系.(2)写出圆心为点(3,4),半径为5的圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)与该圆的位置关系.(3)已知点M(5√a+1,√a)在圆(x-1)2+y2=26的内部,求a的取值范围.。
圆的标准方程导学案
圆的标准方程导学案【教学目标】知识目标：1、了解圆的定义；2、理解用解析法推导圆的标准方程的过程3、掌握圆的标准方程：会根据圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标；能根据条件写出圆的标准方程；能力目标：1、培养学生用代数方法研究几何问题的能力；2、培养学生的数形结合思想的思维习惯；3、注意培养学生观察问题、发现问题、解决问题的能力．情感目标：1、培养学生主动探究知识、合作交流的意识；2、学习中感受学习乐趣，体验成功。
3、培养学生勇于发现，探索求知的精神。
【教学重点】圆的标准方程求法及其应用．【教学难点】会根据不同的已知条件求圆的标准方程；【教具准备】 多媒体课件 导学提纲【教学过程】问题1如何求圆的方程呢？(要确定圆关键是什么？)思考：在直角坐标系中，已知圆C 的圆心为（a,b ）,半径为r 圆的方程怎样求？(其中圆心和圆上一动点到圆心的距离是关键)。
例1.写出下列圆的方程：(1) 圆心在原点,半径为3.(2) 圆心在点C (3, -4), 半径为7.（3） 过点P （5，1），圆心在点C （4,2）处；例2、说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：22(1)(7)(4)36x y ++-=22(2)(1)(2)9x y -++=22(3)(2)5x y +-=3.写出圆心为A(2,-3) ，半径长等于5的圆的方程，并判断点1M (5,-7) , 3M 是否在这个圆上。
例4 己知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C 的圆的标准方程.练习1.∆ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0), B(0,3,C(0,0),求它的外接圆的方程2.根据下列条件，求圆的方程：（1） 圆心在点C （-2，1），并过点A （2，-2）；（2）过点（0，1）和点（2，1），半径为r =（3）求过两点A (0,4)和B (4,6),且圆心在直线x -y +1=0上的圆的标准方程。
高中数学《圆的方程》导学案
圆的方程一．圆的平面直角坐标系方程 1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．2圆的标准方程：圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+- 例1：求下列各圆的方程：（1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --解：（1）设所求圆的方程为222(3)(2)x y r -++=. 则 222(23)(02)r --++=， 解得229r =. ∴ 圆的方程为22(3)(2)29x y -++=.（2）圆心在线段AB 的垂直平分线3y =-上，代入直线270x y --=得2x =，圆心为(2,3)-，半径r =∴ 圆C 的方程为22(2)(3)5x y -++=.3圆的一般方程：二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（*）配方得（x +2D ）2+（y +2E ）24422FE D -+)04(22>-+F E D 其中，半径是2422F E D r -+=，圆心坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D，叫做圆的一般方程（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x 2、y 2项系数相等且不为零 没有xy 项（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ）；当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形（3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程 4.确定圆需三个独立的条件（1）标准方程： 222)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(（2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，,)2,2(圆心----ED 2422FE D r -+=例2：求过A （4，1），B （6，－3），C （－3，0）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
人教版高中数学必修二第4章第1节圆的标准方程导学案
第四章第一节圆的标准方程三维目标1．掌握圆的标准方程，能根据圆心和半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程；3.初步体会求点的轨迹方程的思想.___________________________________________________________________________目标三导学做思1问题1.在平面直角坐标系中，圆的定义是什么？确定它的要素有哪些？问题2.如果一个圆以点P（a,b）为圆心，r为半径，你能否求出表示圆的方程？如果圆心在原点，方程又该如何？确定圆的标准方程的要素有哪些？.【学做思2】1.写出圆心为A（2，-3），半径等于5的圆的方程，并判断点M（5，-7），N（2，-1），P(5，2)是否在这个圆上。
【思考】点与圆的位置关系有哪几种？如何判断点与圆的位置关系？*2.已知圆的方程过点A(-4,0),B(0,2)和原点，求圆的标准方程。
【思考】从几何角度思考，该题还可以怎样解？3.已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。
【思考】比较两个例题，你能总结出求圆的标准方程的两种方法吗？达标检测*1.方程x+1=1-y2表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一个圆D．半个圆2.圆心在C(8，-3),且经过点M(5，1)的圆标准方程是_____________；3.若A(4,9),B(6,3)，则以A、B两点为直径的圆的标准方程是_____________；4.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则求圆C2的标准方程。
5.已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程。
高中数学《圆的标准方程》导学案
4．1.1圆的标准方程课前自主预习知识点一圆的标准方程1．圆的基本要素圆的基本要素是□1圆心和□2半径．2．圆的标准方程圆的标准方程是□3(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C为(a，b)，半径为r.知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．2．几种特殊位置的圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．()(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.()(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编，P120，T1)若圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为3，则此圆的标准方程为____________________．(2)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝(－5)2，则圆的圆心坐标和半径分别为____________．(3)(教材改编，P121，T2)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1,0)与圆的位置关系是____________．答案(1)(x＋1)2＋(y－3)2＝3(2)(－2,2)，5(3)点A在圆上3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为()A ．(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝4C ．(x －5)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －3)2＋y 2＝4答案 A课堂互动探究探究1 点与圆的位置关系例1 已知点A (1,2)在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．解 ∵点A 在圆的内部，∴(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2且a ≠0，∴2a ＋5<0，∴a <－52且a ≠0，∴a 的取值范围是a <－52.[条件探究] 将例1改为：已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．解 解法一：由题意，得点A 在圆C 上或圆C 的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2，∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 解法二：由例1知点A 在圆C 的内部时，a <－52，所以点A 不在圆C 的内部时，a ≥－52，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)．拓展提升1.判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．2．求解参数范围若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．【跟踪训练1】 若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，求实数a 的取值范围．解 ∵点(1,1)在圆的外部，则点(1,1)到圆心(a ，－a )的距离大于半径2，∴ (a －1)2＋(－a －1)2>2，解得a >1或a <－1.探究2 求圆的标准方程例2 求过点A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)的圆的标准方程． 解 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(5－b )2＝r 2，(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(－4－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝1，r 2＝25.所以，所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.[解法探究] 例2还有其他解法吗？解 因为A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －7y ＋10＝0.同理，得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.由⎩⎨⎧ x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0，得圆心的坐标为(－3,1)． 又圆的半径长r ＝(－3－0)2＋(1－5)2＝5，所以，所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.拓展提升求圆的方程的两种方法(1)确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．(2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法．【跟踪训练2】 已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解 解法一：如图所示，由题设知|AC |＝r ＝5，|AB |＝8，∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝|AC |2－|AO |2 ＝52－42＝3.设点C 坐标为(a,0)，则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.解法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25.∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)．代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.探究3 与圆有关的最值问题例3 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求：(1)x 2＋y 2的最值；(2)x ＋y 的最值．解 (1)据题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大和最小值．原点O (0,0)到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14. (2)令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b .问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b |2＝12，解得b ＝±22－1， 即最大值为22－1，最小值为－22－1.[变式探究] 在本例条件不变的情况下，如何求x 2＋y 2－2x 的最值？解 令t ＝x 2＋y 2－2x ＝(x －1)2＋y 2－1表示圆上的点到点(1,0)距离的平方减1，而圆心C (－1,0)，故t 的最大值为214，最小值为54.拓展提升与圆有关的最值问题，常见的几种类型(1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b 截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．【跟踪训练3】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求y x 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 将实数x ，y 看作点P (x ，y )的坐标，满足(x －2)2＋y 2＝3的点P (x ，y )组成的图形是以M (2,0)为圆心，3为半径的圆，如图．(1)设y x ＝y －0x －0＝k ，即y x 是圆上的点P 与原点O 连线的斜率． 由图知直线y ＝kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值，此时有OP ⊥PM ，|PM |＝3，|OM |＝2，∴∠POM ＝60°.此时k ＝tan60°＝3，∴y x 的最大值是 3.同理知直线y ＝kx 和圆M 在第四象限相切时，k 取最小值，y x 的最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，b 是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距． 由图知当直线y ＝x ＋b 和圆M 在第四象限相切时，b (b <0)取最小值．此时有|2＋b |2＝3，解得b ＝－6－2， ∴y －x 的最小值是－6－2.同理，y －x 的最大值是6－2.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.1.确定圆的标准方程需具备的条件圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中有三个参数，要确定圆的方程需要确定这三个参数，其中圆心(a ，b )是圆的定位条件，半径r 是圆的定量条件．注意：在具体问题的求解过程中，应灵活应用圆的几何性质(如弦的中垂线过圆心)确定圆心的位置和半径大小，可使问题简单化.2.求圆的标准方程的常用方法(1)几何法利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果．(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解．3.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线长是半径长．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．课堂达标自测1．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是( ) A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定答案 C 解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝14＋34＝1>12， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32在圆外，故选C. 2．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案B解析由题意可知直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y ＋3)2＝13.3．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为__________________．答案(x－2)2＋(y＋3)2＝25解析因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．答案2解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2.5．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．解(1)由题意，结合图①可知圆心(3,0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)如图②所示，过点C 作CD 垂直于直线x －y ＋1＝0，垂足为D .由点到直线的距离公式可得|CD |＝|3＋1|2＝22， 又P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，结合图形易知点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.课后课时精练A 级：基础巩固练一、选择题1．已知A (－4，－5)、B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116答案 B解析 圆心为AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝12(6＋4)2＋(－1＋5)2＝29，故选B.2．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意，得⎩⎨⎧ (|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1或⎩⎨⎧ (x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1，故原方程表示两个半圆．3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析 解法一：(直接法)设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法二：(数形结合法)根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法三：(验证法)将点(1,2)代入四个选择项，排除B 、D ，又由于圆心在y 轴上，排除C ，选A.4．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( )A ．2B ．1 C. 3 D.2答案 B解析 方程(x ＋5)2＋(y －12)2＝142表示以(－5,12)为圆心，14为半径的圆，x 2＋y 2表示圆上的点到原点距离的平方，∵圆心到原点的距离为13，∴x2＋y2的最小值为14－13＝1，∴x2＋y2的最小值为1.5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析因为y＝ax＋b过一、二、四象限，所以a<0，b>0.因为(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心坐标为(－a，－b)，所以圆心的横坐标－a>0，纵坐标－b<0，即圆心位于第四象限，选D.二、填空题6．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.7．点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．答案[0,1)解析由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)2＋(a)2<26，即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.8．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为________．答案 (x －3)2＋(y －4)2＝25解析 ∵|MA |＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5， |MB |＝(1－3)2＋(0－4)2＝25， |MC |＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26，∴|MB |<|MA |<|MC |，∴点B 在圆M 内，点A 在圆M 上，点C 在圆M 外，∴圆的半径r ＝|MA |＝5，∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.三、解答题9．已知圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，求圆C 的标准方程．解 解法一：由圆心在直线2x －y －7＝0上，可设圆心坐标为(a,2a －7)，由题意得a 2＋(2a －3)2＝a 2＋(2a －5)2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2，－3)，圆的半径长r ＝(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.解法二：圆C 的圆心在弦AB 的垂直平分线y ＝－3上，由⎩⎨⎧ 2x －y －7＝0，y ＝－3，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－3为所求圆的圆心坐标，半径长r ＝(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.解法三：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(－4－b )2＝r 2，(0－a )2＋(－2－b )2＝r 2，2a －b －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－3，r 2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.B 级：能力提升练10．已知圆C 的圆心坐标为(x 0，x 0)，且过点P (4,2)．(1)求圆C 的标准方程(用含x 0的方程表示)；(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？并求出此时圆C 的标准方程．解 (1)由题意，设圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r >0)． ∵圆C 过点P (4,2)，∴(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2，∴r 2＝2x 20－12x 0＋20，∴圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20.(2)∵(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20 ＝2(x 0－3)2＋2，∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小，此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.。
高一数学必修2《圆的标准方程》导学案设计
圆的标准方程学习目标：（1） 掌握确定圆的几何要素；（2） 掌握圆的标准方程的推导步骤；（3） 掌握圆的标准方程，能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径；（4） 会判断点与圆的位置关系；（5） 会根据不同条件求圆的标准方程，掌握圆的标准方程的求解方法。
一、导入与探究 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。
”数学上经常用代数方法———____________来研究几何问题。
1.在平面直角坐标系中，________确定一条直线,_________和____________也可确定一条直线.2.圆的定义：________________________________________________________________________;由此知，在平面直角坐标系中，由_____________和_____________确定一个圆.3.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x M 为这个圆上任意一点，则由圆的定义知 ___________________________________代数式为___________________________________化简得 ___________________________________若点),(y x M 在圆上，显然点),(y x M 的坐标适合上述方程；反之，点),(y x M 的坐标适合上述方程，则说明点),(y x M 到圆心(,)C a b 的距离等于____，即点M 在以C 为圆心的圆上。
4.圆心为点(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：_________________________________5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的标准方程是： 圆心在坐标原点、半径为1的圆的标准方程是：二、巩固练习1.写出下列各圆的标准方程：（1） 圆心在C(-3，4)，半径等于5；（2） 圆心在点C(8，-5)，且经过点M(5,1)；（3） 已知A(2,5)，B(0，-1)，线段AB 为圆的直径。
圆的标准方程导学案
〖学习目标〗1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程；2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径；由不同的已知条件求得圆的标准方程；3.掌握点与圆位置关系的判定；教学重点：圆的标准方程；教学难点：会根据不同条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
一、导入与探究数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。
”数学上经常用代数方法来研究几何问题。
1.在平面直角坐标系中，________确定一条直线,_________和_________也可确定一条直线.2.圆的定义：_________________________________________________________________;由此知，在平面直角坐标系中，由_____________和_____________确定一个圆.3.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x M 为这个圆上任意一点，则由圆的定义知 ___________________________________代数式为 ___________________________________化简得 ___________________________________若点),(y x M 在圆上，显然点),(y x M 的坐标适合上述方程；反之，点),(y x M 的坐标适合上述方程，则说明点),(y x M 到圆心(,)C a b 的距离等于____，即点M 在以C 为圆心的圆上。
结论：以圆心A(a,b), 半径长r 的圆的标准方程为：【结构分析】圆的标准方程是一个____元____次方程.二、巩固练习1.写出下列各圆的标准方程：（1） 圆心在C(-3，4)，半径等于5；（2） 圆心在点C(8，-5)，且经过点M(5,1)；（3） 已知A(2,5)，B(0，-1)，线段AB 为圆的直径。
高中 圆的标准方程与一般方程 导学案
1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.学习过程：问题1 已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，判断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
3、从圆x 2+y 2=9外一点P(3,2)向该圆引切线，求切线方程。
高一数学必修2第4章圆与方程的导学案
高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。
情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。
二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
高中数学《圆的标准方程课时1》导学案
数学（高二上）导学案教学过程一、自主预习任务1 什么是圆？如图，在一个平面内，线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆任务2有什么特征呢？(1)圆上各点到定点（圆心)的距离都等于定长（半径r)；(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.任务3：圆的标准方程二、合作探究归纳展示任务1 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？当圆心位置与半径大小确定后，圆就确定了。
因此一个圆的本要素是圆心和半径．如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a, b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a, b) 的距离任务2符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？答：符合上述条件的集合是：任务 3 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.即(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2称为圆心为A(a, b)半径长为r的圆的标准方程。
问题:圆的标准方程有什么特征?（1）有两个变量xy，形式都是与某个实数差的平方；（2）两个变量的系数都是1（3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。
任务3 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 因为圆心是原点O (0, 0)，将x ＝0，y ＝0和半径 r 带入圆的标准方程：得整理例 1 写出圆心为A(2,-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点否在这个圆上．解：圆心是 A(2,-3)，半径长等于5的圆的标准方程是：把的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．任务4 点与圆的位置关系从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上． 怎样判断点在圆内呢？还是在圆外呢？例2的三个顶点的坐标分别A (5,1), B (7,－3)，C (2, －8)，求它的外接圆的方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．解：所求圆的方程是 （1）因为A (5,1), B (7,－3)，C (2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是解得所以，的外接圆的方程是),(000y x M 222)()(r b y a x =-+-ABC ∆25)3()2(22=++-y x 可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ；点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ．222)()(r b y a x =-+-⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-222222222)8()2()3()7()1()5(r b a r b a r b a。
高中数学《圆的标准方程》导学案 北师大版必修2
第8课时圆的标准方程1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程.2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及由圆的标准方程熟练地求出圆心和半径;由不同的已知条件求得圆的标准方程.3.掌握点与圆位置关系的判定.古今中外都有很多的圆形建筑,如中国的北京天坛、罗马的圆形竞技场等,如何在直角坐标系中研究圆的方程和性质呢?前面我们已经学过直线方程的概念、直线斜率及直线方程的常见表达式,我们知道了关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,那么曲线方程会有怎样的表达式呢?这节课让我们一起来学习最常见的曲线方程——圆的标准方程.问题1:(1)圆的定义:平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为.定点是,定长是圆的.圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.(2)圆的标准方程:设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r>0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是P={M||MA|=r},由两点间的距离公式知点M适合的条件可以表示为,化简得:.①若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标适合方程①;反之,若点M(x,y)的坐标适合方程①,这说明点M与圆心的距离是r,即点M在圆心为A的圆上.所以我们把方程①称为圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程,即圆的标准方程.问题2:圆的标准方程的特点:是二元二次方程,括号内变数x,y的系数都是1,展开后没有xy项.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为.问题3:坐标平面内的点与圆的位置关系:设点M(x0,y0),则根据圆的标准方程可得坐标平面内的点和圆的关系如下:(1)点在圆外⇔;(2)点在圆上⇔;(3)点在圆内⇔.问题4:圆的直径式方程:已知圆的一条直径的端点分别是A(x1,y1)、B(x2,y2),根据中点坐标公式求圆心,根据两点间距离公式求半径,然后代入圆的标准方程就可以得到结论.这个公式叫作圆的直径式方程,要求学生熟悉,不要求记忆.1.圆心是C(2,-3),且经过原点的圆的方程为().A.(x+2)2+(y-3)2=13B.(x-2)2+(y+3)2=13C.(x+2)2+(y-3)2=D.(x-2)2+(y+3)2=2.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是().A.-1<a<1B.0<a<1C.a<-1或a>1D.a=±13.已知点A(3,-2),B(-5,4),以线段AB为直径的圆的标准方程为.4.已知圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且这个圆经过点A(6,1),求该圆的标准方程.求圆的标准方程根据下列条件,求圆的标准方程:(1)圆心为点C(-2,1),并过点A(2,-2)的圆.(2)过点(0,1)和点(2,1),半径为.判断点与圆的位置关系已知两点P(-5,6)和Q(5,-4),求以P、Q为直径端点的圆的标准方程,并判断点A(2,2),B(1,8),C(6,5)是在圆上,在圆内,还是在圆外.根据已知条件求圆中参数的范围已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点.求圆心在点C(1,3),并与直线3x-4y-6=0相切的圆的标准方程.以原点为圆心,且过点(3,-4)的圆的标准方程是,那么点(2,3)在圆(内、上、外).已知圆的标准方程是:(x+m)2+(y-2)2=(m+1)2+3,求半径最小时的圆心坐标和半径.1.圆C:(x-2)2+(y+1)2=3的圆心坐标是().A.(2,1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(-2,-1)2.已知圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)().A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外3.圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的标准方程为.4.若点P(1,1)为圆C:(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,求弦MN所在的直线方程.(2011年·安徽卷)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为().A.-1B.1C.3D.-3考题变式(我来改编):第8课时圆的标准方程知识体系梳理问题1:(1)圆圆心半径(2)=r (x-a)2+(y-b)2=r2问题2:(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=r2问题3:(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2(3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2问题4:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0基础学习交流1.B因为圆C经过坐标原点,所以圆C的半径r==.因此所求圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=()2=13.2.A由题知(1-a)2+(1+a)2<4⇒2a2<2⇒a2<1⇒-1<a<1,选A.3.(x+1)2+(y-1)2=25由中点坐标公式知AB中点为(-1,1),即圆心坐标为(-1,1).又|AB|==10,∴半径为5,∴圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=25.4.解:由题意可设圆心(3a,a),半径r=|3a|.∴圆的标准方程为(x-3a)2+(y-a)2=9a2,代入A(6,1),解得a=1或a=37.∴该圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=12321.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵点A(2,-2)在圆上,∴所求圆的半径为r=|CA|==5.又∵圆心为C(-2,1),∴所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2= 25.(2)设圆心坐标为(a,b),则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=5.已知圆过点(0,1),(2,1),代入圆的方程,得或因此,所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或(x-1)2+(y-3)2=5.【小结】求圆的方程的方法(1)定义法:直接求出圆心坐标和半径.(2)待定系数法:①设圆的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2;②由条件列方程(组)解得a,b,r的值;③写出圆的标准方程.探究二:【解析】由已知条件及圆的性质知,圆心M为直径PQ的中点,故圆心坐标为M(0,1),半径r=|PQ|==5.所以圆的标准方程为x2+(y-1)2=50.因|AM|==<r,故点A在圆内.因|BM|===r,故点B在圆上.因|CM|==>r,故点C在圆外.【小结】判断点A与圆C的位置关系,一般用点A(x0,y0)到圆心C的距离d与半径r作比较,结合两点间距离公式:若d<r,则点A在圆内;若d=r,则点A在圆上;若d>r,则点A在圆外.也可以直接判断:若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点A在圆内;若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点A在圆上;若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点A在圆外.探究三:【解析】直线l的方程可化为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.由得即l恒过定点A(3,1).∵圆心C(1,2),|AC|=<5(半径),∴点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交于两点.【小结】对于直线系方程要变形后找到定点.思维拓展应用应用一:已知圆心坐标C(1,3),故只要求出圆的半径,就能写出圆的标准方程.因为圆C 和直线3x-4y-6=0相切,所以半径r等于圆心C(1,3)到这条直线的距离,根据点到直线的距离公式,得r===3.因此,所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9.应用二:x2+y2=25内由已知得半径为5,圆的标准方程是x2+y2=25,把点(2,3)代入得22+32=13<25,所以点在圆内.应用三:由题知当m=-1时,r min=,此时圆心坐标为(1,2).基础智能检测1.B根据圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2知圆心坐标为(2,-1),选B.2.C把点P(3,2)代入(x-2)2+(y-3)2=(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P在圆内,选C.3.x2+(y-4)2=25由题意可设圆的标准方程为x2+(y-4)2=r2,将点(3,0)代入得r2=25,故所求圆的标准方程为x2+(y-4)2=25.4.解:由题知圆心C(3,0),∴k PC==-,又PC⊥MN,∴k MN=2,∴弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.全新视角拓展B圆的方程可变为(x+1)2+(y-2)2=5,即圆心为(-1,2),所以3×(-1)+2+a=0,即a=1.思维导图构建待定系数法。
高中数学 4.1.1圆的标准方程导学案 新人教版必修2
高中数学高一年级必修二第四章 第4.1.1节 ：圆的标准方程导学案Ａ．学习目标1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程Ｂ．学习重点、难点重点：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
Ｃ．学法指导通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
D ．知识链接与圆有关的一些实物，同时直线与圆的位置关系的应用E ．自主学习 教师提出问题：提出学生在生活中对圆的认识，引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
F.合作探究1．引导学生思考、交流、讨论，对圆的定义进行讨论2．观察圆的基本要素，推导出圆的标准方程G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H ．达标检测1、圆心为 ，半径长等于5的圆的方程为( )B A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y – 3 )2=52、圆 (x －2)2+ y 2=2的圆心C 的坐标及半径r 分别为( )DA C （2，0） r = 2BC （ – 2，0） r = 2C C （0，2） r =D C （2，0） r = 3、已知 和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点M 在( )BA 圆内B 圆上C 圆外D 无法确定4．ABC ∆的三个顶点的坐标分别A (5,1), B (7,－3)，C (2, －8)，求它的外接圆的方程．5．ABC ∆的三个顶点的坐标分别A (5,1), B (7,－3)，C (2, －8)，求它的外接圆的方程．提炼小结圆的标准方程。
1、 点与圆的位置关系的判断方法。
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圆的标准方程
一、课前导学
1、自学课本P118-P120.
2、思考问题：具有什么性质的点的轨迹称为圆
3、圆的标准方程为
4、P120 练习1（1）（2）（填入答案）
5、说出下列圆的圆心和半径：
(1)(x-3)2+(y-2)2=5；圆心半径
(2)(x+4)2+(y+3)2=7；圆心半径
(3)(x+2)2+ y2=4 圆心半径
二、课堂导学
1、推导圆的标准方程（重点：轨迹方程的求法）
2、例题
例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．
例2 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
例3课本P120例3
三、课堂小结
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的标准方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．
四、课堂练习
1．求下列条件所决定的圆的方程：
(1)经过点P(-2，1)，圆心在点C(3，-3)；
(2)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；
(3)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．。