高中数学 椭圆 知识点与例题

椭圆

知识点一：椭圆的定义

第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和为定值

)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两

焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121

F F PF PF <+，则动点P 的轨迹不存在.

知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2

22b a c -=

2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b

x a y )0(>>b a ，其中2

22b a c -=.

注意：①只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

②在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2

2

2

b a

c -=； ③椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 题型一、椭圆的定义 1、方程

()()10222

22

2=+++

+-y x y x 化简的结果是

2、若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是

3、椭圆

19

252

2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ）

A ．4

B ．2

C ．8

D ．

2

3

4、椭圆

22

12516

x y +=两焦点为12F F 、，()3,1A ，点P 在椭圆上，则1PF PA +的最大值为_____，最小值为 ___ 题型二、椭圆的标准方程

5、方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是

（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆

6、若方程

22

153

x y k k +=--， （1）表示圆，则实数k 的取值是 .

（2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .

7、椭圆

22

14x y m

+=的焦距为2，则m = 8、已知椭圆0632

2

=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

9、已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，

P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

10、求与椭圆2

2

4936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。

11、已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3

5

2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

12、中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．

13、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2

3,2

5

(-，求椭圆方程.

题型三、焦点三角形

14、已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b y a x ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，

α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积

15、椭圆22

1925x y +=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。 16、设点P 是椭圆

22

12516

x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ∆的面积为 。

17、已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若︒=∠6021PF F ， 求21F PF ∆的面积．

题型四、求轨迹方程

18、ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

19、已知动圆P 过定点()03，

-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

20、已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:2

2

及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于

M ，求点M 的轨迹方程.

21、已知圆2

2

:(1)1M x y ++=,圆2

2

:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程;