高中数学 2二项式定理
高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
高中数学 二项式定理 知识点与常见题型解法
《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析 由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。
人教版高中数学《二项式定理》教学课件(全国一等奖)
所以
x3
的系数是
(
1)3
C
3 9
84
．
回顾总结
二项式定理，通项，二项式系数；
由特殊到一般；观察、归纳、类比、 猜想、证明．
课下作业
一、P36: 1~3
二、1.求 ( x 3 )12 的展开式的中间一项； 3x
2.求 (1
1 )10 2x
展开式中含1 x5ຫໍສະໝຸດ 的项的系数．思维延伸：
探究 (a b c)5 的展开式中 a2b2c 的系数．
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
ab ab ab
问题2：展开式中各项是如何得到的？
(a b)4
(a b)(a b)(a b)(a b)
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)(a b)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到．
问题3：展开式中各项的系数是如何确定的？
(a b)3
(a b)(a b)(a b)展开式的每一项都是从
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一 位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
二项式定理知识点总结及例题分析-高中数学2018版
高中数学-二项式定理知识点总结及例题分析一、 基本知识点1．二项式定理(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n. (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 方法分析1．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大． 2．二项展开式系数最大项的求法：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得．例题讲解考点一求二项展开式中的项或项的系数 1 (1)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20(2)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x n的展开式中第4项为常数项，则常数项为( )A ．10B ．－10C ．20D ．－20解析： (1)由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y3的系数为－20.(2)由题意可知常数项为T 4＝C 3n (x )n －3⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝(－1)3C 3n x 3n －156，令3n －15＝0，可得n ＝5.故所求常数项为T 4＝(－1)3C 35＝－10，选B.答案： (1)A (2)B 变式练习1．若二项式⎝⎛⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B ．54 C ．1 D ．242.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数次幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 3.⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36 D ．384．(2014·山东卷)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．5．(2014·皖南八校联考)(x 2－4x ＋4)5的展开式中x 的系数是________． 答案1C 2.B 3.D 42 5-5120 考点二 二项式系数及项的系数问题(1)(2014·辽宁五校联考)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是A ．360B ．180C ．90D ．45(2)(2014·河北衡水中学五调)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝________.解析： (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102rx 5－52r ，所以r ＝2时，常数项为180.(2)∵T r ＋1＝C r 7x7－r(－m )r,0≤r ≤7，r ∈Z ，∴C 37(－m )3＝－35，∴m ＝1，令x ＝1，a 0＋a 1＋…＋a 7＝(1－1)7＝0，令x ＝0，a 0＝(－1)7＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1.答案： (1)B (2)1变式练习1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．22．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3考点三 二项式定理的应用、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．1 1D ．12 解析： 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝522 012＋C 12 012×522 011×(－1)＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋(－1)2 012＋a 能被13整除，只需(－1)2 012＋a ＝1＋a 能被13整除即可．∵0≤a <13，∴a ＝12，故选D.答案： D。
二项式定理与组合数学
二项式定理与组合数学在高中数学中，我们学习了很多数学定理和概念，其中二项式定理和组合数学是我们经常接触到的两个重要知识点。
本文将详细介绍二项式定理和组合数学，并探讨它们在数学领域中的应用。
一、二项式定理的表述二项式定理是一种展开表示二项式幂的公式，它通常用于展开(x + y)^n的形式。
根据二项式定理，我们可以得出以下等式：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + C(n,2) * x^(n-2) * y^2 + ... + C(n,n) * x^0 * y^n其中C(n,k)表示选择k个元素的组合数。
组合数的计算方法可以通过下面的公式得出：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)二、组合数学的概念组合数学是一门研究选择、排列和组合的数学学科。
在组合数学中，我们关注的是从给定集合中选择或排列对象的方式和数量。
组合数学中的基本概念包括排列、组合和二项式系数等。
排列指的是从给定的n个元素中选择k个元素，并按照一定的顺序进行排列的方式。
排列数可以通过下面的公式进行计算：P(n,k) = n! / (n-k)!组合指的是从给定的n个元素中选择k个元素，但不考虑元素的顺序。
组合数可以通过下面的公式进行计算：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)二项式系数即为二项式定理中的C(n,k)，它表示选择k个元素的组合数。
三、二项式定理与组合数学的应用1. 组合数学在概率论中的应用概率论是研究随机事件发生的可能性的一门学科，而组合数学在计算概率时发挥着重要作用。
例如，在排列组合中，我们可以用组合数计算从一副扑克牌中抽取一手牌的可能性。
2. 二项式定理在代数中的应用二项式定理在代数中常用于展开多项式，研究多项式的性质。
通过二项式定理，我们可以快速计算(x + y)^n的展开式。
这在代数运算中非常有用，特别是在多项式乘法、多项式函数的求导和积分等操作中。
高中数学2二项式定理
二项式定理一．二项式定理1.右侧的多项式叫做 anb 的二项睁开式2.各项的系数 C n r叫做二项式系数3.式中的 C n r a n r b r叫做二项睁开式的通项，它是二项睁开式的第r 1 项，即Tr 1C n r a n r b r (r 0,1,2,L, n).4.二项睁开式特色：共 r 1 项；按字母a的降幂摆列，次数从n到 0 递减；二项式系数C n r中r从0到n 递加，与b的次数同样；每项的次数都是n.二．二项式系数的性质性质 1a b nC n m C n n m 的二项睁开式中，与首末两头“等距离”的两项的二项式系数相等，即性质 2二项式系数表中，除两头之外其他地点的数都等于它肩上两个数之和，即C n m C n m 1C n m1性质 3a b n2n，即 C n0C n1 L C n n2n.的二项睁开式中，全部二项式系数的和等于（令 a b 1 即得，或用会合的子集个数的两种计算方法结果相等来解说）n性质 4 a b的二项睁开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C n0C n2L C n2r L C n1 C n3 L C n2r 1 L 2n 1.（令 a1,b1即得）nn性质 5 a b 的二项睁开式中，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 C n2获得最大值；当n为奇数时，n1n1中间两项的二项式系数C n2, C n2相等，且同时获得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、睁开式中的特别项 1． (x2. 在 1x21)n的睁开式中，常数项为 15，则 n =B ． 4 C ．5D ．6xnx 5nn N 的二项睁开式中，若只有的系数最大，则A ． 8B. 9C. 102 n3．假如3x 2的睁开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）x3Ａ． 3Ｂ． 5 Ｃ． 6 Ｄ． 10题型二、睁开式的系数和100 a 0 a 1 x1 a2 x 12 L a 100 x 1001. 已知 1 2x1 .求：（ 1）2 a 0 a 1 a 2La 100（3 ）a 1 a 3 a 5 L a 99；a ；（ ）n2. （江西理 4）已知 x3睁开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64 ，则 n 等于3 x（ ）Ａ．4 Ｂ． 5Ｃ． 6Ｄ． 73. （江西文 5）设 ( x 2 1)(2x 1)9a 0 a 1( x 2) a 2 (x 2)2 L a 11(x 2)11 ，则 a 0 a 1 a 2 La 11 的值为（ ）Ａ．2 Ｂ． 1 Ｃ． 1 Ｄ． 24.( 安徽文12) 已知 (1 x) 5 a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3a 4 x 4 a 5 x5a)(aa), ( 024 135 的值等aaa于.题型三、一项睁开 : 拆成两项除以 9 的余数是（）A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8题型四、多项睁开：1. （ | x | ＋1－ 2） 3 睁开式中的常数项是（）| x |A ． 12B ．－ 12C ． 20D ．－202. 求 1 x 2n3项的系数 .1 x L 1 x睁开式中 x 二项式定理1、睁开式中的特别项1．解．(x21)n的睁开式中，常数项为n n1)15，则C n3( x2 ) 3 (x x2n315 ，因此n能够被3整除，当 n=3 时，C31 3 15 ，当n=6时， C6215 ，选D。
高中数学同步教学课件 二项式定理 (2)
知识梳理
注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依 次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换.
例1
(1)求3
x＋
1
4
x
的展开式.
方法一
3
x＋
1
4
x
＝C04(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
x)2
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于
A.17
B.16
√C.15
D.14
∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为
√A.32
B.－32
C.1 024
D.512
a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝(a－2)10， 当 a＝2－ 2时，(a－2)10＝32.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5
第六章 §6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
导语
英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1643－1727)被誉为人类历史上最 伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家， 还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使 牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》， 牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式 定理.那么，牛顿是如何思考的呢？
二项式定理2
n−1
n+1
Cn2 = Cn2
n−1
当r≤
2
时，
C
r n
单调递增；
当r≥
n
+ 2
1
时，
C
r n
单调递减；
例题分析
例2．证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数
的和为2n； （2） (a + b)n的展开式中，奇数项的二
项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和。
小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值
(3) a0 + a1 + a2 ++ a7
解:设f (x) = (3x −1)7
（3）ff因 (−(11)为 )==aa−01a,+0a+a3a1,1+a−5aa,22a++7a是3 ++负a7+数a7
所以a0 + a1 + a2 ++ a7 = a0 − a1 + a2 −− a7
= −(−a0 + a1 − a2 ++ a7)= − f (−1) = −(−4)7= 47
r
归纳提高 一般地，(a + b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
性质1 (对称性)：
在二项展开式中，与首末两端“等距”的
两项的二项式系数相等。即
Cr n
= C n−r n
注：在杨辉三角表里，每一个数都等 于它肩上两个数的和
即:
Cr n+1
=
C r−1 n
+
Cnr
归纳提高
课件高中数学二项式定理
n n
3.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0， 第二项b的次数由0逐次升到n.
7 1.写出（ q） 1 的展开式 7 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 (1 q) C 7 + C 7q + C 7q + C 7 q + C 7 q + C 7 q + C 7 q + C 7 q
60 12 1 2 3. x x x
例2、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
( x a)12的展开式有13项, 倒数第4项是它的第10项. 解:
T91 C x
9 129 9 12
a 220x a .
3 9
7
例3、(1)求（1+2x) 的展开式的第4项的系数
3 7 73 3 3
3b 2
2 第 三 项 的 二 项 式 系 数 C 6 15, 为
2160 4b 2 a
而 展 开 式 的 第 三 项 的 数 为2160 系
课堂小结
1）注意二项式定理 中二项展开式的特征
2）区别二项式系数，项的系数 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
0 1 2 (a b) Cn a n Cna n1b Cn a n2b2
n 0 n n
1 n 1 n
r n r r n
n n n
例1.
用二项式定理展开下列各式：
(1)
1 4 (1 ) x
(2)
1 6 (2 x ) x
1 4 1 1 2 1 3 1 4 ( 解:（1）1 ) 1 4( ) 6( ) 4( ) ( ) x x x x x 4 6 4 1 1 2 3 4 . x x x x 1 6 2x 1 6 1 (2) (2 x ) ( ) 3 (2 x 1) 6 x x x 64x 3 192x 2 240x 160
高中数学§10.2 二项式定理
§10.2 二项式定理
知识清单
考点 二项式定理的应用
1.二项式定理
(a+b)n=① C0n an+ C1n an-1b1+…+ Crn an-rbr+…+Cnn bn (n∈N*).
2.几个基本概念 (1)二项展开式:二项式定理中的公式右边的多项式叫做(a+b)n的二项展 开式. (2)项数:二项展开式中共有② n+1 项. (3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数 Crn (r=0,1,2,…,n)叫做③ 二项式系数 . (4)通项:在二项展开式中的 Crn an-rbr叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即
x9+ C19
x7+ C92
x5+ C39
x3+ C94
x+…+ C99
x-9),∴
展开式中x5的系数为 C39 -4 C92 =84-144=-60,故选D.
(2)Tr+1= C5r (-x)r=(-1)r C5r xr(r=0,1,2,3,4,5),
当r为奇数时,ar<0,当r为偶数时,ar>0,
通项为展开式的第r+1项:Tr+1=④
a b Cr n-r r n
(r=0,1,…,n).
3.在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n=1+ Cx1n+ Cx22n+ xC3 3n +…+ Cxnn n.若a=1,b=-x,则得到公式:(1-x)n=1+(-1)1 Cx+1n xC2+2n…+(-1)n n 4.二项式系数的性质
高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳
高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳知识点梳理一、定理内容二、基本概念①二项式展开式：等式右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式②二项式系数：展开式中各项的系数中的③项数：展开式第r+1项，是关于a,b的齐次多项式.④通项：展开式的第r+1项，记作三、几个提醒①项数：展开式共有n+1项.②顺序：注意正确选择a与b，其顺序不能更改，即：(a+b)n和(b+a)n是不同的.③指数：a的指数从n到0, 降幂排列；b的指数从0到n,升幂排列。
各项中a，b的指数之和始终为n.④系数：正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数指各项前面的组合数；项的系数指各项中除去变量的部分（含二项式系数）。
⑤通项：通项是指展开式的第r+1项.四、常用结论由此可得贝努力不等式。
当x>-1时，有：n≥1时，(1+x)n≥1+nx;0≤n≤1时，(1+x)n≤1+nx.（贝努力不等式常用于函数不等式证明中的放缩）五、几个性质①二项式系数对称性：展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等。
②二项式系数最大值：展开式的二项式系数中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大。
即：③二项式系数和：二项展开式中，所有二项式系数和等于，即：奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：（注：凡系数和问题均用赋值法处理）④杨辉三角中的二项式系数：题型归纳一、求二项展开式二、求展开式的指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。
说明：凡二项展开式中指定项的问题，均直接使用通项公式处理.说明：对于位置指定的展开项问题，要注意用原式，底数中项的顺序不得随意调整。
说明：积的展开式问题，一般分别计算两个因式的通项。
练习：1. 求常数项1、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45i B. 45i C. －45 D. 45解析：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。
高中数学完整讲义——二项式定理2.二项展开式2求展开式中特定项
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n nn n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N那个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项11222...nn n n nnnnnC a C a b C ab C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r nC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，那个地址0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随意互换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不必然相等，二项式系数必然为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +那个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr nT C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr nT C a b -+=是不同的，在那个地址对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，那么得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要明白其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是专门大，x 比较小时能够用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：关于n 是较小的正整数时，能够直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也能够直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 能够看成是r 为自变量的函数()f r ，其概念域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为以下图：如此咱们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮忙咱们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n mn n C C -=取得．②增减性与最大值若是二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；知识内容求展开式中的特定项若是二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等而且最大． 由于展开式各项的二项式系数按序是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1k nn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数那么变大，而乘以一个小于1的数那么变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两头“等距离”的两项的式系数相等，因此二项式系数增大到某一项时就慢慢减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，因此展开式有中间一项，而且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，因此有中间两项． 这两项的二项式系数相等而且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x y+展开式中，系数为有理数的项共有 项．【例2】 的展开式中共有_____项是有理项．【例3】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【例6】 若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，那么实数a =___________．1003(23)61034(1)(1x x+典例分析【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，那么实数a 的值为 ．【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例9】 若是1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，那么n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【例10】的展开式中常数项为 （用数字作答）【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，那么展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例12】 若的展开式中含有常数项，那么最小的正整数等于 ．【例13】 在的二项展开式中，假设常数项为，那么等于 （用数字作答）【例14】的展开式中，常数项为15，那么 ．【例15】 已知的展开式中没有常数项，，且，那么______．【例16】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例17】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，那么展开式中常数项是 （用数字作答）281(12)()x x x+-1()n x x+3(2n xn 2)n x60n 21()n x x-n =231(1)()nx x x x+++n ∈*N 28n ≤≤n=12(x2(n x 314-21i =-【例18】 已知，假设的展开式中含有常数项，那么如此的有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例19】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例21】的展开式中常数项为 （用数字作答）【例22】 已知的展开式的常数项是第项，那么的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【例23】 在的二项展开式中，假设常数项为，那么等于 （用数字作答）【例24】的展开式中，常数项为15，那么 ．【例25】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例26】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，那么展开式中常数项是 （用数字作答）【例27】 已知，假设的展开式中含有常数项，那么如此的有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．010()n n ∈N ≤nxx )1(23-n 610(1(1++51(2x x++281(12)()x x x+-312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7n 789102)n x60n 21()n x x-n=12(x2(n x 314-21i =-10()n n ∈N ≤nx x )1(23-n【例28】展开式中的常数项为（）A．B．C．D．【例29】求展开式中的常数项．【例30】的展开式的常数项是（用数字作答）【例31】在的二项展开式中，假设常数项为，那么等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【例32】的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是．【例33】若的展开式中存在常数项，那么的值能够是（）A． B． C． D．【例34】在的展开式中常数项是，中间项是．【例35】已知的展开式中没有常数项，，且，那么______．【例36】若的展开式中含有常数项，那么最小的正整数等于．【例37】已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，那么展开式中常数项是（）A． B． C．D．12x⎛⎝1320-1320220-220612xx⎛⎫++⎪⎝⎭6122xx⎛⎫-⎪⎝⎭2nx⎫⎪⎭60n369121nxx⎛⎫-⎪⎝⎭5nnxx⎪⎪⎭⎫⎝⎛+31n10111214261(2)xx-________231(1)()nx x xx+++n∈*N28n≤≤n=3(2nxn2nx⎛⎝3141-145-45【例38】若展开式中的二项式系数和为，那么等于________；该展开式中的常数项为_________．【例39】若的展开式中常数项为，那么_____，其展开式中二项式系数之和为_________．【例40】若展开式的二项式系数之和为64，那么展开式的常数项为（）A．B．C．D．有理项【例41】求二项式的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例42】的展开式中共有_______项是有理项．【例43】二项式的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项；⑶有几个整式项．【例44】已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列①求；②求展开式中的有理项．21nxx⎛⎫+⎪⎝⎭512n921axx⎛⎫-⎪⎝⎭84a=1nxx⎛⎫+⎪⎝⎭1020301201510015nn【例45】 二项展开式中，有理项的项数是（ ）A ．B ．C ．D ．【例46】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，那么A ．1B ．C ．D ．【例47】的展开式中，含的正整数次幂的项共有（ ）A ．项B ．项C ．项D ．项【例48】 若（，为有理数），那么（ ）A ．B ．C ．D ．系数最大的项【例49】 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例50】展开式中系数最大的项是第几项？【例51】 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项．【例52】 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式中常数项是____．A ．B ．C ．D ．【例53】 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．【例54】 求的展开式中，系数绝对值最大的项和系数最大的项．153456(1132p 10px dx =⎰6776111312x 4321(51a =+a b a b +=45557080(n x n 20(23)x +(13)nx +121132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭7-728-28lg 8(2)x x x +1120x 10【例55】已知展开式中的倒数第三项的系数为，求：⑴含的项；⑵系数最大的项．【例56】设，，的展开式中，的系数为．⑴求展开式中的系数的最大、最小值；⑵关于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数．【例57】已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑵求展开式中系数最大的项．【例58】展开式中系数最大的项是第几项？【例59】关于二项式有以下命题：①该二项展开式中超级数项的系数和是：②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；④当时，除以的余数是．其中正确命题的序号是__________．（注：把你以为正确的命题序号都填上）【例60】在的展开式，只有第项的二项式系数最大，那么展开式中常数项为．（用数字作答）【例61】设的整数部份和小数部份别离为与，那么的值为．n453xm n+∈N，1m n，≥()(1)(1)m nf x x x=+++x19()f x2x()f x2x m n7x223(3)nx x+99220(23)x+2005(1)x-1619992005C x100310042006x=2005(1)x-200620052nx⎛⎝5)()21*4n n+∈NnMnm()n n nm M m+【例62】中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围．【例63】 二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，那么在内的值为___________．【例64】 若是的展开式中含有非零常数项，那么正整数的最小值为_______（用数字作答）．【例65】 在二项式的展开式中，存在着系数之比为的相邻两项，那么指数的最小值为 ．12()m n ax bx +a b ，200m n mn +=≠，ab(1sin )nx +752x (0,2π)232(3)nx x -n ()1nx +57∶()*n n ∈N。
高中第二册(下A)数学二项式定理
二项式定理●教学目标 (一)教学知识点 1.二项式定理：n b a )( =0C n a n +1C n a n -1b 1+…+r n C a n-r b r +…+n n C b n(n ∈N *).2.通项公式：T r +1=r n C a n-r b n (r =0,1,…,n ).(二)能力训练要求1.理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式.2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项. (三)德育渗透目标1.提高学生的归纳推理能力.2.树立由特殊到一般的归纳意识. ●教学重点1.二项式定理及结构特征二项式定理(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b +…+r n C a n-r b r +…+n n C b n有以下特征：(1)展开式共有n +1项；(2)字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ；(3)各项的系数0C n ,1C n ,2C n …, nn C 称为二项式系数.2.展开式的通项公式T r +1=r n C a n-r b r ,其中r =0,1,2,…,n 表示展开式中第r +1项.3.当a =1,b =x 时， (1+x )n =1+1C n x +2C n x 2+…+r n C x r +…+x n .●教学难点1.展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别.2.通项公式的灵活应用. ●教学方法 启发引导法 ●教学过程 Ⅰ.课题导入［师］在初中，我们学过两个重要公式，即 (a +b )2=a 2+2ab +b 2;(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3.那么，将(a +b )4,以至于(a +b )5,(a +b )6……展开后，它的各项是什么呢？ Ⅱ.讲授新课［师］不妨，我们来研究一下这两式的特点，看它们的展开式是否有什么规律可循？不难发现，(a +b )2=a 2+2ab +b 2=02C a 2+12C ab +22C b 2,(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3=03C a 3+13C a 2b +23C ab 2+b 3.即等号右边的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项的次数相同.这样看来，(a +b )4的展开式应有下面形式的各项： a 4,a 3b ,a 2b 2,ab 3,b 4.这些项在展开式中出现的次数，也就是展开式中各项的系数是什么呢？ ［生］(讨论)(a +b )4=(a +b )(a +b )(a +b )(a +b ). 在上面4个括号中：每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，所以a 4的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，所以a 3b 的系数是14C ；恰有2个取b 的情况有24C 种，所以a 2b 2的系数是24C ;恰有3个取b 的情况有34C 种，所以ab 3的系数是34C ；4个都取b 的情况有44C 种，所以b 4的系数是44C .［师］也就是说，(a +b )4=04C a 4+14C a 3b +24C a 2b 2+34C ab 3+44C b 4.依此类推，对于任意正整数n ，上面的关系也是成立的.即(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b 1+…+r n C a n-r b r +…+n nC b n (n ∈N *). 此公式所表示的定理，我们称为二项式定理.右边的多项式叫做(a +b )n 的二项展开式，它一共有n +1项，其中各项的系数r n C (r =0,1,2,…,n )叫做二项式系数.式中的r n C a n-r b r叫做二项展开式的通项，用T r +1表示，即通项为展开式的第r +1项：T r +1=r n C a n-r b r.另外，在二项式定理中，如果设a =1,b =x ,那么得到(1+x )n =1+1C n x +2C n x 2+…+r nC x r +…+x n . ［师］下面我们结合几例来熟练此定理.［例1］展开(1+x1)4.分析：只需设a =1,b =x1，用二项式定理展开即可.解：(1+x 1)4=1+14C (x 1)+24C (x 1)2+34C (x 1)3+44C (x 1)4=1+4321464x x x x +++. ［例2］展开(2xx 1-)6. 分析：可先将括号内的式子化简，整理，然后再利用二项式定理.解：(2x x 1-)6=(xx 12-)6=31x (2x -1)6=31x ［(2x )6-16C (2x )5+26C (2x )4-36C (2x )3+46C (2x )2-56C (2x )+66C ］ =31x(64x 6-6·32x 5+15·16x 4-20·8x 3+15·4x 2-6·2x +1) =64x 3-192x 2+240x -160+3211260xx x +-.评述：应注意灵活应用二项式定理.［例3］求(x +a )12的展开式中的倒数第4项.分析：应先确定其项数，然后再利用通项公式求得.解：(x +a )12的展开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项，由通项公式得T 10=T 9+1=912C x 12-9a 9=312C x 3a 9=220x 3a 9.［例4］(1)求(1+2x )7的展开式的第4项的系数；(2)求(x -x1)9的展开式中x 3的系数.解：(1)(1+2x )7的展开式的第4项是T 3+1=37C ·17-3·(2x )3=37C ·23·x 3=35×8x 3=280x 3. 所以展开式第4项的系数是280.注：(1+2x )7的展开式的第4项的二项式系数是37C =35.(2)(x -x 1)9的展开式的通项是r 9C x 9-r (-x1)r =(-1)r r 9C x 9-2r. 由题意得9-2r =3, 即r =3.∴x 3的系数是(-1)339C =-84.评述：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意系数和二项式系数的概念区别. Ⅲ.课堂练习［生］(自练)课本P 106练习1～6.1.(p +q )7=p 7+7p 6q +21p 5q 2+35p 4q 3+35p 3q 4+21p 2q 5+7pq 6+q 7.2.T 3=26C (2a )4·(3b )2=2160a 4b 2.3.T 3=26C (3b )4·(2a )2=4860b 4a 2.4.T r +1=rn C (3x )n-r ·(-321x)r =rr 2)1(-r nC 32rn x-.5. 37C =35;37C ·23=280.6.DⅣ.课时小结通过本节学习，要掌握二项式定理及其通项公式. Ⅴ.课后作业(一)1.课本P 109习题10.4 2、3. (二)1.预习课本P 106～P 108. 2.预习提纲二项式系数有哪些性质？ ●板书设计●备课资料一、利用二项展开式直接求特定项系数［例1］在(x 2+3x +2)5的展开式中，x 的系数为A.-160B.240C.360D.800 分析：把［(x 2+3x )+2］5直接展开，即[]522)3(++x x =(x 2+3x )5+5(x 2+3x )4·2+ 10(x 2+3x )3·22+10(x 2+3x )2·23+5(x 2+3x )·24+25.注意到x 的指数为1，只有在5(x 2+3x )·24中才出现x 的项，所以x 的系数为5×３× ２4=240. 答案：B但应明确直接展开只适用于n 是较小的自然数. 二、利用二项展开式的通项公式［例2］由(3x +32)100展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有________项. A.50 B.17 C.16 D.15 分析：考虑(3x +32)100的展开式的通项T r +1=r100C (3x )100-r (32)r=r 100C ·21003r-·33r ·x 100-r =r 100C ·2503r -·32r ·x 100-r .要使系数为有理数，那么r 为6的倍数，令r =6k (k ∈Z )，而且0≤6k ≤100,即r =0,6,12,…,96，因此共有17项.答案：B三、分解因式求特定项系数［例3］求(1+x +x 2)(1-x )10展开式中含x 4项的系数. 分析：原式=(1-x 3)(1-x )9,其中(1-x )9展开式的通项为T r +1=r9C (-x )r . 令r =4,得T 4+1=49C x 4;令r =1,得T 1+1=-19C x .故x 4的系数为49C +19C =135.四、利用排列组合原理求系数［例4］求(x 2+3x -1)9(2x +1)4展开式中含x 2的项的系数.分析：为了保证相乘得到x 2的项，那么前一式子中的x 2、3x 及后一式子中的2x 取出的个数有以下几种情况：1、0、0；0、2、0；0、1、1；0、0、2.故展开式中含x 2的项为19C x 288C (-1)844C +29C (3x )277C (-1)744C +19C (3x )1 88C ·(-1)814C ·2x ·33C +99C ·(-1)924C (2x )222C =(9-324+216-24)x 2=-123x 2, 故所求系数为-123.五、利用估算公式求系数最大项估算公式：假设二项式(ax +by )n (a ,b ∈R +,n ∈N )的展开式的系数最大的项为第r +1项，那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⋅+-≥⋅+-.11,11ab r r n abr r n公式证明：设展开式的第r 、r +1、r +2项的系数分别为r T ',1+'r T ,2+'r T . 由展开式相邻两项的系数关系，易知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-=''⋅+-=''+++.1,1121ab r r n T T a br r n T T r r r r而由题意，第r +1项的系数最大，所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤''≥''+++1,1121r r r r T T T T ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⋅+-≥⋅+-11,11ab r r n abr r n 成立. ［例5］问(2+3x )20展开式中系数最大的项是第几项？解：设第r +1项的系数最大，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⋅+-≥⋅-,123120,12321r r r r解得558≤r ≤563.由于r 是正整数，所以r =12,即第13项的系数最大.说明：假设在(ax +by )n 中，a 、b 异号，那么估算公式改为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⋅+-≥⋅+-.1||1,1||1ab r r n abr r n 由此算出的是展开式中系数的绝对值最大的项. 六、巧求二项展开式某一特定项求二项展开式中某一特定项是《排列组合二项式定理》中常见题型之一.它的一般解法是应用二项展开式的通项，这已为大家所熟知.本文要介绍的是另一种解法，这种解法能使某些直接应用二项展开式的通项不易解决的问题迎刃而解.［例6］求(a +b +c +d )1995展开式中a 200b 800·c 900d 95项的系数.解：(a +b +c +d )1995=(a +b +c +d )(a +b +c +d )…(a +b +c +d ),一共1995个因式相乘，等号右边的积的展开式的每一项为哪一项从1995个因式的每一因式中任取一个字母的乘积.显然a 200b 800c 900d 95项的系数应为2001995C 8001795C 900995C 9595C .［例7］求(|x |+||1x -2)3展开式中的常数项. 解：(|x |+||1x -2)3=(||1||x x -)6. 展开式中第r +1项为T r +1=(-1)r r 6C )2()6(21||rr x -+-=(-1)r r6C |x |3-r ,当且仅当r =3时，T r +1为常数，所以，所求常数项为T 4=-20.［例8］求(1+x -x 2)6展开式中的x 5项.分析：1+x -x 2不是完全平方式，假设不用本文所给方法，那么要两次应用二项式定理，假设用本文所给新解法，那么化繁为简.解：(1+x -x 2)6展开式中，x m +2n 项(其中m ,n 都是自然数，且m +2n ≤6)是(-1)n ·m 6C ·nm-6C ·x m +2n .m +2n =5,方程的解有以下几种情况： ①假设n =1,那么m =3,得项-36C 13C x 5=-60x 5; ②假设n =2，那么m =1，得项16C 25C x 5=60x 5;③假设n =0,那么m =5,得项56C 01C x 5=6x 5.以上3种合计得项是-60x5+60x5+6x5=6x5.。
乐乐课堂高中数学二项式定理
乐乐课堂高中数学二项式定理
二项式定理是研究数学中必不可少的知识，它是一个非常有用的定理，可以用来解决复杂的数学问题。
那么，什么是二项式定理？
二项式定理是一种数学定理，它指出，给定一个整数n和任意实数a，b，则(a+b)^n的展开式中的各项系数之和等于
2^n个系数之和。
也就是说，二项式定理是一个有关二次多项式的定理，它的公式为：(a+b)^n=a^n+n*a^(n-
1)*b+C_2^n*b^2+...+C_n^n*b^n。
比如，设给定n=3，a=2，b=3，则
(2+3)^3=2^3+3*2^2*3+3^2*3^2+3^3=125。
二项式定理有很多应用，它可以用来解决组合数学中的复杂问题，有助于我们研究一个系统中的组合数量。
此外，它也可以用来推导数学表达式，例如二次多项式的展开式。
另外，二项式定理也可以用于计算概率，因为概率的计算也是一种组合数学的研究。
例如，在抛掷两枚硬币的情况下，二项式定理可以用来计算出出现每种结果的概率。
总之，二项式定理是一个非常重要的数学定理，它有着广泛的应用，可以用来解决各种复杂的数学问题，也可以用于计算概率，是研究数学的必备知识。
【高中数学】计数原理(2)-- 二项式定理
【高中数学】计数原理(2)---二项式定理注意：后面有一份高中数学选修2-2的综合测试题及参考答案一、基本知识点1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n r r n r n n n n n n2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1+n 项（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+3、展开式的特点（1）系数：都是组合数，依次为C 0n 、C 1n 、C 2n 、C n n 、…、C nn （2）指数的特点：①a 的指数 由n0（降幂） ②b 的指数由0n （升幂）③a 和b 的指数和为n.（3）展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。
即 （2）增减性与最值：二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n 是偶数时，中间一项取得最大值2nn C当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n nC =21+n n C（3）二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和。
即二项式定理常见题型： 一、求二项展开式 1．“nb a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；mn n mn C C -=nnn k n n n n C C C C C 2210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++∴ 0213n-1nn n nC +C +=C +C +=22．“nb a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn nn n n n 3)1( (279313)21-++-+-；二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素 例4．已知9)2(x xa -的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为 .2．确定二项展开式的常数项 例5．103)1(xx -展开式中的常数项是 .3．求单一二项式指定幂的系数 例6． 92)21(xx -展开式中9x 的系数是 .三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于 .例8．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 . 四、利用二项式定理的性质解题 1. 求中间项 例9．求（103)1xx -的展开式的中间项；2. 求有理项 例10．求103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；3. 求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例11．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 . （2）一般的系数最大或最小问题 例12．求84)21(xx +展开式中系数最大的项.（3）系数绝对值最大的项例13．在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 .五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 例14．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 .例15．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a . 六、利用二项式定理求近似值例16．求6998.0的近似值，使误差小于001.0.七、利用二项式定理证明整除问题 例17．求证：15151-能被7整除。
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二项式定理
一．二项式定理
1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式
2.各项的系数r n C 叫做二项式系数
3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即
1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L
4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到
n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n
二．二项式系数的性质
性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -=
性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++=
性质3 ()n
a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）
性质4 ()n
a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项
的二项式系数的和，即
022132112.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得）
性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C -12n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）
【题型精讲】
题型一、展开式中的特殊项
1．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则n = B ．4 C ．5 D ．6 2.在()()1n x n N *
+∈的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则n = A ．8 B. 9 C. 10 3．如果2323n x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） Ａ．3
Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
题型二、展开式的系数和 1.已知()()()()1002100
01210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-L 求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++L （3）13599a a a a ++++L ；
2.（江西理4）已知33n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）
Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 3.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++L ，则01211a a a a ++++L 的值为
（ ）
Ａ．2-
Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．2 4.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等
于 .
题型三、一项展开:拆成两项
除以9的余数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
题型四、多项展开：
1.（|x |＋|
|1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20
2.求()()()2111n x x x ++++++L 展开式中3x 项的系数.
二项式定理
1、展开式中的特殊项
1．解．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n n n C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。
2.答案】C 解析】只有5x 的系数最大，5x 是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=10
3．答案：选Ｂ
解析：由展开式通项有()21323r
n r r r n T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2532r r n r n r n C x --=⋅⋅-⋅ 由题意得()52500,1,2,,12n r n r r n -=⇒=
=-L ，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，故选Ｂ 2、展开式的系数和
1.1003、1005、2
15100- 2.解析：展开式中，各项系数的和为4n ，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n =64，所以n=6，选C
3.解析：令2x +=1，右边为01211a a a a ++++L ；左边把1x =-代入
299(1)(21)2(1)2x x ++=-=-，01211 2.a a a a ∴++++=-L 选A.
4.解析：已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,
∴024135()16a a a a a a ++=-++= 则
())(531420a a a a a a ++++=－256
3、一项展开:拆成两项
1解析：1111101192111011111011111133C 9C 9C 9C 9C )19(82-+-+-=-==Λ-=10
0119(C 9
)1C 9C 9C 9(C 91)C 9C 9C 101182119111100111011821191
11-+-+-=-+-+ΛΛ,8+ 故余数为8，选D ．
4、多项展开：1.解法一：∵63)||1||()2||1|(|x x x x -=-+
∴展开式的通项为
r r r x T -+=661)||(C ·r r r x )1(C )||1(6-=-·r x 26)||(- 令6－2r ＝0，得r ＝3
∴T 4＝36C （－1）3＝－20 ∴所求常数项为－20．
解法二：∵（|x |＋|
|1x －2）3＝36|||)|1(x x - ∴（1－|x |）6中|x |3的系数A ＝3
6C （－1）3＝－20就是展开式的常数项． 评注：此题也可把其中的某两项看作一项对待，然后用二项式定理展开，但较繁，以上两种转化方式是比较实用的．
2.33433n C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅++。