高中数学--数学归纳法

13.4 数学归纳法

一、填空题

1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋1

2n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不

等式是________．

解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋1

3，右边＝2.

答案 1＋12＋1

3＜2

2.用数学归纳法证明：

121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 .

解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)

＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2

(2k ＋1)(2k ＋3)

故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)

2(2k ＋3)即可.

答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)

2(2k ＋3)

3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，

∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.

答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23．若存在正整数m ，使得f (n )＝ (2n －7)3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________.

解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 6

4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳

假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开的式子是________．

解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将 (k ＋3)3展开，让其出现k 3即可． 答案 (k ＋3)3

5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2

＝n 4＋n 2

2

，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k

的基础上加上________．

解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2， 当n ＝k ＋1时，

左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2， ∴当n ＝k ＋1时，

左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2. 答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2

6．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n

，则当

n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________．

解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－1

2k 当n ＝k ＋1时，

左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1

2k ＋2.

答案

12k ＋1－12k ＋2

7.设平面内有n 条直线(3)n ≥,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n 表示). 答案:5 1(1)(2

n n +-2)

解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,

每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数. ∴f(4)-f(3)=3, f(5)-f(4)=4, …

f(n)-f(n-1)=n-1.

累加得

f(n)-f(3)=3+4+…+(n -1) 3(2)(2)2

n n +-=-.

∴1()(1)(2

f n n n =+-2).

8．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞127

64(n ∈N *)成立，其初始值至

少应取________．

解析 右边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n

1－12＝2－12

n －1，

代入验证可知n 的最小值是8. 答案 8

9．在数列{a n }中，a 1＝1

3且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达

式是________．

解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝1

15；

当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝

114(a 1＋a 2)＝1

35

； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝

127(a 1＋a 2＋a 3)＝163

. ∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，

故猜想a n ＝1

2n －1

2n ＋1

. 答案 a n ＝

1

2n －1

2n ＋1

10．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3…(2n ＋1)(n ∈N *)，从“k 到k ＋1”左端需乘的代数式是________．