量子力学习题解答-第2章
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得到
其中
为波函数导数在 处的跃变。同样可以求得波函数导数在 处的跃变为
所以
与
一起整理得到
其中
这个以 为未知数的方程组有非零解的条件是系数行列式为零，即
得到
这个方程可以表示为
所以我们有两个解 （单势阱时有一个解，双势阱时有两个解，你可以推论当有N个势阱时，应该有N个解）
对
得到 满足的方程为
数值解这两个方程（注意 ）得到
由于本征函数的正交性,结果为零。但是对 算苻,干涉项一般不为零( 与 , 与 一般不会正交)
*习题2..7
解：（a） 的图形为
归一化波函数
所以
（b）一维无限深势阱的定态波函数为
把初始波函数用定态展开
其中展开系数为
利用积分公式
可以求出
所以
（ｃ）测量能量得到结果为 的几率是
（d）
其中利用了级数求和公式（这些公式可由函数的傅里叶级数展开式得到，可在数学手册上查到）
*习题2.5
解：
(a)利用哈密顿本征函数的正交归一性
所以
(b)
代入
并令
(c) 时
完成积分得到
(以 为中心的振荡)
（d）由动量期待值与坐标期待值之间的关系
（e）
对 测量能量，得到 的几率为1/2,得到 的几率为1/2.，这个几率同 时刻是一样的，也就是说 不随时间变化，这是能量守恒的体现。
为什么 会随时间变化,而 不随时间变化?因为 是哈密顿算苻的本征函数, ,干涉项
，
由波函数 的归一性，可以得到系数 的归一性
对 态测量能量只能得到能量本征值，得到 的几率是 ，能量的期待值可由
求出。这种方法与用
方法等价。
2.一维典型例子：
（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）
能量本征函数和能量本征值为
若
则能量本征函数和能量本征值为
是基态（能量最低）， 是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替的： 是偶函数， 是奇函数， 是偶函数，依次类推。
所以波函数为
是偶函数。除了能量与 时不同外，形式上这个波函数与 时，能量为 的波函数一样。
（b）*习题2.34：
解: (a)对 情况，定态薛定谔方程的解为
其中
并且我们已经假设在 仅有透射波。由波函数及其导数在 处的连续条件
消去F得到
反射系数为
（b）对于 情况，定态薛定谔方程的解为
其中
由波函数及其导数在 处的连续条件
对奇函数解 来自百度文库在 和 两个区域定态薛定谔方程的解为
在 处波函数连续要求 （ 函数势引起）波函数导数跃变给出
（自然满足）
在 的边界条件给出
由此我们得到能级满足的方程
即
这正是阱宽为 的无限深势阱的能量本征值中 为偶数的那些，所以在 势在势阱中心存在的情况下，对奇函数解能量本征值没有变化。这是因为波函数在势阱中心为零，所以感受不到此处 势的影响。
习题2..19
解：把
代入
得到
显然，几率流是朝 正方向，即波的传播方向流动。
*习题2.27
解：（a）
（a）对束缚态必须有 ，解薛定谔方程：
其解为
其中
并且已经利用了波函数在 时应为有限的条件。
波函数在 处必须连续，我们有
但是由于此处势能为无限大，所以波函数的导数是不连续的，波函数导数的跃变可以由薛定谔方程求出。在 处，由积分
尽管定态不是物理上可实现的态，但是定态叠加成的波包
可以是物理上可实现（可归一化）的态。其中叠加系数 由初始波包 决定
由能量本征函数满足 函数正交归一性
波包在空间的传播速度称为群速度
（d）一维 函数势阱：
函数的性质为
在 处由于 函数势的存在，波函数的导数出现跃变
（如果是 函数势，上式中做 代换）
束缚态：只有一个束缚态，能量本征函函数和本征值为
下面求出两种情况下的波函数。首先把所有的系数都用 表示，可以解出
对 ，满足 的解，有
所以波函数为
可以看出这是一个偶函数。
归一化
积分得到
解出
这个波函数的图形为
对 ，满足 的解，有
所以波函数为
可以看出这是一个奇函数。
归一化
积分得到
解出
这个波函数的图形为
对 情况， ， （我们也只需考虑这种情况），我们得到
习题2.42：
解：定态薛定谔方程在 区域与谐振子的方程完全一样，但是在 处波函数必须为零，所以我们可以从谐振子的本征函数中选出满足在 处的能量本征函数函数，显然 为奇函数的满足我们的要求，而 为偶函数的不满足要求。所以半谐振子势的解是谐振子解中 的那些解。能量本征值为
基态为 的态，这比谐振子基态能量高 。
习题2.44：
解：对偶函数解 ，在 和 两个区域定态薛定谔方程的解为
其中
在 处波函数连续已经满足 ，（ 函数势引起）波函数导数跃变给出
在 的边界条件给出
由此我们得到能级满足的方程
数值解这个超越方程（如下图）可以得到解
从图中可以看出，解得的 值略大于
而且随着 的增加越来越靠近 ，所以能量本征值为
此式右边为阱宽为 的无限深势阱的能量本征值，所以在 势在势阱中心存在的情况下，能量本征值比没有时略有增加。当 势的强度减弱（ 减小），图中直线变得更加倾斜， 将更加接近于阱宽为 的无限深势阱的能量本征值。当 势的强度增加（ 增大），图中直线将变得比较水平， 将接近 ， 将接近阱宽为 的无限深势阱的能量本征值 。 时， ，中心的势垒把势阱分割成两个孤立的阱宽为 的无限深势阱。
我们还可以从另一个方面讨论这个问题。设 是定态薛定谔方程的一个归一化解，我们有
在经典力学中我们同样有，一个粒子在一个势场中运动，它的总能量为动能加势能，因为动能 ，所以总能 势能 势能最小值。如果总能 势能最小值，将意味着动能为负值，这显然是不可能的。在量子力学中，如果 ，则意味着动能的期待值为负值，或 的期待值为负值。这对归一化的解是不可能的。
消去F得到
反射系数为
（a）由于右边透射波区域势能与左边入射波区域不一样，所以透射系数不能简单地用 ，而应该用透射波几率流密度 比上入射波几率流密度 。其中几率流密度的定义为（一维情况）
对于 情况，代入入射波 ，透射波 ，我们得到
所以
即除了振幅之比外，还有波矢之比出现。
对于 ，代入透射波 ，可以求出 （透射波是指数衰减波，它不能传到无限远处，透射波是实函数，几率流密度公式中的两项相互抵消），所以 。
定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值 ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为
系数 由初始波函数确定
散射态（连续谱）：定态薛定谔方程的解为
尽管散射态不是可归一化的态，但是我们可以用它作为代表来讨论入射粒子（波包）被势反射或透射的情况。由波函数及其导数在 连续和跃变条件，可以得出反射波振幅 ，透射波振幅 与入射波振幅 的关系（设 ，没有从右向左入射的波）。计算出反射波几率流密度 ，投射波几率流密度 ，入射波几率流密度 ，可以得到反射系数 和透射系数 。由几率流密度定义
所以能量为
注意当取 时，单势阱的能量为 ，所以双阱时的两个能量本征值，一个比单阱时大，一个比单阱时低。
对 情况，
满足的方程为
数值解为
所以能量为
但是 的解，不符合波函数必须归一化的要求（在这种情况下，波函数在三个区间都是常数，积分为无限大，或者说不符合我们开始要求的 束缚态的要求。）所以现在我们只有一个解。
或
也是同一薛定谔方程的解。显然 是实函数，所以一维定态薛定谔方程的解总可以取为实函数。
（c）对
进行空间反演 ，得到
如果势能 是偶函数，则有
因此 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
也是同一薛定谔方程的解。 ，所以当势能是偶函数，定态薛定谔方程的解总可以取为有确定宇称的解。
*习题2.2
解：如果 ，那么 和它的二次导数有同样的符号。如果 是正值，它将一直增加，这与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。如果 是负值，它将一直减少（绝对值在增大），这同样与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。
（d）对于 情况，我们可以求出，
所以
对于 ， ，所以反射系数在这种情况下等于1。
习题2.37：
解：利用三角公式
其中
是一维无限方势阱能量本征函数。归一化
所以
在 时刻，波函数为
其中
是一维无限方势阱能量本征值。
其中
坐标的期待值为
代入
最后得到
*习题2.38：
解：（a）体系的初始波函数为
当右阱壁从 移到 后，体系的能量本征函数和本征值为
（三维情况为 ）
计算出
反射系数 和透射系数 之和为1.
*习题2.1证明下列三个定理
解：（a）证：假设在定态解把实数 改为复数 ，则
若在 时刻，波函数是归一化的，即
在以后时刻
所以要求在任何时候都有
必须有 ，即 必须为实数。
（b）设 满足定态薛定谔方程
把这个式子取复共轭，注意到 是实的，得到
显然 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
习题２.８
解：（a）初始波函数为
归一化
所以
（b）一维无限深势阱的定态波函数为
把初始波函数用定态展开
其中展开系数为
所以测量能量得到基态 的几率为
*习题2.12
解：由
，
习题2.13
解：（a）归一化
所以
（b）
其中 是谐振子基态和第一激发态的能量。
（c）
利用
，
，
或者
由Ehrenfest’s定理
代入谐振子势能 ，及 ，有
（b）一维简谐振子（分立谱，束缚态）：
能量本征函数和能量本征值为
其中 厄米多项式，可由母函数 生成
厄米多项式多项式满足递推关系
定义产生算符 与湮灭算符
则有
当处于能量本征态时
（c）一维自由粒子（连续谱，散射态）：
定态薛定谔方程为
能量本征函数和本征值为
能量本征函数满足 函数正交归一性
定态波函数为
定态不是物理上可实现的态（不可归一化），它代表一个向右传播的正弦波（ ）或向左传播的正弦波（ ），波的传播速度(相速度)为
能量本征函数为
能量本征值为
含时薛定谔方程的一般解为
当 时，
显然对 测量能量，不可能得到 ，因为现在的能量本征态中，没有这个本征值，所以测量能量得到 的几率为零。现在体系基态的能量为 ，所以测量能量得到 的几率是 ，由
代入
（注意在 时刻，体系的能量期待值不是 ，因为体系的哈密顿是频率为 的谐振子哈密顿。）
所以我们需要把 用现在的本征函数展开
展开系数可以由傅里叶技巧求出
对能量进行测量得到 的几率为
显然 是最可几几率，所以测量得到 的几率最大，注意这个能量与势阱壁没有移动时的基态能量一样。
（b） 所以次最可几几率是
（c） ，
这正是势阱移动前的基态能量，所以势阱移动前后体系的能量是一样的，这是能量守恒的体现。
显然满足Ehrenfest’s定理
如果用 替代 ，则有
其中 ，重复上面的计算，有
显然此时， 仍然满足（也必须满足）。
讨论：当不同的谐振子定态叠加时，只有叠加态中有相邻态时，即有 态时，必须还有 态， 才会以 的形式震荡。
（d）测量能量得到 的几率是 ，得到 的几率是 。
习题2.14
解：本题其实就是以经典频率为 的基态为体系的初始态，体系的哈密顿为
第二章
定态薛定谔方程
本章主要内容概要：
1.定态薛定谔方程与定态的性质：
在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）
求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。能量本征函数 具有正交归一性（分立谱）
或 函数正交归一性（连续谱）
由能量本征函数 可以得到定态波函数
其中
为波函数导数在 处的跃变。同样可以求得波函数导数在 处的跃变为
所以
与
一起整理得到
其中
这个以 为未知数的方程组有非零解的条件是系数行列式为零，即
得到
这个方程可以表示为
所以我们有两个解 （单势阱时有一个解，双势阱时有两个解，你可以推论当有N个势阱时，应该有N个解）
对
得到 满足的方程为
数值解这两个方程（注意 ）得到
由于本征函数的正交性,结果为零。但是对 算苻,干涉项一般不为零( 与 , 与 一般不会正交)
*习题2..7
解：（a） 的图形为
归一化波函数
所以
（b）一维无限深势阱的定态波函数为
把初始波函数用定态展开
其中展开系数为
利用积分公式
可以求出
所以
（ｃ）测量能量得到结果为 的几率是
（d）
其中利用了级数求和公式（这些公式可由函数的傅里叶级数展开式得到，可在数学手册上查到）
*习题2.5
解：
(a)利用哈密顿本征函数的正交归一性
所以
(b)
代入
并令
(c) 时
完成积分得到
(以 为中心的振荡)
（d）由动量期待值与坐标期待值之间的关系
（e）
对 测量能量，得到 的几率为1/2,得到 的几率为1/2.，这个几率同 时刻是一样的，也就是说 不随时间变化，这是能量守恒的体现。
为什么 会随时间变化,而 不随时间变化?因为 是哈密顿算苻的本征函数, ,干涉项
，
由波函数 的归一性，可以得到系数 的归一性
对 态测量能量只能得到能量本征值，得到 的几率是 ，能量的期待值可由
求出。这种方法与用
方法等价。
2.一维典型例子：
（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）
能量本征函数和能量本征值为
若
则能量本征函数和能量本征值为
是基态（能量最低）， 是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替的： 是偶函数， 是奇函数， 是偶函数，依次类推。
所以波函数为
是偶函数。除了能量与 时不同外，形式上这个波函数与 时，能量为 的波函数一样。
（b）*习题2.34：
解: (a)对 情况，定态薛定谔方程的解为
其中
并且我们已经假设在 仅有透射波。由波函数及其导数在 处的连续条件
消去F得到
反射系数为
（b）对于 情况，定态薛定谔方程的解为
其中
由波函数及其导数在 处的连续条件
对奇函数解 来自百度文库在 和 两个区域定态薛定谔方程的解为
在 处波函数连续要求 （ 函数势引起）波函数导数跃变给出
（自然满足）
在 的边界条件给出
由此我们得到能级满足的方程
即
这正是阱宽为 的无限深势阱的能量本征值中 为偶数的那些，所以在 势在势阱中心存在的情况下，对奇函数解能量本征值没有变化。这是因为波函数在势阱中心为零，所以感受不到此处 势的影响。
习题2..19
解：把
代入
得到
显然，几率流是朝 正方向，即波的传播方向流动。
*习题2.27
解：（a）
（a）对束缚态必须有 ，解薛定谔方程：
其解为
其中
并且已经利用了波函数在 时应为有限的条件。
波函数在 处必须连续，我们有
但是由于此处势能为无限大，所以波函数的导数是不连续的，波函数导数的跃变可以由薛定谔方程求出。在 处，由积分
尽管定态不是物理上可实现的态，但是定态叠加成的波包
可以是物理上可实现（可归一化）的态。其中叠加系数 由初始波包 决定
由能量本征函数满足 函数正交归一性
波包在空间的传播速度称为群速度
（d）一维 函数势阱：
函数的性质为
在 处由于 函数势的存在，波函数的导数出现跃变
（如果是 函数势，上式中做 代换）
束缚态：只有一个束缚态，能量本征函函数和本征值为
下面求出两种情况下的波函数。首先把所有的系数都用 表示，可以解出
对 ，满足 的解，有
所以波函数为
可以看出这是一个偶函数。
归一化
积分得到
解出
这个波函数的图形为
对 ，满足 的解，有
所以波函数为
可以看出这是一个奇函数。
归一化
积分得到
解出
这个波函数的图形为
对 情况， ， （我们也只需考虑这种情况），我们得到
习题2.42：
解：定态薛定谔方程在 区域与谐振子的方程完全一样，但是在 处波函数必须为零，所以我们可以从谐振子的本征函数中选出满足在 处的能量本征函数函数，显然 为奇函数的满足我们的要求，而 为偶函数的不满足要求。所以半谐振子势的解是谐振子解中 的那些解。能量本征值为
基态为 的态，这比谐振子基态能量高 。
习题2.44：
解：对偶函数解 ，在 和 两个区域定态薛定谔方程的解为
其中
在 处波函数连续已经满足 ，（ 函数势引起）波函数导数跃变给出
在 的边界条件给出
由此我们得到能级满足的方程
数值解这个超越方程（如下图）可以得到解
从图中可以看出，解得的 值略大于
而且随着 的增加越来越靠近 ，所以能量本征值为
此式右边为阱宽为 的无限深势阱的能量本征值，所以在 势在势阱中心存在的情况下，能量本征值比没有时略有增加。当 势的强度减弱（ 减小），图中直线变得更加倾斜， 将更加接近于阱宽为 的无限深势阱的能量本征值。当 势的强度增加（ 增大），图中直线将变得比较水平， 将接近 ， 将接近阱宽为 的无限深势阱的能量本征值 。 时， ，中心的势垒把势阱分割成两个孤立的阱宽为 的无限深势阱。
我们还可以从另一个方面讨论这个问题。设 是定态薛定谔方程的一个归一化解，我们有
在经典力学中我们同样有，一个粒子在一个势场中运动，它的总能量为动能加势能，因为动能 ，所以总能 势能 势能最小值。如果总能 势能最小值，将意味着动能为负值，这显然是不可能的。在量子力学中，如果 ，则意味着动能的期待值为负值，或 的期待值为负值。这对归一化的解是不可能的。
消去F得到
反射系数为
（a）由于右边透射波区域势能与左边入射波区域不一样，所以透射系数不能简单地用 ，而应该用透射波几率流密度 比上入射波几率流密度 。其中几率流密度的定义为（一维情况）
对于 情况，代入入射波 ，透射波 ，我们得到
所以
即除了振幅之比外，还有波矢之比出现。
对于 ，代入透射波 ，可以求出 （透射波是指数衰减波，它不能传到无限远处，透射波是实函数，几率流密度公式中的两项相互抵消），所以 。
定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值 ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为
系数 由初始波函数确定
散射态（连续谱）：定态薛定谔方程的解为
尽管散射态不是可归一化的态，但是我们可以用它作为代表来讨论入射粒子（波包）被势反射或透射的情况。由波函数及其导数在 连续和跃变条件，可以得出反射波振幅 ，透射波振幅 与入射波振幅 的关系（设 ，没有从右向左入射的波）。计算出反射波几率流密度 ，投射波几率流密度 ，入射波几率流密度 ，可以得到反射系数 和透射系数 。由几率流密度定义
所以能量为
注意当取 时，单势阱的能量为 ，所以双阱时的两个能量本征值，一个比单阱时大，一个比单阱时低。
对 情况，
满足的方程为
数值解为
所以能量为
但是 的解，不符合波函数必须归一化的要求（在这种情况下，波函数在三个区间都是常数，积分为无限大，或者说不符合我们开始要求的 束缚态的要求。）所以现在我们只有一个解。
或
也是同一薛定谔方程的解。显然 是实函数，所以一维定态薛定谔方程的解总可以取为实函数。
（c）对
进行空间反演 ，得到
如果势能 是偶函数，则有
因此 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
也是同一薛定谔方程的解。 ，所以当势能是偶函数，定态薛定谔方程的解总可以取为有确定宇称的解。
*习题2.2
解：如果 ，那么 和它的二次导数有同样的符号。如果 是正值，它将一直增加，这与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。如果 是负值，它将一直减少（绝对值在增大），这同样与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。
（d）对于 情况，我们可以求出，
所以
对于 ， ，所以反射系数在这种情况下等于1。
习题2.37：
解：利用三角公式
其中
是一维无限方势阱能量本征函数。归一化
所以
在 时刻，波函数为
其中
是一维无限方势阱能量本征值。
其中
坐标的期待值为
代入
最后得到
*习题2.38：
解：（a）体系的初始波函数为
当右阱壁从 移到 后，体系的能量本征函数和本征值为
（三维情况为 ）
计算出
反射系数 和透射系数 之和为1.
*习题2.1证明下列三个定理
解：（a）证：假设在定态解把实数 改为复数 ，则
若在 时刻，波函数是归一化的，即
在以后时刻
所以要求在任何时候都有
必须有 ，即 必须为实数。
（b）设 满足定态薛定谔方程
把这个式子取复共轭，注意到 是实的，得到
显然 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
习题２.８
解：（a）初始波函数为
归一化
所以
（b）一维无限深势阱的定态波函数为
把初始波函数用定态展开
其中展开系数为
所以测量能量得到基态 的几率为
*习题2.12
解：由
，
习题2.13
解：（a）归一化
所以
（b）
其中 是谐振子基态和第一激发态的能量。
（c）
利用
，
，
或者
由Ehrenfest’s定理
代入谐振子势能 ，及 ，有
（b）一维简谐振子（分立谱，束缚态）：
能量本征函数和能量本征值为
其中 厄米多项式，可由母函数 生成
厄米多项式多项式满足递推关系
定义产生算符 与湮灭算符
则有
当处于能量本征态时
（c）一维自由粒子（连续谱，散射态）：
定态薛定谔方程为
能量本征函数和本征值为
能量本征函数满足 函数正交归一性
定态波函数为
定态不是物理上可实现的态（不可归一化），它代表一个向右传播的正弦波（ ）或向左传播的正弦波（ ），波的传播速度(相速度)为
能量本征函数为
能量本征值为
含时薛定谔方程的一般解为
当 时，
显然对 测量能量，不可能得到 ，因为现在的能量本征态中，没有这个本征值，所以测量能量得到 的几率为零。现在体系基态的能量为 ，所以测量能量得到 的几率是 ，由
代入
（注意在 时刻，体系的能量期待值不是 ，因为体系的哈密顿是频率为 的谐振子哈密顿。）
所以我们需要把 用现在的本征函数展开
展开系数可以由傅里叶技巧求出
对能量进行测量得到 的几率为
显然 是最可几几率，所以测量得到 的几率最大，注意这个能量与势阱壁没有移动时的基态能量一样。
（b） 所以次最可几几率是
（c） ，
这正是势阱移动前的基态能量，所以势阱移动前后体系的能量是一样的，这是能量守恒的体现。
显然满足Ehrenfest’s定理
如果用 替代 ，则有
其中 ，重复上面的计算，有
显然此时， 仍然满足（也必须满足）。
讨论：当不同的谐振子定态叠加时，只有叠加态中有相邻态时，即有 态时，必须还有 态， 才会以 的形式震荡。
（d）测量能量得到 的几率是 ，得到 的几率是 。
习题2.14
解：本题其实就是以经典频率为 的基态为体系的初始态，体系的哈密顿为
第二章
定态薛定谔方程
本章主要内容概要：
1.定态薛定谔方程与定态的性质：
在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）
求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。能量本征函数 具有正交归一性（分立谱）
或 函数正交归一性（连续谱）
由能量本征函数 可以得到定态波函数