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间S n f (i )xi 称为积分和.
n i 1
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注1.若ƒ(x)在区间[a, b]上可积,则定积分a f ( x)dx C 常数,
b
它仅与被积函数ƒ(x)和积分区间[a, b]有关, 而与积分变量
的字母无关, 即
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b
a
f ( x)dx f (u )du f (t )dt
Si 表示第i个窄曲边梯形(阴影
, n),
过每个分点作垂直于x轴的直线, 将曲边梯形分成 n 个窄
y y=ƒ(x)
部分)的面积, 则有
S S1 S 2 S n S i
i 1 n
o a x x1 0
x2
xi 1
x x
i
xn b
i
xn 1
x
II.近似代替(或以直代曲)——任意取点 在每个小区间 [ xi 1 , xi ](i 1, 2,
n i 1
上任取一 点
首页
i ( xi 1 i xi ), 作和式 Sn f (i )xi
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若当 0 时, S n 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的 分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
x2
y
y=ƒ(x)
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],
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,[ xn 1 , xn ],
返回
o a x0 x1 下页
xi 1
x
xi
xn b
i
xn 1
x
结束
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记第 i 个小区间的长度为xi xi xi 1 (i 1, 2, 曲边梯形(如上图). 若用S表示曲边梯形的面积,
o
A
y=ƒ(x)
C D E H F
B
a
x
x+Δx
b x
因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并 在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小
区间上窄曲边梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地
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视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作 为曲边梯形面积的近似值.
本章的主要问题有: 1.什么是定积分? 2.定积分有哪些性质? 3.定积分与不定积分有何关系?
4.如何计算定积分和应用定积分?
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§6.1 定积分的概念
一.引例(曲边梯形的面积) 定义1. 在直角坐标系中,由一条连续曲线
y=ƒ(x)和三条直线x = a、 x = b和y = 0 (x轴) 所围成的图形, 称为曲边梯形, 如右图
第六章 定积分
§6.1定积分的概念
§6.2定积分的性质
§6.3微积分基本定理
§6.4定积分的计算方法
§6.5反常积分
§6.6定积分的几何应用
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第六章
定积分
前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题——不定积分.
这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分.
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
n n
记各小区间的最大长度为 max{x1 , x2 , , xn }
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 max{xi } 0
1 i n
i 1
i 1
对上述和式取极限就得曲边梯形的面积, 即
要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每
个小区间的长度Δ x →0)时, 全部窄矩形的面积之和的极 限一定是曲边梯形面积的精确值. 从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积: I.化整为零(或分割)——任意划分 (如右图)用分点
a x0 x1 x2 xn 1 xn b
, n) 上任取一点 i
( xi 1 i xi ), 以 f (i ) 为高、以小区间[ xi 1 , xi ] 的长度为底
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作窄矩形 (如右图).
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限 为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
y A y=ƒ(x) x=a o a y=0
b
B x=b x
AabBA (与直边梯形AabB的区别) .
问题:
当y = ƒ(x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中 学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的 面积来求曲边梯形AabB的面积.
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并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为 b f ( x)dx
即
b
a
f ( x)dx I lim f (i ) xi
0
i 1
a
n
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)dx称为被积表达式, x 称为积分 变量, a称为积分下限, b称为积分上限, [a, b]称为积分区
分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间[a, b] 来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0,
y
Δy {
故可将此区间的高近似看为一个常量,
从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH 的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.
就有定积分的定义: 定义1.设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点a x0 x1 x2
xn 1 xn b
将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间 [ xi 1 , xi ] 的长度为 xi xi xi 1 (i 1, 2,
, n), 在每个小区间 [ xi 1 , xi ]
S lim f ( i ) xi
0
i 1 n
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二.定积分的定义 由引例知, 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结 为一个特殊和式的极限. 这种和式的极限应用极广, 可解 决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,
将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,
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注1.若ƒ(x)在区间[a, b]上可积,则定积分a f ( x)dx C 常数,
b
它仅与被积函数ƒ(x)和积分区间[a, b]有关, 而与积分变量
的字母无关, 即
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b
a
f ( x)dx f (u )du f (t )dt
Si 表示第i个窄曲边梯形(阴影
, n),
过每个分点作垂直于x轴的直线, 将曲边梯形分成 n 个窄
y y=ƒ(x)
部分)的面积, 则有
S S1 S 2 S n S i
i 1 n
o a x x1 0
x2
xi 1
x x
i
xn b
i
xn 1
x
II.近似代替(或以直代曲)——任意取点 在每个小区间 [ xi 1 , xi ](i 1, 2,
n i 1
上任取一 点
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i ( xi 1 i xi ), 作和式 Sn f (i )xi
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若当 0 时, S n 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的 分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
x2
y
y=ƒ(x)
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],
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o a x0 x1 下页
xi 1
x
xi
xn b
i
xn 1
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记第 i 个小区间的长度为xi xi xi 1 (i 1, 2, 曲边梯形(如上图). 若用S表示曲边梯形的面积,
o
A
y=ƒ(x)
C D E H F
B
a
x
x+Δx
b x
因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并 在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小
区间上窄曲边梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地
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视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作 为曲边梯形面积的近似值.
本章的主要问题有: 1.什么是定积分? 2.定积分有哪些性质? 3.定积分与不定积分有何关系?
4.如何计算定积分和应用定积分?
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§6.1 定积分的概念
一.引例(曲边梯形的面积) 定义1. 在直角坐标系中,由一条连续曲线
y=ƒ(x)和三条直线x = a、 x = b和y = 0 (x轴) 所围成的图形, 称为曲边梯形, 如右图
第六章 定积分
§6.1定积分的概念
§6.2定积分的性质
§6.3微积分基本定理
§6.4定积分的计算方法
§6.5反常积分
§6.6定积分的几何应用
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第六章
定积分
前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题——不定积分.
这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分.
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
n n
记各小区间的最大长度为 max{x1 , x2 , , xn }
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 max{xi } 0
1 i n
i 1
i 1
对上述和式取极限就得曲边梯形的面积, 即
要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每
个小区间的长度Δ x →0)时, 全部窄矩形的面积之和的极 限一定是曲边梯形面积的精确值. 从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积: I.化整为零(或分割)——任意划分 (如右图)用分点
a x0 x1 x2 xn 1 xn b
, n) 上任取一点 i
( xi 1 i xi ), 以 f (i ) 为高、以小区间[ xi 1 , xi ] 的长度为底
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作窄矩形 (如右图).
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限 为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
y A y=ƒ(x) x=a o a y=0
b
B x=b x
AabBA (与直边梯形AabB的区别) .
问题:
当y = ƒ(x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中 学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的 面积来求曲边梯形AabB的面积.
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并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为 b f ( x)dx
即
b
a
f ( x)dx I lim f (i ) xi
0
i 1
a
n
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)dx称为被积表达式, x 称为积分 变量, a称为积分下限, b称为积分上限, [a, b]称为积分区
分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间[a, b] 来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0,
y
Δy {
故可将此区间的高近似看为一个常量,
从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH 的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.
就有定积分的定义: 定义1.设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点a x0 x1 x2
xn 1 xn b
将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间 [ xi 1 , xi ] 的长度为 xi xi xi 1 (i 1, 2,
, n), 在每个小区间 [ xi 1 , xi ]
S lim f ( i ) xi
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二.定积分的定义 由引例知, 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结 为一个特殊和式的极限. 这种和式的极限应用极广, 可解 决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,
将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,