定积分 PPT课件
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定积分的概念PPT课件
解
将[0,1]n 等分，分点为xi
i ，(i n
1,2,
,n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,
,n)
取i xi ，(i 1,2, , n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
i 1
i 1
i 1
n
i 1
i n
பைடு நூலகம்
2
1 n
1 n3
n
i 1
i2
1 n3
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, )
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
(1)分割 (2)近似 (3)求和 (4)取极限
一、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
Ai f (i )xi
近似
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
求和
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
6.4.2 定积分的分部积分法
设函数u=u(x),v=v(x)在区间[a,b]上有连续导数,则有 (uv)'=u'v+uv',即uv'=(uv)'-u'v,等式两端在[a,b]上的定积分为 ，即:
➢ 这就是定积分的分部积分公式.
06 P A R T
6.5
广义积分
前面我们是在有限区间上讨论有界函数的定积分.但是,无论在理
CHAPTER
06
第6章 定 积分
PART
06
6.1
定积分的概念
6. 1. 2 定积分的定义
➢ 定义6-1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,用点
a=x0<x1<x2<…<xn=b将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi-
1,xi](i=1,2,…,n),其长度为Δxi=xi-xi-1,在每个小区间[xi-1,xi]上
一个有效数为6位数的近似值.
• 注意:对于分段函数不能求其积分的精确值,但可求近似值,即再
用“N”命令.
由定理可知,在运用换元法计算定积分时应注意以下两点:
用变量代换x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t 时,积分限一定要换成相应于新变量t的积分限;
求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数F[φ(t)]后,不需要 再把t变换成原来变量x的函数,而只需把新变量t 的上、下限分别代入F[φ(t)]中,然后求出增量即 可.
பைடு நூலகம்
的值与
被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关,而与积分变量用什么字母表
示无关,即:
➢ (2)定义中假定a<b,如果b<a,我们规定
,特
《定积分定义》课件
定积分的计算
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并 对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在 某个区间上的面积，特别是当这 些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计 算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变 力在某个区间上做的功、曲线运动 的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加 速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如 ，在分析质点的运动时，可以利用定积分计 算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性 体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性 体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结 果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等 。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥 了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算 。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例 如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等 旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通 过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用 定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得 到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并 对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在 某个区间上的面积，特别是当这 些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计 算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变 力在某个区间上做的功、曲线运动 的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加 速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如 ，在分析质点的运动时，可以利用定积分计 算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性 体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性 体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结 果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等 。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥 了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算 。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例 如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等 旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通 过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用 定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得 到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词
定积分PPT课件
lim ln n
f 1 f 2 f n
en
n n n
lim
e e n
1 n ln n i1
f
i n
lim
n
n
ln
i 1
f
i n
n1
指数上可理解为：ln f ( x)在[0,1]区间上的一
个积分和．分割是将[0,1]n等分
分点为 xi
i ，（i n
1,2,, n）
因为 f ( x)在区间[0,1]上连续，且 f ( x) 0
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f
(i )xi
lim
0
i 1
g(i )xi
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
性质2
abkf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
(k 为常数).
证
b
kf
a
( x)dx
lim
0
n
kf
i 1
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法， 只要当 0时， 和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x) 在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限 b
n
f ( x)dx I lim
a
0 i1
f (i )xi
积分和
积分下限
被
《定积分的计算方法》课件
代换积分法
通过变量替换将一个 积分转化为另一个形 式的积分。
分式分解法
将复杂的有理函数进 行分解，再进行积分。
定积分的应用
定积分在几何、物理、经济学和生态学等领域有着广泛的应用。
1
几何应用
定积分可以计算曲线与坐标轴所围成的
物理应用
2
面积、曲线的弧长和旋转体的体积。
定积分可以描述物理量的累积变化，例
3 保号性质
对于非负函数，定积分的结果也是非负的。
4 中值定理
如果函数在区间上连续，那么存在一个点， 使得该点的函数值等于定积分的平均值。
定积分的计算方法
计算定积分有多种方法，包括函数积分法、分部积分法、代换积分法和分式将一个积分转化为两 个函数的乘积求积分。
定积分在实际中的应用
定积分在几何、物理、经济学和生态学等领域有着 广泛的应用。
学习定积分的建议
理解概念，多做练习，掌握不同的计算方法，加深 应用理解。
定积分等于曲线下的面积，可以用来计算不规则形状的面积。
物理意义
定积分可以表示物理量的累积变化，例如速度与时间的关系。
定积分的基本性质
定积分具有多个重要的性质，包括线性性质、区间可加性质、保号性质和中值定理。
1 线性性质
定积分具有线性运算，可以对函数的和、差 进行积分。
2 区间可加性质
定积分可以通过分割区间，并对每个子区间 进行积分，然后累加得到。
如速度、加速度和功的计算。
3
经济学应用
定积分可用于计算边际效益、成本和收
生态学应用
4
益等经济指标。
定积分可以计算物种的种群数量、生态 系统的稳定性等生态学指标。
示例分析
通过一些具体的例题，我们将深入了解定积分的计算方法和应用。
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
《定积分计算》课件
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
定积分等于被积函数的一个原函数在 积分上限与积分下限之差的代数和。
公式表示
∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x) 的一个原函数，a和b分别为定积分的 下限和上限。
微积分基本定理的应用
解决定积分计算问题
通过微积分基本定理，可以直接计算定积分的值，只需找到被积函 数的一个原函数，并计算其在上下限的函数值之差。
详细描述
分部积分法是将复合函数进行分解，将原定 积分转化为两个或多个更简单的定积分的和 或差。这种方法的关键是选择合适的函数进 行分解，以便简化计算过程。
04
定积分的几何应用
平面图形的面积
总结词
定积分在计算平面图形面积方面具有广泛应用。
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种平面图形的面积，如矩形、圆形、三角形等。定积分的基本思想是将图形分割成若干 个小部分，然后求和这些小部分的面积，最后取极限得到整个图形的面积。
公式示例
对于矩形，其面积为 (A = l times w)，其中 (l) 为长度，(w) 为宽度；对于圆形，其面积为 (A = pi r^2) ，其中 (r) 为半径。
体积的计算
01
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积方面具有重要作用。
02 03
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种三维物体的体积，如长方 体、圆柱体、球体等。同样地，定积分的基本思想是将物 体分割成若干个小部分，然后求和这些小部分的体积，最 后取极限得到整个物体的体积。
05
定积分的物理应用
变速直线运动的路程
总结词
通过定积分计算变速直线运动的路程
高二数学-定积分概念-课件
0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解： （利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割： 在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
［a,b］上有界并不是可积的充分条件.例如，
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
定积分的性质PPT课件(2024版)
例 2
估计积分
0
3
1 sin 3
dx x
的值.
解
f
(
x)
3
1 sin3
x
,
x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin3
x
1 3
,
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 s in3
dx x
. 3
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例 3
估计积分
2
4
使
x2 t sin3
x
t
f
(t )dt
sin 3
f
()( x
2
x),
x2
3
lim t sin
x x
t
f
(t)dt
2 lim
sin 3
f
(
)
2 lim 3 f ( ) 6.
第14页/共24页
1
*例5 设 f ( x) 在[0, 1] 上可微，且满足 f (1) 2 2 xf ( x)dx ， 0
第20页/共24页
5、下列两积分的大小关系是：
（1） 1 x 2dx _____ 1 x 3dx
0
0
（2） 2 ln xdx _______ 2 (ln x)2 dx
1
1
（3）
1 e x dx _______
1
( x 1)dx
0
0
二、证明：
b
kf ( x)dx k
b f ( x)dx（ k 是常数 ）.
补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立.
定积分的概念 课件
1n3·n1＋2n3·1n＋…＋nn3·n1.＝i＝n1 ni 3·n1.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋ 2 12＝411＋2n＋n12，
∴1x3dx＝lim
[解析] ∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形 在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知1 (x3＋
－1
3x)dx＝0.
『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法 容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
定积分的概念
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区
间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)， n b－a
作和式 Sn＝n f(ξi)Δx＝___i＝_1___n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度)，当 n→∞时，上
2
5352－2xdx＝12×2×1＝1. ∴50f(x)dx＝20xdx＋32(4－x)dx＋5352－2xdx＝2＋32＋1＝92.
利用定积分求平面图形的面积
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示. (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的 面积进行表示．
kb
f(x)dx
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们此处将 ξi 取为[xi，xi＋1] 的右端点也无妨)
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14nn＋ 2 12＝411＋2n＋n12，
∴1x3dx＝lim
[解析] ∵y＝x3＋3x 为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形 在 x 轴上方部分面积与在 x 轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知1 (x3＋
－1
3x)dx＝0.
『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形，其面积运用几何方法 容易求解，求定积分时还可以利用几何意义求解．
定积分的概念
1．定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b 将区
间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)， n b－a
作和式 Sn＝n f(ξi)Δx＝___i＝_1___n___f(_ξ_i)___(其中 Δx 为小区间长度)，当 n→∞时，上
2
5352－2xdx＝12×2×1＝1. ∴50f(x)dx＝20xdx＋32(4－x)dx＋5352－2xdx＝2＋32＋1＝92.
利用定积分求平面图形的面积
将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示. (1)y＝0，y＝ x，x＝2； (2)y＝x－2，x＝y2.
[思路分析] 可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的 面积进行表示．
kb
f(x)dx
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Si 表示第i个窄曲边梯形(阴影
, n),
过每个分点作垂直于x轴的直线, 将曲边梯形分成 n 个窄
y y=ƒ(x)
部分)的面积, 则有
S S1 S 2 S n S i
i 1 n
o a x x1 0
x2
xi 1
x x
i
xn b
i
xn 1
x
II.近似代替(或以直代曲)——任意取点 在每个小区间 [ xi 1 , xi ](i 1, 2,
y A y=ƒ(x) x=a o a y=0
b
B x=b x
AabBA (与直边梯形AabB的区别) .
问题:
当y = ƒ(x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中 学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的 面积来求曲边梯形AabB的面积.
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第六章 定积分
§6.1定积分的概念
§6.2定积分的性质
§6.3微积分基本定理
§6.4定积分的计算方法
§6.5反常积分
§6.6定积分的几何应用
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第六章
定积分
前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题——不定积分.
这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分.
, n) 上任取一点 i
( xi 1 i xi ), 以 f (i ) 为高、以小区间[ xi 1 , xi ] 的长度为底
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作窄矩形 (如右图).
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限 为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
o
A
y=ƒ(x)
C D E H F
B
a
x
x+Δx
b x
因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并 在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小
区间上窄曲边梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地
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视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作 为曲边梯形面积的近似值.
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为 b f ( x)dx
即
b
a
f ( x)dx I lim f (i ) xi
0
i 1
a
n
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)dx称为被积表达式, x 称为积分 变量, a称为积分下限, b称为积分上限, [a, b]称为积分区
分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间[a, b] 来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0,
y
Δy {
故可将此区间的高近似看为一个常量,
从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH 的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.
间S n f (i )xi 称为积分和.
n i 1
注1.若ƒ(x)在区间[a, b]上可积,则定积分a f ( x)dx C 常数,
b
它仅与被积函数ƒ(x)和积分区间[a, b]有关, 而与积分变量
的字母无关, 即
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baຫໍສະໝຸດ f ( x)dx f (u )du f (t )dt
S lim f ( i ) xi
0
i 1 n
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二.定积分的定义 由引例知, 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结 为一个特殊和式的极限. 这种和式的极限应用极广, 可解 决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,
将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,
本章的主要问题有: 1.什么是定积分? 2.定积分有哪些性质? 3.定积分与不定积分有何关系?
4.如何计算定积分和应用定积分?
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§6.1 定积分的概念
一.引例(曲边梯形的面积) 定义1. 在直角坐标系中,由一条连续曲线
y=ƒ(x)和三条直线x = a、 x = b和y = 0 (x轴) 所围成的图形, 称为曲边梯形, 如右图
就有定积分的定义: 定义1.设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点a x0 x1 x2
xn 1 xn b
将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间 [ xi 1 , xi ] 的长度为 xi xi xi 1 (i 1, 2,
, n), 在每个小区间 [ xi 1 , xi ]
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
n n
记各小区间的最大长度为 max{x1 , x2 , , xn }
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 max{xi } 0
1 i n
i 1
i 1
对上述和式取极限就得曲边梯形的面积, 即
n i 1
上任取一 点
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i ( xi 1 i xi ), 作和式 Sn f (i )xi
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若当 0 时, S n 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的 分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
x2
y
y=ƒ(x)
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],
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,[ xn 1 , xn ],
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o a x0 x1 下页
xi 1
x
xi
xn b
i
xn 1
x
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记第 i 个小区间的长度为xi xi xi 1 (i 1, 2, 曲边梯形(如上图). 若用S表示曲边梯形的面积,
要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每
个小区间的长度Δ x →0)时, 全部窄矩形的面积之和的极 限一定是曲边梯形面积的精确值. 从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积: I.化整为零(或分割)——任意划分 (如右图)用分点
a x0 x1 x2 xn 1 xn b
, n),
过每个分点作垂直于x轴的直线, 将曲边梯形分成 n 个窄
y y=ƒ(x)
部分)的面积, 则有
S S1 S 2 S n S i
i 1 n
o a x x1 0
x2
xi 1
x x
i
xn b
i
xn 1
x
II.近似代替(或以直代曲)——任意取点 在每个小区间 [ xi 1 , xi ](i 1, 2,
y A y=ƒ(x) x=a o a y=0
b
B x=b x
AabBA (与直边梯形AabB的区别) .
问题:
当y = ƒ(x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中 学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的 面积来求曲边梯形AabB的面积.
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第六章 定积分
§6.1定积分的概念
§6.2定积分的性质
§6.3微积分基本定理
§6.4定积分的计算方法
§6.5反常积分
§6.6定积分的几何应用
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第六章
定积分
前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题——不定积分.
这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分.
, n) 上任取一点 i
( xi 1 i xi ), 以 f (i ) 为高、以小区间[ xi 1 , xi ] 的长度为底
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作窄矩形 (如右图).
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限 为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
o
A
y=ƒ(x)
C D E H F
B
a
x
x+Δx
b x
因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并 在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小
区间上窄曲边梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地
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视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作 为曲边梯形面积的近似值.
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为 b f ( x)dx
即
b
a
f ( x)dx I lim f (i ) xi
0
i 1
a
n
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)dx称为被积表达式, x 称为积分 变量, a称为积分下限, b称为积分上限, [a, b]称为积分区
分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间[a, b] 来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0,
y
Δy {
故可将此区间的高近似看为一个常量,
从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH 的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积.
间S n f (i )xi 称为积分和.
n i 1
注1.若ƒ(x)在区间[a, b]上可积,则定积分a f ( x)dx C 常数,
b
它仅与被积函数ƒ(x)和积分区间[a, b]有关, 而与积分变量
的字母无关, 即
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baຫໍສະໝຸດ f ( x)dx f (u )du f (t )dt
S lim f ( i ) xi
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二.定积分的定义 由引例知, 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结 为一个特殊和式的极限. 这种和式的极限应用极广, 可解 决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,
将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,
本章的主要问题有: 1.什么是定积分? 2.定积分有哪些性质? 3.定积分与不定积分有何关系?
4.如何计算定积分和应用定积分?
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§6.1 定积分的概念
一.引例(曲边梯形的面积) 定义1. 在直角坐标系中,由一条连续曲线
y=ƒ(x)和三条直线x = a、 x = b和y = 0 (x轴) 所围成的图形, 称为曲边梯形, 如右图
就有定积分的定义: 定义1.设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点a x0 x1 x2
xn 1 xn b
将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间 [ xi 1 , xi ] 的长度为 xi xi xi 1 (i 1, 2,
, n), 在每个小区间 [ xi 1 , xi ]
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
n n
记各小区间的最大长度为 max{x1 , x2 , , xn }
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 max{xi } 0
1 i n
i 1
i 1
对上述和式取极限就得曲边梯形的面积, 即
n i 1
上任取一 点
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若当 0 时, S n 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的 分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
x2
y
y=ƒ(x)
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],
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xi 1
x
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记第 i 个小区间的长度为xi xi xi 1 (i 1, 2, 曲边梯形(如上图). 若用S表示曲边梯形的面积,
要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每
个小区间的长度Δ x →0)时, 全部窄矩形的面积之和的极 限一定是曲边梯形面积的精确值. 从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积: I.化整为零(或分割)——任意划分 (如右图)用分点
a x0 x1 x2 xn 1 xn b