燕山大学弹性力学
电子一班 杨氏模量与温度的关系(2)
燕山大学课程设计说明书题目：杨氏模量与温度的关系学院（系）理学院年级专业：09级电子信息科学与技术1班学号：0901********学生姓名：李慧指导教师：杜会静王锁明教师职称：讲师实验师燕山大学课程设计（论文）任务书年月日燕山大学课程设计评审意见表杨氏模量与温度的关系李慧理学院09级电子信息科学与技术1班摘要：本文通过研究杨氏模量与温度的关系，探究金属在特定温度情况下抗拉的特性杨氏模量是描述固体材料抵抗形变能力的重要物理量，也是工程上极为重要的常用参数。
实验中，运用拉伸法测定杨氏模量值大小。
研究多个温度下杨氏模量值，通过对其值的大小，判断其抵抗形变的能力，进步研究其与温度大小的线性关系。
关键字：杨氏模量拉伸法温度线性关系物理实验The relationship between Y oung’modulus and TempretureLi huiAbstract：T his paper, through studying young's modulus and temperature, explores the relationship between metal under specific temperature circumstance tensile propertiesYoung's modulus is to describe a solid material deformation resistance, but also the important physical ability in engineering extremely important common parameters. Experiments, apply for determination of young's modulus value tensile size. Research multiple temperature young modulus value, through its value of size, judge its ability to resist deformation temperature, further study it with the size of the linear relationship.Keywords：Young’s modulus;Stretching method;Temprature;Linear ralationship; Physics experiment1.引言杨氏弹性模量，简称杨氏模量，是反映材料形变与内应力关系的物理量，是选择机械构件材料的依据，是工程技术上常用的参数，用Y表示。
PBL剪力键的弹性静力解析解
PBL剪力键的弹性静力解析解司秀勇;刘丽芳;肖林【摘要】基于Airy应力函数和Winkler弹性地基梁理论,进行钢混组合结构中PBL剪力键在工作状态下的弹性静力解析解研究.根据PBL剪力键在工作状态下的受力特性,将PBL剪力键简化为混凝土圆环与贯穿钢筋相互作用的力学模型.在假设混凝土圆环的接触应力为抛物线分布的条件下,借助Airy应力函数,求解其工作状态下的应力和位移的解析解;应用Winkler弹性地基梁理论,得出贯穿钢筋的应力和位移的解析解.运用该解析解和有限元对算例的计算结果进行对比,结果表明该PBL剪力键在工作状态下的弹性静力解析解是可靠的.【期刊名称】《中国铁道科学》【年(卷),期】2018(039)006【总页数】7页(P8-14)【关键词】钢混组合结构;PBL剪力键;弹性静力;解析解;Winkler弹性地基梁;Airy 应力函数【作者】司秀勇;刘丽芳;肖林【作者单位】燕山大学建筑工程与力学学院,河北秦皇岛066004;西南交通大学土木工程学院,四川成都610031;西南交通大学土木工程学院,四川成都610031【正文语种】中文【中图分类】U441由于PBL剪力键具有良好的刚度、延性以及疲劳性能，近年来PBL剪力键在钢混组合结构,尤其是桥梁钢混结合段中的应用越来越广泛[1-3]。
目前，国内外学者对PBL剪力键的承载能力的研究，主要集中于其静力性能如强度与刚度[4]，研究方法多以试验尤其是推出试验为主[5-6]。
也有一些学者采用有限元方法进行分析[7-8]，但由于PBL剪力键在传力过程中的高度非线性行为，理论分析的难度较大，相关研究较少。
本文基于Airy应力函数和Winkler弹性地基梁理论，进行钢混组合结构中PBL剪力键在工作状态下的弹性静力解析解研究。
1 力学模型的建立图1为钢—混结合段中PBL剪力键推出试验的结构简图。
在加载初期，贯穿钢筋基本不参与工作，主要是由混凝土榫提供抗力；PBL剪力键加载中期和加载后期的抗力则主要由贯穿钢筋提供，此时混凝土榫剪切失效，退化为只传递压力的混凝土圆环[9]。
弹塑性理论三级项目燕山大学
《弹塑性理论》课程三级项目轧制前滑、宽展理论计算与实验分析班级：轧钢三班成员：程鹏110101010264毛子鉴110101010263吕红勇110101010262指导教师：李学通时间：2014年4月一、前言在轧制过程中轧件的高度方向承受轧辊压缩作用，压缩下来的体积，将按照最小阻力法则沿着纵向及横向移动，沿横向移动的体积所引起的轧件宽度的变化称为宽展。
研究轧制过程中宽展的规律具有很大的实际意义,例如拟订轧制工艺时需要确定轧件宽展。
研究宽展，合理控制宽展，可降低轧制功能消耗，提高轧机生产率。
轧制时，在轧辊与轧件接触表面上的一定区域内，轧件水平速度大于轧辊线速度的水平分量的现象叫做前滑。
%研究前滑，对连续轧制和周期断面轧制有重要的意义，不仅在于确定压下量和轧辊的旋转速度，而且在确定旋转轧辊所必需的力矩和轧机机座间的张力时都必须知道前滑值。
前滑值可以用简单的实验方法测定，测定方法是在轧辊表面上刻上相距l（周）的两个印痕，轧制之后，印痕留在轧件上的间距为l（出），前滑值(%)可由下式确定：Sh随着轧辊直径、摩擦系数和压下量的增加以及轧件的厚度的减小，前滑增加。
在计算前滑值时，要尽可能地综合考虑各种因素的影响。
二、轧制前滑计算与实验结果分析表格一实测值与理论计算（摩擦与润滑）影响由表一数据分析：在其他条件相同的情况下,表面涂有粉笔时比表面涂润滑油的前滑系数大，即可得：摩擦系数越大，前滑系数越大。
表格二张力对前滑影响由表二数据分析：在其他条件相同的情况下，当加入前张力时相比于无张力前滑系数变大，当加入后张力时相比于无张力前滑系数变小即可得在后张力0T =0时，加前张力1T 则使1S 增大，当加 1T =0时，加后张力0T 使1S 减小。
表格三轧件厚对前滑影响由表三数据分析：在其他条件相同的情况下，当轧件厚度越大时，前滑系数1S 越小，随扎件厚度1h 增大，前滑系数1S 减小。
表格四压下量对前滑影响由表四数据分析：在其他条件相同的情况下，当压下量增大时，前滑系数1S 增大，即可得:随压下量h ∆增大，前滑系数1S 随之增大。
李子丰——油气井杆管柱力学研究者
李子丰——油气井杆管柱力学研究者作者：刘荣来源：《科技创新与品牌》2015年第01期石油对于国民经济的重要，已经不需再费笔墨渲染。
我国有众多科学家活跃在保障石油供给的战线上，或致力于勘探技术的开发，或专注于钻采技术的创新。
燕山大学石油工程研究所教授李子丰，就是一位将青春和年华都奉献给石油事业的代表之一。
这位出生于1962年的河北人，从本科到博士后出站，始终不曾脱离“石油”的标签，长期致力于石油工程的教学与研究工作，将“促进人类进步事业，增强祖国经济实力，培养高级技术人才，服务石油工业建设”奉为人生准则。
李子丰对我国石油事业的贡献，除了培养大批专业人才外，不得不提的是他在“八五”、“九五”、863等国家重点科技攻关项目支持下所建立的油气井杆管柱力学理论体系—主要包括钻柱力学、井眼轨道控制、套管设计、有杆泵抽油系统等内容。
他认为，油气井杆管柱就像人的脊柱，联通井下与地面，能有效监测井下情况，便于井下与地面信息传递，在石油钻采中的重要作用不可忽视。
而且油气井杆管柱长期在充满流体的狭长井筒内工作，受各种力影响，变形和运动状态十分复杂。
对井杆管柱进行系统、准确的力学分析，能快速、准确、经济地控制和优化井眼轨道，准确校核各种杆管柱强度及诊断、处理各类井下问题，优选钻采设备和工作参数。
在这套理论中，李子丰对油气井杆管柱的运动状态、油气井杆管柱力学基本方程及其在油气井杆管柱的稳态拉力和扭矩、下部钻具三围力学分析、钻柱振动、油气井杆管柱的稳定性、有杆泵抽油系统参数诊断和优选等领域进行了系统研究与分析，取得了多项重要创新发现，具有重要的理论指导意义和实用价值。
其中，李子丰通过对油气井杆管柱进行力学和运动分析，建立了油气井杆管柱动力学基本方程（下称基本方程），在统一原有油气井杆管柱力学分析领域各种微分方程的同时，也完善了油气井杆管柱力学理论，为建立各种油气井杆管柱力学分析数学模型奠定了理论基础，在石油钻采工程界得到了广泛应用。
趣味力学通识选修课初探
趣味力学通识选修课初探余为（燕山大学建筑工程与力学学院工程力学系，河北秦皇岛066004）力学是一门古老的自然科学，它既是一门基础学科，也是一门应用广泛的技术学科，在机械、能源、交通、材料、建筑、环境、航空、航天、海洋、生物医学等领域均有广泛的应用，深入到了人们现代生活的方方面面，所以有必要开设一门内容丰富的力学类通识选修课，让学生们了解一些力学现象，掌握一些力学知识[１-３]。
趣味力学全校通识选修课，从生活和工程中的一些有趣的力学现象说起，深入浅出地分析和讲解与之相关的力学知识、背景及应用，既有科普的定性分析，也有实际问题的定量计算。
通过开设趣味力学选修课，文科生及社会科学学生可以通过了解身边的力学现象和力学在工程中的应用，学习一些有关力学的生活常识，开阔视野，感受力学之精妙；理工科学生可以更全面的了解力学系列课程及其应用，增强对力学思维方式和力学模型的理解，增强对自然科学的兴趣和探索精神。
一、课程内容趣味力学选修课的主要内容分为以下几部分：平衡之美、运动之魂、材料之心、流体之灵、振动之声，涵盖了理论力学、材料力学、弹性力学、流体力学和振动力学等一系列力学课程，其内容丰富，涉及面较广。
课程中选取了很多生活和工程中有趣的力学现象，一部分内容来自作者个人多年的观察和收集，另一大部分内容则来自相关的力学类科普书籍和文献。
1.平衡之美。
平衡是最常见的自然界现象，也是力学学科里的一个非常重要的知识点。
本章主要内容是：自然界的平衡石奇观[４]，叠石艺术，输电线的平衡，直尺挂钉锤试验，平衡鸟玩具及体育项目中的平衡等内容，讲述了稳定平衡、非稳定平衡、重心、二力平衡和三力平衡汇交等知识点；塔吊的平衡、不倒翁、小雁塔、比萨斜塔和船舶的平衡，进一步介绍力矩的概念和相关的平衡；“野渡无人舟自横”一节介绍小船在河流中的稳定平衡[５]。
2.运动之魂。
关于运动的实际问题和现象也非常多。
本章主要内容包括：参考体和参考系，分析了“坐地日行八万里”“动即不动”的哲学思想，介绍了国内外的多个“怪坡”，解释了其真实情况和造成错觉的原因[６]；刚体的简单运动分析了游乐场中的摩天轮、海盗船和旋转咖啡杯的运动，分析各个位置的速度对人体感受的影响；质点的圆周运动方面，介绍火车转弯时的速度与铁轨内外轨高差的关系[６]，汽车转弯、自行车和滑冰转弯的侧倾；神奇的科氏加速度，介绍了台风气旋[４，７]、河流右岸冲刷等内容；日历、二十四节气与星座，则主要介绍了地球绕太阳的运动、农历闰月和动量矩守恒等相关知识；走钢丝、滑冰和跳水的旋转、直升机尾翼和四旋翼无人机，介绍了动量矩及其守恒[８，９]；从指尖陀螺玩具，介绍了轴承动反力的内容；“流浪地球”之行星发动机、引力弹弓、喷射推进、卫星调整姿态和枪械的后坐力，介绍了动量定理及守恒[１]。
谐变磁力作用轴向运动铁磁板的磁弹性主共振
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｔｒｅｎｇｔｈ２０２３，４５（３）：５１９⁃５２６ＤＯＩ：１０ １６５７９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１ ９６６９ ２０２３ ０３ ００２∗２０２１０９１３收到初稿，２０２１１１２０收到修改稿㊂国家自然科学基金项目（１２１７２３２１），河北省自然科学基金项目（Ａ２０２０２０３００７）资助㊂∗∗曹天笑，男，１９９６年生，河北石家庄人，汉族，燕山大学在读硕士研究生，主要研究方向为非线性磁弹性振动㊂∗∗∗胡宇达（通信作者），男，１９６８年生，黑龙江东宁人，汉族，燕山大学教授，博士研究生导师，主要研究方向为非线性振动和磁弹性力学㊂谐变磁力作用轴向运动铁磁板的磁弹性主共振∗ＭＡＧＮＥＴＯ⁃ＥＬＡＳＴＩＣＰＲＩＮＣＩＰＡＬＲＥＳＯＮＡＮＣＥＯＦＡＸＩＡＬＬＹＭＯＶＩＮＧＦＥＲＲＯＭＡＧＮＥＴＩＣＰＬＡＴＥＵＮＤＥＲＨＡＲＭＯＮＩＣＭＡＧＮＥＴＩＣＦＯＲＣＥ曹天笑∗∗１，２㊀胡宇达∗∗∗１，２（１．燕山大学建筑工程与力学学院，秦皇岛０６６００４）（２．燕山大学河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，秦皇岛０６６００４）ＣＡＯＴｉａｎＸｉａｏ１，２㊀ＨＵＹｕＤａ１，２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＹａｎｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ０６６００４，Ｃｈｉｎａ）（２．ＨｅｂｅｉＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＲｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｆｏｒＨｅａｖｙＥｑｕｉｐｍｅｎｔｓａｎｄＬａｒｇｅＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，ＹａｎｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ０６６００４，Ｃｈｉｎａ）摘要㊀基于哈密顿变分原理，建立机械载荷和磁化产生的谐变磁力共同作用下铁磁板的非线性磁弹性振动方程㊂针对两长边简支约束边界条件，利用伽辽金积分法得到变量分离后的横向振动微分方程㊂应用多尺度法和李雅普诺夫稳定性理论求解电磁激发下的１阶主共振问题，得到稳态响应下的幅频方程和定常解的稳定性判据㊂通过算例，得到铁磁板的幅频特性㊁振幅⁃磁场强度幅值和振幅⁃速度的变化曲线图㊂曲线分析结果表明，稳定解部分的振幅随磁场强度幅值的增大而增大；非线性刚度随速度的增大而增大，硬弹簧特性增强，非线性特征更为显著㊂关键词㊀铁磁板㊀轴向运动㊀主共振㊀谐变磁力㊀多尺度法中图分类号㊀Ｏ３２２㊀Ｏ４４２㊀㊀㊀㊀Ａｂｓｔｒａｃｔ㊀ＢａｓｅｄｏｎＨａｍｉｌｔｏｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｍａｇｎｅｔｏ⁃ｅｌａｓｔｉｃｖｉｂｒａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｐｌａｔｅｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｕｎｄｅｒｔｈｅｃｏｍｂｉｎｅｄａｃｔｉｏｎｏｆｍｅｃｈａｎｉｃａｌｌｏａｄａｎｄｈａｒｍｏｎｉｃｍａｇｎｅｔｉｃｆｏｒｃｅｉｎｄｕｃｅｄｂｙｍａｇｎｅｔｉｚａｔｉｏｎ．Ｆｏｒｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｗｉｔｈｔｗｏｌｏｎｇｓｉｍｐｌｙｓｕｐｐｏｒｔｅｄｅｄｇｅｓ，ｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｆｔｅｒｖａｒｉａｂｌｅｓｓｅｐａｒａｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙＧａｌｅｒｋｉｎｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｍｕｌｔｉ⁃ｓｃａｌｅｍｅｔｈｏｄａｎｄＬｙａｐｕｎｏｖｓｔａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙａｒｅｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｆｉｒｓｔ⁃ｏｒｄｅｒｐｒｉｎｃｉｐａｌｒｅｓｏｎａｎｃｅｐｒｏｂｌｅｍｕｎｄｅｒｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ，ｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｃｒｉｔｅｒｉｏｎｏｆｔｈｅｓｔｅａｄｙ⁃ｓｔａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓ，ｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅｓ，ｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｉｎｔｅｎｓｉｔｙｃｕｒｖｅｓａｎｄｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｖｅｌｏｃｉｔｙｖａｒｉａｔｉｏｎｃｕｒｖｅｓｏｆｔｈｅｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｐｌａｔｅａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅａｍｐｌｉｔｕｄｅｏｆｓｔａｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｎｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅｏｆｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｉｎｔｅｎｓｉｔｙａｍｐｌｉｔｕｄｅ．Ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｔｉｆｆｎｅｓｓｉｎｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅｏｆｔｈｅｖｅｌｏｃｉｔｙ，ｔｈｅｈａｒｄ⁃ｓｐｒｉｎｇｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｒｅｅｎｈａｎｃｅｄａｎｄｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｒｅｍｏｒｅｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ㊀Ｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｐｌａｔｅ；Ａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇ；Ｐｒｉｎｃｉｐａｌｒｅｓｏｎａｎｃｅ；Ｈａｒｍｏｎｉｃｍａｇｎｅｔｉｃｆｏｒｃｅ；Ｍｕｌｔｉ⁃ｓｃａｌｅｍｅｔｈｏｄＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒ：ＨＵＹｕＤａ，Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｈｕｙｕｄａ０３＠１６３．ｃｏｍ，Ｔｅｌ：＋８６⁃３３５⁃８０５７１０１，Ｆａｘ：＋８６⁃３３５⁃８０５７１０１ＴｈｅｐｒｏｊｅｃｔｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（Ｎｏ．１２１７２３２１），ａｎｄｔｈｅＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＨｅｂｅｉＰｒｏｖｉｎｃｅ（Ｎｏ．Ａ２０２０２０３００７）．Ｍａｎｕｓｃｒｉｐｔｒｅｃｅｉｖｅｄ２０２１０９１３，ｉｎｒｅｖｉｓｅｄｆｏｒｍ２０２１１１２０．０㊀引言㊀㊀多场环境下轴向运动结构具有重要工程应用背景，如磁悬浮运输车体悬力结构，高精轴向运动板带的多因素轧制调质工艺和车辆ＣＶＴ传动钢带等㊂当铁磁结构在多重耦合场中工作时，会不可避免地受到激励，发生复杂的振动行为㊂利用铁磁材料对磁场极其敏感的特性，通过外加磁场可实现对铁磁结构振动特㊀５２０㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度２０２３年㊀性的电磁控制㊂因此，对处于磁场中轴向运动结构磁弹性振动特性的研究具有重要的理论和应用价值㊂针对轴向运动结构，ＬＩＮＣＣ［１］研究了二维轴向运动平板的稳定性问题㊂ＺＨＯＵＹＦ等［２］分析了物理参数和速度对厚度抛物线变化下轴向运动黏弹性矩形板振动特性的影响㊂ＭＯＨＡＭＡＤＩＡ等［３］研究了受黏性结构阻尼影响的轴向运动简支薄圆柱壳的线性自由振动问题㊂ＬＩＨＹ等［４］分析了流固耦合影响下浸水轴向运动板的动力学特性和稳定性㊂ＦＡＲＳＨＢＡＦＺＲ等［５］对具有中间非线性支撑的轴向运动简支黏弹性梁进行了非线性振动分析㊂ＨＵＹＤ等［６］应用改进多尺度法对周期外载作用下轴向运动导电条形板的强非线性振动及混沌运动问题进行了研究㊂黄建亮等［７⁃８］采用多元Ｌ⁃Ｐ方法研究了轴向运动体系横向内共振和联合共振问题㊂殷振坤等［９］应用增量谐波平衡法研究了轴向运动薄板横向非线性振动特性及其稳定性㊂李中华等［１０］研究了轴向运动黏弹性夹层板的模态耦合横向振动问题㊂对于磁弹耦合场中的振动问题，李晶等［１１］分析了不同情况下磁场强度对矩形导电薄板内共振特性的影响㊂ＨＵＹＤ等［１２］对磁场中的轴向运动载流梁的１ʒ３主内共振问题进行了研究㊂高原文等［１３⁃１４］研究了铁磁梁式板在横向磁场和脉冲磁场作用下的磁弹性动力响应特征和动力失稳现象㊂徐浩然等［１５］研究了处于平行共轴三线圈和球形载流线圈产生磁场中的导电圆板的固有振动问题㊂ＨＡＳＡＮＹＡＮＤ等［１６］分析了磁场和导电率对轴向磁场中有限导电板振动特性的影响㊂ＷＡＮＧＸ等［１７］研究了具有磁弹性相互作用和磁阻尼的铁磁梁式板在横向磁场中的动态稳定性问题㊂ＨＵＹＤ等［１８］研究了磁场中导电薄板的磁弹性组合共振和次谐波共振问题㊂将轴向运动铁磁板置于横向谐变磁场中，不仅需要考虑轴向速度对薄板振动时非线性特征的影响，同时，由于铁磁材料会被磁化产生谐变磁力作用于铁磁板，因此会产生由磁场环境激发的振动行为㊂本文研究谐变磁力作用下轴向运动铁磁板主共振问题，分析几何和物理参量对振幅和非线性振动特性的影响㊂１㊀横向磁场中轴向运动铁磁板的振动方程㊀㊀考虑横向磁场环境（Ｈｎ１为上表面磁场强度，Ｈｎ２为下表面磁场强度）中，沿着ｘ方向以速度Ｖ０ｘ做轴向匀速运动，并受到边界面内拉力Ｆ０ｘ和均布横向机械载荷Ｐｚ作用的各向同性铁磁条形薄板㊂如图１所示，板长为ｌ；板厚为ｈ；薄板的弹性模量为Ｅ；泊松比为μ；密度为ρ㊂１ １㊀电磁力㊀㊀各向同性线性软铁磁介质所受到的磁体力和边界图１㊀磁场中的轴向运动铁磁板Ｆｉｇ．１㊀Ａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｐｌａｔｅｉｎｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ磁力［１９］分别为磁体力㊀ｆｅｍ＝▽Ｂ()Ｍ＝μ０μｒχｍ▽Ｈ()２（１）边界磁力㊀Ｆｅｍ＝－μ０χｍ（μｒ＋１）２Ｈｔ()２ｎ（２）式中，Ｂ为磁感应强度矢量，Ｂ＝μ０μｒＨ；Ｈ为磁场强度矢量；Ｍ为磁化矢量，Ｍ＝χｍＨ；μ０为真空磁导率；μｒ为相对磁导率；χｍ为材料的磁化率，χｍ＝μｒ－１；ｎ为铁磁介质表面的单位法向矢量；▽＝∂∂ｘｉ＋∂∂ｚｋ，ｉ和ｋ分别为ｘ方向和ｚ方向上的单位矢量㊂将磁体力和边界磁力向中面简化后得到等效横向磁力为Ｆｚ＝ʏｈ２－ｈ２ｆｅｍｚ（ｘ，ｚ）ｄｚ＋Ｆｅｍｚ（ｘ，ｈ２）－Ｆｅｍｚ（ｘ，－ｈ２）＝μ０μｒχｍ２Ｈｎ（ｘ，ｈ２）éëêêùûúú２－Ｈｎ（ｘ，－ｈ２）éëêêùûúú２{}－μ０χｍ２Ｈｔ（ｘ，ｈ２）éëêêùûúú２－Ｈｔ（ｘ，－ｈ２）éëêêùûúú２{}（３）式中，Ｈｎ为铁磁板表面法线方向磁场强度；Ｈｔ为铁磁板表面切线方向磁场强度㊂设薄板内部磁场沿ｚ轴线性分布［２０］，则Ｂ０ｚ＝μ０μｒＨｎ１＋Ｈｎ２２＋Ｈｎ２－Ｈｎ１ｈｚæèçöø÷（４）㊀㊀轴向运动铁磁板在横向磁场中所受洛伦兹电磁力为ｆｘ＝ＪｙＢ０ｚ＝－σ０Ｂ２０ｚＶ０ｘ－ｚｄｄｔ∂ｗ∂ｘæèçöø÷éëêêùûúú（５）式中，Ｊｙ为铁磁板在磁场中运动所产生的电流密度；σ０为电导率；Ｖ０ｘ为轴向运动速度；ｗ为中面横向位移㊂将式（４）代入式（５）并对ｚ沿板厚方向积分得电磁力矩为ｍｘ＝ʏｈ２－ｈ２ｆｘｚｄｚ＝σ０μ２０μ２ｒｈ３ｄｄｔ∂ｗ∂ｘæèçöø÷㊃㊀㊀（Ｈｎ１＋Ｈｎ２）２４８＋éëêê（Ｈｎ２－Ｈｎ１）２８０ùûúú＋㊀㊀σ０μ２０μ２ｒｈ２Ｖ０ｘ（Ｈ２ｎ２－Ｈ２ｎ１）１２（６）㊀第４５卷第３期曹天笑等：谐变磁力作用轴向运动铁磁板的磁弹性主共振５２１㊀㊀１ ２㊀动能和势能㊀㊀对于沿ｙ方向上无限长的铁磁板，做仅随坐标ｘ变化的横向振动时，系统的动能表示为Ｔ＝∬ρ２Ｖ２ｄｘｄｚ＝ʏＶ２０ｘ＋ｄｗｄｔæèçöø÷２éëêêùûúúｄｘ＋ρｈ３２４ʏｄｄｔ∂ｗ∂ｘæèçöø÷éëêêùûúú２ｄｘ（７）式中，Ｖ为板内任一点的绝对速度矢量；ｔ为时间变量；ｄ／ｄｔ＝Ｖ０ｘ∂／∂ｘ＋∂／∂ｔ㊂轴向运动铁磁板发生变形时，势能Ｕ包括弯曲应变势能㊁中面应变势能和边界面内拉力Ｆ０ｘ引起的应变势能㊂根据弹性薄板理论，势能表达式为Ｕ＝ＤＭ２ʏ∂２ｗ∂ｘ２æèçöø÷２ｄｘ＋１２ʏＮｘεｘｄｘ＋ʏＦ０ｘεｘｄｘ（８）式中，ＤＭ为弯曲刚度，ＤＭ＝Ｅｈ３／［１２（１－μ２）］；ＤＮ为拉伸强度，ＤＮ＝Ｅｈ／（１－μ２）；Ｎｘ为中面应力，Ｎｘ＝ＤＮ（εｘ＋μεｙ）；εｘ㊁εｙ均为中面应变分量，εｘ＝（∂ｗ／∂ｘ）２／２，εｙ＝（∂ｗ／∂ｙ）２／２㊂１ ３㊀磁弹性横向振动方程㊀㊀根据哈密顿变分原理，有ʏｔ１ｔ２（δＴ－δＵ＋δＷＰ＋δＷ）ｄｔ＝０（９）式中，ｔ１㊁ｔ２分别为两固定时刻；δＷＰ为机械载荷Ｐｚ所做虚功；δＷ为电磁力虚功㊂将动能㊁势能变分后和电磁力虚功代入式（９），整理得到忽略面内位移的轴向运动铁磁板的非线性磁弹性横向振动方程为－ＤＭ∂４ｗ∂ｘ４＋３２ＤＮ∂ｗ∂ｘæèçöø÷２∂２ｗ∂ｘ２＋Ｆ０ｘ∂２ｗ∂ｘ２＋Ｆｚ＋㊀㊀∂ｍｘ∂ｘ＋Ｐｚ＝ρｈＶ２０ｘ∂２ｗ∂ｘ２＋２Ｖ０ｘ∂２ｗ∂ｘ∂ｔ＋∂２ｗ∂ｔ２æèçöø÷－㊀㊀㊀ρｈ３１２Ｖ２０ｘ∂４ｗ∂ｘ４＋æèç２Ｖ０ｘ∂４ｗ∂ｘ３∂ｔ＋∂４ｗ∂ｘ２∂ｔ２öø÷（１０）２㊀轴向运动铁磁板的主共振分析２ １㊀振动方程的伽辽金离散㊀㊀对于两长边简支的轴向运动铁磁板，其满足边界条件为ｗ＝０，∂２ｗ∂ｘ２＝０，ｘ＝０ｗ＝０，∂２ｗ∂ｘ２＝０，ｘ＝ｌìîíïïïï（１１）㊀㊀在考虑３阶模态的情况下，设满足边界条件式（１１）的位移函数为ｗ＝ð３ｎ＝１ｐｎ（ｔ）Ｗｎ（ｘ）＝ð３ｎ＝１ｐｎ（ｔ）ｓｉｎｎπｘｌ（１２）㊀㊀设铁磁板上㊁下表面的磁场强度分别为Ｈｎ１＝Ｈ０ｃｏｓ（Ω１ｔ），Ｈｎ２＝Ｈ０ｓｉｎ（Ω１ｔ）（１３）式中，Ｈ０为磁场强度幅值；Ω１为磁场强度频率㊂将式（１３）代入式（３）中，且仅考虑横向磁场，得到横向谐变磁力为Ｆｚ＝μ０μｒχｍ２Ｈ２０ｃｏｓ（２Ω１ｔ）（１４）同时，机械载荷按谐变规律给定：Ｐｚ＝Ｐ０ｃｏｓ（Ω２ｔ）（１５）式中，Ｐ０为载荷幅值；Ω２为载荷频率㊂令磁场强度频率和机械载荷频率关系为２Ω１＝Ω２＝Ω，并将式（１４）和式（１５）代入式（１０）中，进行伽辽金积分，推导得无量纲化后的横向振动微分方程为ｑ㊆１＋ω２１ｑ１＝η２１Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ２＋φ２１ｑ㊃２＋㊀㊀㊀ξ１Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）éëêê＋Ｈ２０３０ùûúúｑ㊃１＋α１Ｓ１１ｑ３１＋Ｓ４１ｑ１ｑ２２＋(㊀㊀㊀Ｓ５１ｑ１ｑ２３＋Ｓ７１ｑ２１ｑ３＋Ｓ８１ｑ２２ｑ３)＋ｆ１ｃｏｓ（Ω－τ）ｑ㊆２＋ω２２ｑ２＝η１２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ１＋φ１２ｑ㊃１＋㊀㊀㊀φ３２ｑ㊃３＋η３２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋éëêêＨ２０３０ùûúúｑ３＋㊀㊀㊀ξ２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ㊃２＋α２Ｓ２２ｑ３２＋(㊀㊀㊀Ｓ６２ｑ２１ｑ２＋Ｓ９２ｑ２ｑ２３＋Ｓ０２ｑ１ｑ２ｑ３)ｑ㊆３＋ω２３ｑ３＝η２３Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ２＋φ２３ｑ㊃２＋㊀㊀㊀ξ３Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋éëêêＨ２０３０ùûúúｑ㊃３＋α３Ｓ１３ｑ３１＋Ｓ３３ｑ３３＋(㊀㊀㊀Ｓ４３ｑ１ｑ２２＋Ｓ７３ｑ２１ｑ３＋Ｓ８３ｑ２２ｑ３)＋ｆ３ｃｏｓ（Ω－τ）ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï（１６）式中ｑｎ＝ｐｎｈ，Ω＝ΩωＮ，τ＝ωＮｔ，ηｎｉ＝σ０μ２０μ２ｒｈ３Ｖ０ｘＤｎｉＡｉｉω２Ｎ，ξｉ＝σ０μ２０μ２ｒｈ３ＣｉｉＡｉｉωＮ，φｎｉ＝ρｈ３Ｖ０ｘＤｎｉ－１２ρｈＶ０ｘＢｎｉ６ＡｉｉωＮ，αｉ＝３ＤＮｈ２２Ａｉｉω２Ｎ，ｆｉ＝Ｇｉω２ＮＡｉｉｈμ０μｒχｍ２Ｈ２０＋Ｐ０æèçöø÷，ωＮ＝３ｇ１ｇ２ｇ３，ω１＝ｇ１ωＮ，ω２＝ｇ２ωＮ，ω３＝ｇ３ωＮ，ｇ２１＝１２ＤＭＥ１１－１２Ｆ０ｘＣ１１＋１２ρｈＶ２０ｘＣ１１－ρｈ３Ｖ２０ｘＥ１１１２Ａ１１，ｇ２２＝１２ＤＭＥ２２－１２Ｆ０ｘＣ２２＋１２ρｈＶ２０ｘＣ２２－ρｈ３Ｖ２０ｘＥ２２１２Ａ２２，㊀５２２㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度２０２３年㊀ｇ２３＝１２ＤＭＥ３３－１２Ｆ０ｘＣ３３＋１２ρｈＶ２０ｘＣ３３－ρｈ３Ｖ２０ｘＥ３３１２Ａ３３㊂式中，Ａｎｉ㊁Ｂｎｉ㊁Ｃｎｉ㊁Ｄｎｉ㊁Ｅｎｉ㊁Ｇｉ㊁Ｓｂｉ（ｎ＝１，２，３；ｉ＝１，２，３；ｂ＝０，１， ，９）均为积分式㊂２ ２㊀多尺度法求解㊀㊀研究系统主共振问题，经验证，系统为弱非线性，引入小参数ε，式（１６）可写为ｑ㊆１＋ω２１ｑ１＝εη－２１Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ２＋εφ－２１ｑ㊃２＋㊀㊀㊀εξ－１Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）éëêê＋Ｈ２０３０ùûúúｑ㊃１＋εα－１Ｓ１１ｑ３１＋Ｓ４１ｑ１ｑ２２＋(㊀㊀㊀Ｓ５１ｑ１ｑ２３＋Ｓ７１ｑ２１ｑ３＋Ｓ８１ｑ２２ｑ３)＋εｆ－１ｃｏｓ（Ω－τ）ｑ㊆２＋ω２２ｑ２＝εη－１２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ１＋εφ－１２ｑ㊃１＋㊀㊀εφ－３２ｑ㊃３＋εη－３２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋éëêêＨ２０３０ùûúúｑ３＋㊀㊀εξ－２Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ㊃２＋εα－２Ｓ２２ｑ３２＋(㊀㊀Ｓ６２ｑ２１ｑ２＋Ｓ９２ｑ２ｑ２３＋Ｓ０２ｑ１ｑ２ｑ３)ｑ㊆３＋ω２３ｑ３＝εη－２３Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋Ｈ２０３０éëêêùûúúｑ２＋εφ－２３ｑ㊃２＋㊀㊀εξ－３Ｈ２０１２０ｓｉｎ（Ω－τ）＋éëêêＨ２０３０ùûúúｑ㊃３＋εα－３Ｓ１３ｑ３１＋Ｓ３３ｑ３３＋(㊀㊀Ｓ４３ｑ１ｑ２２＋Ｓ７３ｑ２１ｑ３＋Ｓ８３ｑ２２ｑ３)＋εｆ－３ｃｏｓ（Ω－τ）ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï（１７）式中，η－ｎｉ＝ηｎｉε，ξ－ｉ＝ξｉε，φ－ｎｉ＝φｎｉε，α－ｉ＝αｉε，ｆ－ｉ＝ｆｉε（ｎ＝１，２，３；ｉ＝１，２，３）㊂为了定量表示主共振发生时激励力频率Ω－与第１阶固有频率ω１之间的接近程度，引入调谐参数σ，并令Ω－＝ω１＋εσ（１８）㊀㊀应用多尺度法进行１阶近似求解，近似解设为ｑ１（τ，ε）＝ｑ１１（Ｔ０，Ｔ１）＋εｑ１２（Ｔ０，Ｔ１）ｑ２（τ，ε）＝ｑ２１（Ｔ０，Ｔ１）＋εｑ２２（Ｔ０，Ｔ１）ｑ３（τ，ε）＝ｑ３１（Ｔ０，Ｔ１）＋εｑ３２（Ｔ０，Ｔ１）ìîíïïïï（１９）其中，Ｔｎ＝εｎτ㊂将式（１９）代入式（１７）中，展开后令ε的同次幂项系数相等，将ε０同次幂项系数方程组的解写为复数形式：ｑ１１＝Ａ１（Ｔ１）ｅｉω１Ｔ０＋Ａ－１（Ｔ１）ｅ－ｉω１Ｔ０ｑ２１＝Ａ２（Ｔ１）ｅｉω２Ｔ０＋Ａ－２（Ｔ１）ｅ－ｉω２Ｔ０ｑ３１＝Ａ３（Ｔ１）ｅｉω３Ｔ０＋Ａ－３（Ｔ１）ｅ－ｉω３Ｔ０ìîíïïïï（２０）㊀㊀将式（１８）和式（２０）代入ε１同次幂项系数方程组中，可得消除久期项的条件为－２ω１ｉＤ１Ａ１＋ξ－１ω１ｉＡ１Ｈ２０３０＋３α－１Ｓ１１Ａ２１Ａ－１＋㊀㊀２α－１Ｓ４１Ａ１Ａ２Ａ－２＋２α－１Ｓ５１Ａ１Ａ３Ａ－３＋ｆ－１２ｅｉσＴ１＝０－２ω２ｉＤ１Ａ２＋ξ－２ω２ｉＡ２Ｈ２０３０＋３α－２Ｓ２２Ａ２２Ａ－２＋㊀㊀２α－２Ｓ６２Ａ２Ａ１Ａ－１＋２α－２Ｓ９２Ａ２Ａ３Ａ－３＝０－２ω３ｉＤ１Ａ３＋ξ－３ω３ｉＡ３Ｈ２０３０＋３α－３Ｓ３３Ａ２３Ａ－３＋㊀㊀２α－３Ｓ７３Ａ３Ａ１Ａ－１＋２α－３Ｓ８３Ａ３Ａ２Ａ－２＝０（２１）ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï式中，Ｄ１＝∂∂Ｔ１㊂将复函数Ａ写为Ａｋ（Ｔ１）＝１２ａｋｅｉθｋ（ｋ＝１，２，３），代入式（２１）中，并令γ１＝σＴ１－θ１，分离虚部和实部得ａ㊃１＝Ｈ２０６０ξ－１ａ１＋ｆ－１２ω１ｓｉｎγ１ａ１γ㊃１＝ａ１σ＋３α－１８ω１Ｓ１１ａ３１＋α－１４ω１Ｓ４１ａ１ａ２２＋㊀㊀㊀α－１４ω１Ｓ５１ａ１ａ２３＋ｆ－１２ω１ｃｏｓγ１ａ㊃２＝Ｈ２０６０ξ－２ａ２ａ２θ㊃２＝－３α－２８ω２Ｓ２２ａ３２－α－２４ω２Ｓ６２ａ２ａ２１－α－２４ω２Ｓ９２ａ２ａ２３ａ㊃３＝Ｈ２０６０ξ－３ａ３ａ３θ㊃３＝－３α－３８ω３Ｓ３３ａ３３－α－３４ω３Ｓ７３ａ３ａ２１－α－３４ω３Ｓ８３ａ３ａ２２ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïïï（２２）㊀㊀由于ξ－２＜０㊁ξ－３＜０，可见ａ２㊁ａ３都将衰减，共振不被激发㊂对于系统的稳态响应，令ａ㊃１＝０，γ㊃１＝０，得到１阶主共振幅频响应式为Ｈ４０３６００ξ－２１ａ２１＋ａ１σ＋３α－１８ω１Ｓ１１ａ３１æèçöø÷２＝ｆ－２１４ω２１（２３）２ ３㊀稳定性分析㊀㊀主共振发生时，分析系统稳态运动中解的稳定性条件，设ａ１＝ａ１０＋ａ１１，γ１＝γ１０＋γ１１（２４）式中，ａ１０㊁γ１０均为系统的稳态解；ａ１１㊁γ１１均为小的扰动量㊂㊀第４５卷第３期曹天笑等：谐变磁力作用轴向运动铁磁板的磁弹性主共振５２３㊀㊀将式（２４）代入式（２２），根据Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论得到判断稳态解稳定性的本征方程为λ２＋ｃ１１λ＋ｃ１２＝０（２５）式中，ｃ１１＝－Ｈ２０３０ξ－１，ｃ１２＝σ２＋Ｈ４０３６００ξ－２１＋３α－１２ω１σＳ１１ａ２１０＋２７α－２１６４ω２１Ｓ２１１ａ４１０㊂根据Ｒｏｕｔｈ⁃Ｈｕｒｗｉｔｚ判据，在ξ－１＜０情况下可得系统稳态解稳定的充要条件为ｃ１２＞０（２６）３ 算例分析㊀㊀针对处于交变磁场中马氏体钢材料制成的轴向运动铁磁板进行算例分析㊂主要物理参数为：密度ρ＝７８００ｋｇ／ｍ３；泊松比μ＝０ ３；材料电导率σ０＝２ ３ˑ１０６（Ω㊃ｍ）－１；相对磁导率μｒ＝１０００；弹性模量Ｅ＝２００ＧＰａ；板长ｌ＝０ ５ｍ；面内拉力Ｆ０ｘ＝１０ｋＮ／ｍ㊂图２（ａ）为不同板厚下轴向运动铁磁板的幅频特性曲线图㊂图２（ａ）中曲线表明，共振区域（εσʈ０）幅值明显增大㊂图２（ａ）中点线代表非稳定解，实线代表稳定解（下同）㊂当调谐值一定时，随着板厚的增加，稳定解部分的共振幅值随之减小；脊骨线附近曲线随着板厚的增加逐渐内缩㊂同时，调谐值由负数增大到一定值时，共振幅值出现多值现象㊂点画线所包夹区域（ｃ１２＜０）为非稳定解区域，即板厚变化时，幅频特性曲线中非稳定解部分所在区域㊂图２（ｂ）为拾取不同厚度下振幅出现多值解的临界调谐值所绘的调谐值⁃厚度多值解分岔点曲线㊂该曲线表明了在不同板厚下开始出现多值解时的调谐值㊂图２（ｂ）中分岔点曲线下方区域对应单值解，上方区域对应多值解㊂图２㊀不同板厚下幅频特性曲线及多值解分岔点曲线Ｆｉｇ．２㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｌａｔｅｔｈｉｃｋｎｅｓｓｅｓａｎｄｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓｏｆｍｕｌｔｉ⁃ｖａｌｕｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎｓ图３㊀不同物理参量下幅频特性曲线Ｆｉｇ．３㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｈｙｓｉｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ㊀㊀图３所示为板厚ｈ＝０ ００９ｍ时不同物理参量下的幅频特性曲线㊂激发主共振的激励力由磁化力Ｆｚ和机械载荷Ｐｚ两部分组成，并且磁化力幅值与磁场强度幅值的平方Ｈ２０成正比㊂因此，在图３（ａ）和图３（ｂ）中，当调谐值一定时，随着磁场强度幅值Ｈ０和机械载荷幅值Ｐ０的增大，共振幅值会随之增大，并且两图中的多值解分岔点向右上方移动㊂在图３（ｃ）中，速度的增大使铁磁板的非线性刚度增大和硬弹簧特性增强，进而幅频特性曲线向右弯曲程度加深，使得上支曲线出现交点，在交点之前振幅随着速度的增大而增大，在交点之后振幅随着速度的增大而减小；在下支曲线的稳定解区域中，振幅随着速度的增大而增大㊂图４（ａ）为不同调谐值下振幅－磁场强度幅值曲线图㊂该曲线图由类椭圆闭合曲线和上支凹型曲线组㊀５２４㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度２０２３年㊀成，曲线关于磁场强度幅值（Ｈ０＝０）对称㊂椭圆闭合曲线下半部分随着调谐值的增加而减小，上支凹型曲线随着调谐值的增大而增大㊂磁场强度幅值为零（Ｈ０＝０）时所对应振幅不为零，是由于此时共振由机械载荷Ｐｚ激发的㊂共振幅值随着磁场强度幅值的增大，将由多值解转化为单值解㊂多值现象消失的原因在于随着磁场强度幅值的增大，幅频特性曲线图中的脊骨线附近曲线发生外拓，使得调谐值所对应的振幅由多值解转向单值解㊂由于非稳定解只出现于类椭圆闭合曲线部分，在图４（ｂ）中，对类椭圆闭合曲线部分单独分析，点画线为拾取不同调谐值下振幅⁃磁场强度幅值多值解分岔点所绘，其上部区域（ｃ１２＜０）为非稳定解区域，即调谐值变化时，类椭圆闭合曲线中非稳定解部分所在区域㊂图４（ｃ）为拾取不同调谐值下振幅变为单值解的临界磁场强度幅值所绘的磁场强度幅值⁃调谐值多值解分岔点曲线图㊂该曲线表明在不同调谐值下多值现象消失时的磁场强度幅值㊂图４（ｃ）中分岔点曲线下方区域对应单值解，上方区域对应多值解㊂㊀㊀图５为调谐值εσ＝０ ０５时不同几何和物理参量下的振幅⁃磁场强度幅值曲线图㊂由图５（ａ）和图５（ｂ）可知，稳定解部分的共振幅值随着板厚的减小和机械载荷幅值的增大而增大㊂在图５（ｃ）中，随着速度的增大，椭圆闭合曲线稳定解部分共振幅值增大，上支凹型曲线共振幅值减小㊂图６（ａ）为不同调谐值下振幅⁃速度曲线图㊂该曲线图由呈子弹状的下支曲线和上支下凹型曲线两部分组成㊂该曲线图表明，随着调谐值的减小，上支曲线的振幅减小而下支曲线稳定解部分的振幅增大，并且整个下支曲线向内收缩㊂同时，共振幅值随着速度的增大，将由多值解转化为单值解㊂多值现象消失的原因是随着速度的增大，幅频特性曲线图中的脊骨线附近曲线向右弯曲程度加深，使得调谐值所对应的振幅由多值解转向单值解㊂由于非稳定解只出现于下支曲线部分，因此，对图６（ｂ）中下支曲线部分单独分析，点画线为拾取不同调谐值下振幅⁃速度多值解分岔点所绘，其上部区域（ｃ１２＜０）为非稳定解区域，即调谐值变化时，下支曲线中非稳定解部分所在区域㊂图４㊀不同调谐值下振幅⁃磁场强度幅值曲线及多值解分岔点曲线Ｆｉｇ．４㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｍａｇｎｅｔｉｃｉｎｔｅｎｓｉｔｙａｍｐｌｉｔｕｄｅｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｔｕｎｉｎｇｖａｌｕｅｓａｎｄｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓｃｕｒｖｅｓｏｆｍｕｌｔｉ⁃ｖａｌｕｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎｓ图５㊀不同几何和物理参量下的振幅⁃磁场强度幅值曲线Ｆｉｇ．５㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｍａｇｎｅｔｉｃｉｎｔｅｎｓｉｔｙａｍｐｌｉｔｕｄｅｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｎｄｐｈｙｓｉｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ㊀第４５卷第３期曹天笑等：谐变磁力作用轴向运动铁磁板的磁弹性主共振５２５㊀㊀㊀㊀图６（ｃ）所示为拾取不同调谐值下振幅转换为单值解时的临界速度所绘的速度⁃调谐值多值解分岔点曲线㊂图６（ｃ）中分岔点曲线下方区域对应多值解，上方区域对应单值解㊂图７为调谐值εσ＝０ ０７时不同几何和物理参量下振幅⁃速度曲线图㊂在图７（ａ）中，稳定解部分的共振幅值随着板厚的增大而减小㊂在图７（ｂ）和图７（ｃ）中，稳定解部分的共振幅值随着磁场强度幅值和机械载荷幅值的增大而增大㊂图６㊀不同调谐值下振幅⁃速度曲线及多值解分岔点曲线Ｆｉｇ．６㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｖｅｌｏｃｉｔｙｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｔｕｎｉｎｇｖａｌｕｅｓａｎｄｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｐｏｉｎｔｓｃｕｒｖｅｓｏｆｍｕｌｔｉ⁃ｖａｌｕｅｄｓｏｌｕｔｉｏｎｓ图７㊀不同几何和物理参量下振幅⁃速度曲线Ｆｉｇ．７㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｖｅｌｏｃｉｔｙｃｕｒｖｅｓａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｎｄｐｈｙｓｉｃａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓ㊀㊀选取参数ｈ＝０ ０１ｍ，Ｖ０ｘ＝２０ｍ／ｓ，Ｐ０＝１ｋＮ／ｍ２，Ｈ０＝１００Ａ／ｍ，绘制幅频特性曲线［图８（ａ）］，由曲线可得调谐值εσ＝－０ ０２和εσ＝０ ０６时的振幅稳定解Ｓ１㊁Ｓ２和Ｓ３㊂为了对解析结果进行数据仿真验证，选取相同参数和相应的调谐值，直接对式（１６）数值求解，得到调谐值εσ＝－０ ０２和εσ＝０ ０６时的稳定状态下的响应图［图８（ｂ）㊁图８（ｃ）］㊂经过对比可见，数值结果与解析结果基本一致㊂图８㊀幅频特性曲线及稳定解Ｓ１㊁Ｓ２和Ｓ３的响应图Ｆｉｇ．８㊀Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ⁃ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｃｕｒｖｅｓａｎｄｒｅｓｐｏｎｓｅｄｉａｇｒａｍｓｏｆｓｔａｂｌｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓＳ１，Ｓ２ａｎｄＳ３㊀５２６㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度２０２３年㊀４㊀结论㊀㊀本文针对轴向运动铁磁板，考虑谐变磁化力和运动效应，得到非线性主共振的近似解析解，确定了共振幅值随几何和物理参量的变化规律㊂结果表明：１）当激励力频率接近条形板第一阶固有频率时，系统发生主共振，共振区域内的振幅明显增加，并且受板厚㊁磁场强度幅值和速度等参量的显著影响㊂２）铁磁板磁化产生的谐变磁力与机械载荷共同组成激励力，使磁场强度不单单影响阻尼项，同时出现于激励力项中，使系统呈现更加复杂的非线性振动特征㊂参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）［１］㊀ＬＩＮＣＣ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｐｌａｔｅｓ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｌｉｄｓａｎｄＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９９７，３４（２４）：３１７９⁃３１９０．［２］㊀ＺＨＯＵＹＦ，ＷＡＮＧＺＭ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｐｌａｔｅｗｉｔｈｐａｒａｂｏｌｉｃａｌｌｙｖａｒｙｉｎｇｔｈｉｃｋｎｅｓｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２００８，３１６（１／２／３／４／５）：１９８⁃２１０．［３］㊀ＭＯＨＡＭＡＤＩＡ，ＳＨＡＨＧＨＯＬＩＭ，ＡＳＨＥＮＡＩＧＦ．Ｆｒｅｅｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａｎａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｔｈｉｎｃｉｒｃｕｌａｒｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌｓｈｅｌｌｕｓｉｎｇｍｕｌｔｉｐｌｅｓｃａｌｅｓｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｍｅｃｃａｎｉｃａ，２０１９，５４（１４）：２２２７⁃２２４６．［４］㊀ＬＩＨＹ，ＬＡＮＧＴＹ，ＬＩＵＹＪ，ｅｔａｌ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｓａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａｎａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｐｌａｔｅｉｍｍｅｒｓｅｄｉｎｆｌｕｉｄ［Ｊ］．ＡｃｔａＭｅｃｈａｎｉｃａＳｏｌｉｄａＳｉｎｉｃａ，２０１９，３２（６）：７３７⁃７５３．［５］㊀ＦＡＲＳＨＢＡＦＺＲ，ＲＥＺＡＥＥＭ，ＬＯＴＦＡＮＳ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃＲａｙｌｅｉｇｈｂｅａｍｓａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｏｎａｆｌｅｘｉｂｌｅｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｓｕｐｐｏｒｔ［Ｊ］．ＩｒａｎｉａｎＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０２０，４４（４）：８６５⁃８７９．［６］㊀ＨＵＹＤ，ＨＵＰ，ＺＨＡＮＧＪＺ．Ｓｔｒｏｎｇｌｙｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｕｂｈａｒｍｏｎｉｃｒｅｓｏｎａｎｃｅａｎｄｃｈａｏｔｉｃｍｏｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｔｈｉｎｐｌａｔｅｉｎｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌａｎｄＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ，２０１５，１０（２）：０２１０１０（１⁃１２）．［７］㊀黄建亮，陈树辉．轴向运动体系非线性振动分析的多元Ｌ⁃Ｐ方法［Ｊ］．中山大学学报（自然科学版），２００４，４３（４）：１１５⁃１１７．ＨＵＡＮＧＪｉａｎＬｉａｎｇ，ＣＨＥＮＳｈｕＨｕｉ．ＭｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅＬ⁃Ｐｍｅｔｈｏｄｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＡｃｔａＳｃｉｅｎｔｉａｒｕｍＮａｔｕｒａｌｉｕｍＵｎｉｖｅｒｓｉｔａｔｉｓＳｕｎｙａｔｓｅｎｉ，２００４，４３（４）：１１５⁃１１７（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［８］㊀黄建亮，陈树辉．轴向运动体系横向非线性振动的联合共振［Ｊ］．振动工程学报，２００５，１９（１）：２４⁃２８．ＨＵＡＮＧＪｉａｎＬｉａｎｇ，ＣＨＥＮＳｈｕＨｕｉ．Ｊｏｉｎｔｒｅｓｏｎａｎｃｅｏｆｌａｔｅｒａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００５，１９（１）：２４⁃２８（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［９］㊀殷振坤，陈树辉．轴向运动薄板非线性振动及其稳定性研究［Ｊ］．动力学与控制学报，２００７，５（４）：３１４⁃３１９．ＹＩＮＺｈｅｎＫｕｎ，ＣＨＥＮＳｈｕＨｕｉ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆａｘｉａｌｍｏｖｉｎｇｔｈｉｎｐｌａｔｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２００７，５（４）：３１４⁃３１９（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１０］㊀李中华，李映辉．轴向运动黏弹性夹层板的多模态耦合横向振动［Ｊ］．复合材料学报，２０１２，２９（３）：２１９⁃２２５．ＬＩＺｈｏｎｇＨｕａ，ＬＩＹｉｎｇＨｕｉ．Ｍｕｌｔｉｍｏｄａｌｃｏｕｐｌｅｄｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｎａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｓａｎｄｗｉｃｈｐｌａｔｅ［Ｊ］．ＡｃｔａＭａｔｅｒｉａｅＣｏｍｐｏｓｉｔａｅＳｉｎｉｃａ，２０１２，２９（３）：２１９⁃２２５（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１１］㊀李㊀晶，胡宇达．横向磁场中矩形导电薄板的内共振特性分析［Ｊ］．机械强度，２０１７，３９（６）：１２５５⁃１２６３．ＬＩＪｉｎｇ，ＨＵＹｕＤａ．Ａｎａｌｙｓｉｓｏｆｉｎｔｅｒｎａｌｒｅｓｏｎａｎｃｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｃｕｒｒｅｎｔ⁃ｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇｔｈｉｎｐｌａｔｅｉｎｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｔｒｅｎｇｔｈ，２０１７，３９（６）：１２５５⁃１２６３（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１２］㊀ＨＵＹＤ，ＷＡＮＧＪ．Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ⁃ｉｎｔｅｒｎａｌｒｅｓｏｎａｎｃｅｏｆａｎａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｃｕｒｒｅｎｔ⁃ｃａｒｒｙｉｎｇｂｅａｍｉｎｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ，２０１７，９０（１）：６８３⁃６９５．［１３］㊀高原文，周又和，郑晓静．横向磁场激励下铁磁梁式板的混沌运动分析［Ｊ］．力学学报，２００２，４６（１）：１０１⁃１０８．ＧＡＯＹｕａｎＷｅｎ，ＺＨＯＵＹｏｕＨｅ，ＺＨＥＮＧＸｉａｏＪｉｎｇ．Ｃｈａｏｔｉｃｍｏｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｂｅａｍｐｌａｔｅｕｎｄｅｒｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎｄＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ，２００２，４６（１）：１０１⁃１０８（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１４］㊀高原文，缑新科，周又和．脉冲磁场激励下铁磁梁式板动力响应特征研究［Ｊ］．振动工程学报，２００５，１９（３）：３１４⁃３１７．ＧＡＯＹｕａｎＷｅｎ，ＧＯＵＸｉｎＫｅ，ＺＨＯＵＹｏｕＨｅ．Ｄｙｎａｍｉｃｒｅｓｐｏｎｓｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｂｅａｍｐｌａｔｅｕｎｄｅｒｐｕｌｓｅｄｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００５，１９（３）：３１４⁃３１７（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１５］㊀徐浩然，胡宇达，李文平．载流线圈中导电圆板的磁弹性固有振动［Ｊ］．机械强度，２０１９，４１（６）：１２７１⁃１２７７．ＸＵＨａｏＲａｎ，ＨＵＹｕＤａ，ＬＩＷｅｎＰｉｎｇ．Ｍａｇｎｅｔｏｅｌａｓｔｉｃｎａｔｕｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｄｕｃｔｉｖｅｃｉｒｃｕｌａｒｐｌａｔｅｉｎｃｕｒｒｅｎｔ⁃ｃａｒｒｙｉｎｇｃｏｉｌｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｔｒｅｎｇｔｈ，２０１９，４１（６）：１２７１⁃１２７７（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［１６］㊀ＨＡＳＡＮＹＡＮＤ，ＬＩＢＲＥＳＣＵＬ，ＱＩＮＺ，ｅｔａｌ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｆｉｎｉｔｅｌｙ⁃ｅｌｅｃｔｒｏｃｏｎｄｕｃｔｉｖｅｐｌａｔｅｓｔｒｉｐｓｉｎａｎａｘｉａｌｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００５，８３（１５／１６）：１２０５⁃１２１６．［１７］㊀ＷＡＮＧＸ，ＬＥＥＪＳ．Ｄｙｎａｍｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｂｅａｍ⁃ｐｌａｔｅｓｗｉｔｈｍａｇｎｅｔｏ⁃ｅｌａｓｔｉｃｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎａｎｄｍａｇｎｅｔｉｃｄａｍｐｉｎｇｉｎｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｃｓ，２００６，１３２（４）：４２２⁃４２８．［１８］㊀ＨＵＹＤ，ＬＩＪ．Ｔｈｅｍａｇｎｅｔｏ⁃ｅｌａｓｔｉｃｓｕｂｈａｒｍｏｎｉｃｒｅｓｏｎａｎｃｅｏｆｃｕｒｒｅｎｔ⁃ｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇｔｈｉｎｐｌａｔｅｉｎｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｌｅｄ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２００９，３１９（３／４／５）：１１０７⁃１１２０．［１９］㊀周又和，郑晓静．电磁固体力学［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９９：８２⁃８９．ＺＨＯＵＹｏｕＨｅ，ＺＨＥＮＧＸｉａｏＪｉｎｇ．Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓｏｌｉｄｍｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＳｃｉｅｎｃｅＰｒｅｓｓ，１９９９：８２⁃８９（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．［２０］㊀胡宇达．轴向运动导电薄板磁弹性耦合动力学理论模型［Ｊ］．固体力学学报，２０１３，３４（４）：４１７⁃４２５．ＨＵＹｕＤａ．Ｍａｇｎｅｔｏｅｌａｓｔｉｃｃｏｕｐｌｅｄｄｙｎａｍｉｃｓｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｃｕｒｒｅｎｔ⁃ｃｏｎｄｕｃｔｉｎｇｔｈｉｎｐｌａｔｅｓ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｌｉｄＭｅｃｈａｎｉｃｓ，２０１３，３４（４）：４１７⁃４２５（ＩｎＣｈｉｎｅｓｅ）．。
磁流变弹性体环形板的应力应变分析
之 间的间隙指示 ；
变 弹性体磁导率 ， ／ ｌ ｏ 为真 空磁导率 ， 助 磁场强度 。
系， 研 究其在机械 载荷和磁场 的耦合 作用下 的应力 应变 的分布规 律等力学性质 ， 进而探 讨应用外加磁
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ５ — ０ ８
由磁感应强度 Ｂ ＝ （ １ ） 可得
０ 引言
磁流变弹性体 是通 过物理或化 学等手段 ， 将微 米 级软 磁性 颗粒 散布 在粘 塑性态 的高分 子聚合 物 基 体中 ，固化后形成 的高 弹性的复合材料 。在磁场 的作用下 ，磁流变弹性体 内部的颗粒被磁化后 ，产 牛相 互作用力 ， 进而 影响其弹性模量和 阻尼等力学
梁金 奎 ， 田振 国 ，郝 亚 娟 ２ ，纪 雪 林 ， 白 象忠
（ １ ．燕 山 大 学 河 北 省重 型 装 备 与 大型 结构 力学 可 靠性 重 点实 验 室 ， 河北 秦 皇 岛 ０ ６ ６ ０ ０ ４ ；２ ．燕 山 大学 理 学 院 ，
河北 秦皇 岛 ０ ６ ６ ０ ０ ４ ）
东 齐 河 人 ， 博士 ，ｆ 副教授 ，主 要 研 究 方 向 为磁 弹 性 热 磁弹 性 理 论 ，Ｅ ｍａ ｉ ｌ ：ｔ ｉ ａ ｎ ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｕ ｏ ｌ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ。
第 ５期
＝
梁金奎 等
磁流变弹性体环形板 的应力应变分析
（ ２ ）
，
ｉ 产２
摘 要 ：通 过 运 动 方 程 、物 理 方 程 、 几 何 方程 及 电动 力 学 方程 给 出 了磁 流变 弹 性 体 薄 板在 机 械 场 、 磁 场作 用 下 的基 本 方程 ， 以磁 流变 弹 性 体 环 形 薄 板 问题 为例 ， 建 立 了含 有 ８ 个 基 本 未知 量 的偏 微 分 方 程 组 ， 再利 用 Ｎｅ ｗ ｍａ ｒ ｋ 有 限等 差 式 ， 得到 了可 以应 用 离 散正 交 法 求 解 的 标准 型 。对 于 变 化 磁场 下 的磁 流 变 弹 性体 薄 板 ，得 到 了磁 场 力 的表 达 式 。 讨 论了磁 流 变 弹 性 体 薄板 应 力 、变 形 随 外 加磁 场 参 量 的 变化 规 律 ，并 通 过 实例 证 实 了可 以通过 改变 磁 场 、机 械场 的参 数 来 实现 对 薄 板 的 应 力 、应 变 的控 制 。
二维机织复合材料力学分析中的周期性边界条件研究
二维机织复合材料力学分析中的周期性边界条件研究薛亚红;陈继刚;闫世程;骆俊廷【期刊名称】《纺织学报》【年(卷),期】2016(037)009【摘要】为了精确地进行二维机织复合材料力学性能的数值分析，需建立单胞模型的准确边界条件。
基于周期边界条件理论，提出了简便通用的二维机织复合材料周期边界方程，并给出了周期边界条件下各弹性常数在有限元分析中的求解方法；为验证周期边界条件的正确性，建立了9个单胞构成的九宫格结构，取中央单胞作为参考单胞，对不同边界条件下独立单胞的变形和应力分布与参考单胞进行对比。
研究结果表明：即使在单向拉伸载荷下，单胞各个边界面也不保持平面状态，而是出现凹凸翘曲变形，即存在边界周期性；通过边界周期性条件，可正确地获得二维机织织物的工程弹性常数。
【总页数】8页(P70-77)【作者】薛亚红;陈继刚;闫世程;骆俊廷【作者单位】燕山大学机械工程学院，河北秦皇岛 066004; 燕山大学自润滑关节轴承共性技术航空科技重点实验室，河北秦皇岛 066004;燕山大学机械工程学院，河北秦皇岛 066004; 燕山大学自润滑关节轴承共性技术航空科技重点实验室，河北秦皇岛 066004;燕山大学机械工程学院，河北秦皇岛 066004; 燕山大学自润滑关节轴承共性技术航空科技重点实验室，河北秦皇岛 066004;燕山大学机械工程学院，河北秦皇岛 066004; 燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室，河北秦皇岛 066004【正文语种】中文【中图分类】TB332【相关文献】1.基于周期性边界条件的机织复合材料多尺度分析 [J], 王新峰;周光明;周储伟;王鑫伟2.二维机织树脂基复合材料湿热性能研究 [J], 潘文革;矫桂琼;杨杰3.二维机织复合材料弹性力学性能预测研究进展 [J], 李勇;崔海涛;李其汉4.含孔二维机织复合材料层合板强度预测方法研究 [J], 朱珍珍;温卫东;崔海涛5.二维机织复合材料湿热环境下挤压和断纹剪切强度研究 [J], 潘文革;矫桂琼;杨杰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
有限变形非线性弹性力学的倒易定理
（） １ 注 意 到
（） ６
ｅ一２（ｉ ｕ ｉＵ ｊ － Ｉ ｊ ｉ＋ ｉ －ｄ ＋ ， ，
Ｏ ｘＥＶ ｔ
（） ２
肌 （ ／地 ￣ｖ。 ＋ｔ ） ｆｒ ／ ｄ ｉ ． Ｅ ，
．
ｋ
）， ｖ肌 Ｕ 仃 ：厂 ｕｋ ＝ ２ｄ ｊ ］ ｌ 。 ｉ ｌ ，
ｔ ｉ ｌ ｔ ｓｗｉ ｒ ｅ ｄ ｆｅ ｔ ｎ ｒ ｉ ｅ ． ｈ ｎ ｐ ａｅ ｔ ｌ ｇ ｅ ｃ ｉ ｓａ ｅ ｇ ｖ ｎ ｈａ ｌ ｏ
２ 倒 易 定理
研 究 两 个 变形 体 。假 设 它 们 是 尺 寸 和 形 状 相 同 ，线 性 本 构关 系 相 同 ，但 受 力 和边 界条 件 都不 相
均 小 形 ， 得 ｅ， ・ 易 理 为 变 时 即 Ｂ仕 Ｅ倒 定 ｉ ｓ 舭 ｓ 删 蹦 Ｉ
ｍ Ｒ“ Ｊ －
Ｊ ） （） Ｊ ： ｄ １ ｓ ２
将 式 （）代入 式 （） ７ ６，则 得
三
３ 大 挠 厦 弯 曲 溥 板 的１ 到易 定 理 研 究 两个 大 挠 度 弯 曲薄 板 。 设 它们 具 有 相 同 假 的尺 寸 和 形状 ，相 同 的线性 本 构 关 系 ，但 可 具 有 不 同的受 力 和 不 同 的边 界条 件 。 且该 两 薄板 都 处 于 真 实状 态 。
ｌ９ ９ ９年 ９月 ３ 日收 到 。 付 宝 连 （ｕ Ｂ ｏｉｎ ，燕 山 大 学 建 筑 工 程 与 力 学 学 院 ，秦 皇 岛 ０ ６ ０ （ｈ Ｃ ｌ ｇ ｆ ｃ ｉ ｃｕｅＥ ｇｎ ｅｉｇａ ｄＭｅ ｈｎｃ，Ｙ ｎｈ ｎ Ｆ ａｌ ） ａ ６ ０ ４ Ｔ ｅ ｏｌ ｅｏ Ａｒｈｔ ｔｒ ｎ ｉｅｒ ｅ ｅ ｎ ｎ ｃ ａ ｉｓ ａ ｓａ
旋转运动导电圆环板磁弹性参数-谐波联合共振
C 4；= [ U - 1)2 - «2](7 - 3) - (1 - //)«2{j - 2),
—ju d w d 2w \—juf 2 ? ~ ~ d r ~d ^ + 2 r [~d r ,
dw T0hB0z ~dt
(/ = l,---,4; y = 1,2,5)
(1)
u^(r,6,z,t) = ug(r,e,t) + zv\r,d,t) (2)
w x{r,6,z,t) = w(r,6,t)
(3)
D k ur d w d lw 1 dur 1 2 dr dr 2 r dr
14+ fA d w d 2w l2rr ~dedrde
1- // d w d 2w ^ 1- // 2r2 d r d d 2 2r dr
第38卷 第 3期 2021年 6 月
应用力
学学报
CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECH A N I C S
文 章 编 号 ： 1000-4939(2021)03-1176-09
Vol.38 N o .3 Jun.2021
旋转运动导电圆环板磁弹性参数-谐波联合共振
李哲u 胡宇达w 彭艳3
Eh}
£为
12(1-//2)
弹性模量； //为泊松系数。
1178
应用力学学报
第38卷
从式(5)中 可 以 看 出 ，系统由旋转而产生静载
荷 。设圆环板在静载荷作用下产生微小静位移为 % ，振动时的位移为W,，则总位移I^ 为
ur= u0+ W ,
( 6)
则式(5)可以改写为
J D k ( d 2u0 + d 2ux、+ d w d2w + 1 ^du0 dux^ [ dr2 dr2 dr dr2 r ^ dr dr )
燕山大学理论力学考试大纲
燕山大学理论力学燕山大学理论力学（（力学类力学类））考研专业课复习大纲考研专业课复习大纲 考研加油站收集整理 一、静力学：1、静力学公理与物体的受力分析：静力学公理、约束与约束反力、受理分析与受力图。
2、平面汇交力系：平面汇交力系合成与平衡的几何法、解析法、力的分解与力在轴上的投影。
3、力矩、平面力偶理论：力对点之矩、合力矩定理、平面力偶理论、平面力偶系的合成和平衡方程。
4平面任意力系：力的平移定理、平面任意力系向一点的简化、平面任意力系的平衡方程、静定与静不定的概念、物体系统的平衡、平面简单桁架的内力计算。
5摩擦及其平衡问题：滑动摩擦和滚动摩阻、摩擦角和自锁现象、考虑摩擦时平衡问题的解法。
6空间力系：空间汇交力系、空间力偶理论、力对轴之矩与力对点之矩、空间任意力系的简化、空间任意力系的平衡方程。
二、运动学：1、点的运动学：确定点运动位置的基本方法、点的速度与加速度的矢量表示、点的速度与加速度的直角坐标表示、点的速度与加速度的弧坐标表示。
2、刚体的简单运动：刚体的平动、刚体绕定轴的转动、转动刚体上各点的速度与加速度、定轴轮系的传动问题。
3、点的合成运动：点的合成运动的几个基本概念、点的速度合成定理、牵连运动为平动时的加速度合成定理、牵连运动为转动时的加速度合成定理。
4、刚体的平面运动：刚体的平面运动的分解、求平面图形上各点速度的基点法和投影法、求平面图形上各点速度的瞬心法、求平面图形上各点加速度的基点法。
三、动力学：1、质点动力学的基本方程：动力学的基本定律、质点的运动微分方程、质点动力学的两类基本问题。
2、动量定理：质点的动量定理、质点系的动量定理、质心运动定理。
3、动量矩定理：质点的动量矩定理、质点系的动量矩定理、刚体绕定轴的转动微分方程、刚体对轴的转动惯量、刚体的平面运动微分方程。
4、动能定理：力的功、质点的动能定理、质点系的动能定理、功率、功率方程、机械效率、势力场、势能、机械能守恒定律、基本定理的综合应用。
机械类研究生“弹性力学”课程教改探索
机械类研究生“弹性力学”课程教改探索摘要：文章总结了弹性力学课程的特点和定位，指出了课程教学中存在的问题，制定了适合机械类研究生的教学目标，从教学能力提升、教学内容选择、教学方法设计、课外知识训练、考评方式和问题反馈等方面对课程进行了教学改革尝试。
课程改革实施方案有助于调动研究生对课程的学习兴趣和主动性，有利于提高课堂教学质量和课程教学效果，从而培养学生的弹性力学建模、分析能力和思维方式。
关键词：弹性力学；机械类研究生；教学改革中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2020）07-0092-03收稿日期：2018-12-16基金项目：燕山大学研究生课程建设项目（SF201606）作者简介：肖俊华（1981-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：复合材料细观力学。
一、引言燕山大学作为一所以工科为主的院校，围绕重型机械和亚稳材料教学科研创新平台，开展了一系列课程优化和教学改革，取得了很好的教学效果。
机械类专业在科学研究和工程应用中的许多问题需要具备一定的力学基础，基础力学教学显得非常重要。
弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移[1]。
弹性力学课程是我校机械类硕士研究生的学科基础课，主要为本科阶段没有学习过弹性力学的一年级硕士研究生开设。
本教学团队依照“宽口径、厚基础、高素质、强能力”的人才培养原则，着眼于课程的特点和定位，结合机械类研究生的特点以及教学中存在的问题，开展弹性力学课程建设和教学方法研究，拟从教学能力提升、教学内容优化选择、教学方法设计、课外知识训练、考评方式和问题反馈等方面进行阐述，以期适应研究生的学习特点，调动研究生对课程的学习兴趣和主动性，从而提高弹性力学课程的教学效果。
二、课程特点和定位（一）课程特点和教学目标“弹性力学”作为我校机械类硕士研究生的学科基础课，具有如下特点。
1.力学概念、原理多，偏微分方程多，数学演绎烦琐，解题过程复杂。
弹性力学反平面剪切问题的半逆解法
【学法指导】
教育教学论坛 EDUCATION TEACHING FORUM
Feb. 2020 No.8
弹性力学反平面剪切问题的半逆解法
肖俊华，常福清，梁 希 （燕山大学 建筑工程与力学学院，河北 秦皇岛 066004）
摘要：半逆解法是求解弹性力学问题的重要解析方法，它通过假设部分或全部应力分量的函数形式，推导
（22）
借鉴弹性力学教材 [2] 假定左端截面的中点不移
动，该点的水平线段不转动，约束条件为
蓸 蔀 （w）
x=1l/2=0，
鄣v 鄣x
x=1l/2=0
y=0
y=0
（23）
其中v表示y方向位移，对于反平面剪切问题上面
梁的右侧为次要边界，应用圣维南原理
h
h
乙 乙 2
2
- h τzxdy=0， - h τz·x ydy=0
中图分类号：G642.0
文献标志码：A
文章编号：1674-9324（2020）08-0321-02
一、引言
为了克服直接求解弹性力学问题时遇到的数学
困难，圣维南（1855年）首先利用半逆解法成功研究了
柱体扭转问题[1]。半逆解法针对所求问题，根据弹性体
的载荷条件和边界形状设出部分或全部应力分量的
函数形式，由相容方程推导出应力函数和其余应力分
量，最后利用应力边界条件和位移单值条件求出问题
的解答[2]。深刻理解弹性力学的半逆解法对掌握应用
力学方法非常有益[1]。在弹性力学教学中，半逆解法一
般仅用于求解弹性力学平面问题。本文通过实例介绍
半逆解法在弹性力学反平面剪切问题中的运用。
二、弹性力学反平面剪切问题分析实例
冲模课程设计教学中计算机仿真技术的应用
冲模课程设计教学中计算机仿真技术的应用收稿日期：2018-03-01基金项目：河北省高等学校创新创业教育教学改革研究与实践项目（2017CXCY026）作者简介：钱志平（1965-），男，江苏宜兴人，博士、教授，从事材料成形工艺装备的教学科研工作。
随着中国经济发展和“一带一路”倡议的实施，中国制造业已国际化，工程教育面临着制造业全球化和工程教育国际化的双重挑战。
工程教育质量的提高对本科毕业生就业竞争力起着重要的作用[1]。
板材冲压企业同样面临日益激烈的市场竞争，要求从业者具有良好的综合素质如利用现代工具、快速分析解决问题的能力。
冲模课程设计是材料成型及控制工程专业课程体系中，培养学生综合应用工程知识、解决复杂工程问题能力的重要实践环节[2]，工程教育的毕业生应具有使用现代工具的能力[3-4]，时代要求将计算机仿真技术引入专业课程设计教学中，以提高学生工程素养和创新能力，为学生今后从事冲压行业的生产和管理工作奠定良好的基础。
一、传统课程设计教学缺乏仿真技术使用传统冲模课程设计教学，要求每个学生完成一套单工序模或复合工序模图纸设计，绘出1.5张A1模具装配图和典型零件图、并撰写设计计算说明书。
在课程设计结束时，指导教师根据学生模具装配图、零件图纸完成的质量和撰写的设计计算说明书以及答辩回答问题情况，进行成绩评定。
这种教学方法存在以下问题：1.CAD 技术使用不足。
在课程设计过程中，学生以手工绘图为主，计算机辅助设计不足，模具装配图和零件图均为平面二维图纸，直观性差。
而目前企业在装配图中广泛采用三维实体轴测图和显示装配关系的爆炸图。
2.设计方案优化不够细致。
学生在设计过程中对设计方案的比较，只能通过手工进行简单的工艺计算，方案优化不够细致，不能充分考虑到材料、摩擦、边界条件等因素的影响，合理性分析不足。
计算机辅助优化分析CAE 技术没有被使用，而该技术在汽车、航空航天及机械结构等领域现已成为工程和产品分析必不可少的数值计算工具。
燕山大学工程力学专业特色介绍
燕山大学工程力学专业特色介绍
佚名
【期刊名称】《教学研究》
【年(卷),期】2013(36)2
【摘要】燕山大学工程力学系源于1960年东北重型机械学院（燕山大学前身）独立办学时的基础力学教研室，1977年开始招收力学专业本科生，并于1986年较早地获得了固体力学专业硕士学位授予权。
目前已具有工程力学专业博士学位授予权（2003年获得批准），力学一级学科硕士学位授予权（2005年获得批准，包括～般力学与力学基础、固体力学、工程力学、流体力学四个二级学科），以及力学一级学科博士后科研流动站（2009年获得批准和河北省基础力学实验教学示范中心（2006年获得批准）。
本系承担的《理论力学》和《材料力学》课程先后被评为河北省精品课程。
【总页数】1页(PF0002-F0002)
【关键词】工程力学;燕山大学;专业特色;博士后科研流动站;实验教学示范中心;学位授予权;二级学科;《材料力学》
【正文语种】中文
【中图分类】G649.281
【相关文献】
1.燕山大学旅游管理专业特色介绍 [J],
2.燕山大学测控技术与仪器专业特色介绍 [J],
3.燕山大学广播电视新闻学专业特色介绍 [J],
4.燕山大学生物医学工程专业特色介绍 [J],
5.燕山大学电子商务专业特色介绍 [J],
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
应用大挠度薄板功的互等定理求解一对边固定一对边自由的矩形薄板
应用大挠度薄板功的互等定理求解一对边固定一对边自由的矩形薄板夏茂辉;毕晓华【摘要】应用大挠度弯曲薄板的第二类功的互等定理,求解均载一对边固定一对边自由大挠度弯曲矩形板的挠曲面方程.【期刊名称】《通化师范学院学报》【年(卷),期】2004(025)002【总页数】5页(P8-12)【关键词】有限变形体;大挠度弯曲薄板;功的互等定理;基本系统【作者】夏茂辉;毕晓华【作者单位】燕山大学理学院,计算科学系,河北,秦皇岛,066004;燕山大学理学院,计算科学系,河北,秦皇岛,066004【正文语种】中文【中图分类】O186小变形理论的功的互等定理是早在1872年由Betti.E建立的 .这一定理在结构力学、计算力学和弹性力学中都有着广泛的应用 .付宝连开发出的功的互等定理的新功能，发展了功的互等理论，建立了功的互等法，这是一个求解板壳力学平衡、振动、稳定和弹性力学某些问题的一个系统的新方法，从而形成了求解弯曲薄板问题的功的互等新理论.在小变形功的互等定理的基础上，付宝连又建立了有限变形体的两类功的互等定理，其中，第一类功的互等定理建立了两个相关有限变形体的联系；第二类功的互等定理建立了有限变形体和相关小变形体的联系.用类似的推导方法，可得出相应的两类大挠度弯曲薄板的功的互等定理，本文即是应用其第二类功的互等定理，来求解均载一对边固定一对边自由大挠度弯曲薄板的挠曲方程.用此方法的计算结果表明，大挠度弯曲薄板的功的互等定理非常具有实用价值，为求解相关大挠度问题开辟了一个新的途径.考虑一大挠度弯曲薄板和一相关的小挠度弯曲薄板，它们具有相同的尺寸和形状以及相同的线性本构关系，但它们可具有不同的位移边界条件、静力边界条件和外载荷，而且该两个薄板都处于真实状态.右下脚具有脚标“1”和“2”的量分别表示第一薄板系统和第二薄板系统的相应量，并取小挠度板为第一系统，大挠度板为第二系统.大挠度薄板的第二类功的互等定理的表达式为对于一大小挠度的矩形板，式(1)成为如进一步假设第一系统为与第二系统边界条件相同的小挠度矩形板，并称为基本系统相应的力学量仍以下脚标“1”来表示；第二系统为无自由角点的相关大挠度矩形板，并称为实际系统，其力学量无下脚标.由式(2)可得实际系统的挠曲方程为式(3)的给出，说明应用小挠度矩形板的基本解可以计算相应大挠度矩形板的挠曲面方程.取在单位集中载荷作用下的一对边固定一对边自由的小挠度弯曲矩形板为基本系统，如图1所示.下面我们应用最小势能原理，来求解该基本系统的基本解.设该矩形薄板的挠曲方程为应用最小势能原理可求得其中其中在图1所示的基本系统和图2所示实际系统之间应用功的互等定理，则得式(3)，引入应力函数Φ后成为如设由于应力函数满足方程把式(9)代入式(10)得设齐次方程22Φ=0的解为Φ，则其中Px为x=0,α两边中面力的平均值.设特解形式为把式(13)代入式(12)并比较两边同类项系数，求出Gi(i=1,2,...7) 则得方程(11)的全解为进而可求出由于y=0,y=b两边自由，所以有σy=0.我们得到了用参数 f1、fw 来表示的Φ的表达式(14)，其中的边缘中面力px尚为未知，其值与边缘的支撑情况有关.由于大挠度平板在x方向有对式(17)两端施行定积分，则有由于平板的x=0与x=a两边在x方向上没有相对位移，则有于是有将式(9)、(15)代入上式并整理得将式(4)、(9)、(15)、(16)和式(20)代入式(8)中，并比较两边同类项系数则得其中C1、C2、C3、C4由式(6)、(7)确定.用迭代法解方程组，即式(21)、(22)，解得f1、f2，代入式(9)可得挠曲面方程.本例计算的参数见表1.本文求得的一对边固定一对边自由矩形薄板的中线(x=125mm)上的挠度分布列于表2，同时列出了用Ansys求解此问题的相对应结点的解，以供比较.本文对大挠度弯曲薄板的功的互等定理进行了初步的应用.对实例的计算过程和结果表明，此定理思路简捷，程序简单，只需求解一个非线性方程组.由表2可以看出，用其计算所得的结果精度较高，因此具有较高的实用价值.【相关文献】[1]Betti.E,II Nuovo Cimento ser.2. 1872.[2]Pagton,R.G.,An Application of the Dynamic Betti-Tayleigh Reciprocal Theorem to Moving Point Load Inelastic Media,Quaterly of Applied Mathematics,21(1964)，21(4):299.[3]付宝连.弯曲薄板功的互等新理论[M].北京：科学出版社，2003：23-34.[4]付宝连.应用功的互等定理求解复杂边界条件矩形板的的挠曲面方程[J].应用数学和力学,1982,3(3):315-325.[5]付宝连.关于功的互等定理与叠加原理等价性原理[J].应用数学与力学,1985,6(9): 313-318.[6]付宝连.应用功的互等定理求解立方体的位移解[J].应用数学和力学, 1989,10(4): 297-308.[7]付宝连.有限变形非线性弹性力学-倒易定理[J]，燕山大学学报,2002,26(4): 289-293.[8]付宝连.有限变形非线性的变形能原理及功的互等定理与变分原理的关系[J].燕山大学学报,2002,26(1): 4-6,19.[9]付宝连.有限变形弹性理论的功的互等定理及其应用[J].工程力学,(待审).2003.10.26.[10]付宝连.弹性力学中的能量原理及其应用[M].科学出版社, 2004.[11]付宝连.广义倒易定理及其应用[J].应用数学和力学,2002,23(2): 203-210.[12]付宝连.关于求解弹性力学平面问题的功的互等定理[J].应用数学和力学,1991,10 (10):1023-1028.[13] S.Timoshenko and S.Woinowsky-Krieger,Theory of Plates and Shells.Second Edition.1959.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2009 ~ 2010燕山大学年第二学期期末考试试卷（A ）卷一．名词解释（共10分，每小题5分）1.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
二．填空（共20分，每空1分）1.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
2.体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT-2；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为L-1MT-2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为L-1MT-2，应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。
3.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。
二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。
4. 弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。
5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。
三．绘图题（共10分，每小题5分）分别绘出图3-1六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2极坐标下扇面正的应力分量。
图3-1图3-2四． 简答题（24分）1. （8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。
3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。
因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。
4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。
5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。
同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。
2. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？ 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x σ,y σ,xy τ存在，且仅为x,y 的函数。
平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化，只有平面应变分量x ε,y ε,xy γ存在，且仅为x,y 的函数。
3. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力函数Φ必须满足哪些条件？答：（1）相容方程：04=Φ∇（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，σs s =）：()()()上在στστσs s f l m f m l ys xy y xs yx x =⎪⎩⎪⎨⎧=+=+（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。
五． 问答题(36)1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
（板厚1=δ）图5-1解：在主要边界2h y ±=上，应精确满足下列边界条件：()l qx h y y -=-=2σ，()0=-=h y yxτ； ()02=+=h y yσ，()12q h y yx-=+=τ在次要边界0=x 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1=δ时，()⎰+-=-=220h h N x x F dy σ，()⎰+-=-=220h h x x M ydy σ，()⎰+-=-=220h h S x xy F dy τ在次要边界l x =上，有位移边界条件：()0==l x u ，()0==l x v 。
这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：()l q F dy h h N x x ⎰+-=+-=210σ，()26220qlhql l F M ydy S h h x x +---=⎰+-=σ，()2220ql F dy h h S x xy --=⎰+-=τ 2. （10分）试考察应力函数3cxy =Φ，0>c ，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。
图5-2解：（1）相容条件：将3cxy =Φ代入相容方程024422444=∂Φ∂+∂∂Φ∂+∂Φ∂yy x x ，显然满足。
（2）应力分量表达式：cxy yx 622=∂Φ∂=σ，0=y σ，23cy xy -=τ （3）边界条件：在主要边界2h y ±=上，即上下边，面力为()chx h y y 32±=±=σ，()2243ch h y xy -=±=τ 在次要边界l x x ==,0上，面力的主失和主矩为()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⎰⎰⎰⎰+-+-=+-=+-=22322202202204300h h h h x xy h h x x h h x x h c dy cy dy dy y dy τσσ ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-=+-+-=+-+-=2232220322222222432606h h h h x xy h h h h l x x h h h h l x x h c dy cy dy clh dy cly dy y dy cly dy τσσ 弹性体边界上的面力分布及在次要边界l x x ==,0上面力的主失量和主矩如解图所示。
3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3所示，试求应力分量。
（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量0=x σ ）图 5-3解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量0=x σ，(1) 假设应力分量的函数形式。
0=x σ(2) 推求应力函数的形式。
此时，体力分量为g f f y x ρ==,0。
将0=x σ代入应力公式22y x ∂Φ∂=σ有022=∂Φ∂=y x σ对x积分，得()x f y =∂Φ∂， （a ） ()()x f x yf 1+=Φ。
（b ）其中()x f ，()x f 1都是x 的待定函数。
(3)由相容方程求解应力函数。
将式（b ）代入相容方程04=Φ，得()()041444=+dxx f d dx x f d y 这是y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y 值都应该满足），可见它的系数和自由项都必须等于零。
()044=dx x f d ，()0414=dx x f d ，两个方程要求 ()Cx Bx Ax x f ++=23，()231Ex Dx x f += (c)()x f 中的常数项，()x f 1中的一次和常数项已被略去，因为这三项在Φ的表达式中成为y 的一次和常数项，不影响应力分量。
得应力函数()()2323Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=Φ (d)（4）由应力函数求应力分量。
022=-∂Φ∂=x x xf yσ， (e)gy E Dx By Axy yf xy y ρσ-+++=-∂Φ∂=262622， (f)C Bx Ax yx xy---=∂∂Φ∂-=2322τ. (g)(5) 考察边界条件。
利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边2b x ±=的主要边界条件：()0=±=b x x σ，()02=-=b x xy τ，()q b x xy =+=2τ。
将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：()02=±=b x x σ，自然满足； ()04322=-+-=-=C Bb Ab b x xy τ (h)()q C Bb Ab b x xy =---=+=243τ (i) 由（h ）（i ） 得 bqB 2-= （j ） 考察次要边界0=y 的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为()()02262222==+=⎰⎰+-=+-Eb dx E Dx dx b b y b b yσ； 得 0=E()()0226322022==+=⎰⎰+-=+-Db dx x E Dx xdx b b y b b y σ， 得 0=D()043322022=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰⎰+-=+-bC Ab dx C x b q Ax dx b b y b b xy τ （k ） 由（h ）（j ）（k ）得 2b q A -=, 4qC =将所得A 、B 、C 、D 、E 代入式（e ）（f ）（g ）得应力分量为：0=x σ，gy y b q xy b q y ρσ---=26， 4322qx b q x b q xy -+=τ。