线性规划单纯形法(例题)
求单纯形表中的未知数例题
求单纯形表中的未知数例题以下是一个求解线性规划问题的例题，涉及到单纯形法。
假设有如下线性规划问题：
最大化: 4x + 6y
约束条件:
x + 2y <= 12
x + y <= 8
x, y >= 0
目标函数系数：4 和6。
约束条件的系数分别是：1、2、1 和1。
首先，我们需要构建一个初始单纯形表。
在这个表中，我们有两个基变量和两个非基变量。
基变量的系数是约束条件的系数，而非基变量的系数是目标函数的系数。
初始单纯形表如下：
在这个表中：
B列是基变量的检验数，表示的是当前解是否可行或最优。
非基变量的检验数表示的是当非基变量进入基变量时，目标函数的增加值。
我们将其设置为负无穷，表示这是一个入基变量，其增加量可以被任意大。
最后一行的两个问号表示的是非基变量的值，我们将其设置为待求解的值。
然后，我们开始迭代。
在每一次迭代中，我们都会找到一个入基变量和出基变量，然后更新单纯形表。
这个过程会一直持续到所有的检验数都满足最优性条件（即所有的B列的值都大于等于0）。
运筹学单纯形法的例题
可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之下__
3
.
05.07.2020
练习㈠用图解法
5
4 4x1+x2=9
3
2
1 (2.25,0)
0
1
2
3
4
5
6
7
4
.
05.07.2020
练习㈠. 单纯形表
1 31 0 7 4 20 1 9
填入第一个约束的数据.
填入第二个约束的数据.
5
.
05.07.2020
❖至少有一个非基变量的检验数为正,但它的系 数全为非正,则无有限最优解；
❖所有非基变量的检验数全为非正，已有最优解， 但若其中至少有一个的检验数为0，且它的系 数中有2正4 的，则可能有. 无穷多个最优0解5.07.。2020
基变量列中_x_5_换为_x_1_,
改CB列,_-_M__换为_4__.
Excel
17
.
05.07.2020
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解：
Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7
s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x2 ≥ 0
可行域在直线 x1+3x2=7之上__
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x6=9
基引是进谁两?个这 理x“1里?,x人“2 ,工x-”3 如变,x4何量,x5处”,x6≥0
x5 ,x620
.
05.07.2020
练习㈢.用单纯形法
Max z=4x1+x2+0x3+0x4 -Mx5 –Mx6
解答 运筹学 第一章 线性规划及其单纯形法习题
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1
检验数j 0 -2 -3 -1 0 0 -M -M
Cj CB XB
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1
A
1 2
2 2
3 1
4 2
p1 p2 p3 p4
序号 向量组
A
1 2
2 2
3 1
4 2
是否线性无关 是否为基
1
p1 p2
√
√
2
p1 p3
√
√
3
p1 p4
√
√
4
p2 p3
√
√
5
p2 p4
√
√
6
p3 p4
√
√
序号 1
基 p1 p2
基解
(-4, 11/2, 0 , 0)
是否为基可行解
×
2
p1 p3
(2/5, 0, 11/5 , 0) √
10/2=5
1 -3 0 -2 0
0
1
1
-1 -2
0 1/2 0 1/2 1/2 1 -3/2 0 -1/2 1/2
0 -3/2 0 -3/2 -1/2
同理： （2）为无界解
3 用单纯形法中的大M法求解下列线性规划问题，并指出属 那一类解
min Z 2x1 3x2 x3
化为标准式有
st. 3x1x1
4x2 2x2
9 8
x1, x2 0
max Z 2x1 x2
运筹学：线性规划的数学模型与单纯形法习题与答案
一、单选题1、线性规划具有唯一最优解是指（）。
A.不加入人工变量就可进行单纯形法计算B.最优表中非基变量检验数全部非零C.可行解集合有界D.最优表中存在非基变量的检验数为零正确答案：B2、线性规划具有多重最优解是指（）。
A.最优表中存在非基变量的检验数为零B.可行解集合无界C.基变量全部大于零D.目标函数系数与某约束系数对应成比例正确答案：A3使函数z=−x1+x2+2x3减少得最快的方向是（）。
A. (1,－1,－2)B. (－1,－1,－2)C. 1,1,2)D. (－1,1,2)正确答案：A4、线性规划的退化基可行解是指（）。
A.基可行解中存在为零的非基变量B.基可行解中存在为零的基变量C.非基变量的检验数为零D.所有基变量不等于零正确答案：B5、线性规划无可行解是指（）。
A.有两个相同的最小比值B.第一阶段最优目标函数值等于零C.用大M法求解时,最优解中还有非零的人工变量D. 进基列系数非正正确答案：C6、若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算（）。
A.一定有最优解B.全部约束是小于等于的形式C.可能无可行解D.一定有可行解正确答案：D7、设线性规划的约束条件为x1+x2+x3=22x1+2x2+x4=4x1，…，x4≥0则非可行解是（）。
A. (0，1，1，2)B. (2，0，0，0)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0)正确答案：C8、线性规划可行域的顶点一定是（）。
A.可行解B.非基本解C.非可行解D.最优解正确答案：A9、X是线性规划的基本可行解则有（）。
A.X不一定满足约束条件B.X不是基本解C.X中的基变量非零，非基变量为零D.X中的基变量非负，非基变量为零正确答案：D10、下例错误的结论是（）。
A.检验数就是目标函数的系数B.检验数是用来检验可行解是否是最优解的数C.不同检验数的定义其检验标准也不同D.检验数是目标函数用非基变量表达的系数正确答案：A11、在解决运筹学问题时，根据对问题内在机理的认识直接构造出模型的方法称为（）。
线性规划单纯形法(清华2)
增加单位产品甲（x1）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x1换成基变量，称x1为进基变量，而把 基变量x4换成非基变量，称x4为出基变 量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
增加单位产品甲（x1）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x1换成基变量，称x1为进基变量，而把 基变量x4换成非基变量，称x4为出基变 量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
因为B为一个基, det(B)<>0
有 XB = B-1b- B-1N XN
S = CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN
令非基变量XN = 0 则
Xt = (XB , XN) =（ B-1b , 0）为基础解， 其目标函数值为 S = CB B-1b 只要XB = B-1b 0, Xt =（ B-1b , 0） 0
X为基础可行解, B就是可行基。
另外，若满足 CN- CB B-1N 0 则对任意的 x 0 有 S = CX CB B-1b
即对应可行基B的可行解x为最优解。
定理1-5（最优解判别准则）
对于可行基B ,若
C - CB B-1A 0
则对应于基B的基础可行解x就是基础最 优解，此时的可行基就是最优基。 C - CB B-1A为检验数。 由于基变量的检验数：CB - CB B-1B = 0
c2
Ct= …… cn X=
x2
0= …… xn
0
….. 0
并且
r(A)=m<n.
1.最优解判别定理：
不妨假设 A=（B , N）（B为一个基）
相应地有 Xt= (XB , XN)
第2章线性规划建模及其单纯形法
2x1+x2≤40 3x2≤75 x1 ,x2 ≥ 0
7
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。 其中，“Max”是英文单词“Maximize”的缩写，含 义为“最大化”； “s.t.”是“subject to”的缩写，表示“满足于…”。 因此，上述模型的含义是：在给定条件限制下，求 使目标函数z达到最大的x1 ,x2的取值
a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn≤ b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn≤ bm
x1 , x2 , … , xn≥0
20
•标准形式 •目标函数： Max z=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件： a11x1 + a12x2 + … + a1nxn=b1 a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn=b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn=bm x1 , x2 , … , xn≥0
4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4≤-58 x1 , x3 , x4 ≥0
31
解8x3:+7首x4先；，将目标函数转换成极大化:令z=-f=3x1–5x2– 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变量 x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 x2”≥0 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两端乘 以-1。 于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：
单纯形法求解线性规划问题例题
单纯形法求解线性规划问题例题线性规划问题（LinearProgrammingProblem,LPP）是指由一系列约束条件和优化目标函数组成的数学最优化模型，它可以用于解决各种单位时间内最高效率的分配问题。
在求解LPP的过程中，单纯形法（Simplex Method）是最主要的优化算法之一。
单纯形法的原理是采用一组基本变量的拿破仑表示法，一步步构造出线性规划问题的最优解。
下面我们来看一个例子：有公司向农户出售两种农药，甲和乙，每瓶甲农药售价3元，每瓶乙农药售价2元，公司每天有200瓶甲农药和150瓶乙农药，问该公司售出多少瓶甲农药和乙农药，能每天获得最大收益？该问题可表示为下述线性规划模型：最大化 $3x_1+2x_2$约束条件：$x_1+x_2le 200$$2x_1+x_2le 150$$x_1,x_2ge 0$由上述模型可知，有两个未知量$x_1$和$x_2$，它们分别代表出售的甲农药和乙农药的瓶数。
单纯形法的基本思想是采用一组基本变量表示未知量，将未知量$x_1$和$x_2$表示为由两个基本变量$y_1$和$y_2$组成的拉格朗日变换系数矩阵形式，即：$x_1+x_2=y_1+y_2$$2x_1+x_2=m(y_1+y_2)$其中，m是一个系数，根据上面的约束条件，m取200/150=4/3，则：$x_1=y_1+frac{1}{3}y_2$$x_2=y_2-frac{1}{3}y_2$由此可以得到该问题的新的线性规划模型：最大化 $3y_1+2(frac{4}{3})y_2$约束条件：$y_1+y_2le 200$$y_2le 150$$y_1,y_2ge 0$可以看出，该问题所构建出来的新的线性规划模型比原来的模型更加容易求解。
我们将建立单纯形表，以便求出最优解。
首先列出单纯形表：$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline& y_1 & y_2 & S_1 & S_2 & f & b hline1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 200 hline2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4/3 & 150 hlineend{array}$其中，$y_1$和$y_2$是基本变量，$S_1$和$S_2$是可行解系数，$f$是目标函数系数，$b$是右端项。
补全单纯形表例题
补全单纯形表例题
单纯形法是线性规划问题的一种求解方法。
在给定的线性规划问题中，我们首先找到一个初始解，然后通过迭代的方式找到最优解。
以下是一个简单的线性规划问题的单纯形法求解过程：
例题：
目标函数：最大化 z = 3x + 4y
约束条件：
1. x + 2y <= 12
2. 2x + y <= 10
3. x, y >= 0
初始单纯形表：
x y z c b
1 0 -
2 -1 30 + 40 4 0
2 0 -1 2 30 + 40
3 0
3 1 0 0 0 0 12
4 2 0 0 0 0 10
迭代步骤：
1. 从最后一行开始，检查是否满足所有约束条件。
发现第3个约束条件不满足，即x+2y>12，说明我们可以增加y的取值以减小x的取值。
2. 将第4列中的y增加1，得到新的单纯形表：
x y z c b
1 0 -
2 -1 30 + 40 4 -4
2 0 -1 2 30 + 40
3 -2
3 1 0 1 0 -2 6
4 2 0 1 0 -1 5
3. 检查新的单纯形表，所有约束条件都满足。
现在我们有了初始解，x=0, y=1。
将这个解代入目标函数得到z=30+41=4。
因此，初始最优解是(x=0, y=1, z=4)。
解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题
项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7A (j) (k) (l)
25
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
A
0
0
18
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
A
10
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
x
2
12
x 1, x 2 0 无可行解
m ax Z x1 x2
两阶段单纯形法例题详解
两阶段单纯形法引言在线性规划中，两阶段单纯形法是一种常用的求解方法。
它通过两个阶段的迭代，逐步优化目标函数值，从而找到最优解。
本文将详细介绍两阶段单纯形法的步骤和原理。
步骤两阶段单纯形法主要分为两个阶段：人工变量法和单纯形法。
人工变量法•将目标函数按照线性规划的标准形式化简。
•引入人工变量（artificial variables）来转换非标准化的约束条件为等式形式。
•新增的人工变量构成的目标函数为目标是最小化的。
•利用单纯形法求解这个新增的最小化目标函数，得到一个初始可行解。
•如果初始可行解的目标函数值为0，说明原问题有解；如果目标函数值不为0，则原问题无解。
单纯形法•判断初始基本可行解是否是最优解，如果不是，则进行下面的优化步骤。
•选择一个入基变量（entering variable），即将要进入基本解的变量。
•选择一个出基变量（leaving variable），即将要离开基本解的变量。
•使用基本变量和非基本变量之间的约束方程来计算新的基本解。
•迭代以上步骤，直到找到满足优化条件的最优解。
示例假设有一个线性规划问题如下：max Z = 5x1 + 3x2subject tox1 + 2x2 <= 62x1 + x2 >= 4x1, x2 >= 0首先，将目标函数和约束条件标准化，得到以下形式：max Z = 5x1 + 3x2subject to-x1 - 2x2 <= -62x1 + x2 >= 4x1, x2 >= 0然后，采用人工变量法引入人工变量（s1和s2），得到以下形式：max Z = 5x1 + 3x2subject to-x1 - 2x2 + s1 = -62x1 + x2 - s2 = 4x1, x2, s1, s2 >= 0接下来，我们利用单纯形法求解最小化目标函数s1 + s2的初始可行解。
根据单纯形表格的形式，我们可以得到初始表格如下：Cj | -1 | -1 | 0 | 0 |------- |----|----|----|----|Cb | 0 | 0 | 1 | 1 |------- |----|----|----|----|Var. |x1 |x2 |s1 |s2 |------- |----|----|----|----|-1 | -1 | -2 | 1 | 0 |------- |----|----|----|----|0 | 2 | 1 | 0 | -1 |按照单纯形法的步骤，我们选取入基变量s1和出基变量x2，进行迭代计算，得到新的表格：Cj | -1 | -4 | 1 | -3 |------- |----|----|----|----|Cb | 0 | 2 | -1 | 2 |------- |----|----|----|----|Var. |x1 |s2 |s1 |x2 |------- |----|----|----|----|-1 | -1 | 0 | 1 | 2 |------- |----|----|----|----|2 | 2 | 0 | 0 | -1 |继续迭代，直到得到满足优化条件的最优解。
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题.Min z =5x1+3x2≥6s.t.-2 x1 + 3x2≥43 x1 - 6 x2Xj≥0（j=1,2）解：将问题转化为Max z = -5 x1 - 3 x2+ x3 = -6s.t. 2 x1 - 3x2-3 x1 + 6 x+ x4≥-42Xj≥0（j=1,2，3,4）其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解.注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.3.对偶问题的最优解由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.(1)设原问题(p)为Min z=CXs.t. ⎩⎨⎧≥=0X bAX则标准型(LP)为Max z=CXs.t. ⎩⎨⎧≥=0X bAX其对偶线性规划（D ）为Max z=b T Y s.t. ⎩⎨⎧≥=0X bAX用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。
对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有（σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m ）T 。
可见，在（LP ）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时，在最优单纯形表T （B ）中，由于剩余变量对应的系数 所以B -1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m ）例4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
线性规划单纯形法(例题)资料
线性规划单纯形法(例题)《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,,,24261553).(002max ,,0,24261553).(2max 14.18432142132143214321212121x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
分别用图解法和单纯形）】（页【为初始基变量，选择43,x x)1000(00)0010(01)2050(12)6030(24321=⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择41x x3/1)6/122/10(00)0210(03/1)3/1240(10)1200(24321-=⨯+-⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择32x x24/724/528/11012/112/124/1100021110120124321-=⨯+-⨯-=-=-⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=）（）（）（）（σσσσ4334341522max ,)43,415(),(2112=+⨯=+===x x z x x X TT 故有：所以，最优解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+++++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0,182312212).(52max 24.185432152142315432154321212121x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
线性规划单纯形法(例题)
《吉林建筑工程学院城建学院人文素质课线性规划单纯形法例题》⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,,,24261553).(002max ,,0,24261553).(2max 14.18432142132143214321212121x x x x x x x x x x t s x x x x z x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
分别用图解法和单纯形）】（页【为初始基变量，选择43,x x)1000(00)0010(01)2050(12)6030(24321=⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择41x x3/1)6/122/10(00)0210(03/1)3/1240(10)1200(24321-=⨯+-⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=σσσσ为出基变量。
为进基变量，所以选择32x x24/724/528/11012/112/124/1100021110120124321-=⨯+-⨯-=-=-⨯+⨯-==⨯+⨯-==⨯+⨯-=）（）（）（）（σσσσ4334341522max ,)43,415(),(2112=+⨯=+===x x z x x X TT 故有：所以，最优解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=+++++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,,,,18232424).(0002max ,,,0,182312212).(52max 24.185432152142315432154321212121x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z x x x x x x x x x t s x x z 标准型得到该线性规划问题的，分别加入松驰变量在上述线性规划问题中法求解线性规划问题。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每天可用的原料有限，而每种产品的制造需要不同数量的原料。
产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
产品A每天的制造时间为6小时，产品B每天的制造时间为4小时。
已知制造一个单位的产品A需要2小时，而制造一个单位的产品B需要1小时。
工厂的目标是最大化每天的利润。
二、数学建模1. 定义变量：- x1: 每天制造的产品A的单位数量- x2: 每天制造的产品B的单位数量2. 建立目标函数：目标函数为最大化每天的利润，即：Maximize Z = 10x1 + 8x23. 建立约束条件：- 原料的限制：每天可用的原料有限，产品A每单位需要2单位原料，产品B每单位需要3单位原料。
因此，原料的约束条件为：2x1 + 3x2 ≤ 原料数量- 时间的限制：每天的制造时间有限，产品A每单位需要2小时制造，产品B每单位需要1小时制造。
因此，时间的约束条件为：2x1 + x2 ≤ 制造时间- 非负约束：每天制造的产品数量不能为负数，因此，非负约束条件为：x1 ≥ 0x2 ≥ 0三、求解线性规划问题利用线性规划的求解方法，可以求解出最优解。
1. 图形法：通过绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，找到目标函数的最大值所在的点。
四、数值计算为了方便计算，我们假设原料数量为20单位，制造时间为10小时。
1. 图形法：绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。
在本例中，约束条件的直线为：2x1 + 3x2 ≤ 202x1 + x2 ≤ 10绘制直线后，找到目标函数的最大值所在的区域。
2. 单纯形法：利用单纯形法，可以求解出最优解。
根据约束条件和目标函数，可以构建如下的单纯形表格：| 基变量 | x1 | x2 | 原料数量 | 制造时间 | 目标函数 ||--------|----|----|----------|----------|---------|| x3 | 0 | 0 | 20 | 10 | 0 || x1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 10 || x2 | 0 | 1 | 3 | 1 | 8 |通过迭代计算，可以得到最优解为：x1 = 5x2 = 0最大利润为：50元五、结果分析根据数值计算的结果，最优解为每天制造5个单位的产品A，不制造产品B，可以获得最大利润为50元。
单纯形法及例题解析
= a11a22-a12a21
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-
a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33
练习
14 3 -5 2 1 36 1
10 0 -5 2 3 33 5
x4
x5
0
x3
2
[1]
0
1
0
-1/2
1
0
x4
16
4
0
0
1
0
4
3
x2
3
0
1
0
0
1/4
-
Cj-Zj
2
0
0
0
-3/4
Cj
CB
XB
b
2
x1
2
0
x4
8
3
x2
3
Cj-Zj
单纯形表
2
3
0
x1
x2
x3
1
0
1
0
0
-4
0
1
0
0
0
-2
0
0
θ
x4
x5
0
-1/2
-
1
[2]
4
0
1/4
12
0
1/4
单纯形表
Cj
2
3
0
0
0
θ
CB
矩阵的乘法
A =（aij）m s B =（bij）s n C =AB =（cij）m n
cij = ai1b1j+ai2b2j+ … +aisbsj
线性规划经典例题
线性规划经典例题线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划经常被用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
下面将介绍一个经典的线性规划例题，并详细解答。
例题描述：某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。
已知每天可用的资源有：材料1，材料2和工时。
产品A每个单位需要消耗2单位的材料1，3单位的材料2和1单位的工时；产品B每个单位需要消耗4单位的材料1，1单位的材料2和3单位的工时。
公司每天可用的材料1、材料2和工时分别为30单位、20单位和15单位。
产品A的利润为5单位，产品B的利润为4单位。
公司希望在满足资源约束条件的前提下，最大化利润。
解答步骤：步骤1：确定决策变量首先，我们需要确定决策变量，也就是我们要求解的问题的变量。
在这个例题中，我们需要确定两个决策变量：x表示生产的产品A的数量，y表示生产的产品B的数量。
步骤2：建立目标函数目标函数是我们要优化的目标，即最大化利润。
根据题目中给出的信息，我们可以得到目标函数：Maximize Z = 5x + 4y步骤3：建立约束条件约束条件是我们在问题中需要满足的限制条件。
根据题目中给出的信息，我们可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 30 （材料1的约束条件）3x + y ≤ 20 （材料2的约束条件）x + 3y ≤ 15 （工时的约束条件）x, y ≥ 0 （非负约束条件）步骤4：求解最优解将目标函数和约束条件带入线性规划模型中，我们可以使用各种求解方法来求解最优解。
这里我们使用单纯形法求解。
首先，将约束条件转化为等式形式，得到标准型的线性规划问题：2x + 4y + s1 = 303x + y + s2 = 20x + 3y + s3 = 15其中，s1、s2、s3是松弛变量。
接下来，构建初始单纯形表格：| x | y | s1 | s2 | s3 | RHS |-------------------------------------------s1 | 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | 30 |s2 | 3 | 1 | 0 | 1 | 0 | 20 |s3 | 1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 15 |-------------------------------------------Z | -5 | -4 | 0 | 0 | 0 | 0 |进行单纯形法迭代计算，得到最优解：| x | y | s1 | s2 | s3 | RHS |-------------------------------------------s1 | 0 | 2 | 1 | -2 | 0 | 10 |s2 | 0 | -2 | -3 | 7 | 0 | -10 |x | 1 | 0 | -2 | 3 | 0 | 5 |-------------------------------------------Z | 0 | 0 | 5 | -4 | 0 | 25 |根据单纯形法的计算结果，最优解为x=5，y=0，利润最大值为25。
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
运筹学单纯形法的例题
x1 + 3x2 + x3
=7
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5 =9
x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
基是谁? x3,x5 x5的检验数为0
请它出基,逼它取值为0.
13
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17.10.2020
练习㈡. 单纯形表
两行，几列? 少一列?
填入第一个约束的数据.
14
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x3
x4
bi
比
00
1 0 77 0 1 9 9/4
000
00
x3
x4
bi
比
00
1 -0.25 4.75
0 0.25 2.25
019
0 -1 17.10.2020
练习㈡用图解法和单纯形法求
如下线性规划问题的最优解：
Max s.t.
4zxxx1=11+4+, x321xxx2+22≤≥≥x2790
可行域在直线 x1+3x2=7之下__
Max z =4 x1+x2+0x3+0x4-Mx5
x1 + 3x2 + x3
=7
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5=9
基再是引谁进?一这 理x个1个?, “x“2 人,-”x如工3 ,何变x4处, x5≥ 0
量”1x2 5
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17.10.2020
练习㈡.用单纯形法
Max z =4x1+x2+0x3+0x4-Mx5
改CB列,__0_换为_4__.
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