圆周率计算公式推导方法大全
计算圆周率公式
计算圆周率公式
圆周率是一个数学常数，通常用希腊字母π表示，它是圆的周长与直径的比值，也可以通过各种公式来计算。
其中最著名的是由数学家Gregory和Leibniz发现的级数公式，以及数学家Ramanujan 发现的无穷级数公式。
Gregory-Leibniz公式是由数学家James Gregory和Gottfried Leibniz在17世纪发现的。
这个公式通过级数的形式来计算圆周率。
它的公式为：
π = 4 × (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + …)
这个公式的原理是通过不断地加上和减去分数项来逼近圆周率。
这个级数的收敛速度比较慢，需要加上很多项才能得到较为准确的结果。
但它的优点是容易理解，可以用来介绍数学级数的概念。
Ramanujan公式是由印度数学家Srinivasa Ramanujan在20世纪初发现的，它的公式为：
1/π = 2√2/9801 × ∑(n=0)∞(4n)!(1103+26390n)/(n!)^4 × 396^4n
这个公式的收敛速度非常快，只需要加上几项就可以得到非常精确的结果。
但由于公式比较复杂，不太容易理解，也不容易推导得出。
除了这两个公式，还有其他的方法来计算圆周率，比如Monte
Carlo方法、Bailey-Borwein-Plouffe公式等。
这些方法各有优缺点，适用于不同的场合。
计算圆周率是数学研究的一个重要课题，也是计算机科学中的一个重要问题。
通过不断地探索和研究，我们可以发现越来越多的方法来计算圆周率，也可以更好地理解数学和计算机科学的基础知识。
小学数学理论基础：圆周长公式的推导
圆的周长计算
中国古代的伟大数学家祖冲之,是世界上第一个把圆周率的值精确 到7位小数的人。
π=3.1415926… ≈3.14
1.圆周率是一个无限不循环小数，实际应用时常取 它的近似值。
2.圆周率是固定不变的值，它不随圆的大小而改变。 故所有不同圆的圆周率都相等。
24
0.261052384 6.265257227 3.132628613
48
0.130806258 6.278700406 3.139350203
96
0.065438166 6.282063902 3.141031951
192
பைடு நூலகம்
0.032723463 6.282904945 3.141452472
保留两位小数
我们的思考
如何通过教学设计， 让学生自主发现“变化中 的不变”这个规律呢？
引例1
边长（cm) 3 4 5 6
正方形周长(cm) 12 16 20 24
周长/边长 4 4 4 4
结论：正方形周长=4×边长
引例2
长
宽
周长
4
3
14
5
4
18
6
5
22
7
6
26
猜想： 周长/长？ 周长/宽？ 周长/（长+宽）？ 结论：长方形周长=（长+宽）×2
算一算，有什么发现吗？
物体
直径
周长
周长 直径
？
硬币 1.9cm
5.95c
≈3.135
飞盘 3.2cm 10.0m5cm ≈3.141
钟表 11cm
34.5c m
圆周率计算方式
圆周率计算方式圆周率是一个重要的数学常数，用字母π表示，其值约等于3.1415926535。
圆周率的计算一直是数学家和科学家们的研究领域之一，有多种方法可以计算出圆周率。
本文将介绍其中几种常见的圆周率计算方式。
一、利用级数求解1. 集合法集合法是一种利用不动点引理来计算圆周率的方法。
它基于当一个点在圆内，它后续的点将不能落在圆的内部，反之亦然。
据此特性，可以通过迭代计算来逐步逼近圆周率的值。
2. 莱布尼茨级数莱布尼茨级数是一种基于二项式展开式的级数，用于计算圆周率的近似值。
其公式为：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过计算级数的不断迭代，可以得到圆周率的近似值。
3. 阿基米德方法阿基米德方法是利用多边形逼近圆的周长来计算圆周率的一种方法。
该方法将圆分割成多个扇形，然后用正多边形逐渐逼近扇形的周长，最后通过不断增加正多边形的边数，可以得到圆周率。
二、利用几何关系求解1. 定义法圆周率是定义为圆的周长与直径的比值。
根据定义，圆周率的值为圆的周长除以直径的长度。
因此，可以通过测量圆的周长和直径，然后进行除法计算，得到圆周率的近似值。
2. 切线法切线法是利用圆与正多边形的切线长度之间的关系来计算圆周率的方法。
通过构建正n边形，取n较大，然后测量正n边形的边长与圆的切线长度之比，可以得到圆周率的近似值。
三、利用统计方法求解1. 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种利用随机数和概率统计的方法。
在圆的内部随机取点，并判断这些点是否在圆内。
通过统计圆内的点和总的点数之比，再与圆的面积与正方形面积之比进行比较，可以估算出圆周率的值。
2. 贝利-波利法贝利-波利法是一种基于点的分布密度统计的方法。
该方法通过在平面上均匀分布的随机点，统计距离原点一定距离内的点的数量，并与总点数进行比较，通过不断迭代，可以得到圆周率的近似值。
综上所述，以上是一些常见的圆周率计算方法。
每种方法都有其特点和适用范围，可以根据具体情况选择合适的方法来计算圆周率。
圆周率的推导过程
圆周率的推导过程圆周率（π）是一个基本的数学常数，它表示圆的周长与直径的比值。
它的值大约为3.14159，但实际上无限不循环小数。
圆周率的推导过程可以从不同的角度来看。
以下是几种常见的推导方法：1.通过圆的面积推导假设有一个半径为r的圆，那么它的周长C和面积S分别为：C = 2πrS = πr^2将周长公式代入面积公式，得到：S = πr^2 = (2πr)(r/2) = πr^2/4因此，圆周率π的值为4。
2.通过圆的周长推导假设有一个半径为1的圆，那么它的周长C为：C = 2π。
而这个圆的直径D为2。
因此，圆周率π的值为C/D=2π/2=π。
3.通过三角函数推导假设有一个半径为1的圆，那么它的周长C为：C = 2π将圆拆分成若干个扇形，再将扇形拆分成若干个三角形，则每个三角形的底为1，高为r，即为半径。
这样的话，每个三角形的面积就是1/2（底*高）=1/2。
将圆拆分成足够多的三角形，则圆的面积就是若干个三角形的面积之和，即S = n/2。
其中n表示圆被拆分成的三角形的个数。
同时，由于圆的周长C=2π，所以π的值为C/2=2π/2=π。
4.通过高斯-莫比乌斯函数推导高斯-莫比乌斯函数（G-M函数）是一种常用的数学函数，它与圆周率有着密不可分的关系。
G-M函数可以表示为：G(x) = ∑(n=-∞)^∞(exp(-πn^2x))。
其中x为一个实数，n为整数。
当x=1时，G(1)=∑(n=-∞)^∞(exp(-πn^2))，即圆周率的值。
因此，可以通过计算G(1)的值来推导出圆周率π的值。
这些方法都可以用来推导出圆周率的值，但在实际应用中，通常采用精确的数值近似值来代替无限不循环小数的真实值。
圆周率计算公式推导方法大全
圆周率计算公式推导方法大全1. 面积法（Archimedes方法）：这是古希腊数学家阿基米德提出的一种方法，通过将圆逐渐分割成更小的多边形，并计算多边形的面积来逼近圆的面积。
具体步骤如下：-假设一个半径为1的圆，将其分割成等边的n边形（例如正n边形）。
-计算多边形的面积，并取其一半（即边长乘以半径）。
-不断增加n的值，得到多个多边形的面积。
-当n趋近于无穷大时，多边形的面积逼近于圆的面积。
-最后，通过计算得到的面积除以半径的平方，即可得到圆周率的近似值。
2.幂级数法（莱布尼茨公式）：这种方法是使用级数的和来逼近圆周率。
著名数学家莱布尼茨通过Taylor级数的展开导出了下面的公式：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-...通过不断增加级数的项数，我们可以得到越来越精确的近似值。
然而，这种方法的收敛速度非常慢，需要很多项才能得到较准确的结果。
3.连分数法（复杂连分数）：连分数由一个整数和一个无限的连分序列组成。
通过逐步截断连分数的分数序列，可以得到对于无理数的越来越精确的近似值。
圆周率可以表达为一个无限连分数：π=3+1/(7+1/(15+1/(1+...)))通过计算连分数的部分和（截断分数序列），可以得到圆周率的近似值。
4.随机法（蒙特卡洛方法）：这种方法利用随机数的性质来逼近圆周率。
-在一个正方形内部画一个圆，使得圆的直径等于正方形的边长。
-随机产生大量的点，落在正方形内部。
-统计落在圆内部的点的数量。
-计算落在圆内部的点与总数的比例。
-通过比例来逼近圆的面积，并计算出圆周率的近似值。
这种方法的精确度取决于生成的随机数数量，随着随机数数量的增加，逼近结果会越来越精确。
这些是一些常见的圆周率计算公式的推导方法。
每种方法都有其独特的优点和适用范围。
通过不断改进这些方法，人们可以获得更准确的圆周率近似值。
推算圆周率的六种方法
推算圆周率的六种方法一、欧几里得算法欧几里得算法是一种基于辗转相除法的算法，用于计算两个整数的最大公约数。
同时，它也可以用于计算圆周率π。
欧几里得算法的基本思想是通过不断减去大数和小数的差值，最终得到一个0，此时的除数即为最大公约数。
利用这个思想，我们可以构造一个序列，其中每个数是前两个数的差值，当序列中出现0时，此时的非零数就是π的值。
二、祖暅恒等式祖暅恒等式是数学中一个重要的恒等式，它可以用来计算π的值。
祖暅恒等式是由南北朝时期的数学家祖暅提出的，它表达了π与正多边形的边数之间的关系。
通过选取适当的正多边形边数，可以使得正多边形的周长与圆的周长相等，从而利用祖暅恒等式计算出π的值。
三、圆内接正多边形法圆内接正多边形法是一种古老的推算π的方法。
它的基本思想是通过构造一个圆内接正多边形，使得多边形的周长与圆的周长相等，从而计算出π的值。
具体来说，可以不断增加正多边形的边数，使得多边形的周长逐渐逼近圆的周长，当多边形的周长与圆的周长相等时，此时的边数即为π的近似值。
四、阿基米德方法阿基米德方法是由古希腊数学家阿基米德提出的一种计算π的方法。
它的基本思想是通过构造一个正多边形和一个圆的内切正多边形，使得它们的面积相等，从而利用正多边形的面积计算出π的值。
具体来说，可以先计算正多边形的面积，再利用圆的半径和面积公式计算出圆的半径，从而得到π的值。
五、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于概率统计的方法，它可以用来计算π的值。
蒙特卡洛方法的基本思想是通过构造一个概率模型，模拟随机抽样过程，然后根据概率分布计算出π的值。
具体来说，可以构造一个正方形和两个相切的正方形，其中大正方形的面积是4个小正方形的面积之和，然后通过随机抽样计算出落在小正方形内的点数与总点数之比，从而得到π的近似值。
六、格里戈里-莱布尼茨级数格里戈里-莱布尼茨级数是一种无穷级数，它可以用来计算π的值。
格里戈里-莱布尼茨级数的基本思想是通过不断将级数的项进行求和，最终得到π的值。
圆周长公式的推导
06
圆周长公式的扩展与推广
圆周率的应用
圆周率π在数学、物理和 工程领域中有着广泛的应 用，它是圆的周长与其直 径之间的比值。
圆周率π在计算圆的面积、 球的体积等几何问题中也 有着重要的应用。
ABCD
圆周率π的值约等于 3.14159，是一个无理数， 无法表示为分数或有限小 数。
圆分成无数个小的扇形，每个扇形的弧长近似等于其对应的弦长。将这 些扇形的弧长相加，就得到了整个圆的周长。由于这些扇形的数量是无 限的，我们可以将它们看作是等腰直角三角形，其中直角边等于圆的半 径，斜边等于圆的直径。利用勾股定理，我们可以求出每个扇形的弦长， 进而求出整个圆的周长。通过这种方法，我们可以证明圆的周长公式为： C = π × d 或 C = 2 × π × r。
圆的周长与半径的关系
总结词
圆的周长与半径成正比
详细描述
半径是从圆心到圆边缘的距离，是直径的一 半。由于圆的周长与直径成正比，而直径是 半径的两倍，因此圆的周长也与半径成正比。 圆的周长公式为：C = 2 × π × r，其中 C 代表圆的周长，r 代表圆的半径。
圆周长的几何推导
• 总结词：利用几何图形推导圆周长的公式 • 详细描述：为了推导圆的周长公式，我们可以使用几何图形。首先，将
对未来学习的展望
深入理解圆的性质
通过进一步学习，可以更深入地理解圆的性质和定理，如 圆幂定理、相交弦定理等，从而更好地掌握圆的知识体系 。
数学思维的锻炼ห้องสมุดไป่ตู้
学习几何学不仅是对图形的探究，更是对数学思维的锻炼 。通过解决几何问题，可以培养逻辑推理、抽象思维和空 间想象能力。
学习其他几何图形
掌握了圆的相关知识后，可以进一步学习其他几何图形， 如椭圆、抛物线、双曲线等，探究它们的性质和应用。
圆周率全面版
§2圆周率我国魏晋时期数学家刘徽为了推导圆面积的计算公式并推求圆周率较精美之值，创立了“割圆术”，为圆周率的研究工作确定了理论基础和供应了科学的算法．在此基础上，南北朝数学家祖冲之连续计算，最后获取圆周率π的值就在 3.141 592 6 与 3. 141 592 7 之间，正确到小数点后 7 位，成为世界上第一位把圆周率值计算正确至七位小数的人．22355其余，祖冲之还给出了圆周率的两个分数值：正确度较低的7( 约率 ) ，正确度较高的113 ( 密率 ) ．但是，终归祖冲之是用什么方法把圆周率的值计算正确至七位小数，而他又是怎样找出作为圆周率的近似分数的呢？这些问题到此刻仍是数学史上的谜．据数学史家们解析，他很可能采用了刘徽的“割圆术”，若是这个解析不错的话，那么，祖冲之就需要从圆内接正六边形切割到圆内接正 12 288 边形和圆内接正 24 576 边形，依次求出各多边形的周长．这个计算量是相当大的，最少要对九位数字屡次进行 130 次以上各样运算，其中乘方和开方就有近 50 次，任何一点渺小的失误，都会以致计算失败．因此可知祖冲之深沉扎实的数学功底，慎重求实的科学态度．祖冲之求得的这个圆周率值直到一千年今后才由阿拉伯数学家卡西于1427 年打破．1．圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学宽泛存在的数学常数．它定义为圆的 ________ 与 ________的比值．圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的要点值．2．祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为算出了上下限： ________＜π＜________，________，密率为 ________．3．最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他以为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间．当正多边形之间边数不停增加时，圆的面积与正多边形的面积便越来越凑近．从他编写的《圆的胸襟》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎________ 与________之间．4．计算圆周率，无论是阿基米德的穷竭法，仍是刘徽的割圆术，都是渐渐逼近的方法，都是 ________思想的表现，这种思想为微积分的最后创立确定了基础．答案： 1．周长直径2．3.141 592 6 3.141 592 722355 7113113．333714．极限一、π 的计算及历史【例 1】查找资料，简述π 的计算历史，领悟它们所反响的数学思想．答：π 的计算历史分为以下几个阶段：(1)实验时期中国古籍云：“周三径一”，意即取π＝ 3.公元前17 世纪的埃及古籍《阿美斯纸草书》( 又称“阿梅斯草片文书”；为英国人莱茵德于1858年发现，因此还称“莱茵德纸草书”) 是世界上最早给出圆周率的高出十分位的近似值，为256 1 11＝3＋＋＋819 27 81或3. 160.至阿基米德从前，π 值之测定倚靠实物丈量．(2)几何法时期——屡次割圆最早试图从圆面积去求圆周率的人是阿基米德 (Ar c himedes ，公元前 287—前 212) ．他以为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间．随正多边形之间边数的不停增加，圆的面积与正多 形的面 便越来越凑近．从他 写的《 的胸襟》一 中，他用 竭法得出 周率1 1 介于 371与 33之 ．公元 263 年，中国数学家刘徽用“割 ” 算 周率，他先从 内接正六 形，逐次切割 正 12,24,48,96,192形．他 ：“割之弥 ，所失弥少，割之又割，以致于不能割，与 周合体而无所失矣．”( 切割愈精 ， 差愈小．切割此后再切割，直到不能够再切割止，它就会与 周完好重叠，就不会有 差了 ) 其中有求极限的思想． 刘徽 出 π ＝3.141 024 157的 周率近似 ，并以50 ＝ 3.14( 徽率 ) 其分数近似 ． 公元 466 年，中国数学家祖冲之将 周率算到小数点后 7 位的精确度， 一 在世界上保持了一千年之久．同 ，祖冲之 出了 355( 密率 ) 个很好的分数近似 ，它是分母小于11310 000 的 分数中最凑近 π 的． 念祖冲之 周率 展的 献，日本数学家三上 夫将 一计算 命名 “祖冲之 周率”， 称“祖率”．痛惜祖冲之的著作《 》已 亡失，后辈无从得知祖冲之是怎样估计 周率的 的．1610 年，荷 数学家 道 夫 算了正 262 形的面 ， 正确地得出了 π 的 35 位小数．后人 了 念他的 斗精神和他 算 π 的 所作的 献，在他的墓碑上刻上了以下 果：314159265⋯288 314159265⋯289100000000⋯000 ＜ π ＜100000000⋯000 (3) 解析法 期——无 数无 乘 式、无 分数、无 数等各样 π 表达式 出 ， π 算精度也迅速 增加 .1706 年英国数学家梅 算 π 打破100 位小数大关 .1873 年另一位英国数学家尚可 斯将 π 算到小数点后 707 位，痛惜他的 果从 528位起是 的．到 1948 年英国的弗格 森和美国的 奇共同 表了 π 的 808 位小数 ，成 人工 算 周率 的最高 ．(4) 算机 代子 算机的出 使 π 算有了突 猛 的 展 .1949 年美国 里 州阿伯丁的道研究 室首次用 算机 (ENIAC) 算 π ，一下子就算到 2 037 位小数，打破了千位数 .1989 年美国哥 比 大学研究人 用克雷 2 型和 IBMVF 型巨型 子 算机 算出 π 小数点后 位数， 后又 算到小数点后位数 .2009 年 8 月 17 日，日本筑波大学宣 布，筑波大学研究人 借助最新的超 算机，将 周率 算到小数点后257 69.803 7 位， 造了新的世界 ．采集和整理有关 π 的 算方法．二、 周率与极限思想【例 2】“ 竭法”是古希腊数学家阿基米德 明的一种求曲 形面 的方法．用“竭法” 算由抛物y ＝ x 2 与 x 在直 x ＝ 0 和 x ＝ 1 之 成的曲 三角形的面 ．解： 把底 [0,1]1 2 n － 1分成 n 等份，分点分 是， ，⋯， ，尔后在每个分点 作底 的n n n垂 ， 曲 三角形被分成了n 个窄条， 每个窄条，近似用矩形条取代．每个矩形的底1 i 2(i ＝ 0,1,2 ，⋯， n － 1) ，把 些矩形条加起来，获取 S 的近似 ：n ，高 n11 2 1 2 2 1n － 1 2 1 1·[122 2S ＝ 0n ＋n n＋n· n ＋⋯ ＋n· n＝n＋ 2＋ ⋯(n － 1) ] ＝n31n ( n － 1)(2 n － 1) ( n － 1)(2 n － 1)n 3·6 ＝6n 2 .每个 n 都能够算出相 的S n 的 ，一方面，随着n 的增大， S n 的 越来越凑近 S. 但另一方面，所得的S 始 都是 S 的近似 ， 了获取S 的精确 ，使n 无量制地增大，从几何n上看，面S 的那个多 形越来越 近曲 三角形，从数 上看，S 无量凑近一个确定的nn1数， 个数就是曲 三角形的面S ， 个数等于 3.用以下公式 算 π ，领悟极限思想．π14 ＝1＋92＋252＋492＋812＋2＋⋯刘徽是我国第一个 造性地将无 思想运用到数学中的数学家，他 立的“割 ”，通 增加 内接正多 形的 数来逼近 ，体 了极限思想．祖冲之以“割 ” 理 基 ， 精心运算，把 周率精确到小数点后 7 位．阿基米德运用 内接正多 形与外切正多 形逼近 面 的极限思想，曾算到正 96 形，获取 π ≈3.141 6. 刘徽的“割 ”和阿基米德的“ 竭法”， 种无量凑近的思想就是今后建立极限看法的基 ，是近代微 分理 的萌芽．答案： 1． 答： (1) 我国《周髀算径》中 有“周三径一”．(2) 古埃及、古希腊人用谷粒 在 形上，以谷粒数与方形 比的方法获取数 ．(3) 阿基米德的 算方法在《 的 定》一文中有 ． (4) 我国古代数学家刘徽的割 ． (5) 祖冲之的 算方法． (6) 分数法．(7) 利用 数或无 乘 算．(8) 算机 算法．2．解： 在必然范 内 算上式，采用繁分数形式．π1 4 ＝1＋ 2＋9252＋492＋812＋ 2先 算81 4＋ 81 852＋2＝2＝ 2 ，2＋ 2＋ 2＋1＋49×2170＋ 9826885 ＝85＝85 ， 25×85 536＋ 2 125 2 661 268 ＝ 268 ＝ 268，9×268 7 7342 661 ＝2 661 ，2 661 7 734 ＋2 661 ＝ 10 395 ＝ 7 734 .7 7347 734π10 395，再由4＝7734可得π＝ 4×7 734＝30 936＝2.976 0 ⋯10 39510 395因在张开式中取的数有限，因此π没有超 3.只要我们坚持了，就没有战胜不了的困难。
圆周率生成算法
圆周率生成算法一、概述圆周率生成算法是指通过计算得到圆周率的数值。
圆周率是一个重要的数学常数，它代表着圆的周长与直径之比，通常用希腊字母π表示。
圆周率的精确值是一个无限不循环小数，但可以通过不同的算法来逼近它的精确值。
二、历史人类对于圆周率的研究可以追溯到古代文明时期。
早在公元前250年左右，中国数学家刘徽就使用正多边形逼近圆来计算圆周率。
在欧洲，古希腊数学家阿基米德也曾使用类似方法计算过圆周率，并得到了3.14和3.142857这两个近似值。
随着时间的推移，越来越多的数学家和科学家开始探索更加精确地计算出圆周率的方法。
三、常见算法1. 随机法随机法是一种简单而常用的计算圆周率的方法。
该方法基于蒙特卡罗模拟原理，即通过在单位正方形内随机投点，并统计落入单位圆内点的数量来逼近π/4。
具体步骤如下：（1）在一个单位正方形内随机生成N个点；（2）统计落入单位圆内的点的数量M；（3）根据公式π/4=M/N来计算π的近似值。
2. 数学级数法数学级数法是一种基于级数展开的方法，可以通过不断增加级数项来逼近圆周率。
其中最著名的就是莱布尼茨级数和欧拉公式。
具体步骤如下：（1）选择一个适当的级数公式；（2）根据公式依次求出每个级数项的值；（3）将所有级数项相加，并乘以适当系数得到π的近似值。
3. 迭代法迭代法是一种通过不断迭代计算来逼近圆周率的方法。
其中最常用的就是马刁尼迭代法和阿基米德迭代法。
具体步骤如下：（1）选择一个适当的初始值；（2）根据迭代公式依次求出每个新值；（3）将所有新值相加，并乘以适当系数得到π的近似值。
四、应用圆周率生成算法在科学和工程领域中有着广泛应用。
例如，在计算机图形学中，需要使用圆周率来绘制圆形和曲线；在通信领域中，需要使用圆周率来计算频率和相位；在物理学和天文学中，需要使用圆周率来计算物理常数和天体运动等。
五、总结圆周率生成算法是一项重要的数学研究工作，它不仅具有理论意义，还有着广泛的应用价值。
数学上的π(3.1415...)是怎么推导出来的
6、丘德诺夫斯基公式
这是由丘德诺夫斯基兄弟发现的，十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本：
丘德诺夫斯基公式
现在的人计算圆周率, 多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。
[编辑本段]【圆周率的计算方法】
古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
5、bailey-borwein-plouffe算法
这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
数学上的π(3.1415...)是怎么推导出来的? 悬赏分：0 | 解决时间：2009-2-25 11:38 | 提问者：Zsw_2007
圆周率计算公式推导方法大全
3.1326286133 3.139350192
3.1410319398 3.1414524723 3.1415576079 3.1415838921 3.1415904632 3.1415916588 3.1415920694 3.141586944 3.1415869677
3.1415869678
0.0654381654 0.0327234633 0.0163622792 0.0081812081 0.0040906126 0.0020453071 0.0010226537 0.0005113269 0.0002556634
0.0001278315
0.0000639159
0.0000319579
)
解得：X ＝
则：
而后以 （ ） ＝计算边长；则 ( )(n)现以此法实际计算的 值如下表：
正n边形数 边长
12
0.5176380902
值
3.1058285412
24 48
96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576
49152
98304
196608
0.2610523844 0.1308062585
丘德诺夫斯基（Chudnovsky）公式：
此公式十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。将 artanx 展 成 级 数 , 得 x 的 2n+1 次 方 除 以 2n+1 令 x 等 于 1 得 π=4-4\3+4\5-4\7+4\9-4\11.........
根据这样计算，当n越大π值越精确.
圆周率计算公式推导方法大全
－－《湘江击水》编辑
此外，另有巧法直接计算圆周率：
圆周率公式简单计算方法
圆周率公式简单计算方法圆周率，通常用希腊字母π表示，是数学中的一个重要常数，用于计算表示圆周长度（周长）与其直径（直径）的比值。
计算圆周率的方法有很多，其中最经典的方法是使用圆的面积公式和周长公式进行简单的求解。
以下是详细的计算方法，供大家参考。
计算圆的面积圆的面积公式是πr²，其中r是圆的半径。
因此，计算圆的面积的方法是将圆的半径平方，然后用π乘以该值。
例如，如果一个圆的半径为5厘米，那么它的面积为π×5²=78.5平方厘米。
要注意的是，圆的面积通常以平方单位表示，比如平方米、平方毫米或平方英寸等等。
计算圆的周长圆的周长公式是2πr，其中r是圆的半径。
因此，计算圆的周长的方法是将圆的直径乘以π。
圆的直径是通过圆心的任意两个点之间的距离得到的。
例如，如果一个圆的半径为5厘米，那么它的周长为2×π×5=31.4厘米。
要注意的是，圆的周长通常以长度单位表示，比如米、厘米或英寸等等。
使用图形计算圆周率另一种计算圆周率的方法是使用图形，具体方法如下：1. 首先，画一个正方形，边长为2个单位。
2. 在正方形内画一个圆，直径等于正方形的边长（即2个单位），如下图所示。
____/ \| || ● || |\____/3. 确定圆的面积。
由于圆的直径等于正方形的边长，那么圆的半径r就是正方形边长的一半，即r=1个单位。
因此，圆的面积就是π×r²=π×1²=π平方单位。
4. 确定正方形的面积。
由于正方形的边长为2个单位，那么正方形的面积就是2²=4平方单位。
5. 用圆的面积除以正方形的面积，得到圆在正方形内的面积占比。
即π平方单位÷4平方单位=π/4。
6. 使用占比的反函数，即4/π，得出圆周率的近似值。
即4/π≈1.273。
这种方法称为蒙特卡罗方法，它是计算圆周率的一种估算方法。
方法的原理是，如果在正方形内随机投放大量的点，并计算有多少点落在圆内，那么圆的面积与正方形的面积之比就可以用在圆内落点的数量与总投放点数之比来估算。
圆周率计算方法
圆周率计算方法圆周率，简称π，是数学中一个重要的常数，它代表了圆的周长与直径的比值。
圆周率的精确值是一个无限不循环小数，最常见的近似值是3.14159。
在数学和工程领域，计算圆周率是一个重要且有趣的问题。
本文将介绍一些常见的圆周率计算方法。
首先，最简单直观的圆周率计算方法之一是利用圆的周长公式。
根据圆的定义，周长C等于直径D乘以π，即C=πD。
因此，我们可以通过测量圆的直径，然后用周长除以直径的方法来计算π的近似值。
这种方法简单易行，但精度较低。
其次，利用圆的面积公式也可以计算圆周率。
圆的面积A等于π乘以半径的平方，即A=πr^2。
因此，我们可以通过测量圆的半径，然后用面积除以半径平方的方法来计算π的近似值。
这种方法同样简单易行，但精度较低。
除了利用圆的基本公式，还可以通过一些数学方法来计算圆周率的近似值。
例如，利用无穷级数公式来计算π。
著名的莱布尼兹级数和欧拉级数都可以用来计算π的近似值，它们是通过对无穷级数进行逐项相加得到π的近似值。
虽然这些方法需要进行大量的计算，但可以得到较高精度的π的近似值。
此外，利用蒙特卡洛方法也可以计算圆周率。
蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的数值计算方法，通过在一个正方形内随机投点，然后统计落在圆内的点的比例来估算圆的面积，从而计算π的近似值。
这种方法虽然需要大量的随机抽样，但可以得到较为精确的π的近似值。
综上所述，计算圆周率是一个重要且有趣的数学问题，我们可以通过多种方法来得到π的近似值。
无论是利用基本的圆的公式，还是通过数学方法或者随机方法，都可以得到不同精度的π的近似值。
在实际应用中，我们可以根据需求和计算资源的限制选择合适的方法来计算π的近似值。
希望本文介绍的方法能够对圆周率的计算有所帮助。
圆周率的计算方法
圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法、即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长、这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好、随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式、下面挑选一些经典的常用公式加以介绍、除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了、1、马青公式π＝16arctan 51－4arctan 2391 这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现、他利用这个公式计算到了100位的圆周率、马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度、因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现、还有很多类似于马青公式的反正切公式、在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了、虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了、下面介绍的算法，在PC 机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度、这些算法用程序实现起来比较复杂、因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT 〔FastFourierTransform 〕算法、FFT 可以将两个大数的乘除运算时间由O 〔n2〕缩短为O 〔nlog 〔n 〕〕、2、拉马努金公式1914年，印度数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式、这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度、1985年Gosper 用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位、1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度、1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位、丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：3、AGM 〔Arithmetic-GeometricMean 〕算法高斯-勒让德公式：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了、1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录、4、波尔文四次迭代式：这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表，它四次收敛于圆周率、5、bailey-borwein-plouffe 算法这个公式简称BBP 公式，由DavidBailey,PeterBorwein 和SimonPlouffe 于1995年共同发表、它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n 位，而不用计算前面的n -1位、这为圆周率的分布式计算提供了可行性、。
圆周率公式记忆
圆周率公式记忆圆周率公式记忆圆周率的点数后面有相当多的数字，基本上我们在初中的时候记住前10位就好了。
下面是店铺给大家整理的圆周率公式记忆，供大家参阅!圆周率公式记忆圆周率π一般定义为一个圆形的周长C与直径d之比C/d。
由相似图形的性质可知，对于任何圆形C/d的值都是一样。
这样就定义出常数π。
第二个做法是，以圆形半径为边长作一正方形，然后把圆形面积和此正方形面积的比例订为，即圆形之面积与半径平方之比。
定义圆周率不一定要用到几何概念，比如，我们可以定义为π满足圆周率的最小正实数x。
这里的正弦函数定义为幂级数圆周率的特性把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。
现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。
如果以39位精度的圆周率值，来计算宇宙的大小，误差还不到一个原子的体积。
以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。
自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。
π在许多数学领域都有非常重要的作用。
圆周率口诀记忆谐音法众所周知，圆周率π是一个有名的无理数，一个无限不循环小数，无理数不好记，如果利用“谐音法”，把小数点后的前一百位编成如下顺口溜，用不了几分钟就可以记住。
首先设想一个好酒贪杯的酒徒在山寺中狂饮，醉“死”在山沟的过程(30位)：山巅一寺一壶酒。
儿乐：“我三壶不够吃”。
“酒杀尔”，杀不死，626 43383 279乐而乐，死三三巴三，儿弃酒。
接着设想“死”者的父亲得知后的感想(15位)：502 8841971 69399吾疼儿：“白白死已够凄矣，留给山沟沟”。
再设想“死”者的父亲到山沟里三番五次寻找儿子的情景(15位)：37510 58209 74944山拐我腰痛，我怕尔冻久，凄事久思思。
再设想在一个山洞里找到“死”者并把他救活后的情景(40位)：592 307 816 406 286 20899吾救儿，山洞拐，不宜留。
关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法及关于正弦函数和余弦函数的计算公式
关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。
利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。
1、绪言利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
2、用外切圆分割正多边形假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。
将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。
由此可见，此圆周是正多形的外切圆。
假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，圆心角为α ,设AB=S ，正多边形的周长为L ，依题意，有：OA=OB=R正多边形的周长L 为： L=2*n*S圆心角α和分割圆的线段（直径）n 的关系为：nn 1802360==α 根据三角函数，可以列出正多边形的边长S 和圆周半径R 的关系式，为：S 2=R 2+R 2-2*R*R*cos （α）)cos 1(*2*α-=R S2.1、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。
那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：)180cos 1(*2*2)cos 1(*22222nn RnR RnS R L -=-===απ2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。
圆心角α值越小，分割圆的直径数n 就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。
因此，依题意有：将n=α180代入上式，可得：ααααπ)cos 1(*2*1802)cos 1(*2**180*2222-=-===RR RnS R L3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式 过O 点作AB 的垂线OD ，如图所示：在ΔAOD 中，依题意有： OA=R ∠AOD=2α AD=2S根据三角函数，有如下的关系式：AD=R*sin(2α)2S =R*sin(2α) S=2*R*sin(2α)正多边形的周长L 为： L=2*n*S =2*α180* 2*R*sin(2α)3.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 圆周率的计算公式为：ααααπ2sin *36022sin**2*180*22===R R R L 3.2、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 若要以线段（直径）n 为变量，将a =n180代入上式，即可得 nn n nRL 90sin**21802180sin *3602sin *3602====ααπ4、用内切圆分割正多边形在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。
数学圆周率公式推导
数学圆周率公式推导数学中的圆周率公式是数学家们研究圆周率的重要成果之一，本文将客观完整地介绍圆周率公式的推导过程。
圆周率是数学中一个非常重要的常数，用希腊字母π表示。
它的值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。
圆周率的精确值一直以来都备受关注，并且各种方法和公式被提出来计算π的值。
其中，圆周率公式是一种常用的计算π的方法之一。
圆周率公式的推导过程是基于圆的几何性质和三角函数。
我们从一个单位圆开始推导。
单位圆指的是半径为1的圆。
我们可以使用三角函数来描述圆上的点的坐标。
根据三角函数的定义，圆上的点可以表示为(x, y)，其中x和y是点在坐标系中的坐标。
我们知道，在单位圆上，任意一条直线从圆心到圆上的点都会与x轴和y轴形成一个直角三角形。
根据勾股定理，这个直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
而斜边的长度正好是圆的半径，也就是1。
所以我们可以得到以下的关系式：x + y = 1然后，我们考虑一个角度为θ的点P在单位圆上的坐标。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：x = cos(θ)y = sin(θ)将这两个式子代入到圆的方程中，我们得到：cos(θ) + sin(θ) = 1这个等式就是著名的三角恒等式。
根据这个恒等式，我们可以得到一个重要的结论：对于所有的θ，cos(θ) + sin(θ)的值都等于1。
接下来，我们考虑圆周率的定义。
我们知道，圆的周长与圆的直径之比是一个常数，即圆周率π。
单位圆的直径是2，所以单位圆的周长就是2π。
而单位圆的周长又可以表示为单位圆上的弧长。
所以，我们可以将单位圆上的弧长与角度的关系表示为：弧长 = θ * 2π我们希望找到一个关于圆周率的公式，使得根据这个公式计算得到的值与实际的圆周率的值尽可能接近。
我们将上面的关系式稍作变形，得到：θ = 弧长 / 2π将这个式子代入到cos(θ) + sin(θ) = 1中，我们得到：cos(弧长 / 2π) + sin(弧长 / 2π) = 1这就是圆周率公式的推导过程。
几种经典圆周率的计算方法介绍
几种经典圆周率的计算方法介绍古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3 072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。
下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。
除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
1、Machin公式这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。
他利用这个公式计算到了100位的圆周率。
Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
Machin.c 源程序还有很多类似于Machin公式的反正切公式。
在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。
虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machi n公式就力不从心了。
下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。
这些算法用程序实现起来比较复杂。
因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。
FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。
2、Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共1 4条圆周率的计算公式，这是其中之一。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。
1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，David & Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为：这个公式被称为Chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。
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初值： 重复计算： 最后计算：
Borwein 四次迭代式：
初值： 重复计算： 最后计算：
Bailey-Borwein-Plouffe 算法 ：
丘德诺夫斯基（Chudnovsky）公式：
此公式十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。将 artanx 展 成 级 数 , 得 x 的 2n+1 次 方 除 以 2n+1 令 x 等 于 1 得 π=4-4\3+4\5-4\7+4\9-4\11.........
根据这样计算，当n越大π值越精确.
3.1415922184
3.1415923038
（本方法由《湘江击水》自创并提供）
2013－09－15
Machin 公式 （由英国 John Machin 于 1706 年发现）：
1989 年，David & Gregory Chudnovsky 兄弟将 Ramanujan 公式改良成为：
圆周率计算公式推导方法大全
－《湘江击水》编辑
此外，另有巧法直接计算圆周率：
3.1415926526
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 现按新的渐进法计算圆周率－－
如上图所示：从园内接正6边形开始计算。
/2 设园半径R=1, CD = X, AD = (
)
/2 建方程：X (2 - X) = (
3.1326286133 3.139350192
3.1410319398 3.1414524723 3.1415576079 3.1415838921 3.1415904632 3.1415916588 3.1415920694 3.141586944 3.1415869677
3.1415869678
0.0654381654 0.0327234633 0.0163622792 0.0081812081 0.0040906126 0.0020453071 0.0010226537 0.0005113269 0.0002556634
0.0001278315
0.0000639159
0.0000319579
)
解得：X ＝
则：
而后以 （ ） ＝
计算边长 ；
则 ( )(n)
现以此法实际计算的 值如下表：
正n边形数 边长
12
0.5176380902
值
3.1058285412
24 48
96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576
49152
98304
196608
0.2610523844 0.1308062585