平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(子博弈与完美性)

第12讲 子博弈与完美性

1．在Bertrand 价格博弈中，假定有n 个生产企业，需求函数为()p Q a Q =-，其中p 是市场价格，Q 是n 个生产企业的总供给量。假定博弈重复无穷多次，每次的价格都立即被观测到，企业使用“触发策略”（一旦某个企业选择垄断价格，则执行“冷酷策略”）。求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子σ？解释σ与n 的关系。 解：（1）①当n 个企业合谋时：

假设该行业中任一企业的边际成本恒为c ，0a c >>。n 个生产企业的总利润函数为：

()()2pQ cQ a Q Q cQ Q a c Q π=-=--=-+-

利润最大化的一阶条件为：

d 20d Q a c Q

π=-+-=，解得垄断总产出为2m a c Q -=。 此时垄断价格为：

2m m a c p a Q +=-= 从而垄断的总利润和每个厂商的利润分别为：

()

24

m a c π-=

()2,1,2,

,4m

i a c i n n π-== 考虑时期t 企业i 的选择，给定其他企业按照垄断条件生产，若企业仍遵守垄断定价，那么它从t 期开始的利润的现值为：

()()()

241i a c m n πσ-=- ②当有企业背叛时：

给定其他企业按照垄断条件生产，即()12m i t n Q a c n

--=-，。若企业i 选择背离垄断价格，

那么它的利润最大化问题就是：

(),,,,max m

i t i t i t i t Q a Q Q cQ ----

由一阶条件得：

()14i t n Q a c n

+=-， 厂商i 相应的利润为：

()()222116i t n a c n π+-=，

又因为在t 期，企业i 不遵守垄断定价规则，所以从1t +期开始，它的利润就恒为零。因此(),i i t b ππ=，其中b 代表背叛垄断定价。

为了使垄断价格可以作为子博弈完美纳什均衡的结果出现，那么合谋时企业利润的现值就不应当低于背叛时的现值，即()()i i m b ππ≥，从而解得贴现因子的最小值为：

2

min 211n σ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ （2）因为min σ关于n 单调递增，这就意味着：n 越大，即行业中的企业越多时，不遵

守垄断规则，图一时好处的吸引力就越大，因此，只有通过更高的折现率来提高未来收益在利润中的权重，才能保持厂商遵守垄断规则。

2．表12-1给出了一个两人的同时博弈，若这个同时博弈进行两次，第二次博弈是在知道第一次博弈的前提下进行的，并且不存在贴现因子。收益（4，4）能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果吗？如果它能够，给出策略组合；如果不能够，请说明为什么不能？

表12-1 博弈的支付矩阵

答：（1）收益（4，4）能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果出现。

假定支付矩阵的左侧表示参与人1的策略，支付矩阵的上侧表示参与人2的策略选择。那么，当参与人1选择B时，参与人2的最优策略为R；当参与人2选择R时，参与人1的最优策略为B，因此策略组合（B，R）为第一次博弈的结果，对应的支付为（4，4）。故收益（4，4）能够在纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果。

（2）每个人的策略如下：

参与人1的策略：

第一次博弈：选择B；

第二次博弈：若自己首次选择的是B，那么这次就选T；若自己首次未选B，那么这次就选M。

参与人2的策略：

第一次博弈：选择R；

第二次博弈：若参与人1在第一次博弈中选择的是B，那么参与人2这次就选L；若参与人1在第一次博弈中未选择B，那么参与人2这次就选C。

给定上述策略，子博弈完美的纳什均衡的结果为：第一次博弈中，参与人1选择B，参与人2选择R；第二次博弈中，参与人1选择T，参与人2选择L。下面来证明：首先看第二阶段的博弈。支付矩阵表明（T，L）和（M，C）是该博弈的纳什均衡。再根据两个参与人的策略可知，如果上一局出现了合作的结果，那么在第二局参与人1和2

的选择就分别是（T ，L ）

；如果上一局出现其他结果，那么本局两个人的选择就分别是（M ，C ）

。所以每个人的策略在最后一局的博弈中都是自己的最优策略。 再来看第一阶段的博弈。给定两个参与人在第2阶段的策略和参与人1在第1阶段的策略，如果2选择R ，则他在两局的博弈共可以得到415+=的支付；如果2不选择R ，则他在两局的博弈中最多只能得到数量为3的支付，所以R 是参与人2在第1阶段的最优选择；给定两个参与人在第2阶段的策略和参与人2在第1阶段的策略，如果参与人1选择B ，则他在两局的博弈共可以得到437+=的支付；如果参与人1不选择B ，则他在两局的博弈中最多只能得到数量为6的支付，所以B 是参与人1在第一阶段的最优选择。 综合上述分析可知，每个参与人的策略的确是子博弈完美的纳什均衡策略。

3．什么是重复博弈中的策略？什么是一个重复博弈中的子博弈？什么是一个子博弈完美纳什均衡？

答：（1）重复博弈中的一个策略规定了第一次博弈的选择的策略，规定了在除第一次博弈外的任何一次博弈中，对应该次博弈前任一策略组合序列，所要选择的策略。 记重复博弈为()n Γ，它的任一次博弈记为(){},,N I S u ⎡⎤Γ⋅⎣⎦，I 为参与者的集合，S 和(

)u 分别标志所有参与者的策略集的幂集和该参与者在给定策略组合时的收益。记1

1t t t t H S -==∏为

在t 时期的博弈“历史”，又记1n

t t H H ==。若i S 为参与者i 在一次博弈中的策略集，那么映

射i H S →为行动者i 在重复博弈()n Γ中的策略。博弈为无限次重复时，定义方式类似。

（2）重复博弈的子博弈，是某次博弈的一个策略组合以及该次博弈后的所有博弈。

（3）重复博弈的子博弈完美纳什均衡，是对该重复博弈的任何子博弈来说都是纳什均衡的策略组合。