人教版数学必修二1.3-空间几何体的表面积和体积ppt课件
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高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积
步骤三
如果计算正确，则可以庆祝问题 的解决，并享受数学带来的成就 感。
其他的空间几何体常识
名称
圆锥体 圆柱体 球 正方体
特点
底面为圆形，侧面为三角形 底面为圆形，侧面为矩形 表面积为4πr²，体积为(4πr³)/3 6个面组成，每个面积为a²
小结
知识点
• 空间几何体的表面积 • 空间几何体的体积 • 解题方法和步骤
高二数学必修2课件-空间 几何体的表面积和体积 ppt
本课程将带领大家深入理解空间几何体的表面积和体积，掌握重要的公式和 概念，并提供多个实例进行演示。
为什么要学习空间几何体的表面积和 体积？
1 实际应用广泛
几何体是我们日常生活中常见的物体，如箱子、瓶子、汽车等，熟练掌握空间几何体的 表面积和体积可以应用于各种实际计算中。
技能
• 应用公式解决实际问题 • 掌握计算技巧和策略 • 提高自我学习和思考能力
效果
• 成为数学大师 • 提高应对数学竞赛能力 • 在各种实际计算和操作
中表现更加出色
矩形的体积
面积×高：bh
三角形的体积
底面积之和×高的一半：(ah)/2
立体几何体的体积
1
圆柱体的体积
2
பைடு நூலகம்
πr²h
3
球的体积
(4πr³)/3
圆锥体的体积
(πr²h)/3
解题示例：如何计算球的体积？
步骤一
根据题目提供的半径长度，计算 球的表面积公式：4πr³/3
步骤二
把计算结果与题目所需体积相比 较，如相等则问题解决；如不相 等需检查计算过程是否正确。
2 提高数学水平
对于数学专业的学生，掌握空间几何体的表面积和体积是必不可少的，是数学基础中不 可或缺的一部分。
二、空间几何体的表面积与体积复习课件
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
答案： 3
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
双 基 研 习 • 面 对 高 考
5．(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直 角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋 转一周所成的几何体体积是________．
8π 答案： 3
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
双 基 研 习 • 面 对 高 考
2 ∴AP＝AB＝ 2，EG＝ . 2 1 ∴S△ABC＝ AB· BC 2 1 ＝ × 2×2＝ 2， 2 1 ∴VEABC＝ S△ ABC· EG 3 1 2 1 ＝ × 2× ＝ . 3 2 3
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
双 基 研 习 • 面 对 高 考
解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱 柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大， 削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半 径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高．
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
考点探究•挑战高考
考点突破 几何体的表面积 求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征 几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形， 棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长 等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的 未知量与条件中已知几何元素间的联系；求球的表 面积关键是求其半径；旋转体的侧面积就是它们侧 面展开图的面积．
双 基 研 习 • 面 对 高 考
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
高一数学必修2课件：1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积
先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图 所示．
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱
因为BC＝a，SD＝ SB2－BD2 ＝ a2－a22＝ 23a， 所以S△SBC＝12BC·SD＝12a× 23a＝ 43a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4× 43a2＝ 3a2.
(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其 表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.
B．2
3 C.2
1 D.2
[答案] A
[分析] 如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中 心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则 M1M为斜高．
过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1， S侧＝4×12(1＋2)·M1M， S上底＋S下底＝5. 由已知得2(1＋2)·M1M＝5， ∴M1M＝56. 在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12. ∴M1H＝O1O＝ M1M2－MH2 ＝ 562－122＝23.
学法指导 必须由三视图准确地还原几何体，再根据定 义或公式求出几何体的表面积．
[例4] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1， 则其表面积等于________．
[答案] 6＋2 3
[解析] 通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视
图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为
矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×
43×22
＝6＋2 3.
(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则 该几何体的表面积为( )
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
[答案] C
[解析] 由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱
高一数学人教A版必修2：1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第十一页，编辑于读教材P25－26，回答下列问题： 1．柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离，即从一底面 上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的 交点)之间的距离． (2)柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝ Sh .特别地，圆 柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝ πr2h .
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[分析]明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问 题的关键．因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面 下降部分实际是一个小圆柱，这个小圆柱的底面与玻璃杯的 底面一样，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥形 铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
第一章
空间几何体
第一章 空间几何体
第一页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第二页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
第2课时 柱体、锥体、台体的体积
[答案] (6＋π)
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第三十三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[解析] 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方 体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆 锥＝3×2×1＋π3×12×3＝(6＋π)m3.
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十八页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第十一页，编辑于读教材P25－26，回答下列问题： 1．柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离，即从一底面 上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的 交点)之间的距离． (2)柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝ Sh .特别地，圆 柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝ πr2h .
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[分析]明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问 题的关键．因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面 下降部分实际是一个小圆柱，这个小圆柱的底面与玻璃杯的 底面一样，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥形 铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
第一章
空间几何体
第一章 空间几何体
第一页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第二页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
第2课时 柱体、锥体、台体的体积
[答案] (6＋π)
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第三十三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[解析] 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方 体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆 锥＝3×2×1＋π3×12×3＝(6＋π)m3.
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十八页，编辑于星期日：二十二点 二分。
福建省晋江市季延中学人教版高中数学必修二课件：1.3 简单几何体体积
3 π R2, 2
S S S S 几何体表
球
圆锥AO1侧
圆锥BO1侧
4 π R2 3 π R2 3 π R2 11 3 π R2 ,
2
2
2
旋转所得到的几何体的表面积为11 3 π R2. 2
第三十三页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
又V球
4 3
π
R3 ,V圆锥AO1
1 3
AO1
π
第七页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：如Ｖ果锥圆体锥＝的13底Ｓ面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
第八页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长.
第三十一页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的
阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积. 思维启迪 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积.
A
O
OA 2 3 AB 2 3 r
32
3
B
第二十五页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
例5、有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比.
作轴截面
第二十六页，编辑于星期日：十九点 三十九分。
规律方法总结
1．直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一
公开课优质课课件第2课时空间几何体的表面积和体积(精)
公开课优质课课件第2课时空 间几何体的表面积和体积
汇报人:某某
2023-12-26
目
CONTENCT
录
• 空间几何体的表面积 • 空间几何体的体积 • 空间几何体表面积和体积的应用 • 空间几何体表面积和体积的积
圆柱体的表面积
01
圆柱体的侧面积
$2pi rh$
进阶练习题2
求一个长为6cm，宽为4cm，高为 2cm的长方体的体积。
综合练习题
综合练习题1
求一个底面半径为4cm，高为 6cm的球体的表面积。
综合练习题2
求一个长为8cm，宽为6cm，高 为5cm的长方体的表面积。
综合练习题3
求一个棱长为6cm的正方体的表 面积和体积。
THANK YOU
感谢聆听
体积计算
根据公式，先确定球的半径，然后代入公式计算体积 。
实例分析
以一个半径为5cm的球体为例，计算其体积。
03
空间几何体表面积和体积的应用
实际应用场景
80%
建筑设计
在建筑设计过程中，计算几何体 的表面积和体积是评估材料需求 、预算和设计方案可行性的关键 步骤。
100%
包装工业
在包装工业中，精确计算产品的 表面积和体积对于优化包装材料 使用、降低成本和提高运输效率 至关重要。
圆锥体的体积
圆锥体的体积公式
V = (1/3)πr²h，其中r是底面 圆的半径，h是高。
体积计算
根据公式，先确定底面圆的半 径和高，然后代入公式计算体 积。
实例分析
以一个底面半径为4cm，高为 6cm的圆锥体为例，计算其体 积。
球体的体积
02
01
03
球体的体积公式
汇报人:某某
2023-12-26
目
CONTENCT
录
• 空间几何体的表面积 • 空间几何体的体积 • 空间几何体表面积和体积的应用 • 空间几何体表面积和体积的积
圆柱体的表面积
01
圆柱体的侧面积
$2pi rh$
进阶练习题2
求一个长为6cm，宽为4cm，高为 2cm的长方体的体积。
综合练习题
综合练习题1
求一个底面半径为4cm，高为 6cm的球体的表面积。
综合练习题2
求一个长为8cm，宽为6cm，高 为5cm的长方体的表面积。
综合练习题3
求一个棱长为6cm的正方体的表 面积和体积。
THANK YOU
感谢聆听
体积计算
根据公式，先确定球的半径，然后代入公式计算体积 。
实例分析
以一个半径为5cm的球体为例，计算其体积。
03
空间几何体表面积和体积的应用
实际应用场景
80%
建筑设计
在建筑设计过程中，计算几何体 的表面积和体积是评估材料需求 、预算和设计方案可行性的关键 步骤。
100%
包装工业
在包装工业中，精确计算产品的 表面积和体积对于优化包装材料 使用、降低成本和提高运输效率 至关重要。
圆锥体的体积
圆锥体的体积公式
V = (1/3)πr²h，其中r是底面 圆的半径，h是高。
体积计算
根据公式，先确定底面圆的半 径和高，然后代入公式计算体 积。
实例分析
以一个底面半径为4cm，高为 6cm的圆锥体为例，计算其体 积。
球体的体积
02
01
03
球体的体积公式
1.3空间几何体的表面积和体积
变题1.如果球O和这个正方体的六个面 2 都相切，则有S= a 。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱 2 都相切，则有S= 2a 。
D A D1 A1 B C
O
C1 B1
变式练习.有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方 体的各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面
s3
R
O
s2 s1
4 3 V球 = πR 3 1 1 1 = RS1 + RS2 + RS3 +... 3 3 3 1 = R(S1 + S2 + S3 +...) 3 1 = RS球表 3
s3
R
O
s2 s1
S球表=4πR2
例4 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证： (1) 球的体积等于圆柱体积的2/3； (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。
7
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求他的表面积。
S
A
B C
练习:下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想 象对应的几何体，并求出它的表面积 6
8
10
10
6 10
解：直观图是四棱台,侧 面是四个全等的梯形,上 下底面为不同的正方形
12
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆 底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm， 盆壁长15cm。为了美化花盆的外观，需要涂 油漆。已知每平方米用100毫升油漆，涂100 个这样的花盆需要多少油漆（π取3.14，结果 精确到1毫升，可用计算器）？
S 4 R2 3 a 2
例５.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点 都在球O的球面上，问球O的表面积。
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
人教版高中数学必修二课件：1-3-1柱体和椎体的表面积与体积
3
锥体V 1 Sh
3
6
10
3.14
10 2
2
10
=2956mm3 2.956cm3
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252 答：这堆螺帽大约有252个。
• 练习：三棱锥P-ABC的高为6,底面 是边长为2的等边三角形,则三棱锥 P-ABC的体积为__2___3_.
h
a
bc
S直棱拄侧＝（a b c) h ch
思考：把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到 什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
长＝2r
S圆柱侧 S长方形＝Cl＝2 rl
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h' h'
S正棱锥侧＝
1 2
高中数学课件
灿若寒星整理制作
学习目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公 式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力 ,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的 兴趣.
2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生 的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的 能力.
重点 了解柱体锥体的表面积计算公式.
结果精 确 到1毫升，可用计算器）？
解:花盆外壁的表面积： S (r'2 r 2 r'l rl )
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
20cm
22
2
2
1000(cm2 ) 0.1(m2 )
涂100个花盆需油漆： 0.1100100 1000 (毫升)
锥体V 1 Sh
3
6
10
3.14
10 2
2
10
=2956mm3 2.956cm3
螺帽个数：5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252 答：这堆螺帽大约有252个。
• 练习：三棱锥P-ABC的高为6,底面 是边长为2的等边三角形,则三棱锥 P-ABC的体积为__2___3_.
h
a
bc
S直棱拄侧＝（a b c) h ch
思考：把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到 什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
长＝2r
S圆柱侧 S长方形＝Cl＝2 rl
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h' h'
S正棱锥侧＝
1 2
高中数学课件
灿若寒星整理制作
学习目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公 式.提高学生的空间想象能力和几何直观能力 ,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的 兴趣.
2.掌握简单几何体的表面积的求法,提高学生 的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的 能力.
重点 了解柱体锥体的表面积计算公式.
结果精 确 到1毫升，可用计算器）？
解:花盆外壁的表面积： S (r'2 r 2 r'l rl )
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
20cm
22
2
2
1000(cm2 ) 0.1(m2 )
涂100个花盆需油漆： 0.1100100 1000 (毫升)
第二讲+空间几何体的表面积与体积课件-2025届高三数学一轮复习
图 6-2-7
解析：设上部圆柱的体积为 V1，则
V1＝π×322×2
3＝9
3π 2.
设中、下部圆台的体积分别为 V2，V3，则
V2＝31×49π＋841π＋247π×3 3
＝1174 3π，
V3＝31×49π＋841π＋247π× 3
＝39
4
3π .
所以该青铜器的体积为 V＝V1＋V2＋V3＝87 2 3π(cm3).故选 A.
是圆 O 的直径，点 M 是 SA 的中点.若侧面展开图中，△ABM 为直
角三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A.π3
B.23π
C.43π
D.83π
解析：如图621所示，因为SB＝SA，且△ABM为直角三角 形，所以 SA⊥BM.
图 6-2-1 又因为 M 为 SA 的中点，所以 SB＝AB，
可得△SAB 为等边三角形，即∠ASB＝π3. 则侧面展开图的圆心角为23π. 所以该圆锥的侧面积 S 侧＝π×22×13＝43π.
答案：A
2.(考向 1)(一题两空)如图 6-2-8，已知三棱台 ABC-A1B1C1 中， S△ABC＝25，SA1B1C1＝9，高 h＝6，则三棱锥 A1-ABC 的体积 V 为 A1ABC ________，三棱锥 A1-BCC1 的体积 V A1BCC1为________.
图 6-2-8
解析：V A1ABC＝31S△ABC·h＝13×25×6＝50.
则VV12＝13×S12＋×413S×＋4S×S×h 4Sh＝72.
答案：C
考向 2 旋转体的体积 通性通法：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面 积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、 高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
人教版数学必修二课件：1-3-3球的体积和表面积
答案：C
图 10
这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
(2)(2019 年高三模拟)已知边长为 2 的正方形 BCDE 所在的平面与腰长为 3 的等腰
三角形 ABC 所在的平面垂直，若多面体 ABCDE 的各个顶点均在球面上，则该球的表
面积为( )
A．226π
B．113π
图5
C.238π
D.1183π
第一章 空间几何体
第三节 空间几何体的表面积与体积
第三课时 球的体积和表面积
目标导向
1．知识与技能 能运用球的表面积和体积公式解决实际问题． 2．过程与方法 直接给出球的体积与表面积公式，证明留待以后．求球的体积与表面积关键是求球 的半径． 3．情感、态度与价值观 通过利用球的体积与表面积公式解决实际问题，增强学生的数学应用意识．
知识导学
知识点 1 V 球＝43πR3(R 为球的半径) 知识点 2 S 球面＝4πR2
重点导析
重点：能灵活运用球的表面积和体积公式解决实际问题．
思维导悟
导悟 1 球的体积和表面积 【例 1】 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积． 【(3分)已析知】球的在体面积积为和5体 030积π公，式求中它，的共表面3 个积量．，半径 R 起着桥梁作用，知一可求二， 关键求半径 R. 【解】 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm. ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
图4
(2)球心 O 在 PE 上，AE＝2 2，PA＝2 11 设 PO＝OA＝R 在 Rt△AOE 中，R2＝(6－R)2＋(2 2)2 R＝131 S＝4πR2＝4849π 【答案】 (1)27π (2)B
高中数学必修二全册课件ppt人教版
解析答案
反思与感悟
解 (1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱. (2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；在BB1上取F点，使BF＝2；连接C1E、EF、C1F，则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F，该几何体的特征为：有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
①③
1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.2.各种棱柱之间的关系(1)棱柱的分类
棱柱
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
3.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
底面
侧面
侧棱
高
平行于底面的截面
棱柱
斜棱柱
平行且全等的两个多边形
平行四边形
第一 章 § 1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学 新知探究 点点落实
如图棱柱可记作：棱柱
相关概念：底面(底)：两个互相 的面侧面： 侧棱：相邻侧面的顶点： 的公共顶点
互相平行
四边形
互相平行
平行
其余各面
公共边
侧面与底面
ABCDEF—
A′B′C′D′E′F′
答案
分类：①依据：底面多边形的 ②类例： (底面是三角形)、 (底面是四边形)……
人教版高中数学必修二精品课件：1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积
圆锥的体积公式：
V 1 Sh （其中S为底面面积，h为高）
3
圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的
1
3
棱锥的体积公式：
V 1 Sh（其中S为底面面积，h为高）
3
棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的
1
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底
面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等 于底面面积乘高的 。1
上底扩大(S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
例三
有一堆规格相同的铁制（铁的密是 7.8g/cm3）六 角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为 12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽 大约有多少个（π取3.14）？
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体 积之差，即:
2
3 3
2.（ 辽宁）设某几何体的三视图（单位:cm）如图 所示，（尺寸的长度单位为m）.则该几何体的体 积为_______4_m__3。
正视图
3
俯视图
侧视图
【解析】由三视图知其为三棱锥，由“主左 一样高，主俯一样长，俯左一样宽”可知高 为2，地面三角形的底面边长为4，高为3，则 所求棱锥体积为：
l 2r l 2r
a r(r l ) 3 r 2
r a
3
3. 若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的 侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线长为
____5_______.
r' O l
rO
S侧 r'l rl 4l
S底 r2 r2 10
4 l 20 l 5
4. 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，
1.柱体、锥体、台体的表面积 探究 棱柱、棱锥、棱台的展开图是什么？
2014年人教A版必修二课件 1.3 空间几何体的表面积与体积
6 25 5 12
= 2[6 3 (24 + 12)]+ 612 5 + 6p 25 ≈1579.485 (mm2), 10000个零件的表面积约为15794850 mm2, 约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件 下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧 面是全等的矩形) 形, 上面是圆柱 (尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这 种零件需要用锌, 已知每平方米用 锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需 要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg) 解: 这个零件的表面积为 S = S棱柱表+S圆柱侧
2. 柱体、锥体与台体的体积 问题 1. 还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的 体积公式吗? 由此类推柱体和锥体的体积公式如何? 你想想台体的体积怎样求? 柱体体积: V柱 = Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 锥体体积: V锥 = 1 Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 3 台体体积: V台 = V大锥体-V小锥体 (S为下底面积, S为上底面积, = 1 ( Sh大 - Sh小 ), 3 h 为台高). h S = ( 小 )2 , h大 - h小 = h, S h大 1 V台 = h( S + SS + S). 3
例 1. 已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面 体 S-ABC, 求它的表面积. 解: 这四面体的表面是由 4 个全等 的等边三角形组成, A 所以它的表面积 S = 4S△SBC B D 在△SBC中, 边长为 a, SD为BC边上的高. a 2 2 = 3 a, 2 2 则 SD = SB - BD = a - ( ) 2 2 3 a2, 1 3 于是得 S△SBC= 1 BC SD = a a = 4 2 2 2 所以, 这个四面体的表面积为 3 S = 4 a 2= 3a 2 . 4
高中数学必修二：1.3-2球的表面积和体积.pptx
3
3
18
你能由此推导出半径为R的球的表面积 公式吗？
S 4 R2
经过球心的截面圆面积是什么？它与球 的表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的 4 倍
19
理论迁移
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等 于球的直径，求证： （1）球的体积等于圆Байду номын сангаас体积的 2 ；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2
S S 正多边形
A1OA 2
SA2OA3
SAnOA1
1 2
p( A1A2
A2 A3
An A1)
1 2
pC正多边形
O
当n 时，p R,C正多边形 C圆
p
A3
S圆
1 2
R
2R
R2
A1 A2
12
极限思想
zxxkw
割
圆
术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面
O A
C
M B
R 3 6 , S 54 ,V 27 6
23
2
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.2
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是. 1: 2 2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是. 1: 3 4
20
例2 已知正方体的八个顶点都在球O
的球面上，且正方体的表面积为a2，求
球O的表面积和体积.
C′
o
A
21
例3某街心花园有许多钢球（钢的密度是
人教版高中数学必修立体几何复习课件(共102张PPT)
1 1
1
11.已知某个几何体的三视图如图2，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是_____8_0__0.0 cm 3
3
2 0 20
主视图
10
10
2 俯0视图
2 侧0视图
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
• 四个公理
直线与直线位置关系 • 三类关系 直线与平面位置关系
平面与平面位置关系
（3）
a a
// b
b
（较常用）；
（4）
a
//
a
；
（5）
a a
b
a
（面面垂直 线面垂直）
a b
4.面面垂直
向的侧视图（或称左视图）为（
A
A
H
G
Q
B
C
侧视 B
）A
C
I
P
E
图1
F
B
D
E
D
图2
F
B
B
B
E A．
E B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E C．
E D．
练习10：(1)如图是一个空间几何体的三
视图，如果直角三角形的直角边长均为
正视图 侧视图
1，那么几何体的体积为( ) C
A．1 B．1 C． 1 D．1
俯视图
2
3
6
V1 3S底 h1 31111 3
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于 另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述： a,b , a b O, a //,b // //
//
③面面平行的性质定理：
a
a
//
简单几何体的表面积与体积_课件
总结
旋转体的面积和体积公 式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
V
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，x、x分别表示圆台上、 下底面半径，R表示半径
棱柱体积
长方体体积： 正方体体积：
底面积 高
棱柱体积
（其中S为底面面积，h为柱体的高 ）
棱锥体积 （底面积S，高h）
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的 每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离。
棱锥体积 （底面积S，高h）
棱锥的体积公式 ：
（其中S为底面面积，h为高 ）
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如 图把球O的表而分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体 就被分割成n个“小锥体”。 当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面 就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球 半径R.设 O-ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是
圆台的侧面展开图是扇 环
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系 ？
r’ ＝r
上底扩大
r’ ＝0
上底缩小
圆柱、圆锥和圆台的表面 积
理解并掌握圆柱、圆锥和圆台的表面积公 式 能够根据公式进行求 值
圆柱体积
h
圆锥体积
h
（其中S为底面面积，h为高 ）
圆台体积
上下底面积分别是s',s,高是h， 则
某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样 的四面体得到的，如果被酸正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多 少？
求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面
积. 提示：侧面均为矩
高中数学人教版必修二：1.3.2《球的体积与表面积》课件
D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.（2015年新课标I）圆柱被一 个平面截去一部分后与半球(半 径为r)组成一个几何体，该几何 体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则r=（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8
正视图
侧视图
1 （ A） 8 1 （ C） 6
1 （B） 7 1 （ D） 5
俯视图
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1，如图所示， 设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析：正方体的中心为球的球心， 正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表 面积 展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )
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S直棱柱侧＝ ch.（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr.（l 类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S直棱拄侧＝（a b c) h ch
10
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
1 2
ch'
15
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正三棱锥的侧面展开图
h/ h/
侧面展开
h' h'
正五棱锥的侧面展开图
S表面积 S侧 S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线
展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇形
R扇＝l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆
锥
侧＝S扇＝
h
正棱柱的侧面展开图
S表面积 S侧 2S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
长 ＝2r
S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
12
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面积 S侧 2S底
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
S圆锥侧= πrl
C’=0
r1=0
S正
棱
台＝
1（c＋c' 2
)h'
C’=C
S直 棱 柱＝ch' ch
S圆台侧=π（r1+r2)l r1=r2
1.3 简单几何体的表面积和体积
1、表面积：几何体表面的面积 2、体积：几何体所占空间的大小。
表面积、全面积和侧面积
• 表面积：立体图形的所能触摸到的面积之 和叫做它的表面积。（每个面的面积相加 ）
• 全面积 全面积是立体几何里的概念， 相对于截面积（“截面积”即切面的面积） 来说的，就是表面积总和
S r2 rl r(r l)
S (r'2 r 2 r'l rl )
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，
它们的侧面展开图还是平面图形，
计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和
例1：一个正三棱台的上、下底面边长
(2)锥体的侧面积
①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜 高为h′，则
S正棱锥侧＝ 1∕2ch.（′ 类比三角形的面积）
②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那 么
S圆锥侧＝ πrl.（类比三角形的面积）
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h' h'
S正
棱
锥
侧＝
5
回忆复习有关概念 1、直棱柱： 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 2、正棱柱： 直 底面是正多边形的 棱柱叫正棱柱 3、正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心
的棱锥
4、正棱台： 正棱锥被平行于底面的平面所截， 截面和底面之间的部分叫正棱台
6
斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高
• 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和 （除去底面）
6/4/2020 9:35:30 PM 云在漫步
棱柱、棱锥、棱台的侧面积
• 侧面积所指的对象分别如下： • 棱柱----直棱柱。 • 棱锥----正棱锥。 • 棱台----正棱台
6/4/2020 9:35:30 PM 云在漫步
2.几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积 之和 . （2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩 形 、 扇形 、扇环形；它们的表面积等于侧面积 与底面面积之和.
分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱
台的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
28
例3：圆台的上、下底面半径分别为2
和4，高为 2 3 ，求其侧面展开图扇环
所对的圆心角
答：1800 分析：抓住相似三角形中的相似比是解 题的关键
小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好 相应的计算公式，注意逆向用公式；
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
2r'
r'O’
2r
l
rO
圆台的侧面展开图是扇环
S (r'2 r 2 r'l rl )
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇环
r1
l
r2
S圆台侧＝S扇环＝（r1 r2 )l
r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝ πl(r′＋． r)
注：表面积＝侧面积＋底面积．
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？（类比梯形的面积）
h'
h'
S正
棱
台
侧＝
1（c 221
c'
)h'
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正四棱台的侧面展开图
h'
S表面积 S侧 S上底 S下底
nl 2
360
1 128
l扇l
rl
2r
l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S r2 rl r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周 长分别为c′、c，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公
式：S正棱台侧＝ 1∕2(c＋c.′)h′
②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为
2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆 锥中解决圆台问题，注意相似比.
29
例：圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果 中保留π）
30
小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键；
2、对应的面积公式
S三
棱
锥＝
1 2
ch'
24
S (r'2 r 2 r'l rl )
r' x
r xl
x 2r'
r'O’
2r
l
rx r' x r'l
rO
S侧 r(l x) r' x (rl rx r' x)
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r O
r'O’ l
l
r
O
l
O
rO
C1
A1
B1
C
C
A
B
P
A1
C1
A
B
O
D
B1 D1 C
O D
B
A
7
2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴
A
A
B
A
B
C
DB
CC
D
分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.
矩形
等腰三角形
等腰梯形
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知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积 (1)柱体的侧面积
①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c， 则
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr.（l 类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S直棱拄侧＝（a b c) h ch
10
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
1 2
ch'
15
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正三棱锥的侧面展开图
h/ h/
侧面展开
h' h'
正五棱锥的侧面展开图
S表面积 S侧 S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线
展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇形
R扇＝l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆
锥
侧＝S扇＝
h
正棱柱的侧面展开图
S表面积 S侧 2S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l
长 ＝2r
S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
12
r O
l
2 r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面积 S侧 2S底
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
S圆锥侧= πrl
C’=0
r1=0
S正
棱
台＝
1（c＋c' 2
)h'
C’=C
S直 棱 柱＝ch' ch
S圆台侧=π（r1+r2)l r1=r2
1.3 简单几何体的表面积和体积
1、表面积：几何体表面的面积 2、体积：几何体所占空间的大小。
表面积、全面积和侧面积
• 表面积：立体图形的所能触摸到的面积之 和叫做它的表面积。（每个面的面积相加 ）
• 全面积 全面积是立体几何里的概念， 相对于截面积（“截面积”即切面的面积） 来说的，就是表面积总和
S r2 rl r(r l)
S (r'2 r 2 r'l rl )
S 2 r2 2 rl 2 r(r l)
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，
它们的侧面展开图还是平面图形，
计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和
例1：一个正三棱台的上、下底面边长
(2)锥体的侧面积
①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜 高为h′，则
S正棱锥侧＝ 1∕2ch.（′ 类比三角形的面积）
②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那 么
S圆锥侧＝ πrl.（类比三角形的面积）
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h' h'
S正
棱
锥
侧＝
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回忆复习有关概念 1、直棱柱： 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 2、正棱柱： 直 底面是正多边形的 棱柱叫正棱柱 3、正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心
的棱锥
4、正棱台： 正棱锥被平行于底面的平面所截， 截面和底面之间的部分叫正棱台
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斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出 斜高
• 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和 （除去底面）
6/4/2020 9:35:30 PM 云在漫步
棱柱、棱锥、棱台的侧面积
• 侧面积所指的对象分别如下： • 棱柱----直棱柱。 • 棱锥----正棱锥。 • 棱台----正棱台
6/4/2020 9:35:30 PM 云在漫步
2.几何体的表面积 （1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积 之和 . （2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩 形 、 扇形 、扇环形；它们的表面积等于侧面积 与底面面积之和.
分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱
台的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
28
例3：圆台的上、下底面半径分别为2
和4，高为 2 3 ，求其侧面展开图扇环
所对的圆心角
答：1800 分析：抓住相似三角形中的相似比是解 题的关键
小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好 相应的计算公式，注意逆向用公式；
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
2r'
r'O’
2r
l
rO
圆台的侧面展开图是扇环
S (r'2 r 2 r'l rl )
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇环
r1
l
r2
S圆台侧＝S扇环＝（r1 r2 )l
r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝ πl(r′＋． r)
注：表面积＝侧面积＋底面积．
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？（类比梯形的面积）
h'
h'
S正
棱
台
侧＝
1（c 221
c'
)h'
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
侧面展开
h'
正四棱台的侧面展开图
h'
S表面积 S侧 S上底 S下底
nl 2
360
1 128
l扇l
rl
2r
l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S r2 rl r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周 长分别为c′、c，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公
式：S正棱台侧＝ 1∕2(c＋c.′)h′
②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为
2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆 锥中解决圆台问题，注意相似比.
29
例：圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果 中保留π）
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小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键；
2、对应的面积公式
S三
棱
锥＝
1 2
ch'
24
S (r'2 r 2 r'l rl )
r' x
r xl
x 2r'
r'O’
2r
l
rx r' x r'l
rO
S侧 r(l x) r' x (rl rx r' x)
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
r O
r'O’ l
l
r
O
l
O
rO
C1
A1
B1
C
C
A
B
P
A1
C1
A
B
O
D
B1 D1 C
O D
B
A
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2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴
A
A
B
A
B
C
DB
CC
D
分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.
矩形
等腰三角形
等腰梯形
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知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积 (1)柱体的侧面积
①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c， 则