高等数学 电子教案(下)
高等数学下电子教案
高等数学下电子教案一、引言1.1 课程介绍本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科生和研究生，涵盖高等数学的基本概念、理论和方法。
1.2 教学目标通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本知识，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、极限与连续2.1 极限的定义与性质2.1.1 极限的定义2.1.2 极限的性质2.1.3 极限的存在性定理2.2 无穷小与无穷大2.2.1 无穷小的概念2.2.2 无穷小的比较2.2.3 无穷大2.3 极限的运算法则2.3.1 极限的四则运算法则2.3.2 复合函数的极限2.4 极限的求解方法2.4.1 直接代入法2.4.2 因式分解法2.4.3 洛必达法则2.5 连续函数的性质2.5.1 连续函数的定义2.5.2 连续函数的性质2.5.3 连续函数的例子三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 导数的性质3.1.3 导数的计算法则3.2 高阶导数3.2.1 二阶导数3.2.2 三阶导数及更高阶导数3.3 隐函数求导3.3.1 隐函数求导的基本方法3.3.2 隐函数求导的例子3.4 微分3.4.1 微分的定义3.4.2 微分的性质3.4.3 微分的计算四、微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.1.3 柯西中值定理4.2 导数的应用4.2.1 函数的单调性4.2.2 函数的极值4.2.3 函数的凹凸性五、不定积分与定积分5.1 不定积分5.1.1 不定积分的概念5.1.2 不定积分的性质5.1.3 不定积分的计算方法5.2 定积分5.2.1 定积分的概念5.2.2 定积分的性质5.2.3 定积分的计算方法5.3 定积分的应用5.3.1 面积的计算5.3.2 弧长的计算5.3.3 质心、转动惯量的计算六、定积分的进一步应用6.1 定积分在几何中的应用6.1.1 计算平面区域的面积6.1.2 计算曲线围成的面积6.1.3 计算旋转体的体积6.2 定积分在物理中的应用6.2.1 计算物体的质量6.2.2 计算物体受到的力6.2.3 计算物体的动能和势能6.3 定积分在概率论中的应用6.3.1 概率密度函数的定义6.3.2 计算概率6.3.3 计算期望和方差七、微分方程7.1 微分方程的基本概念7.1.1 微分方程的定义7.1.2 微分方程的阶数7.1.3 微分方程的解7.2 一阶微分方程7.2.1 分离变量法7.2.2 积分因子法7.2.3 变量替换法7.3 高阶微分方程7.3.1 线性高阶微分方程7.3.2 非线性高阶微分方程7.3.3 常系数线性微分方程八、线性代数8.1 矩阵8.1.1 矩阵的定义8.1.2 矩阵的运算8.1.3 矩阵的性质8.2 线性方程组8.2.1 高斯消元法8.2.2 克莱姆法则8.2.3 矩阵的逆8.3 向量空间与线性变换8.3.1 向量空间的概念8.3.2 线性变换的概念8.3.3 特征值与特征向量九、概率论与数理统计9.1 概率论基本概念9.1.1 随机试验与样本空间9.1.2 事件与概率9.1.3 条件概率与独立性9.2 离散型随机变量9.2.1 离散型随机变量的定义9.2.2 离散型随机变量的分布律9.2.3 离散型随机变量的期望与方差9.3 连续型随机变量9.3.1 连续型随机变量的定义9.3.2 连续型随机变量的分布函数9.3.3 连续型随机变量的期望与方差9.4 数理统计的基本概念9.4.1 统计量与抽样分布9.4.2 估计理论9.4.3 假设检验十、复变函数10.1 复数的基本概念10.1.1 复数的定义10.1.2 复数的运算10.1.3 复数的性质10.2 复变函数的基本概念10.2.1 复变函数的定义10.2.2 复变函数的运算10.2.3 复变函数的性质10.3 复变函数的积分10.3.1 复变函数的积分公式10.3.2 复变函数的积分计算10.3.3 复变函数的line integral10.4 复变函数的应用10.4.1 复变函数在几何中的应用10.4.2 复变函数在物理中的应用10.4.3 复变函数在工程中的应用重点和难点解析一、极限与连续1.1 极限的定义与性质：理解极限的概念，特别是无穷小和无穷大的比较，以及极限的存在性定理。
(完整版)高等数学下册电子教案
其中p，q为常数，
特征方程02qp
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）当042qp，特征方程有两个不同的实根
，2
则方程的通解为xxeCeCy
1
1
（2）当042qp，特征方程有二重根
1
则方程的通解为xexCCy
二阶齐次线性方程 0yxqyxpy （1）
二阶非齐次线性方程 xfyxqyxpy （2）
1．若xy
，xy2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合
yCxyC
211（1C，2C为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当xyxy21（
，也即xy
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次
因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常
四．二阶常系数非齐次线性方程
方程：xfqyypy 其中qp,为常数
通解：xyCxyCyy
211
其中xyCxyC
211为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关
所得微分方程
yxdydx4即31yxydydx
是一阶线性方程
yP1，3yyQ
yCdyeyexdyydyy4131
1
（4）此题把x看作未知函数，y看作自变量所得微分方程为
yxy
dxcoscot，yyPcot，yyQcos
Cy
Cdyyeexydyydy2cotcotsin21sin1cos
例6．求微分方程
222
xyxxyydxdy的通解。
例7．求微分方程2
22yxydxdy
例8．求微分方程
1xyxydxdy的通解
高等数学下电子教案
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数
第五节 函数的幂级数展开式的应用
第七节 傅里叶级数
第八节 一般周期函数的傅里叶级数
习题课
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第十二章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 齐次方程 第四节 一阶线性微分方程 习题课 (一阶方程) 第六节 可降阶的高阶微分方程 第七节 高阶线性微分方程
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第八章 多元函数微分法及其应用
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数的求导方法 第六节 多元函数微分学的几何应用
第七节 方向导数与梯度
第八节 多元函数的极值及其求法
习题课
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第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算法 第三节 三重积分 第四节 重积分的应用
习题课
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第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对坐标的曲线积分 第三节 格林公式及其应用
习题课
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第十一章 无穷级数
高等数学下电子教案
高等数学下电子教案一、引言1.1 课程简介本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科阶段的学生。
通过本课程的学习，学生将掌握高等数学的基本概念、方法和技巧，为后续专业课程的学习和科研工作打下坚实的基础。
1.2 教学目标（1）理解并掌握高等数学的基本概念和原理；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；（3）提高学生的数学素养和科学研究的初步能力。
二、极限与连续2.1 极限的概念（1）极限的定义；（2）极限的性质；（3）极限的存在条件。
2.2 极限的计算（1）基础极限公式；（2）无穷小和无穷大的比较；（3）极限的运算法则。
2.3 连续性（1）连续性的定义；（2）连续函数的性质；（3）连续函数的判定定理。
三、导数与微分3.1 导数的概念（1）导数的定义；（2）导数的几何意义；（3）导数的物理意义。
3.2 导数的计算（1）基本导数公式；（2）导数的运算法则；（3）高阶导数。
3.3 微分（1）微分的定义；（2）微分的运算法则；（3）微分在近似计算中的应用。
四、积分与面积4.1 不定积分（1）不定积分的概念；（2）基本积分公式；（3）积分的换元法和分部法。
4.2 定积分（1）定积分的概念；（2）定积分的性质；4.3 面积计算（1）平面区域的面积计算；（2）曲线的面积计算；（3）旋转体的体积计算。
五、微分方程5.1 微分方程的基本概念（1）微分方程的定义；（2）微分方程的解法；（3）微分方程的应用。
5.2 线性微分方程（1）线性微分方程的定义；（2）线性微分方程的解法；（3）线性微分方程的解的存在性定理。
5.3 非线性微分方程（1）非线性微分方程的定义；（2）非线性微分方程的解法；（3）非线性微分方程的应用。
六、级数6.1 级数的基本概念（1）级数的定义；（2）级数的收敛性；6.2 幂级数（1）幂级数的概念；（2）幂级数的收敛半径；（3）幂级数的运算。
6.3 泰勒级数和麦克劳林级数（1）泰勒级数的概念；（2）泰勒级数的展开；（3）麦克劳林级数。
高等数学电子教案(大专版)(2024)
02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率，即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。
高数下教案模板范文
教学对象：大学本科一年级教学目标：1. 理解不定积分的概念，掌握不定积分的计算方法。
2. 熟练运用不定积分解决实际问题，如求解函数的微分方程、计算定积分等。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点：1. 不定积分的概念和计算方法。
2. 不定积分在实际问题中的应用。
教学难点：1. 不定积分的计算方法。
2. 不定积分在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入1. 复习不定积分的定义和性质。
2. 引入不定积分在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 不定积分的概念- 引入不定积分的定义，解释不定积分的几何意义。
- 通过实例说明不定积分在几何中的应用。
2. 不定积分的计算方法- 介绍基本积分公式和积分技巧。
- 通过实例讲解不定积分的计算方法。
3. 不定积分在实际问题中的应用- 求解函数的微分方程。
- 计算定积分。
三、课堂练习1. 基本积分公式的应用。
2. 不定积分的计算。
3. 求解函数的微分方程。
4. 计算定积分。
四、课堂小结1. 总结本节课的重点内容。
2. 强调不定积分在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 完成课后练习题。
2. 预习下一节课的内容。
教学评价：1. 课堂练习题的正确率。
2. 课后作业的完成情况。
3. 学生对不定积分的理解和应用能力。
教学反思：1. 本节课是否达到了教学目标。
2. 学生对不定积分的理解程度。
3. 教学过程中是否存在难点，如何改进。
教学资源：1. 教材：《高等数学》（下册）2. 多媒体课件3. 练习题集注：以上教案模板仅供参考，教师可根据实际情况进行调整。
《高等数学2》教案
《高等数学2》教案一、课程基本信息课程名称：高等数学 2课程类型：公共基础课授课对象：＿____专业大一学生学分：＿____学时：＿____二、课程目标1、使学生掌握多元函数微积分学的基本概念、基本理论和基本方法。
2、培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运算能力。
3、为学生学习后续课程以及解决实际问题提供必要的数学基础。
三、课程内容（一）多元函数的极限与连续1、多元函数的概念（1）通过实例引入多元函数的概念，如空间中温度的分布、物体的质量分布等。
（2）讲解二元函数的定义、定义域的确定方法。
2、多元函数的极限（1）介绍多元函数极限的定义，通过图形和实例帮助学生理解。
（2）分析多元函数极限的计算方法，与一元函数极限进行对比。
3、多元函数的连续性（1）讲解多元函数连续性的定义和判定方法。
（2）探讨连续函数的性质，如局部有界性、局部保号性等。
（二）偏导数与全微分1、偏导数的概念（1）通过实际问题引出偏导数的概念，如研究温度随地理位置的变化。
（2）讲解偏导数的定义和计算方法。
2、全微分（1）介绍全微分的概念和定义。
（2）讲解全微分存在的条件和计算方法。
（三）多元复合函数与隐函数求导法则1、多元复合函数求导法则（1）通过具体例子讲解多元复合函数的求导方法，如链式法则。
（2）强调求导过程中的注意事项。
2、隐函数求导法则（1）介绍隐函数的概念和存在定理。
（2）讲解隐函数求导的方法，通过实例进行巩固。
（四）多元函数的极值与最值1、多元函数的极值（1）讲解多元函数极值的定义和必要条件。
（2）介绍极值的充分条件，通过例题进行分析。
2、多元函数的最值（1）探讨在有界闭区域上求多元函数最值的方法。
（2）通过实际问题，如生产优化问题，进行应用。
（五）重积分1、二重积分的概念与性质（1）通过实例引入二重积分的概念，如求平面图形的面积。
（2）讲解二重积分的性质，如线性性、可加性等。
2、二重积分的计算（1）介绍直角坐标系下二重积分的计算方法。
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编) 电子教案-1_2 极限的概念-电子课件
2n 2 2n 1
成立.
发散数列 1n 也可能有界， 1 n 1 ；
无界数列 (1)n 2n 一定发散；
有界数列
1 2
1
(1)n
不
一
定
收
敛
，
1 2
1
(1)n
1，但当
n
为奇数时，
1 2
1
(1)
n
0 ；当
n
为偶数时，
1 2
1
(1)n
1.
综上可知：收敛数列必有界.数列有界是数列收敛的
2x 1 7 ，即 m f (x) M .此处 f x 2x 1 在x 3 处有定义，且当 x 3时， f x 的极限值恰好是f 2 .
例 8 由表达式
y
f
(x)
1
x, 0, x
x 0
0
1
的确定的函数，如图 1-26 所示.
O
1
x
图21-526
当 x 0时， f (x) 1 x，则lim f (x) lim(1 x) 1.
x2 x2
求 lim f (x), lim f (x),并由此判断lim f (x) 是否存在.
x2
x2
x2
解 lim f (x) lim (2x 1) 5, lim f (x) lim (x2 1) 5，
x2
x2
x2
x2
即 f (2 ) f (2 ) 5, 由函数 f (x) 在x 2 处极限存在的充要
自变 x x0的变化过程中，函数值 f (x)无限接近于 A，就
称 A 是函数 f (x)当
x
x0
时
极
限
.
记
高等数学(下)课程教案
本次课的基本内容：
(1)方向导数的定义及与其相关的概念；
(2)方向导数的计算方法；
(3)梯度的定义及与其相关的概念；
(4)梯度的计算方法；
(5)方向导数与梯度的关系。
通过本讲的学习,使得同学们理解方向导数和梯度的定义；熟练掌握方向导数和梯度的计算方法。
重点：方向导数和梯度的计算方法。
高等数学（下）课程教案
授课题目（教学章节或主题）：
8.1多元函数的基本概念（续）
8.2偏导数
授课类型
讲授
授课时间
教学目标或要求：
掌握多元函数的连续性的定义和连续的有关性质；理解偏导数的定义。
教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
本次课的基本内容：
(1) 多元函数连续性的定义；
(2)多元连续函数在有界闭区域的重要性质及其几何意义；
(3) 偏导数的定义。
通过本讲的学习,使得同学们熟练掌握多元函数的极限、连续性等有关计算；理解偏导数的定义。
重点:多元函数的连续性、偏导数概念的理解及有关计算。
难点：多元函数的极限、连续性、偏导数等的计算。
教学手段与方法：讲授、练习
思考题、讨论题、作业：
讨论和思考：多元函数的连续性、偏导数等概念与一元函数相应概念的比较
(2) 多元函数的极限的定义；
(3)多元函数的极限的计算方法；
(4) 预备知识:一元函数的极限、连续性及有关性质；一元函数的导数、高阶导数等的定义及计算，连续与可导之间的关系等。
通过本讲的学习,使得同学们了解多元函数的基本情况；熟练掌握多元函数的极限计算。
重点:多元函数的极限概念的理解及有关计算。
难点：多元函数的极限的计算。
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编) 电子教案-2_5 高阶导数-电子课件
(x 1)(n 1, 2,...).
注 0! 1,因此，这个结果n 1 时也成立.
例5
求函数 f (x)
1 x2 6x 5
(x 1,5)的 n 阶导数.
解
f
(x)
x2
1 6x 5
1 (x 1)(x 5)
1 4
1 x 5
1 x 1
f
( x)
1 4
(x
1 5)2
1 (x 1)2
例如，自由落体的位置函数 s(t) 1 gt2 ，一阶导数 2
v(t) s(t) gt 是瞬时速度， Biblioteka (t) (gt) g 是加速度 .
例 1 设 f (x) x5 4x2 3x, 求 f (x)及 f (1).
解 因为 f (x) 5x4 8x 3, 则 f (x) (5x4 8x 3) 20x3 8
所以 f (1) (20x3 8) |x1 12.
例 2 证明： y exsinx满足关系式 y 2 y 2 y 0.
证明 因为 y exsinx excosx ex (sinx cosx),
y ex sin x cos x ex cos x sin x 2ex sin x
一般地， f (x)的 n-1 阶导数的导数称为 f (x) 的 n 阶导数.
三阶导数的记号是
y,
f
( x),
d3 y dx3
或d3 f dx3
.
n
4时的
n
阶导数
的记号是
y(n) ,
f
(n) (x),
dn y dxn
或dn f dxn
.二阶或二阶以上的导数统
称为高阶导数.
二阶导数有明显的物理意义.变速直线运动的位置函 数s s(t)时，s(t)为瞬时速度v(t)，加速度是速度v(t)的变 化率，等于v(t) ，即位置函数 s(t)的二阶导数 s(t)为变速 直线运动的加速度 a(t ).
《高等数学(下册)》(阳平华)646-1教案 第11章 第21课 极坐标系下二重积分的计算
通过测试，了解 学生对知识点的 掌握情况，加深学 生对本节课知识 的印象
第二节课
【教师】讲解极点在区域 D 的内部时二次积分的计算，并通过 例题介绍其应用
如图 11-21 所示，如果极点在区域 D 的内部，则 D 可以表示 为
知识讲解 （20 min）
0 2π ， 0 ( ) ，
其中 ( ) 是区域 D 边界曲线的极坐标方程．因此，极坐
时巩固练习，实现 教学做一体化
0 r a ， 0 2π ，
于是
ex2 y2 dxdy
er2 rdrd
2π
d
a er2 rdr
0
0
D
D
2 0
π
1 2
er2
a 0
d
π(1
ea2
)．
4
21 极坐标系下二重积分的计算 第
课
图 11-21
图 11-22
此题若采用直角坐标进行计算，则会遇到积分 ex2 dx ，它不
21 极坐标系下二重积分的计算 第
课
课题 课时
教学目标
教学重难点 教学方法 教学用具 教学设计
教学过程
极坐标系下二重积分的计算
2 课时（90 min）
知识技能目标：
（1）掌握极点在区域 D 的边界时二次积分的计算方法；
（2）掌握极点在区域 D 的外部时二次积分的计算方法；
（3）掌握极点在区域 D 的内部时二次积分的计算方法
次积分的计算公式为
2
21 极坐标系下二重积分的计算 第
课
f ( cos ， sin )dd
D
2 ( ) 1 ( )
f ( cos ， sin )d d ，
或简写成
高等数学下电子教案
第二学期
教学内容与课时安排
第七章 空间解析几何与向量代数(11学时) 第八章 多元函数微分法及其应用(12学时) 第九章 重积分(12学时) 第十章 曲线积分与曲面积分(6学时) 第十一章 无穷级数(14学时) 第十二章 微分方程(13学时)
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第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对坐标的曲线积分 第三节 格林公式及其应用
习题课
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第十一章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数
高等数学下电子教案
课程说明
高等数学是理工科各专业必修的理论基础课。通过本课程的 学习，使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积 分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论 与基本运算技能；在传授知识的同时通过各个教学环节逐步培训 学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力 和综合应用所学的知识分析问题、解决问题的能力。要着眼于提 高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意 识、兴趣和能力，修完这门课程，学生将获得后续课程及工作实 践所必须的数学思想、计算方法、基础知识、基本技能。
第八章多元函数微分法及其应用12学时第七章空间解析几何与向量代数11学时教学内容与课时安排第二学期第九章重积分12学时第十章曲线积分与曲面积分6学时第十一章无穷级数14学时第十二章微分方程13学时第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积混合积第三节第三节曲面及其方程曲面及其方程空间解析几何与向量代数第七章目录上页下页返回结束习题课第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程第一节多元函数的基本概念第二节第三节偏导数全微分第四节第四节多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元函数微分法及其应用第八章目录上页下页返回结束第五节隐函数的求导方法第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法习题课第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算法第三节第三节三重积分三重积分第九章重积分目录上页下页返回结束第四节重积分的应用习题课第一节对弧长的曲线积分第二节对坐标的曲线积分第三节第三节格林公式及其应用格林公式及其应用第十章曲线积分与曲面积分目录上页下页返回结束习题课第一节常数项级数的概念与性质第二节常数项级数的审敛法第三节第三节幂级数幂级数第十一章无穷级数目录上页下页返回结束第四节函数展开成幂级数第五节函数的幂级数展开式的应用第七节傅里叶级数第八节一般周期函数的傅里叶级数习题课第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次方程第三节齐次方程第十二章微分方程目录上页下页返回结束第四节一阶线性微分方程习题课一阶方程第六节可降阶的高阶微分方程第七节高阶线性微分方程第八节常系数齐次线性微分方程第九节常系数非齐次线性微分方程习题课高阶方程习题课高阶方程第十二章微分方程续目录上页下页返回结束
高等数学教育教案(电子版)
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学电子教案
高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，函数f(x)趋向于某一数值L，我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作：lim(f(x),a)=L。
1.3 极限的运算极限的四则运算法则：1）lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2）lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3）lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) （g(x)≠0）4）lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) （c为常数，u(x)可导）1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。
无穷大的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。
2.2 导数的运算导数的四则运算法则：1）(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2）(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3）(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) （c为常数，u(x)可导）2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。
高等数学下册教案
高等数学下册教案教案标题：高等数学下册教案教案目标：1. 理解高等数学下册的主要内容和学习要求。
2. 设计有效的教学活动，帮助学生掌握高等数学下册的核心概念和方法。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教案步骤：第一步：引入（5分钟）引入高等数学下册的学习主题和重点，激发学生对数学的兴趣和学习动力。
第二步：知识讲解（20分钟）1. 介绍高等数学下册的主要内容和学习要求。
2. 解释高等数学下册中的核心概念和方法，包括但不限于微积分、线性代数、概率论等。
3. 提供具体的实例，帮助学生理解和应用这些概念和方法。
第三步：示范演示（15分钟）通过示范演示，展示如何运用高等数学下册的知识解决实际问题。
鼓励学生积极参与讨论和提问。
第四步：小组合作（20分钟）将学生分成小组，让他们一起解决一些高等数学下册的练习题或问题。
鼓励学生互相合作、讨论和分享解题思路。
第五步：个人练习（15分钟）让学生独立完成一些高等数学下册的练习题，巩固所学知识并提高解题能力。
第六步：总结和反思（10分钟）总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
鼓励学生提出问题和反思学习过程。
教案评估：1. 教师观察学生在小组合作和个人练习中的表现，评估他们对高等数学下册的理解和应用能力。
2. 收集学生的练习题答案，检查他们的解题过程和答案的准确性。
3. 鼓励学生提出问题和解释自己的思考过程，评估他们的数学思维能力和解决问题的能力。
教案扩展：1. 鼓励学生参加数学竞赛或挑战，提高他们的数学水平和竞争力。
2. 组织数学讲座或研讨会，让学生了解高等数学在实际应用中的价值和意义。
3. 引导学生进行数学研究或项目，培养他们的创新思维和问题解决能力。
以上是一份高等数学下册教案的基本框架，你可以根据具体的教学需求和学生特点进行适当的调整和补充。
希望这些建议和指导对你的教案撰写有所帮助！。
2024版年度高等数学下册教案
2024/2/3
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线性微分方程解结构
线性微分方程解的性质
叠加原理、解的独系数线性微分方程
形如$y''+py'+qy=0$的微分方程，其中$p,q$为常数，可通过特征 方程求解通解。
二阶常系数非齐次线性微分方程
形如$y''+py'+qy=f(x)$的微分方程，其中$f(x)$为已知函数，可通过 通解加特解的方式求解。
三重积分计算方法
三重积分的计算可以通过化为累次积分进行，即先 对$z$积分，再对$y$积分，最后对$x$积分。也可 以根据具体情况选择适当的坐标系（如柱面坐标、 球面坐标等）进行简化计算。
11
重积分在物理中应用
重积分在几何上的应用
利用重积分可以计算平面图形的面积、空间立体的体积以及曲面的面积等。
重积分在物理上的应用
二重积分性质
二重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不 等式等性质。
9
二重积分计算方法
2024/2/3
利用直角坐标计算二重积分
01
将二重积分化为累次积分进行计算，即先对$y$积分，再对$x$
积分。
利用极坐标计算二重积分
02
当积分区域为圆域或环域时，利用极坐标变换可以简化计算。
利用换元法计算二重积分
理解对弧长曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对弧长曲线积分的方法。
对坐标曲线积分的基本概念与性质
理解对坐标曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对坐标曲线积分的方法。
2024/2/3
两类曲线积分之间的关系
理解两类曲线积分之间的联系和区别，能够相互转化并计算。
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高等数学电子教案（下）《高等数学》2008 ,2009 学年第二学期教师姓名: 李石涛授课对象:1.化学工程与工艺0801,0803，应用化学0801，08022.高分子材料工程0801，0802;环境工程0801，0802授课学时: 128/64选用教材《高等数学》史俊贤主编大连理工大学出版社 2006/2基础部数学教研室沈阳工业大学教案第 1 周授课日期 09.2.18授课章节:第六章 6.1 定积分元素法教学目的: 1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,平面图形的面积、平面曲线的弧长,教学重点:平面图形的面积、平面曲线的弧长教学难点:平面图形的面积教学内容纲要:一、定积分的元素法,二、平面图形的面积、教学三、平面曲线的弧长、实采用的教学形式:讲授施过教学方法:启发式教学程教学步骤: 设1、复习定积分的概念～引出定积分的元素法, 计2、举例讲解平面图形的面积3、举例讲解平面曲线的弧长课后复习及作业或思考题:1、复习定积分的元素法。
2、课后习题6-2 1、2、4、5。
教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 1 周授课日期 09.2.20授课章节:6.2 定积分在几何学上的应用教学目的:1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积,教学重点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学难点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学内容纲要:一、旋转体的体积、二、平行截面面积为已知的立体体积, 教学采用的教学形式:讲授实教学方法:启发式教学施教学步骤: 过1、复习定积分的元素法, 程2、举例讲解旋转体的体积设3、举例讲解平行截面面积为已知的立体体积计课后复习及作业或思考题:3、复习定积分的概念。
4、习题1～ 1 4、5、7、8、10、13。
教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 2 周授课日期 09.2.25授课章节:6.3 定积分在物理学上的应用教学目的:1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些物理量,变力做功、压力,。
教学重点:计算变力所做的功、压力教学难点:压力教学内容纲要:一、变力做功～二、引力、压力教采用的教学形式:讲授学教学方法:启发式教学实施教学步骤:过1、复习定积分的概念及定积分的元素法程2、举例讲解变力做功设3、举例讲解压力计课后复习及作业或思考题:1、复习定积分的元素法。
2、习题6-3 1、2、3、4、5教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 2 周授课日期 09.2.27授课章节:习题课教学目的:进一步理解定积分的元素法教学重点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、压力。
教学难点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学内容纲要:一、总结本章所学内容～二、重点讲解讲授课件上的示例三、处理课后习题教采用的教学形式:讲授学教学方法:启发式教学实教学步骤:施 1、复习总结本章所学内容过2、重点讲解讲授课件上的示例程3、处理课后习题设4、课堂练习计课后复习及作业或思考题:复习旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、压力等求法。
作业:总习题6 1-12题教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 3 周授课日期 09.3.4授课章节:第七章 7.1 向量及其线性运算教学目的:1、理解空间直角坐标系～理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算线性运算,加法、减法～数与向量乘法,教学重点:理解空间直角坐标系～掌握向量的运算线性运算。
教学难点:向量积的向量运算及坐标运算教学内容纲要:一、向量概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,四、利用坐标作向量的线性运算,五、向量的模、方向角、投影采用的教学形式:讲授教教学方法:启发式教学学教学步骤:实1、引入向量概念施 2、重点讲解向量的线性运算过3、介绍空间直角坐标系,引入向量坐标程4、利用坐标作向量的线性运算,设5、向量的模、方向角、投影计课后复习及作业或思考题:复习向量概念、利用坐标作向量的线性运算、向量的模、方向角、练习习题7-1 1、2、3 习题7-2 1、2、3、4、5、6 教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 3 周授课日期 09.3.6 授课章节:7.2 数量积向量积教学目的:1、数量积、向量积,掌握两个向量垂直和平行的条件。
2、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式～3、熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
教学重点:数量积、向量积、两个向量垂直和平行的条件教学难点:向量积的向量运算及坐标运算教学内容纲要:一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,三、两个向量垂直和平行的条件教采用的教学形式:讲授学教学方法:启发式教学实教学步骤:施 1、从实际意义引入两向量的数量积～导出两个向量垂直的充要条件过2、重点讲解两向量的数量积的坐标计算法程3、从实际意义引入两向量的向量积～导出两个向量平行的充要条件设4、重点讲解两向量的向量积的坐标计算法,,结果及行列式计算法, 计 5、两向量的向量积的几何意义。
课后复习及作业或思考题:复习数量积、向量积、两个向量垂直和平行的条件习题7-2 7、8、9、10、11、12教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 4 周授课日期 09.3.11授课章节:7.3 平面教学目的:掌握平面方程及其求法教学重点:理解平面方程的概念、会求其方程。
教学难点:平面方程及其求法方程,点到直线以及点到平面的距离。
教学内容纲要:一、平面方程的概念,二、平面点法式方程,三、平面一般式方程教采用的教学形式:讲授学教学方法:启发式教学实教学步骤:施 1、平面方程的概念过2、重点讲解平面面方程的概念～平面点法式方程、平面一般式方程程3、两类方程的转化设4、点到直线以及点到平面的距离计 5、两平面间的夹角～平面间特殊的位置关系。
课后复习及作业或思考题:复习内容平面方程的概念,点法式,对称式,方程,一般式方程习题7-3 1、2、3、4、5、6、7、8教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 4 周授课日期 09.3.13授课章节:7.4 空间直线教学目的:掌握直线方程及其求法教学重点:直线方程的概念及其求法。
教学难点:直线方程求法教学内容纲要:一、直线方程的概念,二、直线点向式,对称式,方程,三、直线一般式方程教采用的教学形式:讲授学教学方法:启发式教学实教学步骤:施 1、直线方程的概念过2、重点讲解直线方程的概念～直线点法式,对称式,方程、直线一般式方程程3、两类直线方程的转化设4、两直线间的夹角～直线间特殊的位置关系。
计 5、直线与平面的位置关系课后复习及作业或思考题:直线方程的概念～直线点法式,对称式,方程、直线一般式方程,两直线间的夹角～直线间特殊的位置关系。
习题7-4 1、2、3、4、5、6、7、8教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 5 周授课日期 09.3.18 授课章节:7.5 二次曲面与空间曲线教学目的:理解曲面方程的概念～了解常用二次曲面的方程及其图形。
教学重点:理解曲面方程的概念、了解常用二次曲面的方程及其图形教学难点:二次曲面的方程。
教学内容纲要:一、二次曲面,二、空间曲面,采用的教学形式:讲授教教学方法:启发式教学学教学步骤: 实1、曲面方程的概念施 2、重点讲解球面,椭球面,椭圆抛物面,锥面,柱面。
过3、空间曲线举例。
程设计课后复习及作业或思考题:复习内容曲面方程的概念、了解球面,椭球面,椭圆抛物面,锥面,柱面。
习题7-5 1、2、3。
教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 5 周授课日期 09.3.20 授课章节:习题课教学目的:复习数量积、向量积,掌握两个向量垂直和平行的条件。
平面、直线方程及其求法。
教学重点:数量积、向量积,掌握两个向量垂直和平行的条件～平面方程和直线方程,平面与平面、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件,点到直线以及点到平面的距离,教学难点:向量积的向量运算及坐标运算,平面方程和直线方程及其求法,点到直线的距离, 二次曲面图形教学内容纲要:一、总结本章所学内容～二、重点讲解讲授课件上的示例～三、处理课后习题教采用的教学形式:讲授学教学方法:启发式教学实教学步骤:施 1、复习总结本章所学内容过2、重点讲解讲授课件上的示例程3、处理课后习题设4、课堂练习计课后复习及作业或思考题:复习总结本章所学内容作业:总复习7 一、二、三1、2、3、4、5、6、7、8、9、10教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 6 周授课日期 09.3.25授课章节:第八章 8.1多元函数二元函数的极限教学目的:理解多元函数的概念和二元函数的几何意义～了解二元函数的极限与连续性的概念～以及有界闭区域上的连续函数的性质。
教学重点:二元函数的概念及几何意义～定义域教学难点:二元函数的极限与连续性的概念教学内容纲要:一、区域的概念,二、二元函数的定义,三、二元函数的几何意义,教四、二元函数的极限,学五、二元函数的的连续性实采用的教学形式:讲授施教学方法:启发式教学过教学步骤:程1、介绍区域的概念,邻域～开集……,设2、重点讲解二元函数的定义～二元函数的几何意义。
计 3、介绍二元函数的极限,二元函数的的连续性课后复习及作业或思考题:复习区域的概念，二元函数的极限;二元函数的的连续性。
练习习题8-1 1、2、3、4教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 6 周授课日期 09.3.27授课章节:8.2 偏导数 8.3全微分教学目的:理解多元函数偏导数和全微分的概念～会求全微分～了解全微分存在的必要条件和充分条件。
教学重点:多元函数偏导数和全微分教学难点:全微分存在的必要条件和充分条件。
教学内容纲要:一、偏导数的概念,二、二元函数偏导数的几何意义,三、高阶偏导数,教四、高阶偏导数,学五、全微分计算。
实采用的教学形式:讲授施教学方法:启发式教学过教学步骤:程1、偏导数的概念～重点讲解偏导数的计算方法设2、二元函数偏导数的几何意义。
计 3、高阶偏导数4、全微分概念及计算。
课后复习及作业或思考题:复习偏导数的概念～元函数偏导数的几何意义～高阶偏导数～全微分概念。
习题8-2 1、2、3、4、5、6 ,习题8-3 3、4、5。
教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 7 周授课日期 09.4.1 授课章节:8.4多元复合函数的求导法则教学目的:掌握多元复合函数偏导数的求法～会求隐函数的偏导数教学重点:多元复合函数偏导数,隐函数的偏导数。
教学难点:多元复合函数偏导数,隐函数的偏导数。
教学内容纲要:一、多元复合函数偏导数的定理8.5及其推广,二、隐函数的偏导数求导公式采用的教学形式:讲授教教学方法:启发式教学学教学步骤:实1、多元复合函数偏导数的定理8.5及其推广,重点讲解链式法则的意义与应用, 施 2、隐函数的偏导数求导公式,重点讲解方程确定的二元隐函数求偏导数, 过程设计课后复习及作业或思考题:复习多元复合函数偏导数的定理～隐函数的偏导数求导公式。