第6章 土压力与土坡稳定(2)

1. 受力分析
C A
β
ε
H
a
O
Ep R
z
ψ =90 -ε +δ
O
W
180 -（ψ +α +φ)
α
φ
R
B
N1
K pγ H
库仑被动土压力计算
取不同的滑动面 （变化坡角 ） ， 则 W 、E 与 R 的数值以及方向将随之变化， 找出最小的 E 值（此时该滑动面为最危险滑动面） ，即为所求的被动土压力 E p。
Ep
Kp
1 H 2 K p 2
cos2 ( )
2
（6-25）
sin( ) sin( ) 2 cos cos( ) 1 cos( ) cos( )
（6-26）
式中
K p－－被动土压力系数；其他符号意义同式（ 6-22） 。
2 sin cos cos( ) 2[(kq sin( ) sin( ) sin cos )
(kq sin( ) sin( ) sin cos)]1 2 }
kq 1
2q sin cos h sin( )
3 ）墙后填土中的滑动面 BC 上，作用着滑动面下方不动土体对滑动楔体
ABC 的反力 R 。 R 的方向与滑动面 BC 的法线 N1 成 角。因为土体下滑，不
动土体对滑动楔体的阻力朝斜上方向，故支撑力 E 在法线 N1 的下方。
滑动楔体 ABC 在自重 W 、挡土墙的支撑力 Ea 以及不动土体的反力 R 的共 同作用下处于静力平衡状态。形成封闭的力三角形 abc 。
Ka
cos2 ( ) sin( ) sin( ) 2 cos cos( ) 1 cos( ) cos( )
2
（6-22）
式中
——墙背与填土之间的摩擦角（ o） ，由试验确定或参考表 6-1 取值； K a －－主动土压力系数，可由表 6-2 查得；
3. 库仑主动土压力的分布
与无粘性土朗肯主动土压力的分布类似，墙顶部 z 0 时， ea 0 ；墙底部
z H ， ea HKa 。主动土压力沿墙高呈三角形分布。
4. 库仑总主动土压力作用点
总主动土压力的作用点位于主动土压力三角形分布图形的重心，即墙底面以 上 H 3 处。
【例题 6-4】 已知挡土墙高度 H＝ 6.0m，墙背倾角 ＝10°，墙后的填土倾 角 ＝10°，墙背与填土间的摩擦角 δ =20°。 墙后填土为中砂， ＝18.5kN/m3 ， 内摩擦角 ＝30°。计算作用在此挡土墙上的主动土压力 Ea，并画出土压力沿墙 背的分布以及合力的方向。
6.4.4 朗肯土压力理论与库仑土压力理论的比较
1.朗肯土压力理论：
（1）依据：半空间的应力状态和土的极限平衡条件 （2）概念明确、计算简单、使用方便 （3）理论公式直接适用于粘性土和无粘性土
（4）由于忽略了墙背与填土之间的摩擦，主动土压
力偏大，被动土压力偏小。
6.4.4 朗肯土压力理论与库仑土压力理论的比较
A A ′E F A
β
H
h=q/γ
q
γ h Ka
1 Ea rH 2 K a hHK a 2
H
D
h′
2. 被动土压力
B
γ HK a γ hK a
C
ε
B
γ (h +H )K a
1 Ep rH 2 K p qHK p 2
土压力呈梯形分布，作用点在梯形的重心。
局部荷载--朗肯土压力理论：
1. 库仑研究的课题
1) 墙背俯斜，具有倾角 。 2) 墙背粗糙，墙与填土间摩擦角为 。 3) 墙后填土为理想散体 (砂土)，粘聚力 c 0 。 4) 填土表面倾斜，坡角为 。 与朗肯土压力理论相比，库仑土压力理论更具有普遍实用意义。
A
β
ε
H
c=0
摩擦角δ
B
库仑研究的课题
2. 库仑土压力理论假设条件
-△
C A β
1）平面滑裂面假设。 2）刚体滑动假设。 3）楔体 ABC 整体处于极限平衡状态。 楔体 ABC 对墙背的推力即为主动土压力 Ea 。
H
ε
Ea
α
B
库仑土压力的基本假定
6.4.2 库仑主动土压力计算
1. 受力分析
C
α -β
A
ε
β
Ea W
o 180-[ψ +(
a
ψ
c
α -φ)]
z
K aγ z
静止土压力系数 K0 1 sin
K a K0 1 K p
第6章 土压力与土坡稳定
6.1 概述 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 静止土压力计算 朗肯(Rankine)土压力理论 库仑(Coulomb)土压力理论 几种常见情况土压力 挡土墙设计 土坡稳定分析
6.4 库仑土压力理论 6.4.1 基本原理
回顾:
基本条件和假定 极限应力分析 破坏形式 v Pa 主动和被动 砂土和粘性土 1 sin 2 主动土压力系数 Ka tg (45 / 2) 1 sin

Pp

被动土压力系数
K p tg (45 / 2)
2
1 sin 1 sin
2c h
q －－地表均布荷载 （以单位水平投影面上的荷载强度计算） ， 单位 （ kPa） 。
6.5.2 地面均布荷载作用下的土压力计算 1. 主动土压力
（1）挡土墙墙背垂直，填土表面水平的情况
在水平面上作用均布荷载 q （ kPa）时，可把均布荷载 q 视为虚构的填土自 重 h 的自重产生。虚构填土的当量高度为 h q 。
D 库仑总被动土压力作用点 4.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R
W
H
与无粘性土朗肯被动土压力的分布类似，墙顶部 W H ，E z 0 时， e p=0；墙底部 z a e p = HK p。被动土 ψ =90 -ε +δ b 压力沿墙高呈三角形分布。 180 -（ψ +α +φ)
O O
z
K pγ z Epx
H/ 3
K pγ H
【解】 因为挡土墙不光滑，墙背与填土间的摩擦角 δ =20°，采用库仑土压 力公式（6-21）进行主动土压力的计算。 由 ＝30°，δ =20°， ＝ ＝10°，查表 6-2 得 Ka＝0.438。
1 1 Ea H 2 K a 18.5 6.02 0.438 145 .9 kN/m 2 2
滑动面
滑动面
6.5 几种常见情况的土压力
6.5.1 《建筑地基基础设计规范》GB50007-2002推荐的公式法
1 E a c H 2 K a 2
式中
（6-27）
A
β
q
C
c －－主动土压力增大系数，土坡
高度小于 5m 时宜取 1.0，高 度为 5~8m 时宜取 1.1，高度 大于 8m 时宜取 1.2；
ε
H
δ
H －－挡土墙高度（ m） ； －－墙后填土的重度（ kN/m3） ；
Ea α
B
θ
K a －－库仑主动土压力系数。
Ka
图 6-18 规范法计算库仑主动土压力
sin( ) {k q [sin( ) sin( ) sin( ) sin( )] 2 2 sin sin ( )
C 朗肯被动土压力系数一致，证实了朗肯土压力理论是库仑土压力理论的特例。
3. 库仑被动土压力的分布
当 0 ， 0 ， 0 时，代入式（ 6-26）得 Kp tan2 (45 / 2) ，与
A
β
δ
B
α 形分布图形的重心，即墙底面以上 H/3 处。 N1
α +φ c 总被动土压力的作用点位于被动土压力三角 φ R
H/ 3
Ep δ N2
D
b W
K pγ z
H
Epx
c α +φ
2. 计算公式
1）在力三角形 abc 中应用正弦定理，可得：
E sin( ) W sin( )
即
E
W sin( ) sin( )
（6-24）
2） 因 E f ( ) ，为求其最大值，需通过 dE / d 0 得出相应的最危险滑 动面的 值，并将其代入式（ 6-24）可得无粘性土库仑被动土压力 Ep 为：
H——挡土墙高度（ m） ；
——墙后填土的重度（ kN/m3） ； ——墙后填土的内摩擦角（ o） ；
，俯斜时取正号，仰斜时取负号； ——墙背的倾斜角度（ o） ——墙后填土面的倾角（ o） 。
当 0 ， 0 ， 0 时，代入式（ 6-22）得： K a tan2 (45 / 2) ， 与朗肯主动土压力系数一致，这说明朗肯土压力理论是库仑土压力理论的特例。
主动土压力呈三角形分布，合力作用点离墙踵高：
h H / 3 6.0 / 3 2.0 m。
主动土压力 Ea 的作用方向与墙背的法向线 “N—N”成 =20°，位于该法线的上侧。
ε =10°
1 E a= 45
β =10°
N .9k
/m
6m
挡 土 墙
δ =20° N
2m
N
6.4.3 库仑被动土压力计算
E朗肯 R E库仑 W
墙背垂直 填土水平 实际 d > 0
E库仑
E朗肯
朗肯主动土压力偏大
R
朗肯被动土压力偏小
W
2.库仑土压力理论：
（1）依据：墙后土体极限平衡状态、楔体的静力平衡条件 （2）理论假设条件
（3）理论公式仅直接适用于无粘性土 （4）考虑了墙背与土之间的摩擦力，并可用于墙背倾斜，填 土面倾斜的情况。但库伦理论假设破裂面是一平面，与按滑 动面为曲面的计算结果有出入。
45o＋/2
q
45o＋/2
HKa
qKa
粘性土被动土压力的计算：
6.5.3 车辆荷载引起的土压力计算
在挡土墙或桥台设计时，应考虑车辆荷载引起的土压力。 《公路桥涵设计通 用规范》 （ JTGD60-2004）中对车辆荷载引起的土压力计算方法，作出了具体规 定。计算原理是按照库仑土压力理论，把填土破坏棱体范围内的车辆荷载，换算 成等代均布土层厚度 he 来计算，然后用库仑土压力公式计算。
E
或
E
W sin( ) sin( )
（6-20）
2）因 E f ( ) ，为求其最大值，需通过 dE / d 0 得出相应的最危险滑动 面的 值，并将其代入式（ 6-20）可得无粘性土的库仑主动土压力计算公式：
1 Ea H 2 K a 2
（6-21）
H
R N2 δ Ea B D 1 2
α
φ N1
W
E ax
H 3
H
α -φ
R
b
K aγ H
库仑主动土压力计算简图
1）取挡土墙 1 延米宽，作用于楔体 ABC 自重 W 计算公式为：
H 2 cos( ) cos( ) W 2 cos2 sin( )
2）墙背 AB 对下滑楔体的支撑力 Ea 。 Ea 的方向与墙背法线 N 2 成 角。若 墙背光滑，没有剪力，则 0 。因为土体下滑，墙给土体的阻力朝斜上方向， 故支撑力 Ea 在法线 N 2 的下方。
A′ h=q/γ A D
H
1 2 Ea rH K a qHK a 2
土压力呈梯形分布，作用点在梯形的重心。
q
B
γ HK a γ hK a
C
（2）挡土墙墙背倾斜，填土表面倾斜的情况
sin(90 ) sin(90 )A ′ cos cos h h h sin(90 ) sin cos( h=q /γ 90 q)
1 90
2
1 2 90
90
Ea 与 R 之间夹角为 180 [ ( )] 。
2. 库仑主动土压力计算公式
1）在力三角形 abc 中应用正弦定理，可得：
W sin( ) sin( )
l0 ∑G A
γ he
C
he
ε
E az E a δ θ E ax
α
H
H
H
l+a 30° 30°
B l+a+H tan30°
B
a）土压力计算原理 b）重车的挡土墙计算长度 车辆荷载引起的土压力计算
1 Ea H ( H 2he ) K a 2
式中 ； Ea －－主动土压力标准值（ kN） ，按式（6-34）计算； he －－汽车荷载的等代均布土层厚度（ m） H －－计算土层高度（ m） ；