数值分析习题汇总

第一章 引论（习题）

2．证明：x 的相对误差约等于x 的相对误差的1/2.

证明 记 x x f =

)( ，则

)

()(*

**

x x x x x x

x x f E r +-=

-=

)(21**x E x x x x x x

r ≈-⋅+=

. □

3．设实数a 的t 位β进制浮点机器数表示为)(a fl . 试证明 t

b a b a fl -≤

+*=*12

1||),1/()()(βδδ， 其中的记号*表示+、-、⨯、/ 中一种运算. 证明： 令：

)

()

()(b a fl b a fl b a **-*=

δ

可估计： 1|)(|-≥*c b a fl β （c 为b a *阶码），

故：

121||--≤

c t c ββδt -=12

1β 于是： )1()()(δ+*=*b a b a fl . □

4．改变下列表达式使计算结果比较精确：

（1） ;1||,

11211<<+--+x x

x

x 对

（2）

;1,11>>-

-+

x x

x x

x 对

（3） 1||,0,cos 1<<≠-x x x

x

对.

解 (1) )21()1(22

x x x ++.

(2)

)

11(2x x x x x

-++.

(3) x

x

x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □

6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤

-=a x x E . x

a

x x E r -=)(, 221018

1

10921)(--⋅=⨯≤

x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==

()25

.0210

11321⨯⋅≤

-+---a

x x a =3

10-

33

104110

|)(|--⨯=-≤a f E r . □

9．序列}{n y 满足递推关系：1101.100-+-=n n n y y y . 取01.0,110

==y y 及

01.0,

101150=+=-y y ，试分别计算5y ，从而说明该递推公式对于计算是不稳

定的.

解 递推关系： 1101.100-+-=n n n y y y (1) 取初值 10=y ， 01.01=y 计算 可得： 110

01.1002

2-⨯=-y 10001.1-=410-=

6

310-=y ， 8

410

-=y ， 10

510-=y ， …

(2) 取初值 5

0101-+=y ， 2

110

-=y ,

记：

n n n y y -=ε,

序列 {}n ε ，满足递推关系，且 5

010--=ε ， 01=ε

1101.100-+-=n n n εεε, 于是： 5210-=ε,

531001.100-⨯=ε, 55241010)01.100(---⨯=ε,

5

5351002.20010)01.100(--⨯-⨯=ε,

可见随着 n ε 的主项 52

10)01.100(--⨯n 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.

第二章 多项式插值 (习 题)

1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：

（1）

（2）

解(2)：

方法一. 由 Lagrange 插值公式

)

30)(20)(10()

3)(2)(1()(0x x x x x x x x x x x x x l ------=

,

)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅=

)1)((31)2)()(1()1)(()(21

23210---=-----=x x x x x x x l ,

))(1(2)

1)()(1()(2122

1

211--=--+=

x x x x x x l ，

x x x x x x l )1()()1()1!()(238

2

1

21232--=-⋅⋅-+=

, )()1(12)()1()(212

1213-+=⋅⋅-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(2

3-=x x x L

方法二. 令

)()21()(3B Ax x x x L +-= 由 23)1(3-

=-L ， 2

1

)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □