高一数学集合2
高一数学集合的含义与表示2
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
一 学习目标
1. 初步掌握用列举法和描述法表示集合的基本方 式和一般规则. 2. 能够根据实际问题选择合适的方法来表示集合. 3. 能够在理解问题数学本质的基础上把数学语言 准确的转化成自然语言. 4. 体会数学语言严谨性和逻辑性,要逐渐养成严密 的思维习惯.
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一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
六 知识总结
集合是一个原始的,不定义的概念.我们在理 解和使用集合的概念时,主要通过实际例子理 解集合的含义.从而可以加深对集合中元素特 点的理解,体会集合与元素的关系.我们在以 后的学习中要不断有意识的利用集合语言来描 述问题和解决问题,这对我们学习以后的知识 有着不可估量的促进作用.
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三 知识引入
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结 一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把 一些元素组成的总体称为集合(set)(简称为集). 集合的元素满足以下要求: I. 确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在 不在这个集合中是确定的. II. 互异性:集合中的元素是不重复出现的. III. 无序性:集合中的元素排列是没有顺序的. 集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的, 我们就称这两个集合是相等的.
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
四 知识创新
例1 用描述法表示不等式x-7<3的解集.
解:
{ x∈R
x-7<3 }
高一数学集合知识点总结(二篇)
高一数学集合知识点总结集合及其表示1、集合的含义：“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。
数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。
所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。
比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。
2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。
a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作dA。
有一些特殊的集合需要记忆：非负整数集(即自然数集)N正整数集N-或N+整数集Z有理数集Q实数集R①列举法：{a,b,c……}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素3、集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，则集合A=B。
例题：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。
解：____，A=B注意：该题有两组解。
(2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}(3)确定性集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况。
高一数学集合知识点总结（二）集合的分类(1)按元素属性分类，如点集，数集。
(2)按元素的个数多少，分为有/无限集关于集合的概念：(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。
(3)无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。
高一数学集合的含义与表示2
高一数学必修一：2.两个集合的基本关系
{x R x 1 0}
2
不含任何元素，我们称这样的集合 是空集记作：
注 意
规定：空集是任何集合的子集．
即对任何集合A,都有： A
空集是任何非空集合的真子 集，即∅ ⊊A
子集的性质
（1）对任何集合A，都有：A A （2）对于集合A,B,C,若A B,且B
C,则有 A C
A⊊B， B⊊C ⇒ A⊊C。
（3）空集是任何非空集合的真子 集．
例题讲解
例1 写出{a,b}的所有子集,并指 出其中哪些是它的真子集．
课堂练习 1．教材P7 1 ， 2， 3 2．以下六个关系式：① { }
② ∈{ } ③ {0} φ ④0 φ⑤ φ≠{0} ⑥φ={φ},其中正确的序 号是： ①②③④⑤
2 x －1=0}
定 义（三）(P6)
一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的任何一个元素都是 集合B的元素,同时集合B中的任何 一个元素都是集合A的元素,则称集 合A等于集合B,记作
A=B 若A B且 B A, 则A=B;
反之,亦然.
图中A是否为B的子集?
B (1)
A
B
A (2)
注意集合
3.一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合
二、新课讲解
1.引例
观察以下几组集合，并指出它们元 素间的关系： ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};
② A={x x＞1}, B={x x2＞1};
③ A={平行四边形}, B={四边形};
④ A={x x-7=0}, B={x x ＞ 2} ．
例题讲解
例2 设A={x,x2,xy}, B={1,x,y},且 A=B，求实数x,y的值．
高一数学必修1教师用书第一章§2集合的基本关系北师大版
1．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n， 真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
2．∅与0，{0}，{∅}的区别与联系
相同点
∅与0 ∅与{0} 都表示 都是 无的意思 集合
∅与{∅} 都是集合
∅与0
∅与{0}
∅与{∅}
∅不含任何元素；
∅是集合； ∅不含任何元素；
不同点
{∅}含一个元素，
2．符号∈和⊆ 的区别 符号∈只能适用于元素与集合之间，符号∈的左边只能写 元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表 示元素与集合之间的关系，如－1∈Z， 2∈R；符号⊆ 只能适 用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的 集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合， 如{1}⊆ {1,0}，{x|x<2}⊆ {x|x<3}．
同的解，∴B错；∵(2,3)为有序数组，2,3为数，∴C错．
答案：D
2．已知集合A＝{高一 ·三班同学}，B＝{高一 ·三班二组
成员}，则
()
A．A⊇B
B．A⊆B
C．A B
D．B A
解析：由集合中元素的特点可知，D正确．
答案：D
3．指出下列各对集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}； ②A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ③A＝{－1,1}，B＝{∅，{－1}，{1}，{－1,1}}； ④A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ⑤A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．
1．子集
对于两个集合A与B，如果集合A中的 任何一个元素 都
是集合B中的元素，即若 a∈A，则a∈B，我们就说集合 含
2021-2022学年第二学期人教版必修一数学第2课《集合的基本关系》教案
2021-2022学年第二学期人教版必修一数学第2课《集合的基本关系》教案第一章集合与常用逻辑用语（1.2集合的基本关系教案）*课程数学 *课题集合的基本关系*教材人教版 *授课对象高一（18）班 *课时 2一、课标要求1.理解集合的之间的包含与相等关系。
2.能识别给定集合的子集和真子集。
3.在具体情境中了解空集的含义并会应用。
二、学情分析知识储备熟练掌握集合的相关概念及表示。
能力目标养成自主学习、合作交流、归纳总结的学习习惯，培养学生从具体到抽象、从一般到特殊的数学思维能力。
素养目标感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识。
落实学科养成学会分析问题、解决问题的良好习惯。
四、教学重难点教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．教学难点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．五、教学策略教法案例教学、情境教学法、启发式教学。
教学策略以解决现实问题为导向，分小组进行探究，并将结果分享交流，激发学生学习兴趣。
学习过程全程渗透职业教育理念，融入思政元素。
六、教学准备教学环境借助信息技术制作课件进行多媒体教学。
教学资源导学案、PPT、相关案例素材。
七、教学过程教学思路如图一图一教学思路课前体验导学教学内容：阅读课本7-8页，思考以下问题1. 集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间的这些关系？2. 集合的子集指什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3. 空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？教师活动准备教学用到的素材。
学生活动设计意图培养学生的自学能力可有利于学生数学抽象思维能力的提高。
课中导入与分析（引入新课）教师活动问题l ：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；（2）设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；（3）设C={x|x 是两边相等的三角形}，D={x|x 是等腰三角形}； （4）{2,4,6},{6,4,2}E F ==；学生活动学生分小组讨论后自由发言。
高一年级数学《集合与函数概念》超全知识点 (2)
【集合的几种运算法则】并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以属于A且属于B的元差集表示素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。
那么因为A和B 中都有1，5，所以A∩B={1，5}。
再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。
那么说A∪B={1，2，3，5}。
图中的阴影部分就是A∩B。
有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。
结果是3，5，7每项减集合1再相乘。
48个。
对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A？B定义为：A？B=（A-B）∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则A？B={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：A？B=（A∪B）-(A∩B)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。
差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）。
记作：A\B={x│x∈A，x不属于B}。
注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不属于A}空集也被认为是有限集合。
例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。
CuA={3，4}。
在信息技术当中，常常把CuA写成~A。
【集合元素的性质】1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。
高一数学必修二集合知识点
高一数学必修二集合知识点数学是一门重要而且广泛应用的学科，而集合论是数学的基础之一。
高一数学必修二集合知识点是我们在数学学习中必须要掌握的内容，对于理解和应用许多数学概念都有着重要的作用。
下面将会介绍一些高一数学必修二集合知识点，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、集合的定义和表示法集合是由一些确定的对象组成的整体。
一个集合可以由它的元素唯一地确定。
集合常用大写字母表示，元素用小写字母表示，集合中的元素用花括号{}括起来表示。
二、集合间的关系1. 包含关系：如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
2. 相等关系：如果两个集合A和B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A=B。
3. 子集关系：如果一个集合A包含于集合B，但是集合B并不完全包含于集合A，则称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
4. 并集与交集：设有两个集合A和B，将A和B中的所有元素合并起来形成一个新的集合，称为它们的并集，记作A∪B；将同时属于A和B的元素组成一个新的集合，称为它们的交集，记作A∩B。
三、集合的运算规律1. 并集运算的交换律和结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)和A∪B=B∪A。
2. 交集运算的交换律和结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)和A∩B=B∩A。
3. 分配律：对于任意集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
四、集合的扩展运算1. 补集：设U是一个给定的集合，A是U的一个子集，那么A对于U的补集就是在集合U中但不在A中的元素的全体，记作A'。
2. 差集：设A和B是两个集合，A-B是从集合A中刨去集合B中的共同元素而得到的集合，称为A相对于B的差集，记作A-B。
五、集合的应用1. 逻辑关系：集合论作为一种数学工具，常用于描述和分析逻辑关系。
例如，A∪B表示A或B发生的情况，A∩B表示A和B同时发生的情况。
高一数学集合的含义与表示2
• 例3：已知A=｛a-2,2a2+5a,10｝,且 -3∈A，求a。
例4若A=｛x|x=3n+1,n ∈ Z｝, B= ｛x|x=3n+2,n ∈ Z｝ C=｛x|x=6n+3,n ∈ Z｝ (1) 若c ∈ C，问是否有a ∈ A，b ∈ B，使得 c=a+b；
（２）对于任意a ∈ A，b ∈ B，是否 一定有a+b ∈ C ？并证明你的结论；
5. 集合的分类.。
作 业
教材Ｐ.11
Ｔ1~4.
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战智竟然很是喜欢在外面玩闹,虽然每次玩闹の时间不多.但白重炙也感觉开心不已,这表示着小战智正慢慢度过虚弱期,逐渐在成长着. "什么唧唧唧唧！"白重炙回过神来,用略带责怪の眼神望着小白,笑道："小白你可是高级战智,怎么学老鼠一样,唧唧,唧唧の叫,你不说像龙啊,狮子啊 一样嗷嗷の叫,最起码要和你外表一样旺旺の叫着好听点啊,你这样,别人会说你连狮鼻犬都不如の……" "唧唧,唧唧?"小白迷惑不解,小小の眼珠子咕噜乱转,一副不是很明白の样子. "唧唧你个头,你二爷の,你再唧唧,小心我割了你の小鸡鸡,让你没有鸡鸡,我看你还怎么唧唧！"白重炙 怒了,这"唧唧"叫得可贼不好听,这样の战智带出去可是会给人笑の… "唧唧……"小白还是一副死猪不怕开水烫の样子,似乎就认定了这样の叫法.白重炙无奈了,刚准备把这小畜生召回空间去.然而,突然之间,小白似乎感觉到了什么,两只眼珠子不再泛着顽皮の光芒,而是一脸凌厉の"表 情",头顶上根根毛发竖起,俨然一只遇到天敌の小狮子般. "恩?有情况?不好！" 白重炙此刻也感觉不对劲,浑身有种发毛冷颤の
高一数学集合第二节知识点
高一数学集合第二节知识点在高一数学中，集合是一个非常重要的概念。
集合是由一些确定的事物（元素）组成的整体，可以用大括号{}表示。
每个元素在集合中只能出现一次，而且集合中的元素没有顺序。
在集合的学习中，我们需要了解以下几个重要的知识点。
一、集合的表示方法集合可以通过三种方式表示：列举法、描述法和图形法。
1. 列举法列举法是最常用的一种表示集合的方法，即直接将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来。
例如，集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3组成的集合。
2. 描述法描述法是通过给出元素的某种性质或条件来表示集合。
例如，集合B={x | x是正整数且x<5}表示B是由小于5的正整数组成的集合。
3. 图形法图形法是通过图形来表示集合。
常用的图形有Venn图和数轴。
Venn图是由一些交集和并集的圆或矩形组成的图形，用于表示集合之间的关系。
数轴是用直线表示，集合中的元素在数轴上对应相应的点。
二、集合之间的关系在集合的学习中，我们常常需要研究集合之间的关系，包括交集、并集、差集和补集等。
1. 交集交集是指两个集合中共有的元素构成的集合。
用符号∩表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A与B的交集为A∩B={3}。
2. 并集并集是指两个集合中所有元素组成的集合。
用符号∪表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A与B的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
3. 差集差集是指一个集合中除去与另一个集合相同的元素剩下的元素构成的集合。
用符号\-表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A与B的差集为A-B={1, 2}。
4. 补集补集是指全集中除去一个集合的元素剩下的元素构成的集合。
用符号'表示。
例如，全集为U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，则A的补集为A'={4, 5}。
新高一数学第2讲-集合的运算
主题集合的运算教学内容1. 理解集合的相等和包含关系及其关系符号；2. 掌握集合的交、并、补等运算，知道有关的基本运算性质；3. 会求几个集合的交集和并集，会求已知集合的补集.（以提问的形式回顾）一、集合与集合的关系1. 思考：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。
而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察研探.2. 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B==；（2）设A为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；（3）设{|},{|};C x xD x x==是两条边相等的三角形是等腰三角形（4）{2,4,6},{6,4,2}E F==.组织学生充分讨论.交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系:①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作：()A B B A⊆⊇或读作：A含于B(或B包含A).②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解。
并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。
如图l和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn图.图1 图2BA（B）3. 与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论?教师引导学生通过类比，思考得出结论: 若,,A B B A A B ⊆⊆=且则.4. 请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn 图表示.学生主动发言，教师给予评价.5. 通过阅读书本回答下列问题：(1)集合A 是集合B 的真子集的含义是什么?什么叫空集?(2)集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别?(3)0，{0}与∅三者之间有什么关系?(4)包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈正义有什么区别?试结合实例作出解释.(5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?(6)能否说任何一人集合是它本身的子集，即A A ⊆?(7)对于集合A ，B ，C ，D ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么集合A 与C 有什么关系?老师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法.练习：某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。
高一数学课件：人教版高一数学上学期第一章第1.1节集合-(2).ppt(共13张PPT)
• 15.不属于符号： 如2 A、1.5 A
复习回顾
常用数集的字母符号
• 16.自然数集：N（全体自然数的集合） • 17.整数集：Z （全体整数的集合） • 18.有理数集：Q （全体有理数的集合） • 19.实数集：R （全体实数的集合） • 20. 复数集：C （全体复数的集合）
再见！
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是
集合的基本运算(2)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
小结
用你喜欢的方式总结本节课的知识，并准备展示给大家
作业
作业: 课本P13 练习1、2题
习题1.3 第1,2,3题 第4,5,6题 （选做）
祝你学习进步
{x∈R|(x-2)(x2-3)=0}={2, 3, - 3}
回顾
从小学到初中,数的研究范围逐步地扩充，你能概括出数域
逐步扩大的范围吗？
在高中阶
段,数的研
究范围将
进一步扩
充.
定义
一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所 有元素,那么就称这个集合为全集(universe set),通常 记作U.
(7)（CUA） (CUB)= CU(A B);
(3) CUU= ;
当堂检测
1、已知U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5}，B={1,3,5,7}， 求A (CUB)，(CUB) (CUA).
2、设S={x|x是平行四边形或梯形｝，A={x|x是平行四边形}，B= ｛x|x是菱形｝，C={x|x是矩形}，求B C，CAB，CSA.
1.3 集合的基本运算（2）
补集
思考
在研究问题时,我们经常需要确定研究 对象的范围.
比如:在分解因式或解方程时，在不同 数域的范围内，得到的结果是不同的.
例如：方程(x-2)(x2-3)=0的解集,在有理数范围内只有一 个解2,即
｛x∈Q|(x-2)(x2-3)=0}={2}
在实数范围内有三个解:2, 3, - 3,即
应用
例6 设全集U=｛x|x是三角形｝，A={x|x是锐角三角
形}，B=｛x|x是钝角三角形｝，求 A B，CU( A B ).
应用、总结
练习3. 图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
高一数学集合的定义及表示2
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
三 知识引入 我们可以把“地球上的四大洋”组成的集合表示为“ {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合表示 为{1，-2}；把“小于10的正偶数”组成的集合表示为{2，4，6，8}.
高一数学集合的定义及表示2
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1.1.1 集合的含义与表示
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
一 学习目标
1. 初步掌握用列举法和描述法表示集合的基本方式和一般规则. 2. 能够根据实际问题选择合适的方法来表示集合. 3. 能够在理解问题数学本质的基础上把数学语言准确的转化成自然语言. 4. 体会数学语言严谨性和逻辑性,要逐渐养成严密的思维习惯.
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五 知识强化
练习2 试选择适当的方法表示下列集合： 1. 二元二次方程组{ 的解集；
y=x 2. 二次函数y=x2-4的因变量组成的集合； 3. 反比例函数y= — 的自变量组成的y=集x2合； 4. 不等式3 x≥4-x的解集.
练习一下
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
五 知识强化
练习1 用列举法表示下列给定的集合： 大于1且小于6的整数； 方程x2-9=0的实数根； 小于8的所有质数； 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点.
答案：
1. {2，3பைடு நூலகம்4，5}；
高一数学复习考点题型专题讲解2 集合的基本关系
高一数学复习考点题型专题讲解第2讲 集合的基本关系一、单选题1．下列表述正确的有（ ）①空集没有子集；②任何集合都有至少两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅是A 的真子集，则A ≠∅.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】【分析】根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断.因为∅⊆∅，故①错；∅只有一个子集，即它本身．故②错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故③错； 空集是任何非空集合的真子集，故④正确，故选：B.2．下列各式中：①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确；③空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确；④空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.3．已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．C ．{1,1}-D ．{【答案】C【解析】【分析】根据B 是A 的子集列方程，由此求得m 的取值集合.由于B A ⊆，所以211m m =⇒=±，所以实数m 的取值集合为{1,1}-.故选：C4．若集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝4k －1，k ∈Z }，则A ，B ，C 的关系是（ ）A ．C ⊆A ＝B B ．A ⊆C ⊆BC ．A ＝B ⊆CD ．B ⊆A ⊆C【答案】A【解析】【分析】由整数的整除性，可得A 、B 都表示奇数集，C 表示除以4余3的整数．将A 、B 、C 尽可能形式表达统一，由此利用集合间的关系求解．∵A ＝{x |x ＝2(k ＋1)－1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝2·2k －1，k ∈Z }， A B ∴=,C 集合中2k 只能取偶数，C A B ∴⊆=故选：A.5．给出下列关系式：①0∈∅；②3-∈Z ；③{}{}20x x x ⊆=；④*{0}⊆N ；⑤{}211(,)45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⊆⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】①空集中不含任何元素，由此可判断①；②3-是整数，故可判断②正确；③通过解方程2x x =，可得出{}{}20,1x x x ==，故可判断③；④根据*N 为正整数集可判断④；⑤通过解方程2145x y x y -=⎧⎨+=⎩，得(){}21(,)1,145x y x y x y ⎧⎫-=⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，从而可判断⑤. ①0∉∅，故①错误；②3-是整数，所以3-∈Z ，故②正确；③由2x x =，得0x =或1x =，所以{}{}20,1x x x ==，所以{}{}20x x x ⊆=正确；④*N 为正整数集，所以*{0}⊆N 错误；⑤由2145x y x y -=⎧⎨+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，所以(){}21(,)1,145x y x y x y ⎧⎫-=⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，所以{}211(,)45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⊆⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭错误. 所以正确的个数有2个.故选：B.6．已知集合13{|}A x x =-≤≤，301x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出集合B ，然后根据集合间的关系以及韦恩图即可判断正确选项. 解：因为集合301x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭， 所以{|13}B x x =-<≤，又集合13{|}A x x =-≤≤，所以B A Ü，根据韦恩图可得选项C 正确，故选：C.7．已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}，B ＝{x |0＜x ＜6，x ∈N }，则满足A ⫋C ⊆B 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．16【答案】B【解析】【分析】求出集合A ，B ，由此利用列举法能求出满足A ⫋C ⊆B 的集合C 的个数．：集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}＝{1，2}，B ＝{x |0＜x ＜6，x ∈N }＝{1，2，3，4，5}，∴满足A ⫋C ⊆B 的集合C 有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．故选：B ．8．对于两个非空集合A ，B ，定义集合{A B x x A -=∈且}x B ∉，若{}1,2,3,4,5M =，{}0,2,3,6,7N =，则集合N －M 的真子集个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】先根据题意求出{}0,6,7N M -=，从而可求出其真子集个数由题意，知集合{}0,6,7N M -=，所以集合N －M 的真子集个数为3217-=．故选：C【点睛】方法点睛：若集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为2n ，真子集个数和非空子集个数均为21n -，非空真子集个数为22n -．9．设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（ ）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞【答案】D【解析】【分析】解绝对值不等式得到集合,A B ，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解. 集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+又A B ⊆，所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥，即4a b -≥ 所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选：D10．集合2{|310}Mx ax x =+-=至多有1个真子集，则a 的取值范围是（ ） A ．49a ≤-B ．94a ≥-C ．0a =D ．0a =或49a ≤-【答案】D【解析】【分析】由题意得M 元素个数，分类讨论求解当0a =时，1{}3M =，满足题意，当0a ≠时，由题意得940a ∆=+≤，得49a ≤-，综上，a 的取值范围是9(,]{0}4-∞-故选：D11．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴集合．其中12,1,0,,2,32M ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．31【答案】B【解析】【分析】根据伙伴集合的定义利用列举法即可求出结果.若x A ∈，则1A x∈，就称A 是伙伴集合，12,1,0,,2,32M ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭， 12,1,0,,2,32M ⎧⎫∴=--⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有12,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}1-，11,2,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭． 12,1,0,,2,32M ⎧⎫∴=--⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是3． 故选:B12．全集(){},Z,Z U x y x y =∈∈，非空集合S U ⊆，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称.下列命题：①若()1,3S ∈，则()1,3S --∈；②若()0,4S ∈，则S 中至少有8个元素；③若()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数；④若(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆，则(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆. 其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称. 所以当(),x y S ∈，则有(),x y S -∈，(),x y S -∈，(),y x S ∈，进而有：(),x y S --∈，(),y x S -∈，(),y x S -∈，(),y x S --∈①若()1,3S ∈，则()1,3S --∈，正确；②若()0,4S ∈，则()0,4S -∈，()4,0S ∈，()4,0S -∈，能确定4个元素，不正确；③根据题意可知，(),x y S ∈，若00x y =≠，能确定4个元素，当00x y ≠=，也能确定四个，当00x y ≠≠，也能确定8个所以()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数正确； ④若(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆，由S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称可知，(){},4,Z,Z x y x y x y S -=∈∈⊆，(){},4,Z,Z x y x y x y S -+=∈∈⊆，(){},4,Z,Z x y x y x y S --=∈∈⊆，即(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆，故正确，综上：①③④正确.故选C.点睛：图象的变换：（1）平移：左加右减，上加下减；（2）对称：①()f x 变为()f x -，则图象关于y 轴对称；②()f x 变成()f x -，则图象关于x 轴对称；③()f x 变成()f x --，则图象关于原点对称；④()f x 变成()f x ，则将x 轴正方向的图象关于y 轴对称；⑤()f x 变成()f x ，则将x 轴下方的图象关于x 轴对称.二、多选题13．下列关系中正确的是（ ）A ．0∈∅B ．{}∅∈∅C ．{}∅⊆∅D ．{}0∅⊆【答案】BCD【解析】【分析】根据空集的定义和性质，依次判断即可 选项A ：空集中没有元素，故A 错误； 选项B ：{}∅中只有一个元素∅，故B 正确；选项C ，D ：空集是任意集合的子集，故C ，D 正确 故选：BCD14．下列集合是空集的是（ ）A ．{}20y R y ∈<B ．{}230x R x x ∈++=C ．{}20202020x R x ∈+=D ．{}2(,)0,,x y x y x y R +=∈【答案】AB【解析】【分析】根据各选项集合的描述直接判断是否为空集即可.A ：由y R ∈上20y ≥恒成立，故{}20y R y ∈<=∅；B ：方程230x x ++=无解，故{}230x R x x ∈++==∅；C ：{}{}202020200x R x ∈+==，不为空集；D ：}{}2{(,)0(0,0)x y x y +==，不为空集 .故选：AB15．下列说法正确的是（ ）A ．任何集合都是它自身的真子集B ．集合{},a b 共有4个子集C ．集合{31,Z}{32,Z}xx n n x x n n =+∈==-∈∣∣ D ．集合{}{}221,N 45,N xx a a x x a a a **=+∈==-+∈∣∣ 【答案】BC【解析】【分析】根据集合的性质依次判断即可.对A ，空集不是它自身的真子集，故A 错误；对B ，因为集合{},a b 中有2个元素，所以有224=个子集，故B 正确；对C ，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C 正确；对D ，因为2245(2)1x a a a =-+=-+，当2a =时，1x =，所以{}2145,N xx a a a *∈=-+∈∣，但{}211,N xx a a *∉=+∈∣，故两个集合不相等，故D 错误. 故选：BC.16．下列选项中两个集合相等的是（ ）A ．{}2(1)10,,2n P x x x Q x x n Z ⎧⎫--⎪⎪=+===∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭ B ．{},{0}P Q φ==C ．{}{}10,,25,,P x x k k Z Q x x m x n m Z n Z ==∈===∈∈且D ．{}53,,,340a b P x x a R b R Q x x x x a b ⎧⎫⎪⎪==+∈∈=--=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 【答案】ACD【解析】【分析】利用集合相等判断.A. 因为{}{}{}201,0,1,0P x x x Q =+==-=-，故两个集合相等；B. 因为{}P φ=的元素是∅， {0}Q =的元素为0，故两个集合不相等；C. 因为{}10,,P x x k k Z ==∈{2Q x x m ==且}{}5,,10,x n m Z n Z x x k k Z =∈∈==∈，故两个集合相等；D. {}{}2,0,2,2,0,2P Q =-=-，故两个集合相等；故选：ACD17．（多选）集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集B ．对任意a ，1P 不是2P 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集D ．存在a ，使得2P 是1P 的子集【答案】AD【解析】【分析】讨论1P 、2P 均为非空或空集，研究集合1P 、2P 之间的包含关系.当1P 、2P 均不为空集时，{}21|1P x x ax =+>-，{}22|2P x x ax =+>-，此时12P P ⊆，1P 是2P 的子集；当1P 、2P 均为空集时，12P P =，1P 与2P互为子集， 故选：AD.18．已知集合{}12A x x =<<，{}232B x a x a =-<<-，下列说法正确的是（ ）A ．不存在实数a 使得AB =B ．当4a =时，A B ⊆C ．当04a ≤≤时，B A ⊆D ．存在实数a 使得B A ⊆【答案】AD【解析】【分析】选项A 由集合相等列方程组验算；选项B 由4a =得B =∅，故不满足A B ⊆；选项C 、D 通过假设B A ⊆求出实数a 的取值范围可判定.选项A ：若集合A B =，则有231,22,a a -=⎧⎨-=⎩，因为此方程组无解，所以不存在实数a 使得集合A B =，故选项A 正确.选项B ：当4a =时，{}52B x x =<<=∅，不满足A B ⊆，故选项B 错误.若B A ⊆，则①当B =∅时，有232a a -≥-，1a ≥；②当B ≠∅时，有1,231,22a a a <⎧⎪->⎨⎪-<⎩此方程组无实数解； 所以若B A ⊆，则有1a ≥，故选项C 错误，选项D 正确.故选：AD .三、填空题19．一个()*n n N ∈元集合有___________个子集，有___________个非空子集，有___________个非空真子集.【答案】 2n ()21n - ()22n -【解析】【分析】一个集合中如果含有n 个元素，则子集的个数为2n ，非空子集个数就在此基础上去掉1个，非空真子集在此基础上去掉2个一个集合中如果含有n 个元素，则子集的个数为2n ，非空子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -故答案为：2n ，()21n -，()22n -20．集合{24x x -<<且}N x ∈的真子集有___个．【答案】15【解析】【分析】 求出集合{24x x -<<且}N x ∈的元素个数，利用真子集个数公式可得结果.{24x x -<<且}{}N 0,1,2,3x ∈=，该集合的元素个数为4，因此，该集合的真子集个数为42115-=.故答案为：15.21．集合{}21,4,A a =，{}4,B a =，若A B ⊇，则a 的值为__________. 【答案】0【解析】【分析】根据集合的包含关系求解，即由a A ∈求解．因为A B ⊇，所以a A ∈，显然4a ≠，若1a =，则21a =与集合元素的互异性矛盾，舍去；若2a a =，则0a =或1a =（舍去），综上，0a =．故答案为：0．22．已知集合{}2320A xx x =-+=∣，{06,}B x x x N =<<∈∣，则满足条件A ⊂C B ⊆的集合C 的个数为_________个【答案】7【解析】【分析】化简集合A ，B ，根据条件A C B ⊂⊆确定集合C 的个数即可.因为{}2320{1,2}A xx x =-+==∣， {06,}{1,2,3,4,5}B x x x N =<<∈=∣,因为A C B ⊂⊆，所以1，2都是集合C 的元素，集合C 中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，所以集合C 为：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}， {1,2,3,4,5}，共7个.故答案为：723．当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合11,122A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，{}210,0B x ax a =+=≤，若A 与B 构成“全食”，或构成“偏食”，则a 的取值集合为___________.【答案】{}0,1,4--【解析】【分析】分A 与B 构成“全食”，或构成“偏食”两种情况讨论．当A 与B 构成“全食”即B A ⊆时，当0a =时，B =∅；当0a ≠时，B =， 又B A ⊆，4a ∴=-；当A 与B 构成构成“偏食”时，AB ≠∅且B A Ø，1a ∴=-． 故a 的取值为：0，1-，4-，故答案为：{}0,1,4--24．集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i =，则1231023m m m m ++++=___________.【答案】-1【解析】【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积i m ，综合即可得答案.集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =可以分成以下几种情况①含元素0的子集共有92512=个，这些子集中所有元素乘积0i m =；②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有821255-=个其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则i m 的和为0，④只含元素-1的子集1个，满足1i m =-，综上：所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=-.故答案为：-1四、解答题25．判断下列集合A 、B 是否表示同一集合，若不是，请说明理由.(1){}2,4,6A =，{}4,2,6B =；(2)(){}2,3A =，(){}3,2B =；(3){}|3A x x =>，{}|3B t t =>；(4){}|2,R A y y x x ==∈，(){},|2,R B x y y x x ==∈.【答案】(1)是；(2)否，理由：()2,3和()3,2是两个不同元素；(3)是；(4)否，理由：A 是数集，B 是点集.【解析】(1){}2,4,6A =，{}4,2,6B =元素一样，是同一集合； (2)()()2,33,2，表示不同的点，故(){}2,3A =，(){}3,2B =集合不同(3){}|3A x x =>，{}|3B t t =>表示的范围相同，是同一集合(4)不是同一集合，A 是数集，B 是点集.26．判断下列表述是否正确：（1）{}a a ⊆； （2）{}{,}a a b ∈；（3）{,}{,}a b b a ⊆； （4）{1,1}{1,0,1}--Ü；（5）0∈∅； （6）{0}=∅；（7）{0}∅⊆； （8）∅{1,1}-Ü．【答案】（1）不正确；（2）不正确；（3）正确；（4）正确；（5）不正确；（6）不正确；（7）正确；（8）正确．【解析】【分析】（1）由{}a a ∈判断；（2）由{}a {,}a b 可判断；（3）由{,}{,}a b b a =可判断；（4）由{1,1}{1,0,1}--Ü可判断；（5）由0∉∅可判断；（6）由∅{0}可判断；（7）由空集是任何集合的子集可判断；（8）由空集是任何非空集合的真子集可判断.解：（1）因为{}a a ∈，所以{}a a ⊆错误，故（1）不正确；（2）因为{}a {,}a b ，所以{}{,}a a b ∈错误，故（2）不正确；（3）因为{,}{,}a b b a =，所以{,}{,}a b b a ⊆正确，故（3）正确；（4）因为{1,1}{1,0,1}--Ü，所以（4）正确；（5）因为0∉∅，所以0∈∅错误，故（5）不正确；（6）因为∅{0}，所以{0}=∅错误，故（6）不正确；（7）因为空集是任何集合的子集，所以{0}∅⊆正确，所以（7）正确；（8）因为空集是任何非空集合的真子集，所以∅{1,1}-Ü正确，故（8）正确．27．写出下列集合的所有子集：()1{}1； ()2{}1,2； ()3{}1,2,3．【答案】()1∅，{}1；()2∅，{}1，{}2，{}1,2；()3∅，{}1，{}2，{}3，{}1,2，{}1,3，{}2,3，{}1,2,3.【解析】【分析】根据所给集合列出相应子集即可.解：()1∅，{}1.()2∅，{}1，{}2，{}1,2.()3∅，{}1，{}2，{}3，{}1,2，{}1,3，{}2,3，{}1,2,3.28．指出下列各对集合之间的关系：（1）A ＝{－1，1}，B ＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；（2）A ＝{x |x 是等边三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}；（3）A ＝{x |－1＜x ＜4}，B ＝{x |x －5＜0}；（4）M ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}．【答案】（1）A 与B 之间无包含关系；（2）AB ；（3）A B ；（4）N M ．【解析】【分析】对四对集合逐一分析，由此确定,A B 之间的关系.（1）集合A 的代表元素是数，集合B 的代表元素是有序实数对，故A 与B 之间无包含关系．（2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB ． （3）集合B ＝{x |x ＜5}，用数轴表示集合A ，B 如图所示，由图可知A B ．(4)由列举法知M ＝{1，3，5，7，…}，N ＝{3，5，7，9，…}，故N M ．29．在①{}1x a x a -≤≤；②{}2x a x a ≤≤+；③{}3x ≤这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的a 存在，求a 的值，若a 不存在，请说明理由.已知集合A =__________，{}13B x x =≤≤.若A 是B 的真子集，求实数a 的取值范围.【答案】当选条件①时23a ≤≤；当选条件②③时，不存在a 的值满足题意.【解析】【分析】分别选择条件①②③，根据真子集的条件列不等式求解即可.当选条件①时，因为A 是B 的真子集，所以311a a ≤⎧⎨-≥⎩（等号不可同时取得）， 解得23a ≤≤．所以实数a 的取值范围是23a ≤≤． 当选条件②时，因为A 是B 的真子集，所以231a a +≤⎧⎨≥⎩解得a ＝1．此时A ＝B ，不符合条件． 故不存在a 的值满足题意．当选条件③时，因为A 是B 的真子集，所以331≤，该不等式组无解，故不存在a的值满足题意．综上：当选条件①时23a≤≤；当选条件②③时，不存在a的值满足题意.30．（1）已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．（2）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．【答案】（1）{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}；（2）{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．【解析】【分析】（1）列举法，按元素个数分类写出所有可能情况；（2）将元素分为三组3，2和4，1和5，按元素个数分类列举写出所有结果即可. （1）因为{1，2}⊆M，所以1∈M，2∈M，又因为M⊆{1，2，3，4，5}，所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个．（2）若M只含1个元素，则M={3}；若M只含2个元素，则M={1，5}，{2，4}；若M只含3个元素，则M={1，3，5}，{2，3，4}；若M只含4个元素，则M={1，2，4，5}；若M含5个元素，则M={1，2，3，4，5}．所以M可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．【点睛】关于集合子集个数的结论：一个集合有n个元素，则这个集合的子集的个数为2n，真子集的个数为21n-.31．已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．【答案】(1)a∈∅(2)a≤3【解析】【分析】（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立(1)∵M⊆N，∴12215aa+≤⎧⎨-≥⎩，∴a∈∅；(2)①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则12215aa+≥⎧⎨-≤⎩，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a ≤3．32．设集合{}23A x x =-≤≤，{}121B x m x m =-<<+．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(2)当B A ⊆时，求m 的取值范围．【答案】(1)62(2)(][],21,1-∞-⋃-【解析】【分析】（1）由条件确定集合A 中元素，即可求解；（2）由B A ⊆，分类讨论，建立不等式求解即可.(1)（1）∵x ∈Z ， ∴{}{}232,1,0,1,2,3A x x =-≤≤=--，∴A 的非空真子集的个数为62262-=．(2)分两种情况讨论：①当B =∅时，121m m -≥+，则2m ≤-；②当B ≠∅时，2,12,213m m m >-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得11m -≤≤． 综上可得，m 的取值范围为(][],21,1-∞-⋃-．33．已知集合A ＝{x |x 2+4ax ﹣4a +3＝0}，B ＝{x |x 2+（a ﹣1）x +a 2＝0}，C ＝{x |x 2+2ax ﹣2a ＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a 的取值范围．【答案】a ≥﹣1或a 32≤-．【解析】【分析】关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A 、B 、C 都是空集，由此能求出a 的取值范围．假设集合A 、B 、C 都是空集，对于A ，元素是x ，A =∅，表示不存在x 使得式子24430x ax a +-+= 成立，()2164430a a ∴∆=--+<，解得3122a -<<； 对于B ，B =∅，同理()22140a a ∆=--<，解得a 13＞或者1a <-；对于集合C ，C =∅，同理()2280a a ∆=+<，解得20a -<<； 三者交集为312a -<<- ；取反面即可得A 、B 、C 三个集合至少有一个集合不为空集，∴a 的取值范围是1a ≥-或a 32≤-；综上，1a ≥- 或32a ≤- .34．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合{}1,2,3,4,5,6M =，根据提示解决问题.①求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：x M∀∈，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为k，可以用k表示出M的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M所有非空子集的元素和的总和.②求集合M所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）①672，②192【解析】【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M中各数字出现的次数，即可得答案.、,、、的交替和总和，根据规律，总结出n个元素的交②分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}替和总和公式，代入数据，即可得答案.（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现242=次，集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，其中数字1、2、3、4各出现382=次，在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为42=16，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现42=16次，同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次，所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.②设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S ， 集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1，2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=，集合{1，2，3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=， 集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅，所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯= 【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.。
高一数学第二章知识点归纳
高一数学第二章知识点归纳本文将对高一数学第二章的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地复习和掌握这一章的内容。
一、集合及其运算1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，其中每个对象称为集合的元素。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
3. 集合的关系运算：并集、交集、差集和补集。
4. 集合的性质：幂集、空集以及集合的相等和不相等。
二、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将集合A中的每个元素都对应唯一的集合B中的元素。
2. 函数的表示方法：映射法、列表法、公式法和图示法。
3. 函数的性质：定义域、值域、对应关系、单射、满射、双射等。
4. 函数的运算：函数的加减乘除、函数的复合运算等。
三、二次函数与一次函数1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 二次函数的图像特征：顶点、对称轴、开口方向、零点等。
3. 一次函数的定义：y=kx+b（k≠0）。
4. 一次函数的图像特征：斜率、截距、直线方程的推导等。
四、指数与对数1. 指数的定义和性质：指数的运算法则、指数函数的图像、指数方程与指数不等式等。
2. 对数的定义和性质：对数的运算法则、对数函数的图像、对数方程与对数不等式等。
3. 指数与对数的换底公式和性质：e的性质、10的性质、常用对数与自然对数的换算等。
五、三角函数1. 三角函数的定义和性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
2. 三角函数的图像和周期性：三角函数图像的基本性质、周期性及其应用。
3. 三角函数的基本关系：同角三角函数的互相表示、和差化积等三角函数间的基本关系。
六、平面向量1. 平面向量的定义和表示：向量的表示方法、向量的加减及数乘等运算。
2. 平面向量的性质和定理：平行向量、垂直向量、向量的模、方向角及平面向量共线、共面的判定定理等。
3. 平面向量的应用：向量的几何应用、平面向量解几何问题等。
本文对高一数学第二章的知识点进行了简要归纳，帮助同学们复习和掌握了这一章的内容。
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子集、全集、补集
2．集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何 一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合 B，记作A=B。
3．真子集：对于两个集合A与B，如果 我们就说集合A是集合B的真子集， 记作： A （B或） B ，A 读作A真包含于B或B真包含A。
子集、全集、补集
提出问题
已知 M {1,1}，N {1,1,3}，P {x x2 1 0}，
（（41））分哪别些说集出合各表集示合方中法的是元列素举？法？ 集合M和集合N （集集2合合）MP哪中中些元元集素素合有有表－－示11，，方11法．；是集描合述N法中？元素有集－合1，P 1，3； （（53））将将集集合合中M的、元集素合与N、该集集合合P的用关图系示用法符表号示表．示出来． 将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．
1-1M 11 M -111 N3 1 N
1 P 1 P
3M.
（6）集集合合MMM中中元元素素与与集集合合PN有有N何何关关系系？？
集合M中任何元素都是集合N的元素．
集合M中任何元素都是集合P的元素．
-31 N1
P
子集、全集、补集
新授课 1．子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一
个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集 合B， 或集合B包含集合A。 记作：A B或B A 读作：A包含于B或B包含A 当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时， 记作：A B或B A． 规定：空集是任何集合的子集．即 A
（×）
子集、全集、补集
练习：
2． 用适当的符号（,, , ， ）填空： （1）0 ____0 ； ___0 ；0 ___ ；
（2） _=__x x2 1 0, x R ；0___x x2 1 0, x R；
（3） 2 3 ___a b b 2 a,b Q
（4）设 A x x 2n 1, n Z， B x x 2m 1,m Z， C x x 4k 1, k Z， 则A =B C．
A B，并且 A ，B
B A
子集、全集、补集
结论 （1）任何一个集合是它本身的子集．即 A A （2）空集是任何非空集合的真子集． （3）对于集合A，B，C，如果 A B, B C ，那 么A C ． （4）对于集合A, B, C，如果 A B, B C ，那 么A C ． （5）对于集合A，B，如果 A B ，同时 B A ，那么A B ．
子集、全集、补集
例题讲解
例1、写出集合a, b的所有子集，并指出其中哪些是它的真
子集．
解：集合a,b的所有的子集是 ，a ，b ，a,b， 其中 ，a ，b是 a,b的真子集．
例2、解不等式 x 3 2 ，并把结果用集合表示． 解： x 5
原不等式的解集是 { x | x 5}
子集、全集、补集
课堂小结 1．清楚子集、真子集，集合相等的概念； 2．能判断两集合之间的关系．
作业： P10 习题1.2 1，2，3
பைடு நூலகம்
子集、全集、补集
练习：
1．判断下列说法是否正确：
（1）表示空集 ．
（×）
（2）空集是任何集合的真子集；
（×）
（3）1,2,3不是 3,2,1；
（×）
（4）0,1 的所有子集是 0,1,0,1 ；
（×）
（5）如果A B且 A B ，那么B必是A的真子集；（ √ ）
（6） A B 与 B A不能同时成立．