悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验

实验五 悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验

一、实验目的

1、用共振法确定悬臂梁横向振动时的各阶固有频率。

2、熟悉和了解悬臂梁振动的规律和特点。

3、观察和测试悬臂梁振动的各阶主振型。分析各阶固有频率及其主振型的实测值与理论计算值的误差。

二、基本原理

悬臂梁的振动属于连续弹性体的振动，它具有无限多自由度及其相应的固有频率和主振型，其振动可表示为无穷多个主振型的叠加。对于梁体振动时，仅考虑弯曲引起的变形，而不计剪切引起的变形及其转动惯量的影响，这种力学分析模型称为欧拉-伯努利梁。

运用分离变量法，结合悬臂梁一端固定一端自由的边界条件，通过分析可求得均质、等截面悬臂梁的频率方程

1 L Lch cos -=ββ （5-1） 式中：L ——悬臂梁的长度。

梁各阶固有园频率为

A

EI

i i n 2

ρβω= （5-2）

对应i 阶固有频率的主振型函数为

)

,3,2,1()

sin (sin cos cos )( =-++-

-=i x x sh L

L sh L L ch x x ch x X i i i i i i i i i ββββββββ （5-3）

对于（5-1）式中的β，不能用解析法求解，用数值计算方法求得的一阶至四阶固有园频率和主振型的结果列于表5-1。

各阶固有园频率之比

1f ﹕1f ﹕1f ﹕1f ﹕… = 1﹕6.269﹕17.56﹕34.41﹕… （5-4）

y

A B x h L b 图5-1 悬臂梁振动模型

表（5-1）给出了悬臂梁自由振动时i =1～4阶固有园频率及其相应主振型函数。除了悬臂梁固定端点边界位移始终为零外，对于二阶以上主振型而言，梁上还存在一些点在振动过程中位移始终为零的振型节点。i 阶振型节点个数等于i -1，即振型节点个数比其振型的阶数小1。

实验测试对象为矩形截面悬臂梁（见图5-2所示）。在实验测试时，给梁体施加一个大小适当的激扰作用力，其频率正好等于梁体的某阶固有频率，则梁体便会产生共振，这时梁体变形即为该阶固有频率所对应的主振型，其它各阶振型的影响很小可忽略不计。用共振法确定悬臂梁的各阶固有频率及振型，我们只要连续调节激扰力，当悬臂梁出现某阶主振型且振动幅值最大即悬臂梁产生共振时，这时激扰力的频率就可以认为是悬臂梁的这一阶振动的固有频率。在工程实践中，最重要是确定振动系统最低的几阶固有频率及其主振型。本实验主要运用共振法测定悬臂梁一、二、三、四阶固有频率及其相应的主振型。

悬臂梁固有园频率及主振型函数 表5-1 频率方程 A

EI

L

L Lch ρπ

ω

ββ2

2*

1

cos =

-=

i

固有园频率i n ω 主振型函数)(x X i

1 *1 356.0ωω=n

2 *2 232.2ωω=n 0.774L

3 *3 252.6ωω=n 0.501L 0.868L 4

*4 25.12ωω=n

0.356L 0.644L 0.906L

L

L/4

图5-2 仪器和设备装配框图

三、仪器和设备

SJF-3型激振信号源一台； JZF-1型磁电式非接触激振器一个；矩形截面悬臂钢梁标准件一个；机械振动实验台架；磁力表座一只。

仪器和设备装配框图见图4-9。

四、理论计算及实验结果记录

（一）理论计算分析

悬臂钢梁有关参数可取：E =2×1011N/m 2,=ρ7.8×103 kg/m 3

。用直尺测量悬臂梁的梁长L 、梁宽b 、梁高h 。计算简支梁一、二、三、四阶固有频率和相应的振型。并将理论计算结果填入表5-2。 梁几何尺

寸

梁长 L= 梁宽 b= 梁高 h=

固有频率 f 1

f 2

f 3

f 4

理论值 实测值

（二）将悬臂梁实测固有频率填入表5-2。 （三）绘出观察到的悬臂梁的振型曲线。

实 验 台

悬臂梁

非接触激振器

磁力表座