线性代数矩阵的秩精品PPT课件
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2016(6)矩阵的秩课件
阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
R ( B ) 3,
故 B 中必有 3 阶非零子式 . 且共有 4 个.
计算含在A的前1,2,4列构成的子式
3 3 2 2 2 0 5 6 16 0. 5
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
若 A 经一次初等行变换变为 B ，则 R ( A ) R ( B ).
又由于 B 也可经一次初等变换变 为 A, 故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B , 也有 R( A) R( B ).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
i k 当A B或 A r B 时，
ri r j
在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D r ,. 由于 D r Dr 或 D r Dr 或 D r kDr ,
因此 D r 0，从而 R( B ) r .
ˆr, D r ri krj ri k rj Dr kD ˆ r 0, 若D
ˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第 i 行的 r 阶 因D 非零子式 ,
R( B ) r .
ˆ r 0, 若D
则 D r Dr 0, 也有 R( B ) r .
证毕
初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 , 求矩阵 A 的 例4 设 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 ．
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
R ( B ) 3,
故 B 中必有 3 阶非零子式 . 且共有 4 个.
计算含在A的前1,2,4列构成的子式
3 3 2 2 2 0 5 6 16 0. 5
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
若 A 经一次初等行变换变为 B ，则 R ( A ) R ( B ).
又由于 B 也可经一次初等变换变 为 A, 故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B , 也有 R( A) R( B ).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
i k 当A B或 A r B 时，
ri r j
在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D r ,. 由于 D r Dr 或 D r Dr 或 D r kDr ,
因此 D r 0，从而 R( B ) r .
ˆr, D r ri krj ri k rj Dr kD ˆ r 0, 若D
ˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第 i 行的 r 阶 因D 非零子式 ,
R( B ) r .
ˆ r 0, 若D
则 D r Dr 0, 也有 R( B ) r .
证毕
初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 , 求矩阵 A 的 例4 设 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 ．
线性代数3.3矩阵秩-PPT精选文档
1 1 2 2 1 2 r r2 1 3 r r 1 3 解 因为 A 2 5 3 2 0 3 7 1 5 0
2 2 1 1 7 0 1 7 2
1 2 2 1 1r r 2 3 0 1 7 0 所以，秩(A) 3。 0 0 0 2
若 B 可逆时， r (A B ) r (A )。
( A Br ) () Ar () B （5）如果 A 。 m nB np O，则 r
（6）r ( A ) +
r
( B ) ≤ n。
阶矩阵
（3）对于 n
A
，若 A n 。因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。
（4）由于行列式与其转置行列式相等，因此
AT
的子式与
A
的子式对应相等，从而
T r(A ) r(A )
（5）该定义揭示了矩阵秩的本质。 例4 求矩阵 A 和矩阵 B 的秩，其中
T T ) r(B )。 r(A ) r(A ) ， r(B ) r(B )，因此 r(A
总之，若 A 经有限次初等变换变为 B （即
) r(B )。 A B），则 r(A
【注】求矩阵
A
行阶梯形， 秩的方法：A
r
行阶梯形中非零行的行数，即是它的秩。
1 2 2 1 例5 求矩阵 A 2 5 3 2 的秩。 3 7 1 5
3.3 矩阵的秩
一 矩阵秩的概念
二
求矩阵秩的方法
一、矩阵秩的概念
定义1 在 mn 阶矩阵 A 中，任取 k 行与
k
列
, n ）， （ k mk 位于这些行列交叉处的 k
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
线性代数课件第三章矩阵的秩
线性方程组的解 与矩阵的秩的关 系
利用矩阵的秩判 断线性方程组是 否有解
利用矩阵的秩求 解线性方程组的 步骤和方法
矩阵的秩在判断向量组线性相关性的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的定义
矩阵的秩在判断向 量组线性相关性中 的应用
矩阵的秩与向量组 线性相关性的关系
矩阵的秩在解决实 际问题中的应用
矩阵的秩在求向量空间维数中的应用
汇报人：PPT
PPT,a click to unlimited possibilities汇报人Leabharlann PPT目录矩阵秩的定义
矩阵的秩的概念
矩阵秩的几何意义
矩阵秩的计算方法
矩阵秩的性质和定理
矩阵的秩的计算方法
定义：矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数
计算方法：通过初等行变换或初等列变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数非零行数或非零列 数
利用初等列变换求矩阵的秩的证明
初等列变换的定义和性质
阶梯形矩阵的秩的计算方法
添加标题
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利用初等列变换将矩阵化为阶梯形 矩阵
证明利用初等列变换求矩阵的秩的 正确性
零矩阵的秩
零矩阵的定义：所 有元素都为0的矩 阵
零矩阵的秩为0
零矩阵与任何矩阵 相乘都等于0
零矩阵在数学中的 意义和作用
性质：矩阵的秩与行数和列数有关，且不超过行数和列数中的最小值
应用：矩阵的秩在解线性方程组、判断向量组的线性相关性等方面有重要应用
矩阵的秩的性质
矩阵的秩等于其行秩或列秩
矩阵的秩是其所有子矩阵的 秩的最大值
矩阵的秩是唯一的
矩阵的秩等于其转置矩阵的 秩
矩阵的秩在解线性方程组中的应用
线性代数矩阵的秩ppt课件
设 A 经过初等列变换变为 B，则 AT 经过初等行变换变为
BT ，从而 R(AT) = R(BT) ． 1. 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
3 2 0 5 0
例：求矩阵
A
3
2
3
2 0 1
6 5
1
3
的秩，并求 A 的一个
1
6
4 1
4
最高阶非零子式．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
BT ，从而 R(AT) = R(BT) ． 1. 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
3 2 0 5 0
例：求矩阵
A
3
2
3
2 0 1
6 5
1
3
的秩，并求 A 的一个
1
6
4 1
4
最高阶非零子式．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
线性代数—矩阵的秩PPT课件
0 0
0 0
4
0
08
10
第10页/共12页
练习：
P143 习题三 17. 18.
11
第11页/共12页
谢谢您的观看！
12
第12页/共12页
(4) 对于 n 阶方阵 A 而言，有 r(A) n A 0 ；
r(A) n A 0 ;
可逆矩阵也称为满秩矩阵。
(5) 设 P, Q 为可逆阵,则 r(PA) r(A) ,r(AQ) r(A) .
4
第4页/共12页
例2
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
零矩阵的秩规定为0。
m n 矩阵A的秩 r(A) 是A中非零子式的最高阶数.
3
第3页/共12页
矩阵秩的性质：
(1) 若 A 为m n 矩阵，则 0 r( A) min( m , n) ； (2) r( AT ) r( A) ； r(kA) r( A) (k 0 )；
(3) 若 A 有一个 r 阶子式不为零，则 r( A) r ； 若 A 的所有 r 1 阶子式全为零，则r( A) r ；
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0， r( A) 2 .
5
第5页/共12页
2 1 0 3 2
例3
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 3
而 0 3 2 0 , r(B) 3 .
关于矩阵秩的讨论PPT课件
授课：XXX
矩阵的秩在线性代数中的应用
1 矩阵的秩在解线齐次性方程方组解的程判定组问题时的应用
定理1 设有线性方程组 Ax B ,
(4.1)
其中A(aij)mn，X (x 1 ,x 2 ,...,x n )T ,B (b 1 ,b 2 ,...,b n )T则有:
(1) 线性方程组(4.1)有解 r(A )r(AB),即系数矩阵的秩
关于矩阵秩的讨论
学院：数学计算机学院 专业：数学与应用数学（师范） 年级：09级（1）班 学生: 王学丽 学号: FNS32010036 指导老师：纳艳萍
2021/3/9
授课：XXX
LOGO
研究的目的及意义
目的及意义
运用矩阵的秩可以解决很多的问题.线性代数 和解析几何中的一些问题都可以用它来刻画.为了 对它有更加深刻的理解，本论文对矩阵的秩进行了 讨论.
设 aa12xxbb12yycc12zzdd1,2.的系数矩阵为 A ，增广矩阵为 B ，
则
(1) 当 r(A)r(B)2时，平面 1 与 2 相交于一条直线;
(2)
当 r(B) 1 时，平面
与
1
2
重合;
(3) 当 r(A) 1 ，r(B) 2 ，平面 1 与 2 平行.
授课：XXX
矩阵的秩在解析几何中的应用
授课：XXX
矩阵的秩在解析几何中的应用
6 空间平面与直线之间的位置关系
定理6 设空间直线 L:A A12xxBB12yyCC12zzDD1200,.和平面的方程
分别是 :A 3xB 3y C 3zD 30 .
A1 B1 C1 A1 B1 C1 D1 设 AA2 B2 C2 , BA2 B2 C2 D2 .
矩阵的秩在线性代数中的应用
1 矩阵的秩在解线齐次性方程方组解的程判定组问题时的应用
定理1 设有线性方程组 Ax B ,
(4.1)
其中A(aij)mn，X (x 1 ,x 2 ,...,x n )T ,B (b 1 ,b 2 ,...,b n )T则有:
(1) 线性方程组(4.1)有解 r(A )r(AB),即系数矩阵的秩
关于矩阵秩的讨论
学院：数学计算机学院 专业：数学与应用数学（师范） 年级：09级（1）班 学生: 王学丽 学号: FNS32010036 指导老师：纳艳萍
2021/3/9
授课：XXX
LOGO
研究的目的及意义
目的及意义
运用矩阵的秩可以解决很多的问题.线性代数 和解析几何中的一些问题都可以用它来刻画.为了 对它有更加深刻的理解，本论文对矩阵的秩进行了 讨论.
设 aa12xxbb12yycc12zzdd1,2.的系数矩阵为 A ，增广矩阵为 B ，
则
(1) 当 r(A)r(B)2时，平面 1 与 2 相交于一条直线;
(2)
当 r(B) 1 时，平面
与
1
2
重合;
(3) 当 r(A) 1 ，r(B) 2 ，平面 1 与 2 平行.
授课：XXX
矩阵的秩在解析几何中的应用
授课：XXX
矩阵的秩在解析几何中的应用
6 空间平面与直线之间的位置关系
定理6 设空间直线 L:A A12xxBB12yyCC12zzDD1200,.和平面的方程
分别是 :A 3xB 3y C 3zD 30 .
A1 B1 C1 A1 B1 C1 D1 设 AA2 B2 C2 , BA2 B2 C2 D2 .
2.4矩阵的秩详解ppt课件
R(B) 3
18
故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 52 0 5 3 2 6 6 0 11
25
2
16 0.
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
19
1 2 2 1 1
例5
设A
2 2
4 4
8 2
0 3
7
当A ri rj B或 A rik B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,. 由于Dr Dr 或 Dr kDr , 因此 Dr 0，从而 R(B) r.
当A ri krj B时，分三种情况讨论： （1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
aa23三小结2初等变换法求矩阵秩的方法1利用定义把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
第二章
第四节 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、小结
1
一、矩阵秩的概念
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m, k n）, 位于这些行列交叉处的 k2个 元素,不改变它们在 A中所 处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵 A的 k 阶子式.
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cmk Cnk 个.
定义2 若在矩阵 A中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D， 且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r称为矩阵 A 的秩， 记作 R( A) .并规定零矩阵的秩等于零.
2
由定义可知m n 矩阵 A的秩 R( A) 是 A中非零 子式的最高阶数.
线代课件-矩阵的秩
6
4 1
4 0
0
0
0
0
行階梯形矩陣有 3 個非零行，故R(A) = 3 ．
第二步求 A 的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行
的第一個非零元，所與在之的對列應的是選取矩陣 A 的第一、
二、四列． 3 2 5 1 6 1
A0
3 2
2 0
6
r
~
0
4
5 0 0
1 4
B0
1
6
1
§2.6 矩陣的秩
一、矩陣的秩的概念
定義：在 m×n 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位於這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處 的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式．
顯然，m×n 矩陣
A的
k
階子式共有
C
k m
C
k n
個．
概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、餘子式、代數餘子式
1 2 2 1 1
例：設
A
2
4
8
0
,
b
2
，求矩陣
A
及矩陣
2 4 2 3 3
3
6
0
6
4
B = (A, b) 的秩．
分析：對 B 作初等行變換變為行階梯形矩陣，設 B 的行階梯 形矩陣為B ( A, b)，則 A 就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從 中同時看出R(A)及 R(B) ．
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
解：B
2
4
பைடு நூலகம்
8
0
2
r
~
0
0
2
线性代数课件3-2矩阵的秩
1 A 0 2 2 2 1 3 1 5
2 1 0 2 3 0
2 2 1 3 0 1 5 r3 2 r1 1 0 0 3
2
做初等变换，
3 2 6 2 1 3 2 3 9
r3 3 r2
0 3 1 4
5 6 5 1
0 1 , 3 4
求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式． 1 6 4 1 4 3 2 0 5 0 解 3 2 3 6 1 r1 r4 3 2 3 6 1 A 2 0 1 5 3 2 0 1 5 3 r2 r4 , 1 6 4 1 4 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 r3 3 r2 1 6 4 1 4 r3 2 r1 0 4 3 1 1 0 4 3 1 1 r4 4 r2 0 0 0 4 8 0 12 9 7 11 r4 3 r1 0 16 12 8 12 0 0 0 4 8
此方法简单！
显然，非零行的行数为2.
R ( A ) 2.
行阶梯型矩阵非零行的行数 与矩阵的秩之间有何关系？
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形. 矩阵经过初等变 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 换之后，秩不变
定理1
若A ~ B，则R( A) R( B).
设A经初等列变换变为 B, 也有R( A) R( B). 设 A 经初等列变换变为 B,
则 A 经初等行变换变为 B , T T R ( A ) R ( B ), 且 R ( A ) R ( A T ), R ( B ) R ( B T ), R ( A ) R ( B ).
第二十一讲 矩阵的秩课件ppt
§3.3 矩 阵 的 秩 §3.3 矩 阵 的 秩
Hale Waihona Puke ()1 / 1本节主要内容
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列初等变换
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质;
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质; 通 过讨 论行 初 等 变 换,
()
1 / 1
()
3 / 1
矩 阵 的定 义
定 义 3.3.1 由数 域 ������ 中 ������ × ������ 个数组 成 的形 如右 边 的表称 为数 域 ������ 上一 个 ������ 行 ������ 列 矩 阵, ⎛ ⎞ ������11 ������12 · · · ������1������ ⎜ ������21 ������22 · · · ������2������ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝· · · · · · · · · · · · · · · · ·⎠ ������������1 ������������2 · · · ������������������
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质; 通 过讨 论行 初 等 变 换, 引 入矩 阵的行 秩的概 念, 进 而引 入列 秩 和秩的概 念,
Hale Waihona Puke ()1 / 1本节主要内容
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、
()
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本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列初等变换
()
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本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念
()
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本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质;
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本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质; 通 过讨 论行 初 等 变 换,
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矩 阵 的定 义
定 义 3.3.1 由数 域 ������ 中 ������ × ������ 个数组 成 的形 如右 边 的表称 为数 域 ������ 上一 个 ������ 行 ������ 列 矩 阵, ⎛ ⎞ ������11 ������12 · · · ������1������ ⎜ ������21 ������22 · · · ������2������ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝· · · · · · · · · · · · · · · · ·⎠ ������������1 ������������2 · · · ������������������
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本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质; 通 过讨 论行 初 等 变 换, 引 入矩 阵的行 秩的概 念, 进 而引 入列 秩 和秩的概 念,
线性代数-矩阵的秩-PPT-期末复习资料
4
2 3 7
3 5, 1
2
B
0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5
3 0
3
A 在 中，容易看出一个2阶
子式
1 2 3 A 2 3 5,
12
D
1 0,
23
4 7 1
2 1 0 3 2
的3阶子式只有一个
A A 0, 因此 R( A) 2.
在 中，由于它是行阶梯形
阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；
r 1
r
A A ✓矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶
数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；
A s ✓当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 A t 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则
R( A) s; R( A) t;
5
n A ✓对于 阶矩阵 ，当
1 1 1 2
1 1 1 2
A 3
5
3
1
2 6
r2 3r1 r3 5r1
0 0
3
8
4
5
4 4
12
1 1 1 2
0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
0
3
4
4
0 8 1 0
因为 R( A，) 故 2
5 0, 1 0,
子式
A0
A
10
3 2 5 32 5
3
2
6 6
0
11 (1)12 2 6
11 0.
25
2 0 5 20 5
说明
▪最高阶非零子式一般是不唯一的.
▪上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.
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B
0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
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A 在 中，容易看出一个2阶
子式
1 2 3 A 2 3 5,
12
D
1 0,
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的3阶子式只有一个
A A 0, 因此 R( A) 2.
在 中，由于它是行阶梯形
阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；
r 1
r
A A ✓矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶
数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；
A s ✓当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 A t 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则
R( A) s; R( A) t;
5
n A ✓对于 阶矩阵 ，当
1 1 1 2
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r2 3r1 r3 5r1
0 0
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0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
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0 8 1 0
因为 R( A，) 故 2
5 0, 1 0,
子式
A0
A
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3 2 5 32 5
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6 6
0
11 (1)12 2 6
11 0.
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说明
▪最高阶非零子式一般是不唯一的.
▪上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.
【经典线代课件】线性代数课件第三章矩阵的秩-003
充分性. 设 RA r n,
则 A 的行阶梯形矩阵只含r 个非零行，
从而知其有 n r 个自由未知量 .
任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 .
定理2 n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B A, b 的秩.
x2 , x3为任意实数.
2 当 1时,
1 1 B ~ 0 1 1 0 0 2
这时又分两种情形：
1) 2时, R A R B 3, 方程组有唯一解:
2 1 2
1 1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
三、矩阵秩的性质
1.0 R Amn minm, n
2. R AT R A
3.若A B,有R A R B
4. 若P,Q可逆，有R PAQ R A
5. max R A , R B R A, B R A R B
证 必要性. 设方程组 Ax 0 有非零解，
定理1 n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
设RA n, 则在 A中应有一个 n阶非零子式 Dn ,从而 D n 所对应的 n 个方零解相矛盾，
R( A) n 不能成立． 即 RA n.
3.矩阵秩的性质
思考题
设 A 为任一实矩阵 , R( A A)与R( A)是否相等?
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
则 A 的行阶梯形矩阵只含r 个非零行，
从而知其有 n r 个自由未知量 .
任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 .
定理2 n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B A, b 的秩.
x2 , x3为任意实数.
2 当 1时,
1 1 B ~ 0 1 1 0 0 2
这时又分两种情形：
1) 2时, R A R B 3, 方程组有唯一解:
2 1 2
1 1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
三、矩阵秩的性质
1.0 R Amn minm, n
2. R AT R A
3.若A B,有R A R B
4. 若P,Q可逆，有R PAQ R A
5. max R A , R B R A, B R A R B
证 必要性. 设方程组 Ax 0 有非零解，
定理1 n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
设RA n, 则在 A中应有一个 n阶非零子式 Dn ,从而 D n 所对应的 n 个方零解相矛盾，
R( A) n 不能成立． 即 RA n.
3.矩阵秩的性质
思考题
设 A 为任一实矩阵 , R( A A)与R( A)是否相等?
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
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A
0 0
2 0
1
1
1
0 3 0
0
0
0
0
0
取A的1、2、3行和A的1、2、4列得到A的一个3阶子式为
1 2 1
0 2 1 6
0 0 3
取A的1、2、3、4行和A的1、2、3、4列得到A的一个4阶
子式为
1 2 3 1 0 2 1 1
0 0 0 0 3 0000
注 对一个 m n 矩阵显然有
k minm, n
一共有C
k m
C
k n
个k阶子式
定义2：矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的秩，
记作秩为R(A)，并规定零矩阵的秩是零。
1 2 3 1 0
例
A
0
2
1
1
1
0 0 0 3 0
0
0
0
0
0
矩阵A的所有4阶子式全为0（为什么？）有一个3阶
Dr 或 Dˆr , 故 r R(B)
以上证明了若 A 经一次初等行变换变为 B , 则 R(A) R(B). 由于 B 亦可经一次初等行变换变为A 故也有 R(B) R(A). 因此 R(A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变, 即可知经有限次初等 行变换矩阵的秩仍不变. 对列变换同理可证明.故矩阵经初 等变换后其秩不变 推论1 一个矩阵的阶梯形中非零行的个数就是原矩阵的秩。
1
1
r4
r2
0
0 1
0
3
4
0
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0 1
2
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r4
r3
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故
0 0 2 3
0
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0
1
R( A) 4
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
11
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
1 2 0 0
例1 求矩阵A的秩，已知
A
1 2
0 4
1 0
1
1
1
0
3
4
解: 首先考查A的最高阶子式(这里为4阶且只有一个)即
A 4 0
故
R( A) 4
定理1 n阶方阵A可逆的充分必要条件是秩
R(A)=n 注 (1)n阶方阵A秩为n A 0
(2)n阶方阵A不可逆 R(A) n
(3)n阶方阵A不可逆 A 0
当n阶方阵A的秩为n时，也称A为满秩矩阵， 否则称A为降秩矩阵。
例2 试证对任意矩阵A，总有
R( A) R( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱT )
例 3 设A，B都是 m n 型矩阵，令
Cm2n ( A B)
证明不等式 max(R( A), R(B)) R(C) R( A) R(B)
则在 B 中总能找到与 Dr 相对应的r 阶子式 Dr
满足 Dr Dr 或 Dr Dr ,
或 Dr kDr ,
从而 r R(B)
因此 D r 0 ,
(2) 当 A ri krj B 时,
由于对换 ri rj 时结论成立, 故只需考虑A r1kr2 B
这一特殊情况.
（Ⅰ）Dr 不含第A第1行,
这时 Dr 也是B 的r阶非零子式, 故 r R(B)
（Ⅱ）Dr 含第A第1行,
r1 kr2 r1
r2
Dr rp rp k rp Dr kDˆ r ,
rq
若 p 2 则 Dr Dr 0
rq
rq
若 p 2 Dˆr 也是B的r阶子式, 由 Dr kDˆr Dr 0
知 Dr 与 Dˆr 不同时为0. 总之B 中存在的r阶非零子式
子式不为0，故 R(A)=3
注：（1）事实上矩阵A是阶梯形矩阵，它的秩等于其非零 行的个数。这对一般的阶梯形矩阵也成立。
（2） m n 矩阵秩显然有
0 R(A) minm, n
即一个矩阵的秩肯定小于等于矩阵行数和列数的最小者
（3）R( A) r A中所有r+1阶子式全为零 R( A) r A中所有大于r阶子式全为零 R( A) r A中有一个r阶子式不为零
二：利用初等变换求矩阵的秩
定理2 矩阵经初等变换后其秩不变 即 A ~ B, 则 R(A) = R(B).
证明: 先证明: 若 A 经一次初等行变换变为B ,有
R(A) R(B). 设 R(A) = r, 则 A 有某个 r 阶子式记为 Dr 且 Dr 0
(1) 当 A ri rj B 或 A kri B 时,
为了计算矩阵A的秩，只要用初等行变换把A变成阶梯 形即可。
1 2 0 0
例3
求矩阵A的秩，已知
A
1
2
0 4
1 0
1
1
1
0
3
4
解: 法二
1 2 0 0 r2 r1 1 2 0 0
1 2 0 0
A
1
2
1
0 4 0
1 0 3
1
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4
r2 2r1
0
r3 r1
0
0
2 0 2
第六节 矩阵的秩
一:矩阵秩的概念
定义1 在一个 m n矩阵A中，k个行和k个列，
位于这些行及列的交叉处的元素按原来的位置组成一个
k阶行列式，称其为矩阵A的一个k阶子式。
1 2 3 1 0
例:
矩阵
A
0 0
2 0
1 0
1
1
3 0
0
0
0
0
0
1 2 3 1 0
A
0
2
1
1
1
0 0 0 3 0
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日