水力学第三章3

u u s u dA u dsdA cs s

p u u dsdA dzdA dsdA u dsdA s t s
(
z 1 p 1 u 1 u u ) dsdA 0 s s g s g t
p u2 1 u (z ) 0 s 2 g g t
1 hi g

s2
s1
伯努利方程
u12 p2 u2 2 1 s2 u z1 z2 ds 2g 2 g g s1 t p1
u12 p2 u2 2 z1 z2 2g 2g p1
意义：恒定流时，对于理想液体，在元流的 任意两个过水断面1-1和2-2上，单位重量液 体所具有的总机械能（位能、压能、动能之 和）是相等的。

du 2g z dt s
s s2 s1 , 又u dz dt
d 2z 2g z 2 s dt
2g 2g z C1 cos t C2 sin t s s
设t=0时2-2断面 处
水面位移公式 角频率
z z0 , dz dt u 0,
z1 p1

1v12
2g
H ' z2
p2


2 2v2
2g
hw12
例3.7.1 有一如图所示的管路向大气出流，已知：水 头 H=4m ，管径 d=200mm ，管长 l=60m ，管路进 v2 h j进 0.5 口的局部水头损失 ,管路的沿程水头损失随管长 2g l v2 hf 直线增加，与管径成反比，即 ,其中λ称为沿程水 d 2g 头损失系数， λ =0.025 ， v 为管中断面平均流速，管 轴线与水平夹角θ =5°，试求：(1) 管中通过的流量Q； (2) 管路中点C的压强水头。
3.6.2 实际液体恒定总流能量方程的图示
理想液体恒定总流的能量方程可以表示为
H1 H 2
实际液体恒定总流的能量方程可以表示为
H1 H2 hw12
各项均具有长度量纲，可以用线段表示。 各断面的(z+p/γ )的连线为测压管水头线。 各断面(z+p/γ +α v2/2g)的连线称为总能线或 者总水头线。
1 u u m /(mg ) —单位重量液体具有的惯性力； g t t
u12 p2 u2 2 1 s2 u z1 z2 ds s 2g 2 g g 1 t p1
1 u ds g t
—单位重量液体的惯性力在ds 距离上做的功；
u ds —单位重量液体的惯性力在距 t 离s=s2-s1上做的功。
非恒定元流能量方程的积分式
对微分形式的能量方程沿s轴从s1积分到s2
u12 p2 u2 2 1 s2 u z1 z2 ds 2g 2 g g s1 t p1
z
p
—单位重量液体具有的位能； —单位重量液体具有的压能； —单位重量液体具有的动能；

u2 1 2 mu /(mg ) 2g 2
（2） Q
u2 u2 dQ A udA Au 3dA 2g 2g 2g
u dA v A
3 3

A

3 u dA A
v3 A
α 称为动能校正系数：在单位时间内实际流速计算的总 流过水断面上的总动能与用断面平均流速计算的总流过 水断面上的总动能之比。 影响因素：与断面上的流速分布有关，流速分布愈均匀α 值接近于1，α ＝1.05～1.10，近似取α ＝1。
• 在没有特殊说明时，可以取过水断面上的能 量校正系数α＝1。
能量方程的推广 • 当管路分叉时，能量方程仍可用。
H1 H 2 hw12 H1 H 3 hw13
• 当能量方程的两断面间有能量输入输出时能 量方程也仍可应用。当有能量输入（如管路中 有水泵），方程左端需加上水泵的水头H′,当有 能量输出（如管路中有水轮机时），方程左端 需减去水轮机的水头H′,这样左右两侧断面上的 能量才能守恒。
理想液体的元流能量方程
取1-1和2-2断面间的空间为控制体，应用动量方 程来推导元流的能量方程。
Fcv u dV u u dA cs t cv
控制体受力分析
• 控制体在s方向上的外力有1-1断面和2-2断面 上的动水压力和重力分量; • 理想液体，在元流侧壁上没有摩擦力作用；
2 u12 p2 u2 ' z1 z2 hw 12 2g 2g
p1
例3.5.1 试建立图中所示U形管中水面振荡方程。
假设U形管断面内流速分布均匀且管中液体为理想 液体，没有水头损失。
取坐标轴z轴向上为正，静水水面为基准面。初始 时刻左管水面下降-z时，则右管水面将上升z。
p （1） Q z dQ
假设在渐变流中取过水断面，则在断面A
上的动水压强按静水压强规律分布，即
p z 常数。
p p p z dQ z dQ z Q Q Q
动量方程右端的第二项通量项

u 2 us u dA u dA u ds udA cs s
u u dsdA s
微分形式的理想不可压缩液体元流能量方程
Fcvs p dsdA dzdA s
u u dV dsdA cv t t
断面时的平均能量损失，又称为水头损失。
讨论
（一）总流能量方程与元流中的能量方程不 同之处;
动能用断面平均流速v表示，能量损失采用 平均值 hw 表示。
12
（二）非恒定总流的能量方程
z1 p1


1v12
2g
z2
p2


2 2v2
2g
hw12
1 s 2 v ds g s1 t
• 1-1断面上动水压力

pdA
s s s
p (dA) p • 2-2断面上动水压力 ds p dsdA p ds dA
• 重力分量
dG sin dA ds sin dA dz p s方向的作用力 Fcvs pdA ( p ds )dA dzdA s p dsdA dzdA s
阀门
A D
Q
B
d
30cm 30cm o
题3－4图
x
§3-7 实际液体恒定总流能量方程的应用
应用条件:
1.不可压缩液体；
2.质量力只有重力;
3.两个过水断面取在渐变流区，以确保z+p/γ ＝常数，两个过水断面的中间可以是急变流。
注意事项: • 基准面和压强标准可以任意选取，但是在同 一个问题里要统一。 • 计算点可以在过水断面上任意选取。 • 选取已知量多的断面作为计算断面。 • 当在能量方程式中同时出现两个未知量，如 压强p和流速v时，可以借助连续方程式联解。
实际液体的元流能量方程
实际液体总是具有粘性的，因此实际液体在 运动时就会出现内摩擦力。内摩擦力的存在 会产生机械能损失。
2 u12 p2 u2 1 s 2 u ' z1 z2 hw12 ds 2g 2g g s1 t
p1
' hw 元流中单位重量液体由 1－1断面运动到2 1 2 －2断面时的能量损失,也称为水头损失

Q
u2 v 2 v 2 3 dQ v A vA Q 2g 2g 2g 2g
（3）
' h Q w12 dQ
将过水断面上各元流单位重量液体由1－1断
' h 面流到2－2断面的能量损失 w 用某一平均值
12
hw1代替。 2
' h Q w12 dQ hw12 Q dQ hw12 Q
说明： 1.对于管路，一般 取断面形心的位置 水头z和压强水头 p/γ 为代表。
z1 0
理想总水头线 J 实际液 体总水 头线 测压 J 管水 头线 1 v2 2 v1 p2 1 2
s
z2
0
2. 测压管水头线可以是上升的，也可以是下 降的，可以是直线，也可以是曲线。这取决 于边界的几何形状。
z1 0
u udA
u u (dA) u ds u ds dA ds u u d A cs2 s s s s
u u ds udA s
2 u12 p2 u2 ' z1 z2 hw 12 2g 2g
p1
p1 u12 z1 dQ Q 2 g dQ Q
2 p2 u2 ' Q z2 dQ Q dQ Qhw dQ 12 2g
动量方程右端的非恒定项
t

cv
u dV
u dsdA t
动量方程右端的第二项通量项

cs
us u dA

cs1
us u dA

cs 2
us u dA
1-1断面流入的通量 2-2断面流出的通量

cs1
u s u dA
H1 H 2 hw12 J s s
理想总水头线 J 实际液 体总水 头线 测压 J 管水 头线 1 v2 2 v1 p2 1 2
当总水头线为曲线时
dH dhw J ds ds
z1 0
s