高考数学总复习 24 定积分与微积分基本定理(理)课件 新人教A版
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高考新坐标高考数学总复习 第二章 第14节 定积分与微积分基本定理课件
=0 围成的封闭图形的面积,
π·32 9π
故3
9-x2dx= 4 = 4 .
0
π
π
(2)∫20(sin x+acos x)dx=(asin x-cos x)2 0
=asin
π
2 -cos
π-(asin 0-cos 0)=a+1=2.
2
∴a=1.
[答案] (1)94π (2)1
[解析] S=∫t00vdt=∫t0010tdt=5t2t00=5t20. [答案] B
3.(2014·陕西高考)定积分∫10(2x+ex)dx 的值为( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
[解析]
1
01(2x+ex)dx=(x2+ex)0=e.
[答案] C
4.设 f(x)=x22x( (xx≥<00)),,则-1 1f(x)dx 的值是(
a
a
②b[f1(x)±f2(x)]dx=b
f1(x)dx±
b
f2(x)dx .
a
a
a
③bf(x)dx=cf(x)dx+bf(x)dx(其中 a<c<b).
a
a
c
2.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x), 那么bf(x)dx=F(b)-F(a) ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫
a
形一定在 x 轴下方.( )
(4)若 f(x)是偶函数,则a f(x)dx=2af(x)dx.( )
-a
0
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.(教材改编)已知质点的速度 v=10t,则从 t=0 到 t=t0 质点所经
过的路程是( )
π·32 9π
故3
9-x2dx= 4 = 4 .
0
π
π
(2)∫20(sin x+acos x)dx=(asin x-cos x)2 0
=asin
π
2 -cos
π-(asin 0-cos 0)=a+1=2.
2
∴a=1.
[答案] (1)94π (2)1
[解析] S=∫t00vdt=∫t0010tdt=5t2t00=5t20. [答案] B
3.(2014·陕西高考)定积分∫10(2x+ex)dx 的值为( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
[解析]
1
01(2x+ex)dx=(x2+ex)0=e.
[答案] C
4.设 f(x)=x22x( (xx≥<00)),,则-1 1f(x)dx 的值是(
a
a
②b[f1(x)±f2(x)]dx=b
f1(x)dx±
b
f2(x)dx .
a
a
a
③bf(x)dx=cf(x)dx+bf(x)dx(其中 a<c<b).
a
a
c
2.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x), 那么bf(x)dx=F(b)-F(a) ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫
a
形一定在 x 轴下方.( )
(4)若 f(x)是偶函数,则a f(x)dx=2af(x)dx.( )
-a
0
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.(教材改编)已知质点的速度 v=10t,则从 t=0 到 t=t0 质点所经
过的路程是( )
高考数学第一轮复习 第二篇 第13讲 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
面积的代数和,即bf(x)dx= A1+A3-A2
.
a
2.定积分的性质
((12))abbk[ff1((xx))d±x=f2(x)]dkx=abf(x)abdfx1(x)dx±(k为baf常2(数x)d).x . a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)bf(x)dx=cf(x)dx+bf(x)dx(其中 a<c<b).
在每个小区间上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式i=n1f(ξi)Δx=i=n1b-n af(ξi),
当 n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区
间[a,b]上的定积分,记作 abf(x)dx ,即abf(x)dx=nl→im∞i=n1b-n af(ξi).
定积分的计算
【例 1】 (1)若π2 (sinx+acosx)dx=2,则实数 a 等于(
).
0
A.-1 B.1 D. 3 D.- 3
(2)定积分3 9-x2dx 的值为________. 0
(3)已知函数 f(x)=sin5x+1,则-π2π2f(x)dx 的值为________.
n→+∞
时
,和式
n
f(ξi)·Δx
i=1
=
n
i=1
b-a
n f(ξi)
无
限趋近
于
某一
确
定的
常
数.( )
(3)设函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,则abf(x)dx=abf(t)dt.( )
2.定积分的几何意义与物理意义
(4)在区间[a,b]上的连续的曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 所围
成的曲边梯形的面积 S=ab|f(x)|dx.( ) (5)若abf(x)dx<0,那么由 y=f(x),x=a,x=b 以及 x 轴所围成的图形一定
(人教A版)高考数学复习:2.15《定积分与微积分基本定理》ppt课件
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
2.能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分 (1)利用微积分基本定理求定积分,其步骤如下: ①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x); ②计算 F(b)-F(a). (2)利用定积分的几何意义求定积分: 当曲边梯形面积易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积 分.
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[规律方法] 用定积分求平面图形面积的四个步骤: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象; (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的 上、下限; (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和; (4)计算定积分,写出答案.
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
1.计算下列定积分:
(1)- 3 1(3x2-2x+1)dx; (2)12x-1xdx;
x
(3)02e2dx.
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
解:(1)- 3 1(3x2-2x+1)dx
3
=(x3-x2+x)-
=24.
1
(2)12x-1xdx=12x2-ln x|21=32-ln 2.
b
为了方便,常把 F(b)-F(a)记作___F__(x_)__a__,即bf(x)dx
a
b
=F(x)a=F(b)-F(a).
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[做一做]
1.(2014·高考陕西卷)定积分∫10(2x+ex)dx 的值为( C )
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e-1
解析: ∫10(2x+ex)dx=(x2+ex)|10=e,故选 C.
第二章 基本初等函数、导数及其应用
2.能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分 (1)利用微积分基本定理求定积分,其步骤如下: ①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x); ②计算 F(b)-F(a). (2)利用定积分的几何意义求定积分: 当曲边梯形面积易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积 分.
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[规律方法] 用定积分求平面图形面积的四个步骤: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象; (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的 上、下限; (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和; (4)计算定积分,写出答案.
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
1.计算下列定积分:
(1)- 3 1(3x2-2x+1)dx; (2)12x-1xdx;
x
(3)02e2dx.
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
解:(1)- 3 1(3x2-2x+1)dx
3
=(x3-x2+x)-
=24.
1
(2)12x-1xdx=12x2-ln x|21=32-ln 2.
b
为了方便,常把 F(b)-F(a)记作___F__(x_)__a__,即bf(x)dx
a
b
=F(x)a=F(b)-F(a).
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
[做一做]
1.(2014·高考陕西卷)定积分∫10(2x+ex)dx 的值为( C )
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e-1
解析: ∫10(2x+ex)dx=(x2+ex)|10=e,故选 C.
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案:D
3.设 f(x)=x22-,x0,≤1x<≤x≤1,2,
则2f(x)dx 等于________. 0
解析:2f(x)dx=1x2dx+2(2-x)dx
0
0
1
=x3310 +(2x-x22)21
=13+[(2×2-222)-(2-12)]=56.
答案:56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a,b]上的 连续 函数,并且 F′(x) 内容 = f(x),那么bf(x)dx= F(b)-F(a)
a
符号
bf(x)dx=F(x)ba = F(b)-F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,x 轴下方的面积为 S 下,则 1.当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图(1), 则bf(x)dx= S 上.
(7)baxdx=lnaxaba (a>0 且 a≠1). a
1.计算下列定积分.
(1)1(x3-2x)dx; 0
(2)
2 0
(x+cos
x)dx;
(3
解析:(1)∵(14x4-x2)′=x3-2x,
∴1(x3-2x)dx=(14x4-x2)10 =-34. 0
2.(1)若
f(x)=x2 cos
x≤0 x-1
x>0
2.常见函数的定积分公式: (1)bCdx=Cxba (C 为常数).
a
(2)abxndx=n+1 1xn+1ba (n≠-1). (3)bsin xdx=-cos xba .
a
(4)bcos xdx=sin xba . a
(5)b1xdx=ln xba (b>a>0). a
课件1:定积分与微积分基本定理
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自
第4节 定积分与微积分基本定理
高 考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典例课来自探后究
作
·
业
提
知
能
菜单
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高
自
考
主 落
1.定积分的概念与性质
体 验
实
·
(1)定积分的定义:
· 明
固
考
基 础
如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a , b] 上 连 续 , 用 分 点 a = 情
π (1)(2013·广州模拟)若∫ 2 0(sin x+acos x)dx=2,则实数 a 等于( )
验 · 明 考 情
A.-1
B.1
C. 3
D.- 3
(2)定积分3 9-x2dx 的值为( ) 0
典 例 探 究
A.9π B.3π C.94π D.92π
课 后 作
·
业
提
知
能
菜单
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固 基
当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常
考 情
础
数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 [a , b] 上 的 定 积 分 , 记 作
典 例 探
__baf_(_x_)d_x___,即baf(x)dx=limi=n1 b-n af(ξi).
课 后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
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③bf(x)dx=_____a _______+bf(x)dx(其中 a<c<b).
自
第4节 定积分与微积分基本定理
高 考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典例课来自探后究
作
·
业
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知
能
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高
自
考
主 落
1.定积分的概念与性质
体 验
实
·
(1)定积分的定义:
· 明
固
考
基 础
如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a , b] 上 连 续 , 用 分 点 a = 情
π (1)(2013·广州模拟)若∫ 2 0(sin x+acos x)dx=2,则实数 a 等于( )
验 · 明 考 情
A.-1
B.1
C. 3
D.- 3
(2)定积分3 9-x2dx 的值为( ) 0
典 例 探 究
A.9π B.3π C.94π D.92π
课 后 作
·
业
提
知
能
菜单
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固 基
当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常
考 情
础
数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 [a , b] 上 的 定 积 分 , 记 作
典 例 探
__baf_(_x_)d_x___,即baf(x)dx=limi=n1 b-n af(ξi).
课 后
究
作
·
业
提
知
能
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③bf(x)dx=_____a _______+bf(x)dx(其中 a<c<b).
人教版高考数学理科一轮总复习配套课件3.4定积分与微积分基本定理
-8-
基础自测
1. A.-2ln 2 B.2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2
4 1 dx=( 2 ������
)
关闭
D
=ln 4-ln 2 =ln 2.
4 1 dx=ln 2 ������
x|4 2
关闭
解析
答案
-9-
2.下列值等于 1 的积分是( A. B. C. D.
1 xdx 0 1 (x+1)dx 0 1 1dx 0 1 1 dx 0 2
1 2
1
10 (-10x2+10x)dx= x3|2 0+ 3
1
-
10 3
������ 3 + 5������ 2 |1 1= + 2
F( x) |������ , 即 ������
������ ������
f( x) dx=F( x) |������ b) -F( a) . ������ =F(
-7-
想一想一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯 一吗?
答案: 一个函数的导数是唯一的, 而导函数的原函数则有无穷多
个. 在利用微积分基本定理求定积分时, 只要找到被积函数的一个原 函数即可, 并且一般使用不含常数的原函数, 这样有利于计算.
-5-
(2)一般情况下,定积分
������ ������
f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 曲线 f(x)以及
直线 x=a,x=b 之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示),其中在 x 轴 上方的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分 值的相反数. 想一想定积分
������ ������
[ a, b]
人教A版高中数学选修2-2课件第四节 定积分与微积分基本定理
a
(2)变力做功:一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方 向从 x=a 移动到 x=b 时,力 F(x)所做的功是 W=bF(x)dx.
a
课下限时答案
B AD
9、(1) ln 2 5 6
AC 1 4
329
(2)1 e
1
1 e
4、解:如图,分别画出对应图形,比较围成图形的面积
(2)一物体在力 F(x)=53,x+0≤4,x≤x>2,2 (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4(单位:m)处,则力 F(x)做的功为 ________焦.
(2)由题意知,力 F(x)所做的功为
W=4F(x)dx=25dx+4(3x+4)dx
面积为92,则 k 等于( )
A.2
B.1
C.3
D.4
解:选 C 由yy= =xk2x, 消去 y 得 x2-kx=0,所以 x=0 或 x
=k,则阴影部分的面积为0k(kx-x2)dx=12kx2-13x3 -13k3=92,解得 k=3.
=92.即12k3
2.由抛物线 y=x2-1,直线 x=0,x=2 及 x 轴围成的图形面 积为________. 解:如图,由 x2-1=0,得抛物线与 x 轴的交点分别为(-1,0)和(1,0)
7、
10、解:∵f′(x) =3x2-2x+1
设在点(1,2)处的切线的斜率为 k,则 k=f′(1)=2
∴在点(1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x
y=2x 与函数 g(x)=x2 围成的图形如图:
y 2x
由
y
x2
可得交点
A(2,4)
(2)变力做功:一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方 向从 x=a 移动到 x=b 时,力 F(x)所做的功是 W=bF(x)dx.
a
课下限时答案
B AD
9、(1) ln 2 5 6
AC 1 4
329
(2)1 e
1
1 e
4、解:如图,分别画出对应图形,比较围成图形的面积
(2)一物体在力 F(x)=53,x+0≤4,x≤x>2,2 (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4(单位:m)处,则力 F(x)做的功为 ________焦.
(2)由题意知,力 F(x)所做的功为
W=4F(x)dx=25dx+4(3x+4)dx
面积为92,则 k 等于( )
A.2
B.1
C.3
D.4
解:选 C 由yy= =xk2x, 消去 y 得 x2-kx=0,所以 x=0 或 x
=k,则阴影部分的面积为0k(kx-x2)dx=12kx2-13x3 -13k3=92,解得 k=3.
=92.即12k3
2.由抛物线 y=x2-1,直线 x=0,x=2 及 x 轴围成的图形面 积为________. 解:如图,由 x2-1=0,得抛物线与 x 轴的交点分别为(-1,0)和(1,0)
7、
10、解:∵f′(x) =3x2-2x+1
设在点(1,2)处的切线的斜率为 k,则 k=f′(1)=2
∴在点(1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x
y=2x 与函数 g(x)=x2 围成的图形如图:
y 2x
由
y
x2
可得交点
A(2,4)
高考数学一轮复习 第15讲定积分与微积分基本定理课件 理 新人教课标A
为_积__分__下__限_____,b 称为_积__分__上__限_____.
第15讲 │知识梳理
2.定积分的几何意义
在区间[a,b]上的连续函数 f(x),若恒有 f(x)≥0,定积分baf(x)dx
表
示
由
_直__线__x_=__a_,__x_=__b_(_a_≠_b_)_,__y_=__0_和__曲__线__y_=__f_(x_)_所__围__成__的__曲__边__梯__形__的___ _面__积____________.
0
中 F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.当被积函数 含有绝对值(或平方根)时,需按绝对值内的正、负号将定积分区 间分段,然后按区间的可加性逐段积分;同样,当被积函数为分 段函数时,也需按函数定义的分段情形相应的逐段积分.
第15讲 │规律总结
3.利用定积分求平面图形的面积的步骤如下:(1)画出函 数的草图,确定积分变量;(2)求图象的交点,确定积分上、 下限;(3) 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和;(4)利用 定积分求面积.
第15讲 │要点探究
(2)由a (2x-8)dx=(x2-8x)|a0=a2-8a≤0,显然 a≠0,故解集为 0
{a|0<a≤8}.
(3)01f(x)dx=01(ax2+1)dx=
a3x3+x10=a3+1=2,解得 a=3.
第15讲 │要点探究
► 探究点2 利用定积分的几何意义求定积分 例 2 求定积分1[ 1-(x-1)2-x]dx 的值.
第15讲 │知识梳理
3.定积分的性质
(1)定积分的线性性质
kbf(x)dx bkf(x)dx=____a________(k 为常数);
a
高考数学一轮复习 214定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v=10t(m/s)
的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为
() A.3
B.4
C.5
D.6
第三十二页,共47页。
【答案(dáàn)】 C
第三十三页,共47页。
【规律方法】 利用定积分解决变速直线运动路程问题和变 力做功问题时,关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变 力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式, 再利用微积分基本定理计算即得所求.
解析
S=
2
1
(3t+2)dt=
32t2+2t
|
2 1
=
3 2
×4+4-
32+2
=10-
7 2
=123(m).
答案 6.5 m
第十八页,共47页。
Y 研考点(kǎo diǎn)·知规 律
探究悟道(wùdào) 点拨技法
第十九页,共47页。
题型一 【例1】 计算下列积分
定积分的计算
第二十页,共47页。
第二十九页,共47页。
变式思考 2
求曲线y=
x
,y=2-x,y=-
1 3
x所围成图形
的面积. 解 由yy= =2-x,x, 得交点A(1,1);
y=2-x, 由y=-13x, 得交点B(3,-1).
第三十页,共47页。
故所求面积S=
第三十一页,共47页。
题型三
定积分在物理中的应用
【例3】 物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直线l上运动,
上方区域的概率为( )
3
2
A.4
B.3
1
1
通用版高考数学大一轮复习第16讲定积分与微积分基本定理课件理新人教A版
1 0 1 4 1 0
(2)[2018· 湖北咸宁重点高中联考] 若
1 0
1-������ 2 dx= π,∴
x x 2
1 4
1 -π
f(x)dx= -2,故选
1
π 4
(e -2ax)dx=e,则 a=
x
.
(e -2ax)dx=(e -ax ) 0 =e-a-1=e,
∴-a-1=0,∴a=-1.
课堂考点探究
图 2-16-2 A.4 2 B.2 2 C. 2 D.
2 2
(2)[2018· 安徽江南十校联考] 直线 l 过抛物线 E:y2=8x 的焦点且与 x 轴垂直,则直线 l 与 E 所围成的封闭图形的面积为 ( A.13 B.
11 3
) D.
28 3
C.
32 3
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)C
5π 4 π 4
[解析] (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积 S= x-sin x)
5π 4 π 4
(sin x-cos x)dx=(-cos
=2 2,故选 B.
(2)由题意得,直线 l 的方程为 x=2, 将 y2=8x 化为 y=± 2 2������ . 由定积分的几何意义得,所求面积 S=2
(-x2)dx=2
1 0
x2dx=3 .
2
课前双基巩固
7.计算
-1 1 dx= -2 ������
.
[答案]
-ln 2
-1 1 dx -2 ������
[解析] 根据
的几何意义,可得 x 1 =-ln 2. x
-1 -2 2
-1 1 2 1 d x=dx=-ln -2 ������ 1 ������
(2)[2018· 湖北咸宁重点高中联考] 若
1 0
1-������ 2 dx= π,∴
x x 2
1 4
1 -π
f(x)dx= -2,故选
1
π 4
(e -2ax)dx=e,则 a=
x
.
(e -2ax)dx=(e -ax ) 0 =e-a-1=e,
∴-a-1=0,∴a=-1.
课堂考点探究
图 2-16-2 A.4 2 B.2 2 C. 2 D.
2 2
(2)[2018· 安徽江南十校联考] 直线 l 过抛物线 E:y2=8x 的焦点且与 x 轴垂直,则直线 l 与 E 所围成的封闭图形的面积为 ( A.13 B.
11 3
) D.
28 3
C.
32 3
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)C
5π 4 π 4
[解析] (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积 S= x-sin x)
5π 4 π 4
(sin x-cos x)dx=(-cos
=2 2,故选 B.
(2)由题意得,直线 l 的方程为 x=2, 将 y2=8x 化为 y=± 2 2������ . 由定积分的几何意义得,所求面积 S=2
(-x2)dx=2
1 0
x2dx=3 .
2
课前双基巩固
7.计算
-1 1 dx= -2 ������
.
[答案]
-ln 2
-1 1 dx -2 ������
[解析] 根据
的几何意义,可得 x 1 =-ln 2. x
-1 -2 2
-1 1 2 1 d x=dx=-ln -2 ������ 1 ������
高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)2.14定积分与微积分基本定理课件 新人教A版
;
(4) f(x)dx= f(x)dx+ c f(x)dx (其中a<c<b).
a a
c
b
2.定积分的几何意义
[动漫演示更形象,见配套课件]
b
(1)当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分 f(x)dx的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲 线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积[图1中阴影部分].
1 ,1 2
线段ABC,其中A(0,0)、B
、C(1,0).函数y=
xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为 ________.
[自主解答]
1 2x,0≤x<2, 由题知y=f(x)= 2-2x,1≤x≤1, 2
1 2 2x ,0≤x<2, 则y=xf(x)= 故函数y=xf(x) 2x-2x2,1≤x≤1, 2 1 1 2 的图象与x轴围成的图形的面积S= ∫ 0 2x dx+ 1 (2x- 2 2 2 3 1 2 2 3 11 1 2 2x )dx= x | 20+x -3x | 2= . 3 4 1 [答案] 4
b ∫af(x)dx-∫bg(x)dx(f(x)>g(x)) a S=
.
(2)简单几何体的体积 若几何体是由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所 围成的区域绕x轴旋转一周得到的,则其体积为V= ∫ π[f(x)]2dx.
b a
[小题能否全取]
4 2
1 1. xdx等于
A.-2ln 2 C.-ln 2
1 解析:∵∫2f(x)dx=∫0f(x)dx+∫2f(x)dx, 0 1
∴∫2f(x)dx=∫2f(x)dx-∫1f(x)dx=-1-1=-2. 1 0 0
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(2)f ′(t)=12t2-2at+a2,
令 f ′(t)=0,即12t2-2at+a2=0,
解得 t=(2- 2)a 或 t=(2+ 2)a.
∵0<t≤1,a>1,∴t=(2+ 2)a 应舍去.
若(2-
2)a≥1,即 a≥2-1
=2+ 22
2时,
∵0<t≤1,∴f ′(t)≥0.
∴f(t)在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是
a
(k 为常数);
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx=
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
;
a
bf(x)dx
(3)c f(x)dx+b f(x)dx=
a
(其中 a<c<b)
a
c
4.微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F ′(x)=f(x),那么b f(x)dx= F(b)-F(a).这个结论叫
a
f(x)dx 在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数.
一般情况下(如下图),定积分bf(x)dx 的几何意义是 a
介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x=a、x=b 之间各 部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号;在 x 轴 下方的面积取负号.
3.定积分的性质
kbf(x)dx
(1)b kf(x)dx=
第四节
定积分与微 积分基本定理(理)
重点难点 重点:了解定积分的概念,能用定义法求简单的定 积分,用微积分基本定理求简单的定积分. 难点:用定义求定积分
知识归纳
1.定积分的定义
如果函数 f(x) 在区间[a, b]上连续 ,用分点 a=
x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b,将区间[a,b]等分成 n 个小 区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ζi(i=1,2,…,
32·n-n 1=32.
[点评] 要熟练掌握用定义求定积分的步骤. 你能利用定积分的定义求直线 x=1,x=2,y=0 和 曲线 y=x3 围成的图形的面积吗?答案:145.
定积分的几何意义
[例 2] 利用积分的几何意义计算:1 16-x2dx= -4
________. 分析:用积分的几何意义计算,关键是弄清被积函数
故
S=t (- 0
x2+2ax)dx-12
·t·t2+12(-
t2+2at-t2)×(a
-t)
= -13x3+ax2t0-12t3+(-t2+at)×(a-t)
=-13t3+at2-12t3+t3-2at2+a2t =16t3-at2+a2t. ∴f(t)=16t3-at2+a2t (0<t≤1).
[答案] D
[解析] f(x)=1x1t dt=lnt|x1=lnx,a3=S3-S2=21-10 =11,由 lnx<11 得,0<x<e11.
5.已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的封
闭区域的面积为92,则 k 等于( )
A.2
B.1
C.3
D.4
[答案] C
[解析] 由yy= =xk2x 消去 y 得 x2-kx=0, 所以 x=0 或 x=k, 则所求区域的面积为
答案:D
定积分的性质与微积分基本定理
[例 3] 求下列定积分
(1)2x2+
1
x14dx;
(2)9 x(1+ x)dx; 4
(3) 1 (cosx+ex)dx; -π
(4)
0π2cosx2-Fra biblioteksinx2
2dx.
解析:(1)2x2+
1
x14dx=
13x3-13x-3
21=281.
求下列定积分: (1)2(x2+x)dx=________;
利用定义求定积分
[例 1] 用定积分的定义求由 y=3x,x=0,x=1,y =0 围成的图形的面积.
[解析] (1)分割:把区间[0,1]等分成 n 个小区间 i-n 1,ni (i=1,2,…,n).其长度为 Δx=n1,把曲边梯形 分成 n 个小曲边梯形,其面积记为 ΔSi(i=1,2,…,n).
(2)近似代替:用小矩形面积近似代替小曲边梯形面 积,ΔSi=fi-n 1Δx=3·i-n 1·n1=n32(i-1),(i=1,2,…,n).
n
n
(3)作和:ΔSi=
i=1
i=1
n32(i-1)=n32[1+2+…+(n-1)]
=32·n-n 1.
n
(4)求极限:S=lim n→∞i=1
n32(i-1)=nli→m∞
对定义的几点说明: (1)定积分bf(x)dx 是一个常数.
a
(2)用定义求定积分的一般方法是: ①均匀分割:n 等分区间[a,b]; ②近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi];
③求和: n f(ξi)·b-n a;
i=1
④取极限:bf(x)dx=li m
a
n→∞
n f(ξi)·b-n a.
所对应的几何图形,画好草图.
解析:由积分的几何意义知:1 16-x2dx 表示以 -4
(0,0)点为圆心,r=4 为半径的圆在 x 轴上方部分的面
积,所以1 -4
16-x2dx=12×π×42=8π.
答案:8π
• 点评:理解被积函数的几何意义,是解决 这类问题的突破口.
(2010·深圳市调研)曲线 y=sinx,y=cosx 与直线 x =0,x=π2所围成的平面区域的面积为( )
(3)公式法:套用公式求定积分,避免繁琐的运算, 是求定积分常用的方法.
(4)定义法:用定义求定积分是最基本的求定积分方 法.
二、解题技巧 1.(1)用定义求定积分的方法:分割、近似代替、求 和、取极限,可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等 案例,体会定积分的基本思想方法. (2)用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足 f ′(x)=f(x)的函数 F(x),利用求导运算与求原函数运算互 为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的 四则运算法则从反方向上求出 F(x).
a
做微积分基本定理,又叫做牛顿一莱布尼兹公式.为了
方便,我们常常把 F(b)-F(a)记成 F(x)|ab,
即b
f(x)dx=F(x)|ab=
F(b)-F(a).
a
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数.
一、思想方法 (1)数形结合思想:求曲线围成图形的面积,要画出 草图,寻找积分上限和积分下限,以及被积函数的形式. (2)极限的思想:求曲边梯形的面积时,分割,近似 代替,求和,取极限,采用的是以直代曲,无限逼近的 极限思想.
n
n
n),作和式f(ζi)Δx=
i=1
i=1
b-n af(ζi),当
n→∞时,此和式
无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]
上
的
定
积
分
,
记
作
b
a
f(x)dx
,
即
b
a
n
f(x)dx= lim
n→∞ i=1
b-a n
f(ζi),这里 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a, b]叫做积分区间,函数 f(x) 叫做被积函数,x 叫做积分变 量,f(x)dx 叫做被积式.此时称函数 f(x)在区间[a,b]上 可积.
解析:先画出各曲线如图.
易求得点 A(3,-1),B(1,1),故所围成区域的面积 为
S=1[ 0
x-(-13x)]dx+31[(2-x)-(-13x)]dx
=(23x
1 2
+16x2)|10+(2x-13x2)|13=56+43=163.
答案:163
综合应用
[例 5] 如图所示,已知曲线 C1:y=x2 与曲线 C2:y =-x2+2ax(a>1)交于点 O、A,直线 x=t(0<t≤1)与曲线 C1、C2 分别相交于点 D、B,连结 OD、DA、AB.
解析:由方程组yy==x22x,+3, 可得 x1=-1,x2=3.
故所求图形面积为 S=3 (2x+3)dx-3 x2dx
-1
-1
=(x2+3x)|-3 1-13x3|3-1=332.
答案:332
(2011·菏泽期末)曲线 y= x,y=2-x 及 y=-13x 所围成图形的面积为________.
解析:当 x∈[0,π2]时,y=sinx 与 y=cosx 的图象的 交点坐标为π4, 22,作图可知曲线 y=sinx,y=cosx 与 直线 x=0,x=π2所围成的平面区域的面积可分为两部分: 一部分是曲线 y=sinx,y=cosx 与直线 x=0,x=π4所围
成的平面区域的面积;另一部分是曲线 y=sinx,y=cosx 与直线 x=π4,x=π2所围成的平面区域的面积.且这两部 分的面积相等,结合定积分定义可知选 D.
k0(kx-x2)dx=(12kx2-13x3)|0k=92. 即12k3-13k3=92,解得 k=3.故选 C.
(3)利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简, 再积分.
(4)利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数 形结合的方法确定被积函数和积分上下限.
2.由两条直线 x=a、x=b(a<b)、两条曲线 y=f(x)、 y=g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积:
S=b[f(x)-g(x)]dx(如下图). a
f(1)=a2-a+16.
若(2-
2)a<1,即
2+ 1<a< 2
2时,
当 0<t<(2- 2)a 时,f ′(t)>0,