导数的综合大题及其分类

又H (x 1)＝h (x 1)－h ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x 1＝h (x 1)－h (x 2)， ∴[h (x 1)－h (x 2)]min ＝H ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝5ln2－3. [解题反思] 本例(1)中求F (x )的单调区间，需先求出F (x )的定义域，同时在解不等式F ′(x )>0时需根据方程x 2－ax ＋1＝0的根的情况求出不等式的解集，故以判别式“Δ”的取值作为分类讨论的依据．在(2)中求出h (x 1)－h (x 2)的最小值，需先求出其解析式．由题可知x 1，x 2是h ′(x )＝0的两根，可得到x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ，从而将h (x 1)－h (x 2)只用一个变量x 1导出．从而得到H (x 1)

＝h (x 1)－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1，这样将所求问题转化为研究新函数H (x )＝h (x )－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 在⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12上的最值问题，体现转为与化归数学思想．

[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：

[题型专练]

1．设函数f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)当0

∵f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)，x∈(－1，＋∞)，

∴f′(x)＝2(1＋x)－2

1＋x ＝

2x(x＋2)

x＋1

.

由f′(x)>0，得x>0；由f′(x)<0，得－1

∴函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．(2)由题意可知g(x)＝(2－a)x－2ln(1＋x)(x>－1)，

则g′(x)＝2－a－

2

1＋x

＝

(2－a)x－a

1＋x

.

∵00，

令g ′(x )＝0，得x ＝a 2－a

， ∴函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2－a 上为减函数，在⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2－a ，＋∞上为增函数．

①当0

<3，即0

⎪⎫a 2－a ，3上为增函数， ∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2－a ＝a －2ln 22－a . ②当a 2－a

≥3，即32≤a <2时，g (x )在区间[0,3]上为减函数， ∴g (x )min ＝g (3)＝6－3a －2ln4.

综上所述，当0

； 当32

≤a <2时，g (x )min ＝6－3a －2ln4. 北京卷（19）（本小题13分）

已知函数f （x ）=e x cos x −x .

（Ⅰ）求曲线y = f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，π2

]上的最大值和最小值.

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）因为()e

cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-.

当π

(0,)2x ∈时，()0h x '<，

所以()h x 在区间π

[0,]2上单调递减. 所以对任意π

(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<.

所以函数()f x 在区间π

[0,]2上单调递减.

因此()f x 在区间π

[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ

()22f =-.

21.（12分）

已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.

（1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2

30()2e f x --<<.

21.解：

（1）()f x 的定义域为()0，+∞

设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x

因为()()()()()1

1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x

若a =1，则()1

1-g'x =x .当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，

()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0≥g x g

综上，a=1

（2）由（1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=--

设()1

22ln ,则'()2h x x x h x x =--=- 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'＜0h x ；当1,+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2⎛⎫

⎪⎝⎭单调递减，在

1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭单

调递增