江苏省赣榆县厉庄高级中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题.

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厉庄高中2012-2013学年度第一学期期中考试

高二年级数学试题

数 学 I

一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.在△ABC 中,A ∶B ∶C =4∶1∶1,则a ∶b ∶c 等于 . 2.在△ABC 中,三内角A 、B 、C 成等差数列,则B 等于 .

3.函数y =x 2+2

x 2+1

的最小值为 .

4.在△ABC 中,已知A =135°,B =15°,c =2,则△ABC 中最长边的长为 .

5.设集合A ={x |(x -1)2

<3x +7},则A ∩Z 中有 个元素.

6.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若c =2,b =6,B =120°,则a = .

7.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x -y ≥0,

x +y ≤1,x +2y ≥1,

则目标函数z =5x +y 的最大值为________.

8.等差数列{a n }的公差不为零,首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项,则数列{a n }的前

10项之和是________.

9.在△ABC 中,已知c =2a cos B ,则△ABC 是________三角形.

10.已知a 、b 、c ∈(0,+∞),且a +b +c =1,则(a +1a )+(b +1b )+(c +1

c

)的最小值为

________.

11.在数列{}n a 中,11a =, 11

12

n n a a -=

+(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式为n a = 。

12.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为________.

13.设x ,y >0,且x +y =4,若不等式1x +4

y

≥m 恒成立,则实数m 的最大值为 .

14.在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使前n 项和S n 取得最大值时的自然数n 的值为 .

二.解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分14分)

要测量河对岸两地A ,B 之间的距离,在岸边选取相距1003米的C ,D 两点,并测得∠ACB =75°,∠BCD =45°,∠ADC =30°,∠ADB =45°(A ,B ,C ,D 在同一平面内),求A ,B 之间的距离.

16.(本题满分14分)

已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴的上方,求实数k的取值范围.

17.(本题满分14分)

设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且有2sin B cos A=sin A cos C+cos A sin C.

(1)求角A的大小;

(2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长.

18.(本题满分16分)

已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a2=4,a4=16.

(1)求公比q;

(2)若a3,a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项,求数列{b n}的通项公式.

19.(本题满分16分)

某种汽车购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费共计约0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.问这种汽车使用多少年报废最合算?(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)

20.(本题满分16分)

已知{a n}是等差数列,其前n项和为S n,{b n}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.

(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;

(2)记T n=a n b1+a n-1b2+…+a1b n,n∈N*,证明:T n+12=-2a n+10b n(n∈N*).

厉庄高中2012-2013学年度第一学期期中考试

高二年级数学试题

第Ⅱ卷(附加题 共40分)

附加题总分40分,时间用时30分钟,本大题共4道解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.(本小题满分10分)

(1)命题“若α=π

4,则tan α=1”的逆否命题是________.

(2)命题“若x =1或x =2,则x 2-3x +2=0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是________.

2.(本小题满分10分)

已知p :2x 2

-9x +a <0,q :⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

-4x +3<0,x 2-6x +8<0,且非p 是非q 的充分条件,求实数a 的取

值范围.

3.(本小题满分10分)

已知a >0,b >0,且a ≠b ,比较a 2b +b 2

a

与a +b 的大小.

4.(本小题满分10分)

已知前n 项和为S n 的等差数列{a n }的公差不为零,且a 2=3,又a 4,a 5,a 8成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)是否存在正整数对(n ,k ),使得na n =kS n ?若存在,求出所有正整数对(n ,k );若不存在,请说明理由.

厉庄高中2012-2013学年度第一学期期中考试

高二年级数学试题

数 学 I

一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.解析:由条件知A =2π3,B =C =π

6

,a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =3∶1∶1.

答案:3∶1∶1

2.解析:∵三内角A 、B 、C 成等差数列,∴2B =A +C , 又∵A +B +C =180°,∴3B =180°,∴B =60°. 答案:60°

3.解析:y =x 2+1+1x 2+1=x 2+1+1x 2+1≥2,当且仅当x 2

+1=1x 2

+1

,即x =0时,y 取到最小值2.

答案:2

4.解析:最长边为a ,利用正弦定理及三角形内角和定理,可得a =c sin C ·sin A =

2

sin30°

×sin135°=2 2.

答案:2 2

5.解析:(x -1)2<3x +7⇔x 2-5x -6<0⇔-1

6.解析:由余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B ,即(6)2=a 2+(2)2-22a ·cos120°,

整理得:a 2

+2a -4=0,解得a =2或a =-22(舍). 答案: 2

7.解析:先画出可行域,如图.

解⎩

⎪⎨⎪⎧x +2y =1x +y =1得最优解为A (1,0).∴z max =5. 答案:5

8.解析:∵a 22=a 1·

a 5,∴(a 1+d )2=a 1(a 1+4d ). ∴d 2=2a 1d ,而d ≠0,∴d =2a 1=2.

∴S 10=10×1+10×9

2

×2=100.

答案:100

9.解析:由余弦定理及已知条件知a 2+c 2-b 22ac =cos B =c

2a

∴a 2+c 2-b 2=c 2,即a 2=b 2

,亦即a =b . 答案:等腰

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