江苏省赣榆县厉庄高级中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学试题.

厉庄高中2012－2013学年度第一学期期中考试

高二年级数学试题

数 学 I

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于 ． 2．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于 ．

3．函数y ＝x 2＋2

x 2＋1

的最小值为 ．

4．在△ABC 中，已知A ＝135°，B ＝15°，c ＝2，则△ABC 中最长边的长为 ．

5．设集合A ＝{x |(x －1)2

<3x ＋7}，则A ∩Z 中有 个元素．

6．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝ ．

7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x －y ≥0，

x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，

则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值为________．

8．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前

10项之和是________．

9．在△ABC 中，已知c ＝2a cos B ，则△ABC 是________三角形．

10．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1

c

)的最小值为

________．

11．在数列{}n a 中，11a =， 11

12

n n a a -=

+（2n ≥），则数列{}n a 的通项公式为n a ＝ 。

12．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为________．

13．设x ，y >0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4

y

≥m 恒成立，则实数m 的最大值为 ．

14．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值时的自然数n 的值为 ．

二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)

要测量河对岸两地A ，B 之间的距离，在岸边选取相距1003米的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求A ，B 之间的距离．

16．(本题满分14分)

已知函数y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围．

17．(本题满分14分)

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sin B cos A＝sin A cos C＋cos A sin C.

(1)求角A的大小；

(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．

18．(本题满分16分)

已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝4，a4＝16.

(1)求公比q；

(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，求数列{b n}的通项公式．

19．(本题满分16分)

某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费共计约0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算？(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)

20．(本题满分16分)

已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.

(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；

(2)记T n＝a n b1＋a n－1b2＋…＋a1b n，n∈N*，证明：T n＋12＝－2a n＋10b n(n∈N*)．

厉庄高中2012－2013学年度第一学期期中考试

高二年级数学试题

第Ⅱ卷（附加题 共40分）

附加题总分40分，时间用时30分钟，本大题共4道解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1．（本小题满分10分）

(1)命题“若α＝π

4，则tan α＝1”的逆否命题是________．

(2)命题“若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．

2．（本小题满分10分）

已知p ：2x 2

－9x ＋a ＜0，q ：⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且非p 是非q 的充分条件，求实数a 的取

值范围．

3．（本小题满分10分）

已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2

a

与a ＋b 的大小．

4．（本小题满分10分）

已知前n 项和为S n 的等差数列{a n }的公差不为零，且a 2＝3，又a 4，a 5，a 8成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)是否存在正整数对(n ，k )，使得na n ＝kS n ？若存在，求出所有正整数对(n ，k )；若不存在，请说明理由．

厉庄高中2012－2013学年度第一学期期中考试

高二年级数学试题

数 学 I

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π

6

，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1.

答案：3∶1∶1

2．解析：∵三内角A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，∴B ＝60°. 答案：60°

3．解析：y ＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2

＋1＝1x 2

＋1

，即x ＝0时，y 取到最小值2.

答案：2

4．解析：最长边为a ，利用正弦定理及三角形内角和定理，可得a ＝c sin C ·sin A ＝

2

sin30°

×sin135°＝2 2.

答案：2 2

5．解析：(x －1)2<3x ＋7⇔x 2－5x －6<0⇔－1

6．解析：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即(6)2＝a 2＋(2)2－22a ·cos120°，

整理得：a 2

＋2a －4＝0，解得a ＝2或a ＝－22(舍)． 答案： 2

7．解析：先画出可行域，如图．

解⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1x ＋y ＝1得最优解为A (1，0)．∴z max ＝5. 答案：5

8．解析：∵a 22＝a 1·

a 5，∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )． ∴d 2＝2a 1d ，而d ≠0，∴d ＝2a 1＝2.

∴S 10＝10×1＋10×9

2

×2＝100.

答案：100

9．解析：由余弦定理及已知条件知a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ＝c

2a

，

∴a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2＝b 2

，亦即a ＝b . 答案：等腰