不等式选讲知识点归纳及近年高考真题

不等式选讲知识点归纳及近年高考真题
考点一：含绝对值不等式的解法
例1．(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.
解：（I ）3,
2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪
=---=-<<⎨⎪≥⎩
当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤
（II ）由（I ）可知，当2
2,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；
当2
25,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；
当2
5,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.
综上，不等式2
()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为
变式练习：1. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为
（A ）[-5.7] （B ）[-4,6] （C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞ 【答案】D 2.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】42≤≤-a 【解析】|||1|3x a x -+-≤表示在数轴上，a 到1的距离小于等于3，即31≤-a ， 则42≤≤-a
1.已知集合{}
1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t
⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩
⎭
，则集合A B ⋂=________. 【答案】{}52|≤≤-∈x R x
3. (2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______. 【解析】}1|{≥x x 。

由题得1)
3()1(|3||1|2
2
≥∴-≥+∴-≥+x x x x x 所以不等式的解集为}1|{≥x x 。

4．若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 【答案】(,3][3,)-∞-+∞ 【解析】：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=所以12a x x ≥++-存在实数解，有3a ≥3a ≤-或3a ≥ 5.(2011年高考江苏卷21)解不等式：|21|3x x +-< 原不等式等价于：43213,23
x x x x -<-<-∴-<<
，解集为4
(2,)3-
6. (2011年高考全国新课标卷理科24)设函数0,3)(>+-=a x a x x f
（1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}
1-≤x x ，求a 的值。

解：（Ⅰ）当1=a 时，不等式23)(+≥x x f ，可化为，21≥-x
3,1≥-≤∴x x ，所以不等式23)(+≥x x f 的解集为{}
3,1≥-≤x x x 或
（Ⅱ）因为0)(≤x f ，所以，03≤+-x a x ，可化为，
⎩⎨⎧≤+-≤⎩⎨⎧≤+-≥0303x x a a x x a x a x 或 即⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≥24a x a x a x a x 或
因为，0>a 所以，该不等式的解集是⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-≤2a x x ，再由题设条件得2,12
=∴-=-
a a
7．（2010年高考福建卷理科21）已知函数。

（Ⅰ）若不等式
的解集为
，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

【解析】（Ⅰ）由
得
，解得
，
又已知不等式的解集为
，所以，解得。

（Ⅱ）当
时，
，设
，于是
=
，所以 当
时，
；当
时，
；当
时，。

考点二：不等式的证明与柯西不等式 例：已知实数x ，y 满足：11
|||2|36
x y x y +<
-<，，
求证：5||18y <． 【答案】证明：∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-， 由题设11|||2|36x y x y +<
-<，，
∴115
3||=366
y <+。

∴5||18y <。

变式练习：1辽宁24. 已知()()=+1f x ax a R ∈，不等式()3f x ≤的解集为{}
-21x x ≤≤ （1）求a 的值 （2）若()-22x f x f k ⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
恒成立，求k 的取值范围 【解析】（1）由+13ax ≤得-42ax ≤≤，又()3f x ≤的解集为{}
-21x x ≤≤，所以当0a ≤时，不合题意 当>0a 时，42
-
x a a
≤≤，得=2a
（2）记()()=-22x h x f x f ⎛⎫
⎪⎝⎭，则()1,-11=-4-3,-1<<-21-1,-2
x h x x x x ⎧
⎪≤⎪
⎪⎨⎪
⎪≥⎪⎩，所以()1h x ≤，因此1k ≥
2．设不等式11-x 2＜的解集为M ．（I ）求集合M ；（II ）若a ，b ∈M ，试比较ab+1与a+b 的大小． 解：（I ）由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得所以{|01}.M x x =<<
（II ）由（I ）和,a b M ∈可知0<a<1,0<b<1，所以(1)()(1)(1)0.ab a b a b +-+=-->故1.ab a b +>+ 练习：3． 已知函数|1||2|)(+--=x x x f ．（1）求证：3)(3≤≤-x f ；（2）解不等式x x x f 2)(2-≥.
解：（1）⎪⎩
⎪
⎨⎧>-<<-+--≤=)
2(3)21(1
2)
1(3
)(x x x x x f ，又当21<<-x 时，3123<+-<-x ，∴3)(3≤≤-x f （2）当1-≤x 时，121322—=⇒≤≤-⇒≤-x x x x ；
当21<<-x 时，11111222≤<-⇒≤≤-⇒+-≤-x x x x x ；当2≥x 时，φ∈⇒-≤-x x x 322； 综合上述，不等式的解集为：[]1,1- 4．设函数f (x )=|2x -1|+|2x -3|,x ∈R
(Ⅰ)解不等式f (x )≤5； (Ⅱ)若m
x f x g +=
)(1
)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围.
5．设函数()|2|4.f x x m x =-+
（I ）当m=2时，解不等式：()f x ≤1；
（Ⅱ）若不等式()2f x ≤的解集为{xlx ≤—2}，求m 的值。