导数应用题
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。
2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。
3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。
4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。
5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。
二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。
2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。
3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。
4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。
5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。
三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。
2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。
3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。
4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。
5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。
四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。
2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。
3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。
导数应用练习题含答案(供参考)
课外作业 一．选择题，1. ．函数x x x x f +--=23)(的单调减区间是 ( )A ．（)1,-∞- B.),31(∞ C ．（)1,-∞-和),31(∞ D.)31,1(-解: 'f （x ）=-32x -2x+1<0，所以x>31或x<-1，故选C 2．函数xxx f sin )(=，则 ( ) A ．)(x f 在),0(π内是减函数 B. )(x f 在),0(π内是增函数C ．)(x f 在)2,2(ππ-内是减函数 D. )(x f 在)2,2(ππ-内是增函数 解: 'f （x ）=2sin cos xx x x -，当x ∈),0(π时'f （x ）<0，故选A 3. .函数()(1)x f x x e 的单调递增区间是 （ ）A .[0，＋∞）B . [2，＋∞）C .（－∞，2]D .（－∞，1]解：令'f （x ）=x e -（x-1）xe >0,得2-x>0,x<2，故选C4..()f x '是f （x ）的导函数，()f x '的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）A B C DA ．B ．C ．D ． 解：)('x f 越大表示曲线f （x ）递增（减）速度越快，故选D5.下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A.y=sinx+1, B.xxe y = C.x x y -=3D.x x y -+=)1ln(解：y=sinx+1是周期函数，不满足条件； xxe y =，则'y =x e +x xe ,当x>0时'y >0成立。
故选B6.对于R 上可导的任意函数，若满足()()01/≥-x fx ，则必有（ ）A . ()()()1220f f f <+ B. ()()()1220f f f >+ C . ()()()1220f f f ≥+ D. ()()()1220f f f ≤+解：x ≥1时'f （x ）≥0；x ≤1时'f （x ）≤0。
导数综合应用(含答案)
11.导数的综合应用（含答案）（高二）1.（15北京理科）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；422222()(1)11kx k F x k x x x+-'=-+=--， 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.2．（15年安徽理科）设函数2()f x x ax b =-+.（1）讨论函数(sin )22f x ππ在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记20000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取2000,D 14aa b z b ===-≤求满足时的最大值。
求导数的实际应用题
求导数的实际应用题导数作为微积分的重要概念，具有广泛的实际应用价值。
在物理学、经济学、生物学等领域中，求导数可以帮助我们解决一系列实际问题。
本文将以几个实际应用题为例，阐述导数的应用。
1. 速度和加速度假设有一个小车在直线道路上行驶。
我们知道，速度可以看作是位移对时间的导数，即v(t) = ds(t)/dt，其中v(t)表示时刻t的速度，s(t)表示距离。
如果我们已知小车的位移函数s(t)，则可以通过求导数的方法得到其速度函数v(t)。
同样地，加速度可以看作速度对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt。
如果我们已知小车的速度函数v(t)，可以通过求导数得到其加速度函数a(t)。
这些速度和加速度的函数关系可以帮助我们对行驶中的小车进行分析，如判断是否超速或者行驶过程中是否需要采取制动等措施。
2. 弹簧振动在物理学中，弹簧振动是一个常见的问题。
假设一个弹簧的位置可以用函数x(t)表示，其中x(t)表示时刻t的位置。
根据胡克定律，弹簧受力与其伸长程度成正比。
设弹簧的劲度系数为k，则弹簧的受力可以表示为F = -kx(t)。
根据牛顿第二定律，物体受力与加速度成正比。
设物体的质量为m，则物体的加速度可以表示为a = F/m = -kx(t)/m。
我们可以通过求导数的方法，得到物体的速度v(t) = dx(t)/dt，并进一步求得物体的加速度。
通过对弹簧振动过程的分析，可以了解弹簧在不同时刻的位置、速度以及加速度，从而揭示了弹簧振动的规律。
3. 生物学中的增长问题在生物学中，许多生物群体的增长问题都可以通过求导数来解决。
以细菌繁殖为例，假设初始时刻有N个细菌，细菌的繁殖速率与其当前数量成正比。
设细菌繁殖速率为r，则细菌的繁殖速度可以表示为dN/dt = rN。
将微分方程化简后可得到N(t) = N0 * e^(rt)，其中N(t)表示时刻t的细菌数量，N0表示初始时刻的细菌数量。
通过求导数，我们可以得到细菌数量随时间变化的规律，以及在不同时刻细菌数量的增长速度。
导数应用练习题
导数应用练习题在微积分中，导数是一个极为重要的概念。
它不仅是研究函数变化率的工具，也是应用到各个领域中的数学工具之一。
本文将介绍一些导数的应用练习题，通过解答这些题目，加深对导数概念的理解，并将其应用到实际问题中。
一、速度与加速度1.一辆汽车沿直线匀速行驶，其速度为v(t)=50t，其中t表示时间，单位为秒。
求该汽车在0到5秒内的平均速度和瞬时速度。
解：汽车的速度函数为v(t)=50t，求0到5秒内的平均速度，可以使用速度函数在0到5秒内的平均值，即：v(0到5秒平均) = (v(0)+v(5))/2 = (50*0+50*5)/2 = 125 m/s求0到5秒内的瞬时速度，可以直接使用速度函数：v(0到5秒瞬时) = v(5) = 50*5 = 250 m/s2.一辆汽车沿直线运动，其速度随时间变化的函数为v(t)=3t²-2t+1，其中t表示时间，单位为秒。
求该汽车在0到2秒内的平均速度和瞬时速度。
解：汽车的速度函数为v(t)=3t²-2t+1，求0到2秒内的平均速度，可以使用速度函数在0到2秒内的平均值，即：v(0到2秒平均) = (v(0)+v(2))/2 = (3*0²-2*0+1+3*2²-2*2+1)/2 = (1+9-4+1)/2 = 7 m/s求0到2秒内的瞬时速度，可以直接使用速度函数：v(0到2秒瞬时) = v(2) = 3*2²-2*2+1 = 9 m/s二、相关率问题1.一个圆的半径在增长，当半径的增长率为2 cm/s时，求当半径为5 cm时，圆的周长的增长率。
解：设圆的半径为r，圆的周长为C，根据圆的周长公式C=2πr，对该等式两边同时对时间求导，得到：dC/dt = 2π(dr/dt)题目已给出半径的增长率dr/dt=2 cm/s，半径r=5 cm，代入上述公式，得到：dC/dt = 2π(2) = 4π cm/s所以，当半径为5 cm时，圆的周长的增长率为4π cm/s。
高二数学导数的实际应用试题答案及解析
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数的图象在处的切线方程为，则的值是 .【答案】-1【解析】函数的图象在处的切线方程为，，，因此.【考点】导数的几何意义.2.已知函数的图像是下列四个图像之一,且其导函数的图像如右图所示,则该函数的图像是【答案】B【解析】由分析导函数的图像可知:原函数的从左向右一直是增函数，并且增长速度先是越来越快再越来越慢.【考点】导函数的应用.3.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中（1）大前提错误；（2）小前提错误；（3）推理形式正确；（4）结论正确你认为正确的序号为．【答案】(1)(3).【解析】该“三段论”的推理形式符合“S是P,M是S,M是P”的推理形式，所以推理形式是正确的；对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，且在的两侧，的符号相反，那么x=x是函数f（x）的极值点，所以题中所给的大前提是错误的；而小前提是正确的，结论是错误的.【考点】演绎推理.4.若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【答案】A【解析】因为，所以答案选A.【考点】导数的定义与应用5.函数的图象如图所示，则导函数的图象的大致形状是( )【答案】D【解析】由函数的图象知：先减再增，最后成为常数函数；故其导函数的函数值应先小于零，等于零，然后再大于零，最后又等于零；符合这种情况的只有Ｄ；故选Ｄ．【考点】函数的导数．6.已知点A(0，1)和点B(－1，－5)在曲线C：为常数)上，若曲线C 在点A、B处的切线互相平行，则 .【答案】7【解析】和在曲线上，又∵，曲线在两点的切线平行，∴，∴可解得，∴.【考点】导数的运用.7.设定义在上的可导函数的导函数的图象如右所示,则的极值点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】首先由得到此方程有四个根，同时在极值点的左右两侧满足异号，这样的极值点的个数为三个.故选C.【考点】函数极值点的判断方法.8.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.9.若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴.【考点】常见基本函数的导函数.10.已知函数的定义域为R，为的导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为【答案】（－2，3）【解析】由图可知：函数在单调递增，因此当时，；函数在单调递减，因此当时，，综上不等式的解集为（－2，3）.【考点】利用导数研究函数性质11.已知函数，（1）求在点（1,0）处的切线方程；（2）判断及在区间上的单调性；（3）证明：在上恒成立.【答案】(1);(2)详见解析;(3）详见解析.【解析】（1）首先求出切线斜率即f’（x）利用点斜式即可求出答案；（2）首先求出，判断在（1，+∞）是否大于零，判断g（x）在区间上的单调性，在求出的导数判断其在（1，+∞）是否大于零，即可得到在（1，+∞）上的单调性；（3）对不等式两边取对数，化简得，设函数将原问题转化为则在，求出H（x）的最小值大于0 即可.（1） 1分2分3分（2） 4分在上恒成立 6分在上单调递减在上单调递增 7分（3）即 8分设函数则在在上单调递增11分即在上恒成立 12分.【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数的单调性；3.不等式的证明. 12.已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(2－x)2成正比，比例系数为4．（1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式；（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．【答案】（1）y＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能【解析】（1）根据收益等于单件利润与销售量的乘积，列等量关系.注意今年销售量等于原销售量与新增的年销量之和，另外还要注意交代函数定义域；y＝[1＋4(x－2)2](x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)．（2）本题实际需求本年收益范围，即需求函数y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2的值域，这可借助于导数研究.求导后可知函数图像先增后减再增，因此其最大值在极大值及处取到，比较大小知f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(2)＝1，即为往年的收益，所以商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．试题解析：解（1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x－2)2 (万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x－1)元，所以今年商户甲的收益y＝[1＋4(x－2)2](x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)． 4分（2）由（1）知y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2，从而y′＝12x2－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)．令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下：(1，)(，)(，2)＋0－0＋7分又f()＝1，f(2)＝1，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．10分【考点】函数解析式，利用导数求函数最值13.自由落体运动的物体下降的距离h和时间t的关系式为h＝gt2，则从t＝0到t＝1时间段内的平均速度为________，在t＝1到t＝1＋Δt时间段内的平均速度________，在t＝1时刻的瞬时速度为________．【答案】g，g＋gΔt，g【解析】＝g.＝g＋gΔt.当Δt→0时，g＋gΔt→g.14.质量为10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能．【答案】运动开始后4秒时的动能为3 125 J【解析】＝3Δt＋25，当Δt→0时，3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度为25.∴物质的动能为mv2＝×10×252＝3 125(J)15.直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点的坐标及a的值．【答案】，a＝.【解析】设切点A(x0，y)，＝3－2x0＋(3x－1)d＋d2→3－2x(d→0)．故曲线上点A处切线斜率为3－2x0，∴3－2x＝1，∴x0＝1或x＝－，代入C的方程得或代入直线l，当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，即切点坐标为，a＝.16.（1）设函数，.求函数的单调递减区间；（2）证明函数在上是增函数.【答案】（1）（2）函数在上是增函数【解析】（1）由原函数求其导数得，令----3分减区间为 6分（2） --12分【考点】函数单调性的判定点评：求函数的单调增区间只需令导数大于零，求减区间只需令导数小于零，求解相应的不等式即可；证明单调性可通过证明导数大于零或小于零。
导数应用题
来源于生活 应用于生活
导数的应用举例 1
导数的应用举例 2
某厂生产某种产品, 已知该产品的月产量 ( 某厂生产某种产品 已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品 的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p=24200- 1x2, 且生产 x 吨的 ( -5 该厂每月 每月生产多少吨产品才能使 成本为 R=50000+200x 元. 问该厂每月生产多少吨产品才能使 利润达到最大? 最大利润是多少?(利润=收入 成本) 收入利润达到最大 最大利润是多少 (利润 收入-成本) 每月生产 解: 设每月生产 x 吨的利润为 y 元, 则 x≥0, 且 1 y=(24200- 5x2)x-(50000+200x) 1 3 =- 5 x +24000x-50000. 舍去) ( 舍去 由 y′=- 3x2+24000=0 得 x=200(-200舍去). ′ -5 ∵在 [0, +∞) 上只有一个点 x=200 使 y′=0, ′ 它就是最大值点, ∴它就是最大值点 且最大值为 1 - 5×2003+24000×200-50000=3150000(元). × ( 故每月生产 吨产品时利润最大, 万元. 故每月生产 200 吨产品时利润最大 最大利润是 315 万元
(完整版)导数应用题
(完整版)导数应用题
导数应用题
导数是微积分中的一个重要概念，它在物理学、经济学等学科
中有广泛的应用。
下面是几个关于导数应用的题目。
题目一：速度和加速度
一个物体随时间 t 的位移函数为：s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t - 6。
求：
1. 物体在 t=2 时的速度；
2. 物体在 t=2 时的加速度。
题目二：边际利润
某公司生产某种产品的总成本和销售量之间的关系由函数 C(x) = 40x^2 - 10x + 200 决定，其中 x 表示销售量（单位：千件）。
产
品的销售价格为 500 元/件。
求：
1. 销售量为 10 千件时的总成本；
2. 销售量为 10 千件时的边际利润（边际利润定义为每增加一
单位销售量所带来的额外利润）。
题目三：物体的高度
一颗子弹以初速度 v0 被发射成 60°角度与水平面成的抛体轨迹。
子弹的飞行轨迹可以用函数 h(t) = -5t^2 + v0*sin(60°)*t 表示，
其中h(t) 表示子弹的高度（单位：米），t 表示时间（单位：秒）。
求：
1. 子弹飞行的最高点的高度；
2. 子弹从发射到达最高点的时间。
题目四：排队等候时间
某银行服务窗口的等候时间服从指数分布，平均等候时间为 10 分钟。
一位客户进入银行后等候 8 分钟后决定离开，请问他的等待
时间与等候时间之差服从的概率分布是什么？
以上是关于导数应用的几个题目，希望能帮助到你。
如果有任何疑问，请随时提问。
导数应用精选50题(含有答案)
C.2
D. 3
2
13.对于三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d （ a 0 ），定义：设 f (x) 是函数 y f (x) 的
导数，若方程 f (x) 0 有实数解 x0，则称点（x0，（f x0））为函数 y f (x) 的“拐点”．有
同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
常数 为方程 f (x) = x 的实数根。 (1) 求证：当 x > 时，总有 x > f (x) 成立； (2) 对任意 x1、x2 若满足| x1－ | < 1,| x2－ | < 1,求证：| f (x1)－f (x2)| < 2.
25.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ax3 bx2 ，当 x 1 时，有极大值 3 ；
f
( ) ， f 3
(x ) 为 f(x)的导函数，令 a＝
12，b＝log32，则下列关系
正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)
C．f(a)＝f(b)
D．f(|a|)<f(b)
16.设在函数 y x sin x cos x 的图象上的点 x0, y0 处的切线斜率为 k，若 k g x0 ，则
高二数学导数的实际应用试题答案及解析
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数的图像是下列四个图像之一,且其导函数的图像如右图所示,则该函数的图像是【答案】B【解析】由分析导函数的图像可知:原函数的从左向右一直是增函数，并且增长速度先是越来越快再越来越慢.【考点】导函数的应用.2.定义在R上的连续函数g(x)满足：当时，恒成立(为函数的导函数)；对任意的都有．函数满足：对任意的，都有成立;当时.若关于的不等式对恒成立. 则的取值范围是A．RB．C．或D．【答案】C【解析】当时，恒成立(为函数的导函数)，在单调递增；对任意的都有，为偶函数；即在递减．关于的不等式对恒成立，即对恒成立，即.对任意的，都有成立，，即;当时，，，且，即在，.，对，.因此，即，.【考点】函数的性质、导数的应用.3.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.4.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点】复合函数的导数.5.若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴.【考点】常见基本函数的导函数.6.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】由函数，，是方程的两根，由，则有两个使等式成立，，如下示意图象：如图有三个交点，故选A．【考点】1．导数的性质；2．函数的零点．7.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上是减函数，求的取值范围.【答案】（1）;（2）或.【解析】(I)求出当时函数的导数即切线斜率，代入点斜式；(II)求导解得函数的两个极值点和因为异号，分，，讨论.（1）当时，，又，所以.又，所以所求切线方程为，即.所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为，令，得或.当时，恒成立，不符合题意. 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则解得.当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是或.【考点】1、导数及其应用；2、导数在研究函数中的应用.8.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ;【答案】【解析】由题意得：在上恒成立，即，因为则由得，所以当时，；当时，；因此当时，取最大值即实数的取值范围是.【考点】利用导数求参数取值范围9.某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元。
与导数有关的应用题
与导数有关的应用题1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．2.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元。
设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为)(x R 万元，且⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=10,31000108100,3018.10)(22x x xx x x R （1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）3.某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元(1)设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S(r )(2)由于条件限制[30,40]r ,问当r 取何值时,运动场造价最低?4一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为21,y y 且翻转前后的比例系数相同都为k ）(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为d 多少时，可使安全负荷y 最大？O A BCθ 5.某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上设计的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 的为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带宽度忽略不计）（1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ；（2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大．6.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且2l r≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c＞.设该容器的建造费用为y千元.（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.。
导数的应用题型
（导数的应用：求切线、单调区间、极值、最值、图像）题型一：利用导数的几何意义求切线1.曲线y=x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）A.y=3x －4B.y=－3x+2C.y=－4x+3D.y=4x －52.若抛物线y=x 2－x+c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.3.曲线y=2x 2+1在P （－1，3）处的切线方程是________________.4.过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2－4x+2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是____________5.已知曲线y=31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______.6.已知曲线y=x 2－1与y=3－x 3在x=x 0处的切线互相垂直，求x 0。
7.曲线y=x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?8.确定抛物线方程y=x 2+bx+c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y=2x 在x=2处相切.9.曲线y=x 3+3x 2+6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程.（ 有点难度哟！）题型二：求函数单调区间1.函数y=x 2（x －3）的减区间是 （ ）A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2） 2.函数f （x ）=ax 2－b 在（－∞，0）内是减函数，则a 、b 应满足 （ ）A.a<0且b=0B.a>0且b ∈RC.a<0且b ≠0D.a<0且b ∈R3.已知a>0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是 （ ）A.0B.1C.2D.34.已知f （x ）=（x －1）2+2，g （x ）=x 2－1，则f ［g （x ）］ （ ）A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－2，0）上递增D.在（0，2）上递增5.已知函数f （x ）=x 4－4x 3+10x 2，则方程f （x ）=0在区间［1，2］上的根有A.3个B.2个C.1个D.0个6.在（a ，b ）内f （x ）>0是f （x ）在（a ，b ）内单调递增的________条件.7.若函数y=－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________.8.设函数f （x ）=x 3－21ax 2+3x+5（a>0），求f （x ）的单调区间.9.已知函数f （x ）=2ax －x 3，a>0，若f （x ）在x ∈（0，1］上是增函数，求a 的取值范围.10.若函数y=31x 3－21ax 2+（a －1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围.11.设f （x ）=x 3－22x －2x+5. （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围. 题型三：求函数的极值1．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）a bx y)(x f y '=O A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2.函数f （x ）=x 3－3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则A.0<b<1B.b<1C.b>0D.b<213.y=3x －x 3的极大值是________，极小值是________.4.已知函数y=x 3+ax 2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________.5.已知函数f （x ）=ax 3+cx+d （a ≠0）是R 上的奇函数，当x=1时，f （x ）取得极值－2.（1）求f （x ）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x 1、x 2∈（－1，1），不等式|f （x 1）－f （x 2）|＜4恒成立.题型四：函数的最大值与最小值 1.函数f （x ）=x 3－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是 （ ）A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－192.函数y=x 4－8x 2+2在［－1，3］上的最大值为A.11B.2C.12D.103.已知f （x ）=2x 3－6x 2+m （m 为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是 （ ）A.－37B.－29C.－5D.以上都不对4.函数y=2x 3+3x 2－12x+14在［－3，4］上的最大值为________，最小值为________.5.设函数f （x ）=x 3－22x －2x+5.若对任意x ∈［－1，2］，都有f （x ）>m ，则实数m 的取值范围是________.6.直线y=a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共点，求a 的取值范围.7.已知实数a>0，函数f （x ）=ax （x －2）2（x ∈R ）有极大值32.（1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间.8.设x=－2与x=4是函数f （x ）=x 3+ax 2+bx 的两个极值点.（1）求常数a 、b ；（2）判断x=－2，x=4是函数f （x ）的极大值点还是极小值点，并说明理由. 题型五：图像题1.若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）3.函数f （x ）的导函数y=f '（x ）的图象如下图，则函数f （x ）的单调递增区间为________. xyO 2-13．设)(x f 是一个三次函数，)(x f '为其导函数，如图所示的是)(x f x y '⋅=的图象的一部分，则)(x f 的极大值与极小值分别是 ( )A ．)1()1(-f f 与B ．)1()1(f f 与-C ．)2()2(f f 与-D ．)2()2(-f f 与巩固练习：1.函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，其中a 、b 、c 为实数，当a 2－3b<0时，f （x ）是 （ ）A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数2.下列各式正确的是A.x －63x ＞sinx （x ＞0）B.sinx ＜x （x ＞0）C.π2x ＞sinx （0＜x ＜2π） D.以上各式都不对 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=4．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件5．函数344+-=xx y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．06．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数7.函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数（ ）A.（2π,2π3）B.（π,2π）C.（2π3, 2π5） D.（2π,3π） 8.函数y=1+3x －x 3有（ ）A.极小值－2,极大值2B.极小值－2,极大值3C.极小值－1,极大值1D.极小值－1,极大值39.如果函数y=f （x ）的导函数的图象如图所示，给出下列判断： -3 -2 2 3 4 51 -2xyO①函数y=f （x ）在区间（－3，－21）内单调递增；②函数y=f （x ）在区间（－21，3）内单调递减；③函数y=f （x ）在区间（4，5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f （x ）有极小值；⑤当x=－21时，函数y=f （x ）有极大值. 则上述判断中正确的是________.10.若函数f （x ）=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是_______________.11.函数y=x －2x （x ≥0）的最大值为_____________.12.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
高二数学导数应用2023练习题及答案
高二数学导数应用2023练习题及答案一、函数极值与最值问题1. 求函数f(x) = 3x^4 - 4x^3在闭区间[-2, 3]上的极值及最值。
解析：首先求出函数的导数f'(x)，然后找出导数f'(x)的零点，即f'(x) = 0的解。
根据求得的导数零点，将闭区间[-2, 3]分为了若干个子区间，分别对每个子区间进行讨论，确定极值点以及正、负号区间，最后比较得出极值和最值。
步骤如下：1) 求导：f'(x) = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x - 1)。
2) 导数的零点：12x^2(x - 1) = 0，解得x = 0或x = 1。
3) 分析子区间：a) 当x < -2时，f'(x) = 12x^2(x - 1) < 0，函数递减。
b) 当-2 < x < 0时，f'(x) = 12x^2(x - 1) > 0，函数递增。
c) 当0 < x < 1时，f'(x) = 12x^2(x - 1) < 0，函数递减。
d) 当1 < x < 3时，f'(x) = 12x^2(x - 1) > 0，函数递增。
e) 当x > 3时，f'(x) = 12x^2(x - 1) < 0，函数递减。
4) 确定极值点：当x = -2时，f(-2) = 3(-2)^4 - 4(-2)^3 = 48，当x = 0时，f(0) = 0，当x = 3时，f(3) = 3(3)^4 - 4(3)^3 = 189。
5) 比较得出极值和最值：函数在x = -2处取得极大值48，函数在x = 0处取得极小值0，函数在x = 3处取得极大值189。
答案：极大值48，极小值0，最大值189。
二、函数图像与导数的关系问题2. 已知函数g(x)在区间[-∞,+∞]上可导，且g(-1) = 2，求证：在区间[-∞, +∞]上，一定存在点c，使得g'(c) = 0。
导数应用题
导数在生活中的应用【例1】一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215243s t t t =-+，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0，1,4秒末【例2】已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？【例3】如图，一矩形铁皮的长为cm 8，宽为cm 5,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大？解:设小正方形的边长为cm x ,则盒子底面长为82x -,宽为52x -32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+'2125240V x x =-+，令0V '=得1x =或103x =（舍去) (1)18V V ==极大值,在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值 练习:1、甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P （元）关于速度v （千米/小时）的函数关系是P ＝错误!v 4－错误!v 3＋15v ， （1)求全程运输成本Q （元）关于速度v 的函数关系式；（2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值．2、在长为100千米的铁路线AB 旁的C 处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA 为20千米.由铁路上的B 处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k 和3k （k ＞0，k ∈R ），为节约运费，在铁路的D 处修一货物转运站，设AD 距离为x 千米，沿CD 直线修一条公路（如图).（1）将每吨货物运费y (元）表示成x 的函数。
（2）当x 为何值时运费最省?3、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km, 10CD km =,为20100xA BC D了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上（含边界),且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm 。
导数及其应用练习题
导数及其应用练习题一、选择题1．若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则xy∆∆=（ ） A 4 B 4Δx C 4+2Δx D 2Δx 2.若()()()kx f k x f x f k 2lim,20000--='→则的值为（ ）A ．-2 B. 2 C.-1 D. 13. 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A193B103C163D1334. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =-C2()2(1)f x x =-D ()1f x x =-5.下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x'+=+B21(log )ln 2x x '=C3(3)3log x x e '=⋅D 2(cos )2sin x x x x '=-6.设)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+ ，)(N n ∈则=')(2005x f （ ） x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--7. 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 （ ） A 6π B 34π C 4π D 3π8.1y x =-在（12，-2）处的切线方程是（ ）A 、y=4xB 、y=4x-4C 、 y=4x+4D 、y=2x-49.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ）A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)10. 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 19 B 29 C 13 D 2311. 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是A [0,]2πB 3[0,)[,)24πππC 3[,)4ππD 3(,]24ππ12设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图 所示。
导数在函数中的应用题库
）．．，，则（＞﹣第1页，总8页答案第28页15.函数1sin sin33y a x x =+在π3x =处有极值，在a 的值为（ ）．A ．6-B ．6C ．2-D ．216.函数32()1f x x x x =+-+在区间[]2,1-上的最小值（ ）．A ．2227B ．2C ．1-D ．4-17.函数21e x ax y -=存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．1a <-B ．0a >C ．1a ≤-或0a ≥D ．1a <-或0a >18.若函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f′（x ），且函数y=（1﹣x ）f′（x ）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数f （x ）有极大值f （﹣2），无极小值B ．函数f （x ）有极大值f （1），无极小值C ．函数f （x ）有极大值f （﹣2）和极小值f （1）D ．函数f （x ）有极大值f （1）和极小值f （﹣2）．19.已知三次函数f （x ）=x 3﹣（4m ﹣1）x 2+（15m 2﹣2m ﹣7）x+2在x ∈（﹣∞，+∞）无极值点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜2或m ＞4B ．m ≥2或m ≤4C ．2≤m ≤4D ．2＜m ＜420.已知x=2是函数f （x ）=x 3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f （x ）的极大值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18 21.函数f （x ）=（x 2+ax ﹣1）e x ﹣1的一个极值点为x=1，则f （x ）的极大值为（ ）A ．﹣1B ．﹣2e ﹣3C ．5e ﹣3D ．122.设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞）23.当x ∈[﹣2，﹣1]，不等式ax 3﹣x 2+4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣5，﹣3]B ．（﹣∞，﹣] C ．（﹣∞，﹣2] D ．[﹣4，﹣3]24.设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）+x恒成立，则第3页，总8页答案第4页，总8页C．D．31.已知函数y=f （x ）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A．B．C．D．32.已知32()f x x px qx =--和图象与x 轴切于()1,0，则()f x 的极值情况是（ ）A ．极大值为1()3f ，极小值为(1)f B ．极大值为(1)f ，极小值为1()3fC ．极大值为1()3f ，没有极小值 D ．极小值为(1)f ，没有极大值33.函数f(x)的图象如图所示，则不等式(3)()0x f x '+⋅<的解集为（ ）A. (,3)(1,1)-∞--B. (,3)-∞-C. (,1)(1,)-∞-+∞ D.(1,)+∞34.函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值35.函数y ＝f （x ）在定义域（－32，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为（ ）A ．[－13，1]∪[2，3） B ．[－1，12]∪[43，83] C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－ 13]∪[12，43]∪[43，3）答案第68页试卷答案1.C2.B3.D4.D5.A6.C7.A8.D9.B 10.B 11.D 12.D 13.D 14.A 15.D 16.C17.C ∵21e xax y -=，2222e e (1)210(e )e x x x xax ax ax ax y ---++'===恒有解，∴0a ≠，2440a a ∆=+≥， 4(1)0a a +≥，∴1a -≤或0a >，当1a =-时，2(1)0exx y -'=≥（舍去），∴1a <-或0a >， 18.B 19.C 20.D 21.C 22.A22【解答】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：g′（x ）=，∵当x ＞0时总有xf′（x ）＜f （x ）成立， 即当x ＞0时，g′（x ）恒小于0， ∴当x ＞0时，函数g （x ）=为减函数， 又∵g （﹣x ）====g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数 又∵g （﹣1）==0，∴函数g （x ）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f （x ）＞0⇔x•g（x ）＞0 ⇔或，⇔0＜x ＜1或x ＜﹣1． 故选：A ．23.C 24.A【解答】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：g′（x ）=，===0，=．．第7页，总8页∴，解得或，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故选B．29.C30.C31.A32.A33.A34.C35.A36.A37.C38.C39.40.(1,0)(1,)-+∞41.342.1(0,)243.（-1,0）44.45.89答案第8页，总8页。
导数典型例题带答案
导数典型例题带答案1、设函数329()62f x x x x a =-+-. (1)对于任意实数x ,()f x m '≥恒成立,求m 的最大值;(2)若方程()0f x =有且仅有一个实根,求a 的取值范围. 2、已知函数1()ln(1),01x f x ax x x -=++≥+,其中0a > (1)若()f x 在x =1处取得极值,求a 的值;(2)求()f x 的单调区间; (3)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围。
3、已知函数f(x )=a ln x +x 2(a 为实常数).(1)若2a =-,求证:函数f(x )在(1,+∞)上是增函数;(2)当2a≥-时,求函数f(x )在[1,e]上的最小值及相应的x 值; (3)若存在x ∈[1,e],使得f(x )≤(a +2)x 成立,求实数a 的取值范围.答案1.解:(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立,所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-,即m 的最大值为34- (2) 因为当1x <时,'()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >;所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 2.解:(1)22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值,∴2'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a = (2)222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时,在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时,由'()0'()0f x x f x x >><<解得解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）. (3)当2a ≥时,由(2)①知,()(0)1;f x f =的最小值为当02a <<时,由(2)②知,()f x 在x =处取得最小值(0)1,f f <= 综上可知,若()f x 得最小值为1,则a 的取值范围是[2,).+∞3.解:(1)当2-=a 时,x x x f ln 2)(2-=,当),1(+∞∈x ,0)1(2)(2>-='x x x f , 故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数; (2))0(2)(2>+='x xa x x f ,当],1[e x ∈,]2,2[222e a a a x ++∈+, 当2-≥a 时,)(x f '在],1[e 上非负(仅当2-=a ,x=时,0)(='x f ),故函数)(x f 在],1[e 上是增函数,此时=min )]([x f 1)1(=f .∴当2-≥a 时,)(x f 的最小值为1,相应的x 值为1.(3)不等式x a x f )2()(+≤,可化为x x x x a 2)ln (2-≥-.∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取,所以x x <ln ,即0ln >-x x , 因而xx x x a ln 22--≥(],1[e x ∈), 令x x x x x g ln 2)(2--=(],1[e x ∈),又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-=', 当],1[e x ∈时,1ln ,01≤≥-x x ,0ln 22>-+x x ,从而'()0g x ≥(仅当x=1时取等号),所以)(x g 在],1[e 上为增函数, 故)(x g 的最小值为1)1(-=g ,所以a 的取值范围是),1[+∞-.。
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1.图1是某建筑工地的某塔吊图片（塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”），为了了解塔吊“上部”的一些结构情况，学校数学兴趣小组将塔吊“上部”的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中A 、D 、E 、B 四点共线，通过测量得知起重臂BD =30米，平衡臂AD =8米，CA 、CB 均为拉杆. 由于起重臂达到了一定长度，在BD 上需要加拉杆CE ，且3:2:=ED BE ，记βα=∠=∠CED CAD ,.
（1）若CD ⊥AB ，现要求βα2≥，问CD 的长至多为多少米?
（2）若CD 不垂直于AB ，现测得︒=︒=15,30βα，求CD 的长.（选用下列参考数据进行计算:304
5293,10421915sin ,11728015cos ≈≈︒≈︒） 图1
3、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝
1
at t +；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常
数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为94
万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．
B
C
E D A
腰60
CA CB
==米，
2
cos
3
CAB
∠=.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸
AC，AB上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等.
（1）若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点（靠近点C），求此时水上观光通道EF 的长度；
（2）当AE为多长时，观光通道EF的长度最短？并求出其最短长度.。