圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程知识点总结
圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是平面上的一类曲线，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。
1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC < 0，则为椭圆。
椭圆是一个封闭的曲线，其特点是到两个焦点的距离和固定。
椭圆在几何中有重要的应用，如椭圆的焦点在天文学中用于描述行星和卫星的轨道。
2. 双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC > 0，则为双曲线。
双曲线有两个分支，其特点是到两个焦点的距离差固定。
双曲线在几何中也有广泛的应用，如描述光线在反射和折射中的路径。
3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
若B^2 - 4AC = 0，则为抛物线。
抛物线是一个开口向上或向下的曲线，与焦点的距离等于到准线的距离。
抛物线在物理学、工程学和建筑学等领域中有重要的应用，如描述抛物面的形状。
4. 圆锥曲线的性质：(i) 对称性：圆锥曲线可以关于x轴、y轴、z轴和原点对称。
(ii) 焦点：圆锥曲线有1个或2个焦点，焦点是与曲线特定性质相关的重要点。
(iii) 准线：圆锥曲线有1条或2条准线，准线是与曲线特定性质相关的重要线。
(iv) 渐近线：双曲线有两条渐近线，抛物线有一条渐近线。
圆锥曲线与方程课件教案
第八章圆锥曲线的方程脑图一、第一定义【利用第一定义求轨迹】例1．（Ⅰ）若ABC∆的两个顶点坐标为()4,0A-，()4,0B，ABC∆的周长为18，则顶点C的轨迹方程为．（Ⅱ）设点Q是圆C：25)1(22=++yx上一动点，点()1,0A是圆内一点，AQ的垂直平分线与CQ交于点M，求点M的轨迹方程．（Ⅲ）动圆M过定点(4,0)P-，且与圆C：22(4)16x y-+=相切，求动圆圆心M的轨迹方程．（Ⅳ）已知1F、2F分别为双曲线22221x ya b-=的左、右焦点，点P为右支上一点，过1F作12F PF∠的角平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹．（Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）．【焦点三角形问题】例2．（Ⅰ）已知P是椭圆2214xy+=上一点，12F F、分别是椭圆的左、右焦点，且1260F PF∠=︒，则12F PF∆的面积是．（Ⅱ）双曲线221916x y-=的左、右焦点分别是12F F、，点P在双曲线上，且直线1PF、2PF倾斜角之差为3π，则12F PF∆的面积为．（Ⅲ）在椭圆2214520x y+=上求一点P，使它与两焦点12F F、的连线互相垂直．（Ⅳ）12F F、是椭圆22194x y+=的两个焦点，点P为其上一动点，当12F PF∠为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．（Ⅴ）设12F F、是双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上，当12F PF∆的面积为1时，12PF PF⋅的值是．【利用第一定义求最值】例3．（Ⅰ）已知F是椭圆22195x y+=的左焦点，P是椭圆上一动点，(1,1)A为一定点，求PA PF+的最值．（Ⅱ）若P为双曲线2213xy-=的右支上一动点，F为双曲线右焦点，已知()3,1A，求P A P F+的最小值．二、第二定义【利用第二定义求轨迹】例4．（Ⅰ）已知动点(),M x y 满足|43|)2()1(22y x y x +=-+-，则点M 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条相交直线（Ⅱ）已知圆A ：()2221x y ++=与定直线l ：1x =，动圆M 和圆A 外切且与直线l 相切，求动圆的圆心M 的轨迹方程．（Ⅲ）已知圆的方程为224x y +=，动抛物线过点(1,0)A -、(1,0)B ，且以圆的切线为准线，求抛物线焦点的轨迹方程．（Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．【利用第二定义求最值】例5．（Ⅰ）已知F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上一动点，(1,1)A 为一定点，求32PA PF +的最小值．（Ⅱ）若P 为双曲线2213x y -=的右支上一动点，F 为双曲线右焦点，已知()3,1A ，求（1）PA 的最小值．（Ⅲ）若F 为抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动，)2,3(A ，求MF MA +的最小值．（Ⅳ）已知点P 是抛物线2y = 2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7,42⎛⎫⎪⎝⎭，则PA PM +的最小值是 A ．211B ．4C ．29 D ．5【焦半径公式】例6．（Ⅰ）已知点P 在椭圆()222210x ya b a b +=>>上，12F F 、为椭圆的左右焦点，求12PF PF ⋅的取值范围．（Ⅱ）双曲线222x y a -=的两个焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上的任意一点，求证：1PF 、PO 、2PF 成等比数列．（Ⅲ）已知抛物线24y x =的一条焦点弦被焦点分成为m 、n 的两部分，求证：m n m n +=⋅．（Ⅳ）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，在右支上有一点P ，且P 到左焦点1F 与到右焦点2F 的距离之比为4：3，求P 点的横坐标．（Ⅴ）在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点()11,A x y 、()2,6B x ，()33,C x y 与焦点()0,5F 的距离成等差数列，求13y y +．三、标准方程【待定系数法求圆锥曲线方程】例7．（Ⅰ）已知椭圆焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P ，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）已知椭圆经过两点)2A-，()B -，求椭圆的标准方程．（Ⅲ）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点()2,6-，求椭圆的标准方程． （Ⅳ）双曲线2222mx my -=的一条准线是1y =，则m 的值为 ．（Ⅴ）已知双曲线的右准线为4x =，右焦点为()10,0F ，离心率2e =，求双曲线方程．（Ⅵ）求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(M -的双曲线方程． （Ⅶ）求以椭圆221133x y +=的焦点为焦点，以直线12y x =±为渐近线的双曲线的方程． （Ⅷ）k 为何值时，方程22121x y k k +=--表示①圆；②椭圆；③双曲线？ （Ⅸ）抛物线()210y x a a=≠的焦点坐标是 ．（Ⅹ）已知抛物线的准线为2y =，求抛物线的标准方程．（Ⅺ）已知抛物线的焦点在x 轴上，且()2,3A -到焦点的距离是5，求抛物线的标准方程．（Ⅻ）已知抛物线焦点在x 轴上且截直线210x y -+=【利用椭圆的参数方程求最值】例8．已知实数x 、y 满足2214x y +=，①求222u x y y =+-的取值范围；②求v x y =+的取值范围．四、几何性质【求离心率】例9．（Ⅰ）已知12F F 、为椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且1260F MF ∠=︒，求离心率．（Ⅱ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b 是两个顶点，如果F 到直线AB（Ⅲ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12F F 、，以12F F 、为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两条边，则椭圆的离心率为 ．（Ⅳ）已知双曲线的两条渐近线方程是34y x =±，求此双曲线的离心率．（Ⅴ）设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率是 ．（Ⅵ）已知12F F 、是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点总在椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围．（Ⅶ）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A ．(]1,2B ．()1,2C ．[)2,+∞D ．()2,+∞五、直线与圆锥曲线的位置关系【有一个公共点】例10．（Ⅰ）已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小并求出最小值． （Ⅱ）求经过点1,22⎛⎫⎪⎝⎭且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线方程．【有两个不同交点】——韦达定理【弦长】例11．（Ⅰ）抛物线212y x =截直线21y x =+所得弦长等于．（Ⅱ）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q ，且OP OQ ⊥，PQ =，求椭圆方程． 【弦中点】例12．（Ⅰ）已知椭圆2212x y +=，①求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；②过()2,1A 的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；③过点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭且被P 点平分的弦所在直线的方程．（Ⅱ）已知双曲线2212y x -=，①过定点()2,1P 作直线交双曲线于12P P 、点，使P 点是12PP 的中点，求此直线方程；②过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与双曲线相交于两点1Q 、2Q ，且Q 是12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．【垂直】例13．（Ⅰ）若直线l ：1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点,且以AB 为直径的圆过原点，求a 的值.（Ⅱ）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．①求椭圆C 的标准方程；②若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【对称】例14．（Ⅰ）已知椭圆C 的方程为22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同的两个点关于该直线对称．（Ⅱ）已知抛物线212y x =上总存在关于直线4y x m =+对称的两点，则实数m 的取值范围是．【数量积】例15．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为)，①求双曲线C 的方程；②若直线y kx =C 有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>（O为原点），求k 的取值范围．【面积】例16．（Ⅰ）已知双曲线C ：()222210,0xy a b a b-=>>的两个焦点为()12,0F -、()22,0F ，点(P 在双曲线C 上．①求双曲线C 的方程；②记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 相交于不同两点E 、F ，若OEF ∆的面积为l 的方程．（Ⅱ）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()13,0F -20y -=． ①求双曲线C 的方程；②若以()0k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于不同两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围． 答案一、第一定义【利用第一定义求轨迹】例1．（Ⅰ）()2210259x y y +=≠．（Ⅱ）224412521x y +=（Ⅲ）221412x y -=（Ⅳ）222x y a +=（Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）． 【焦点三角形问题】 例2．（Ⅱ）（Ⅲ）()3,4()3,4-()3,4-()3,4--（Ⅳ）x <<（Ⅴ）0． 【利用第一定义求最值】例3．（Ⅰ）66二、第二定义【利用第二定义求轨迹】例4．（Ⅰ）B （Ⅱ）28y x =-（Ⅲ）22143x y += （Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．【利用第二定义求最值】 例5．（Ⅰ）112（Ⅱ）32（Ⅲ）72（Ⅳ）C 【焦半径公式】例6．（Ⅰ）2212b PF PF a ≤⋅≤（Ⅱ）证略（Ⅲ）证略（Ⅳ）20x =12三、标准方程【待定系数法求圆锥曲线方程】例7．（Ⅰ）2213632x y +=（Ⅱ）221155x y +=（Ⅲ）22114837x y +=或2215213x y +=（Ⅳ）43-． （Ⅴ）()22211648x y --=（Ⅵ）2219164x y -=或221944x y -=（Ⅶ）22182x y -= （Ⅷ）①32k =②3122k k <<≠且③21k k ><或（Ⅸ）0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅹ）28x y =-（Ⅺ）28y x =或224y x =- （Ⅻ）212y x =或24y x =-【利用椭圆的参数方程求最值】 例8．①131,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②⎡⎣四、几何性质【求离心率】例9．（Ⅱ）121．（Ⅳ）54e =或53（Ⅵ）0,2⎛ ⎝⎭（Ⅶ）C 五、直线与圆锥曲线的位置关系【有一个公共点】例10．（Ⅰ）31,83P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，min 2d =（Ⅱ）5324y x =+，21y x =+，23y x =-+和12x =【有两个不同交点】——韦达定理【弦长】例11．（Ⅱ）221223x y +=或221223x y += 【弦中点】例12．（Ⅰ）①444033x y x ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭②222220x y x y +--=③2430x y +-=（Ⅱ）①470x y --=②不存在【垂直】例13．（Ⅰ）1a =±（Ⅱ）①22143x y +=②2(,0)7 【对称】例14．（Ⅰ）x <<（Ⅱ）216m <-． 【数量积】例15．31,,1⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【面积】例16．（Ⅰ）①22122x y -=②2y =+ （Ⅱ）①22145x y -=②5555,,00,,4224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
高中数学课件-圆锥曲线与方程2
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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方法二：设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 将点 M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
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程． 题．
1．理解双曲线的定义、几何图形和原则方程的推导过
2．掌握双曲线的原则方程． 3．会运用双曲线的定义和原则方程解决简朴的应用问
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰构成第四批护航编 队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
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第二章 圆锥曲线与方程
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(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双 曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与数Ⅱ 异号，因此双曲线的方程又可写为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)，这种形 式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一写法．
数学 选修1-1
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(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上，因为点 A(－5,6)在双 曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －5－02＋6＋62－ －5－02＋6－62|
圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程引言圆锥曲线是二维平面上一类特殊的曲线，其形状可以描述为在平面上割圆台所得的曲线。
圆锥曲线是数学中重要的概念，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
本文将介绍三种常见的圆锥曲线：椭圆、双曲线和抛物线，并介绍它们的方程及其特点。
椭圆椭圆是最简单的圆锥曲线之一，其形状类似于椭圆形状。
椭圆可以通过一个称为焦点的点和一个称为直径的线段来定义。
对于给定的两个焦点和一个常数距离之和等于直径的点，我们可以构造一个椭圆。
椭圆的方程椭圆的方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中(h, k)是椭圆的中心点坐标，2a是椭圆在 x 轴上的长度，2b是椭圆在 y 轴上的长度。
该方程的特点是，对于任何点(x, y)，将其坐标代入方程，如果等式成立，则该点在椭圆上。
椭圆的性质椭圆有许多有趣的性质。
以下是一些常见的性质：•椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b；•椭圆的焦点到椭圆上任意点的距离之和等于直径的长度；•椭圆的离心率定义为e = c/a，其中c是焦点到中心的距离；•椭圆的离心率小于 1。
双曲线双曲线是圆锥曲线中比较特殊的一类，其形状类似于两个分开的弧线。
双曲线可以通过两个称为焦点的点和一个称为直径的线段来定义。
双曲线的方程双曲线的方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1其中(h, k)是双曲线的中心点坐标，2a是双曲线在 x 轴上的长度，2b是双曲线在 y 轴上的长度。
该方程的特点是，对于任何点(x, y)，将其坐标代入方程，如果等式成立，则该点在双曲线上。
双曲线的性质双曲线也有许多有趣的性质。
以下是一些常见的性质：•双曲线的长轴和短轴分别为2a和2b；•双曲线的焦点到双曲线上任意点的距离之差等于直径的长度；•双曲线的离心率定义为e = c/a，其中c是焦点到中心的距离；•双曲线的离心率大于 1。
抛物线抛物线是另一种常见的圆锥曲线，其形状类似于抛物线形状。
第2章《圆锥曲线与方程》章综合(北师大版选修1-1)
第二章 圆锥曲线与方程
在直角三角形 PF1F2 中， |PF1|· |PF2|＝|F1F2|· y＝32， 16 3 41 所以 y＝ 5 ，代入双曲线的方程，得 x＝ 5 ， 即点 P
3 在第一象限的坐标是
41 16 ，再根据双曲线的对 ， 5 5
称性得点 P 的坐标还可以是
2
3 同时 b ＝ . 4
2
4 2 故所求双曲线方程为 4x －3y ＝1
2
第二章 圆锥曲线与方程
四、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、平面几何 等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称范围、线段的
长度等多种问题，是解析几何部分综合性较强问题，也是以往
高考的重点和热点问题．高考中，大多是以解答题的形式出现 且难度较大，往往成为体现试题区分度的题目．
第二章 圆锥曲线与方程
二、圆锥曲线定义的应用 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如： (1) 在求轨迹
方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲
线的定义，写出所求的轨迹方程； (2) 涉及椭圆、双曲线上的点 与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知 识来解决； (3) 在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到 焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意
第二章 圆锥曲线与方程
(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0， 2m 1 2 由韦达定理，得 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ (m －1)． 5 5 所以 d＝ x1－x22＋y1－y22＝ 2x1－x22 ＝ 2[x1＋x22－4x1x2] ＝
圆锥曲线与方程抛物线及其标准方程
圆锥曲线和抛物线在数学领域的发展趋势
完善圆锥曲线和抛物线的定
义和性质
研究圆锥曲线和抛物线的几何特征，如对称性、仿射 性质、曲线长度等，进一步探索圆锥曲线和抛物线之 间的内在联系。
圆锥曲线和抛物线的组合与
分类
研究圆锥曲线和抛物线的组合问题，例如将圆锥曲线 和抛物线与其他曲线或曲面组合，形成新的曲线或曲 面，并对其进行分类和性质研究。
抛物线的性质
对于给定的抛物线，定点$F$和直线$l$的距离相等 抛物线的图形关于直线$l$对称
抛物线上的点到定点$F$和直线$l$的距离相等 抛物线焦点$F$在准线$l$上
抛物线的应用
光学反射和折射现象
抛物线在解析几何中的应用
物理学中的抛物线运动
圆锥曲线在几何学中的应用
抛物线在物理学中的应用
03
圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程的关系
1
圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，包含椭 圆、双曲线和抛物线等曲线类型。
2
圆锥曲线的方程是描述这些曲线特征的基本工 具。
3
通过圆锥曲线方程，可以研究曲线的几何性质 、位置关系等。
圆锥曲线方程的求解方法
根据曲线的定义或已知条件列出等式或不等 式。
对于参数的取值范围，要注意其几何意义和 实际背景。
天文学
圆锥曲线在描述行星和卫星的运动 轨迹方面有应用。
工程学
圆锥曲线在机械工程和水利工程等 领域有应用，例如抛物线形拱桥和 抛物线形隧道等。
数学
圆锥曲线是数学中的重要内容之一 ，可以用来研究图形的极坐标方程 、参数方程等。
02
抛物线的定义和性质
抛物线的定义
平面内一个定点$F$和一条直线$l$的距离相等 点$F$为抛物线焦点，直线$l$为抛物线的准线 抛物线是圆锥曲线的一种
圆锥曲线与方程基本知识概要
圆锥曲线与方程基本知识概要2.1 椭 圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义（第一定义）：平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
2．标准方程：①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±C ，0）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±C ）这里椭圆 c ²=a²-b²注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b（2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比a c 称为椭圆的离心率，用e 表示，即e=ac（0＜e ＜1）因为a ＞c ＞0，所以0＜e ＜1。
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程基础知识点及典型例题：一、椭圆及性质：（定义：()21212F F a PF PF >=+） 注：222c b a +=例1、已知椭圆:1162522=+y x 则它的焦点坐标为：______________,顶点坐标为:_______________________,长轴长为:_________,短轴长为:_________,焦距为:________,离心率为:_________,若P 为椭圆上的一点,且==21,4PF PF 则_____________.(若椭圆的方程为:16410022=+x y 呢?) 例2、已知下列条件求椭圆的标准方程： ① 已知椭圆的一个焦点为（3，0），且它的长轴长为10； ② 焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为32； ③ 已知椭圆的焦点坐标为（-2，0），（2，0），且经过点⎪⎭⎫⎝⎛-23,25；④ 长轴长为20，离心率为53； ⑤ 长轴长是短轴长的3倍，且经过点()0,3P .二、双曲线及性质：(定义：)(2||2121F F a PF PF <=+) 注：222b a c +=例3、已知双曲线：14491622=-y x ，则它的焦点坐标为：____________,它的顶点坐标为:___________,实轴长为:_________,虚轴长为:__________,焦距为:_______,离心率为:______,渐近线的方程为:_______________;若P 为双曲线上的一点,且==21,4PF PF 则________.(若81=PF 呢?)例4、已知下列条件求双曲线的标准方程： ① 焦点在x 轴上3,4==b a ；② 焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5）； ③ 顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，且45=e ； ④ 焦距是10，虚轴长是8；⑤ 焦点在x 轴上，渐近线为,34x y ±=实轴长为12； 三、抛物线及性质：（定义：d PF =||）例5、抛物线x y 82=的焦点F 的坐标为：_________,准线方程为:_____________,焦点到准线的距离为_________.若该抛物线上的一点M 到焦点F 的距离为5,则M 到准线的距离为:____,M 点的坐标为:__________.(若抛物线为y x 42-=呢?) 6、已知下列条件求抛物线的标准方程： ① 焦点为F （3，0）； ② 准线方程为21-=x ； ③ 焦点到准线的距离为2；四、直线与曲线的位置关系：（联立直线与曲线方程消去y 得：02=++C Bx Ax ）1、相交：两个交点0>∆⇔；（交点坐标为对应方程组的解！）2、相切：一个交点0=∆⇔；3、相离：无交点0<∆⇔。
圆锥曲线的标准方程与一般方程
圆锥曲线的标准方程与一般方程圆锥曲线是平面上的一类重要的曲线，常见的有圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
在代数几何中，我们经常使用标准方程和一般方程来描述圆锥曲线，接下来我们将对这两种方程进行详细的介绍和比较。
1. 圆锥曲线的标准方程首先我们来看一下圆的标准方程。
圆的标准方程是$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是圆心的坐标，$r$是半径的长度。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离等于半径的点的集合，即圆的轮廓。
接下来是椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程是$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$，其中$(h,k)$是椭圆的中心坐标，$a$和$b$分别是椭圆在$x$轴和$y$轴上的半轴长。
这个方程描述了平面上到椭圆两焦点距离之和等于常数$2a$的点的集合。
接着是双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程是$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$，其中$(h,k)$是双曲线的中心坐标，$a$和$b$分别是双曲线在$x$轴和$y$轴上的正半轴长。
这个方程描述了平面上到双曲线两焦点的距离之差等于常数$2a$的点的集合。
最后是抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程是$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的焦点和直线的距离的倒数。
这个方程描述了平面上到抛物线焦点距离等于到抛物线的直线的距禒平方的点的集合。
2. 圆锥曲线的一般方程除了标准方程，我们还可以用一般方程来描述圆锥曲线。
一般方程的形式更加通用，可以表示更多类型的曲线。
以二次方程为例，一般方程的形式是$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中$A,B,C,D,E,F$是常数。
通过适当选择$A,B,C,D,E,F$的值，我们可以得到各种圆锥曲线。
比如圆在一般方程中为$A=C,B=0,D=-2aA,F=a^2A$；椭圆在一般方程中为$AC\gt0,B=0$；双曲线在一般方程中为$AC\lt0$；抛物线在一般方程中为$AC=0$。
圆锥曲线与方程知识点详细
圆锥曲线与方程知识点详细圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理等领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线与方程的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。
焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（2）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（3）顶点：焦点在$x$轴上的椭圆的顶点为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），离心率反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，其中$a ＞ 0$，＄b ＞ 0$，＄c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
圆锥曲线与方程知识点复习及例题
第二章 圆锥曲线与方程§2.1椭圆 知识梳理1、椭圆及其标准方程（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .（2）.椭圆的标准方程：12222=+b y a x 12222=+bx a y （a ＞b ＞0）（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 2、椭圆的简单几何性质（a ＞b ＞0）.（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程12222=+by a x , 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，(2).离心率： ace == 0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径： ex a MF +=1，ex a MF -=2.2a =2b +2c(4).椭圆的的内外部点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<(5).焦点三角形21F PF ∆经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠结合起来，建立12PF PF +、12PF PF ⋅等关系． §2.1.1椭圆及其标准方程典例剖析题型一 椭圆的定义应用例1题型二 椭圆标准方程的求法例2 已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22-，求椭圆的标准方程§2.1.2椭圆的简单的几何性质 典例剖析题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等．例 1 已知椭圆22(3)(0)x m y m m ++=>的离心率2e =，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．例2 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A ．2 B ．12C ．21 例3 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．§2.2双曲线 知识梳理1、双曲线及其标准方程（1）双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 2、双曲线的简单几何性质（1）.双曲线12222=-b y a x 实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率ac e ==e 越大，开口越大.（2）.双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-by a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.（3）焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=；②若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x ；③若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.④双曲线22221(,0)x y a b a b -=>焦点三角形面积：12F PF S ∆=2cot 2b θ，高h =2cot 2b cθ。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 章末小结(含解析)1数学教案
第2章圆锥曲线与方程1．圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)；②双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；③抛物线方程为x2＝2py(p≠0)或y2＝2px(p≠0)．2．椭圆、双曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率常用以下两种方法：(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．4．求曲线的方程求曲线方程的常用方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．曲线方程的求法[例1] 过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．[解] 法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，如图所示，即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1， 即OA 中点B 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法二(几何法)：设B 点坐标为(x ，y )， 由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 如法一中图，则|MB |＝12|OC |＝12，故B 点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法三(代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法四(交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为： y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)为所求．(1)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．1．求与圆x 2＋y 2＝1外切，且和x 轴相切的动圆圆心M 的轨迹方程．解：设两圆的切点为A ，M 的坐标为(x ，y )，圆M 与x 轴相切于点N ，∴|AM |＝|MN |， |MO |－1＝|MN |＝|y |. ∴x 2＋y 2－1＝|y |. 化简得：x 2＝2|y |＋1.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2＝2|y |＋1.2．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，点P 分AB 之比为AP ∶PB ＝2∶1，求点P 的轨迹方程．解：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意得AP ―→＝2PB―→，即(x －4，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －42，y 0＝3y 2，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －422＋9y 24＝4， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.∴所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.圆锥曲线的定义及性质问题[例2] F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．[解] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)．∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①又S△PF1F2＝123，∴12|PF1||PF2|sin 60°＝123，即|PF1||PF2|＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴所求的双曲线方程为x24－y212＝1.(1)圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.①又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：B4．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|.∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.答案：A直线与圆锥曲线的位置关系[例3] x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x (或y )的一元二次方程，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2(或y 1＋y 2，y 1y 2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题．5．设抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋k 所得弦长|AB |＝3 5. (1)求k 的值；(2)以弦AB 为底边，x 轴上的P 点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P 的坐标．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋k ，y 2＝4x ，得4x 2＋4(k －1)x ＋k 2＝0，Δ＝16(k －1)2－16k 2＞0，∴k ＜12.又由根与系数的关系有x 1＋x 2＝1－k ，x 1x 2＝k 24，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·1－2k ， 即51－2k ＝35，∴k ＝－4.(2)设x 轴上点P (x,0)，P 到AB 的距离为d ， 则d ＝|2x －0－4|5＝|2x －4|5，S △PAB ＝12·35·|2x －4|5＝39，∴|2x －4|＝26，∴x ＝15或x ＝－11. ∴P 点坐标为(15,0)或(－11,0).圆锥曲线中的定点、定值、最值问题[例4] (2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：2a 2＋2b2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，32，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解析] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上．因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ，－4－t 22. 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法”．(2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．6．设椭圆x 29＋y 24＝1上的动点P (x ，y )，点A (a,0)(0＜a ＜3)．若|AP |的最小值为1，求a 的值．解：|AP |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋4⎝⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9a 52－4a 25＋4.因为x 29＝1－y 24，所以x 29≤1,0≤|x |≤3. (1)当0＜9a 5≤3，即0＜a ≤53时，x ＝9a 5，|AP |2取最小值4－4a 25＝1.解得a ＝152.因为152＞53，所以a 不存在．(2)当9a 5＞3，即53＜a ＜3时，x ＝3，|AP |2取最小值59⎝ ⎛⎭⎪⎫3－9a 52＋4－4a25＝1.解得a ＝2或a ＝4(舍)．所以，当a ＝2时，|AP |的最小值为1.7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .证明：如图所示．∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根， ∴y 1y 2＝－p 2，∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率k ＝y 2－p 2＝－2y 2p ＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率， ∴直线AC 经过原点O .(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53.答案：B2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0,1)解析：由x 2＋ky 2＝2，得x 22＋y 22k＝1，又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴2k＞2，即0＜k ＜1.答案：D3．若抛物线x 2＝2ay 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴a2＝－1，即a ＝－2. 答案：A4．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案：C5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B. 答案：B6．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0.因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2.所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，则双曲线的离心率为( ) A.102B.105C.10D.2解析：设双曲线右焦点为M ，∵OE ⊥PF ，∴在直角三角形OEF 中，|EF |＝c 2－a 24.又OE ―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，∴E 是PF 的中点．∴|PF |＝2c 2－a 24，|PM |＝a .又|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a .∴离心率e ＝c a ＝102.答案：A8．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)， 由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9， 化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.答案：A9．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，若|PF 1|＝7，则△PF 1F 2最大内角的余弦值为( )A ．－17B.17C.59117D.1113解析：由双曲线定义知|PF 2|＝|PF 1|±2a . 所以|PF 2|＝13或|PF 2|＝1<c －a ＝2(舍去)又|F 1F 2|＝10，所以△PF 1F 2的最大内角为∠PF 1F 2， cos ∠PF 1F 2＝102＋72－1322×10×7＝－17.答案：A10．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2，所以a 2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e ＝1a 2＋1，则a 2＝1e 2－1，从而e ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．答案：D11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案：B12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＝|AB |＝6，则|F 2B |＝________.解析：由椭圆定义知|F 1A |＋|F 2A |＝|F 1B |＋|F 2B |＝2a ＝10，所以|F 1A |＝10－|F 2A |＝4，|F 1B |＝|AB |－|F 1A |＝2，故|F 2B |＝10－|F 1B |＝8.答案：814．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设抛物线焦点为F ，则|PM |＝|PF |－12，∴|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PF |－12.∴当且仅当A ，P ，F 共线时|PA |＋|PF |取最小值为|AF |＝5，∴|PA |＋|PM |最小值为92.答案：9215．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：1516．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13，则动点P 的轨迹方程为____________．解析：∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a >0)，2a >2c ＝22， ∴a > 2. 由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1， ∵|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时， |PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a2－1.由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝3－2＝1.∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程．解：∵MN ―→＝2MP ―→，故P 为MN 中点．又∵PM ―→⊥PF ―→，P 在y 轴上，F 为(1,0)， 故M 在x 轴的负方向上．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)．∴PM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.∵PM ―→⊥PF ―→，∴PM ―→·PF―→＝0，即－x ＋y 24＝0.∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程．18．(本小题满分12分)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6.故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 解：(1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝⎛⎭⎪⎫2t 2p，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ， 设其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，消去x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.22．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·P Q ―→＝1.证明：过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)．由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q(－3，t )，P (m ，n )， 则O Q ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )，O Q ―→·PF―→＝3＋3m －tn ， OP ―→＝(m ，n )，P Q ―→＝(－3－m ，t －n )． 由OP ―→·P Q ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以O Q ―→·PF ―→＝0，即O Q ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于O Q ，所以过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .。
圆锥曲线与方程 课件 (共59张PPT)
（2） 、已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
解析： 如图， 设点 M 的坐标为(x， y)， 由于点 M 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，则点 M 到点 F(4,0) 的距离与它到直线 l′：x＋4＝0 的距离相等，根据抛物线的定 义可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 l′为准线的抛物线， p 且 ＝4，即 p＝8. ∴点 M 的轨迹方程为 y2＝16x. 2
归纳总结
求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断 曲线类型再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果．
学以致用
x2 y2 P 是椭圆上任 F2 是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点， (1)F1、 a b 垂足为点 Q， 从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线， 一点， 则点 Q 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．椭圆 D．抛物线
问题探究 探究2： 直线与圆锥曲线的位置关系
例 2、 （1）设直线 l ：y ＝kx ＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离.
y＝kx＋1 解析 联立方程组 2 y ＝4x 整理得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当 k≠0 时，方程 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 为一元二次方程． ∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ，消去 y，
∵|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又∵动圆过点 A，∴|CM|＝|AM|，则|BM|＋|AM|＝6>4. 根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以点 B(－2,0) 和点 A(2,0)为 焦点的椭圆，其中，2a＝6,2c＝4，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 9 5
圆锥曲线与方程椭圆的标准方程
计算数学领域
圆锥曲线和方程椭圆的计算是计 算数学中的重要问题，未来随着 计算技术的不断发展，圆锥曲线 和方程椭圆的计算将会更加准确 、高效、稳定。
车辆轮胎的设计
车辆轮胎的横截面呈椭圆形，可以保证车辆行驶时的平稳性和舒适性。
圆锥曲线与方程椭圆在科学研究和工程中的应用
地球和行星的形状
地球和许多行星的形状都可以近似为椭球体，这有助于科学 家们对地球和行星的形状和重力场进行研究。
电路设计
在电路设计中，椭圆函数的应用广泛。例如，椭圆滤波器是 一种常见的数字滤波器，用于对信号进行处理。
y = b\sin\theta \\
圆锥曲线与方程椭圆的数学证明
利用极坐标和三角函数关系式的转换证明
利用平面几何中的圆和椭圆的关系证明
圆锥曲线与方程椭圆的数学模型
椭圆模型
$ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $
极坐标模型
$ \rho = \frac{1}{1 + e\cos\theta} $，其中$ e $为离心率
02
椭圆的定义可以简述为：到定点和定直线的距离之比为固定值
的点的集合。
定点(F)称为椭圆的焦点，定直线(L)称为椭圆的对称轴。
03
椭圆的标准方程
对于椭圆，它的标准方程是通过建立坐标系来得到的。
假设椭圆的焦点在x轴上，且原点与焦点之间的距离为c，那么椭圆的标 准方程可以表示为：x²/a²+y²/b²=1，其中a和b是椭圆的长半轴和短半
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3．特殊的两个双曲线 (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线．与xa22－by22＝1 具有相同渐近线的双曲线系方程为xa22－by22＝k(k≠0)． (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距． (3)等轴双曲线方程一般设为 x2－y2＝a2(或 y2－x2＝a2)．
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3．由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分母 的大小，双曲线看 x2，y2 系数的符号． 4．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况： 一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线 的对称轴平行．
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主题 1 轨迹问题 一动圆过定点 A(2，0)，且与定圆 x2＋4x＋y2－32＝0
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1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a 中，应有 2a>|F1F2|，双曲线 定义||PF1|－|PF2||＝2a 中，应有 2a<|F1F2|，抛物线定义中， 定点 F 不在定直线 l 上． 2．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区分焦点在哪个轴上， 选取合适的形式．
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求曲线方程的常用方法及特点 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系， 只需把这种关系“翻译”成含 x，y 的等式就得到曲线的轨迹 方程． (2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确 定其中的基本量．
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(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着 另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条 件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示 相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹 方程． (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形 式，再根据条件确定待定的系数．
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2．在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，设点 P 在 x 轴上的正投影 为点 D.当点 P 在圆上运动时，动点 M 满足P→D＝2M→D，动点 M 形成的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程．
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解：法一：由P→D＝2M→D，知点 M 为线段 PD 的中点，设点 M 的坐标为(x，y)，则点 P 的坐标为(x，2y)． 因为点 P 在圆 x2＋y2＝4 上， 所以 x2＋(2y)2＝4， 所以曲线 C 的方程为x42＋y2＝1.
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4．抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点 F 的弦长|AB|的一个重要结论． (1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p. (2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p. (3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p. (4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.
点的轨迹
零)的点的轨迹
的轨迹
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标准 方程
关系式
椭圆
双曲线
抛物线
xa22＋by22＝1 或ay22 ＋xb22＝1(a>b>0)
xa22－by22＝1 或ay22 －xb22＝1(a>0，
b>0)
y2＝2px 或 y2＝ －2px 或 x2＝2py
或 x2＝－ 2py(p>0)
内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
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【解】 将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62， 可知圆心坐标为 B(－2，0)， 半径为 6，如图，设动圆圆心 M 的坐标为(x，y)，
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由于动圆与已知圆相内切，设切点为 C. 所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的 距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6， 所以|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|， 所以|BM|＋|AM|＝6， 根据椭圆的定义知 M 的轨迹是以点 B(－2，0)和点 A(2，0) 为焦点，线段 AB 的中点 O(0，0)为中心的椭圆． 所以 a＝3，c＝2，b＝ a2－c2＝ 5， 所以所求圆心 M 的轨迹方程为x92＋y52＝1.
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1.已知点 F(0，1)，直线 l：y＝－1，P 为平面 上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝ F→P·F→Q.则动点 P 的轨迹 C 的方程为________．
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解析：设 P(x，y)，则 Q(x，－1)． 因为Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， 所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)， 即 x2＝4y， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y. 答案：x2＝4y
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
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椭圆
双曲线
抛物线
无限延展，但有
图形
封闭图形 渐近线 y＝±bax 无限延展，没有
渐近线，有准线
或 y＝±abx
变量 |x|≤a，|y|≤b 或
x≥0 或 x≤0 或
|x|≥a 或|y|≥a
范围 |y|≤a，|x|≤b
y≥0 或 y≤0
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二 圆锥曲线与方程
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1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
平面内与两个定 平面内与两个定点 平面内与一个定
点 F1，F2 的距离 F1，F2 的距离的差 点 F 和一条定直 定义 之和等于常数 的绝对值等于常数 线 l(l 不经过点
(大于|F1F2|)的 (小于|F1F2|且大于 F)距离相等的点
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椭圆
双曲线
对称性
对称中心为原点 两条对称轴
顶点
四个
两个
离心率
e＝ac， 且 0<e<1
e＝ac，且 e>1
决定形状 e 决定扁平程度 e 决定开口大小
的因素
抛物线 无对称中心 一条对称轴
一个
e＝1
2p 决定开 口大小
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2．椭圆的焦点三角形 设 P 为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点(不在 x 轴上)，F1， F2 为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2 为焦点三角形(如图)．