分析力学基础 一
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
分析力学的原理与应用
分析力学的原理与应用一、分析力学的概述•分析力学是力学中的一个重要分支，它研究物体的运动和受力情况，基于物体的力学性质和动力学原理来进行分析和计算。
二、分析力学的基本原理1.牛顿第二定律•牛顿第二定律是分析力学的基础，它表明一个物体的加速度与作用在它上面的力成正比。
公式表达为F=ma，其中F是作用在物体上的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
2.动能定理•动能定理是分析力学中重要的定理，它表明当物体受到外力时，由该外力所做的功等于物体动能的变化，即 $W=\\Delta KE$。
其中，W代表功，KE代表动能的变化。
3.力的合成与分解•在分析力学中，力的合成与分解是一个基本的技巧，用于将一个力分解为多个分力或将多个分力合成为一个力。
这在分析力学中的应用十分广泛。
4.质点系的动力学原理•质点系的动力学原理是研究质点系整体运动的理论基础，它基于质点系的质量、速度和力的关系，描述质点系的运动状态。
三、分析力学的应用领域1.静力学•静力学是分析力学的一个重要应用领域，它研究物体在静力平衡状态下受到的力和力的平衡条件。
静力学广泛应用于建筑、桥梁和机械等领域，用于分析和设计各种结构。
2.动力学•动力学是分析力学的另一个重要应用领域，它研究物体在运动状态下受到的力和运动方程。
动力学可以应用于机械、车辆、航空航天等领域，用于分析和设计各种运动系统。
3.振动与波动•分析力学还可以应用于研究物体的振动和波动问题。
振动和波动是许多实际问题中常见的现象，如桥梁的振动、地震波的传播等。
分析力学可以提供对这些问题的详细分析和计算。
4.流体力学•分析力学还可以应用于研究流体力学问题。
流体力学研究流体的运动和受力情况，分析力学提供了用于分析和计算流体力学问题的方法和原理。
四、分析力学的未来发展•随着科学技术的不断进步，分析力学在各个领域的应用越来越广泛。
未来，分析力学将继续发展，提供更多的理论和方法，以解决复杂的力学问题。
同时，随着计算机技术的发展，计算机模拟在分析力学中的应用也将日益重要，可以更加准确地计算和预测物体的运动和受力情况。
振动理论08(2)-分析力学基础
利用广义坐标来描述系统的运动
基于物理坐标的能量原理只能提供一个方程
首先讨论动能和势能
概念 与广义坐标及其导数之间的关系 动能、势能和功之间的本质联系
拉格朗日方程 哈密尔顿原理
2
动能
对于 个自由度系统，可以用广义坐标 和时间 来描 述它的运动，即系统中任意一点 的位置用坐标矢量 表示为
上式对时间求导，则速度可以表示为
速点的动能 系统的总动能
考虑到速度与广义速度的如下关系
动能将是广义速度的零次、一次、二次函数
4
考虑定常约束情况（坐标不显含时间t） 速度的点积
5
把速度的点积代入动能表达式 交换求和次序
6
• 引入广义质量系数
具有对称性，
当 包含刚体位移时， 不为零时也会出现U等于零的 情况，因此U为半正定二次型，其系数矩阵 也是半正 定的
19
动力学普遍方程
利用D ‘Alembert原理，将虚位移原理推广到动力学问 题
D ‘Alembert原理
在质点系运动的任意瞬时，作用于各质点的外力与虚加于 各质点的惯性力组成一平衡力系，这些力的矢量和等于零 ，对任意点的力矩矢量和等于零
11
对比用广义力表示的虚位移原理
可以得到 系统在有势场仅有有势力作为主动力时，系统平衡的
条件是势能取驻值
12
例：重力场
当质量 的质点在重力场中运动时，在任意位置都受 到大小和方向都确定的重力 的作用
重力场内沿任意闭路重力所做功之和等于零
13
例：重力场
重力所做功的负值定义为A点的势能 广义力
主动力 反力
惯性力
20
动力学普遍方程（续）
第六章 分析力学基础
第六章 分析力学基础本章是动力学问题的引深，将介绍解决刚体和刚体系统动力学问题中经常采用的分析方法，这些方法将在某个方面使动力学问题的解决得以方便或简化，有的方法将直接涉及到动力学分析的计算机应用，这些方法包括达朗贝尔原理、虚位移原理、第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。
第一节 达朗贝尔原理达朗贝尔原理（有的书称之为达朗伯原理）的核心是引入惯性力和惯性力矩的概念，从而将动力学问题转化为静力学问题解决。
（一） 达朗贝尔惯性力我们已经知道，牛顿第二定律描述了一个质点的运动规律，即F r m = （6.1.1）这里，r表示该质点在惯性参考基中的位置，F 则表示该质点所受外力的主矢量。
如果将上式改写为0=-r m F（6.1.2）再定义r m F -=* （6.1.3）称为该质点的达朗贝尔惯性力，则牛顿第二定律可以改写为如下形式：0=+*F F （6.1.4）上式可以这样理解：质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力的矢量和等于零，或者说，质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力组成一个平衡力系。
这个结论称之为质点的达朗贝尔原理。
下面就（6.1.4）式作出讨论：① 所谓所有真实外力包括主动力和理想约束力。
② 达朗贝尔惯性力与非惯性基下的牵连惯性力和科氏惯性力是有区别的，后者仅仅是为了将非惯性基下的动力学方程写成类似于惯性基的形式而采用的，显然，它们取决于惯性基的运动，而达朗贝尔惯性力与非惯性基存在与否没有关系，达朗贝尔惯性力的定义为了将相对惯性基的动力学方程改写为另外一种形式，即一种力的平衡形式。
③ 达朗贝尔原理也称为动静法，即动力学问题的静力学处理方法。
④ 达朗贝尔惯性力是描述相对惯性基的运动，所以，它也直接简称为惯性力。
对于一个由n 个质点组成的质点系统，每个质点的外力中显然包含了系统内其他质点的作用力，但是对于整个系统而言，它们之间的作用力相互抵消，因此，该质点系的外力仅仅是系统外部的作用力，当然包括主动力和理想约束力。
分析力学基础
➢ 系统的动能
分析力学基础
T 1 {q}T [M ]{q} 2
✓在定常约束情况下，动能T是广义速度的二次齐次函 数（或称二次型） ✓系统的动能T除了广义速度全等于零外，它总是大于 零，因此动能T具有恒正的性质。 ✓在线性代数里称T这样的函数为正定二次型，相应地 称它的系数矩阵[M]是正定的。
✓对于正定的矩阵，它的全部主子行列式的值都大于零。
k
mk rk rk
动能T将是广义速度的零次、一次和二次函数
➢ 动能和势能
分析力学基础
讨论约束和时间t无关的定常约束情况，各点的坐标
只是广义坐标的函数而不显含t
rk
rk
(q1
,
q
2
,,
qn
)
rk rk
n il
n
rk
j1 qi
rddk rtk
in1rkqrki
n
qi
i 1
rk q j
qi q j
n
mij qi q j
j 1
由于系数mij仅是广义座标的函数，由上式可见，在定 常约束的情况下，动能T是广义速度的二次齐次函数。
在微振动理论中，若广义座标一律按平衡位置取作原
点，则振动过程中qi是偏离平衡位置的小量，将系数 mij在平衡位置附近按台劳级数展开得
mij
mij
0
n s 1
mij qs
✓ 但这一方法是按照各质点或刚体的运动来建立方程的，为此常 常要引入那些未知的约束反力。
✓ 对于某些复杂的系统，采用这样的方法来建立力或力矩同速度、 加速度等运动量之间的矢量关系不仅显得复杂，而且引入了那些 我们不必知道的未知约束反力。
➢ 引言
分析力学基础
01-1 分析力学基础
1.1 分析力学基础 1.1.1 直角坐标与广义坐标
燕山大学
Yanshan University
平面直角坐标：用平面上的长度值表示平面上一点位置的坐标。 平面直角坐标系oxy。 三维直角坐标：在二维直角坐标系（oxy）的基础上,再添加一个 垂直于x轴、y轴的坐标轴，称为z轴。x轴、y轴、z轴满足右手定 则，则坐标系oxyz为三维直角坐标。 广义坐标：能决定系统几何位置的彼此独立的量。
Q2 P L sin t cos 0
(3)系统运动微分方程
d L dt q j L Qj q j j 1, 2, , n
燕山大学
Yanshan University
Q1 P sin t 0 Q2 P L sin t cos 0
两个相互啮合的光滑表面所构成的约束
燕山大学
Yanshan University
两曲面相互啮合的约束条件：两曲面不能脱
开，也不能相互嵌入；则有： δrN1=δrN2
N1与N2两者互为作用力与反作用力：
N1= -N2 由于δrT1及δrT2与约束力N1及N2相垂直，因 而约束力在该方向不做功。在虚位移下，约 束力所做的虚功为：
x1 l1 x2 l2
特点：从运动的观点来研究系统的静力平衡问题。 优点：只考虑外力，不必考虑支反力，应用方便。
虚位移
燕山大学
Yanshan University
虚位移：约束允许的微小位移。 (1)虚位移是微小的、即时发生的，即不考虑它们发生的过程。
(2)独立的虚位移数等于系统的自由度数。
对于图示杠杆系统，杠杆两端的虚位移δx1和δx2。由于杠杆是单自 由度系统，因此δx1和δx2只有一个是独立的。
拉格朗日方程-振动
分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 1 图 (a)中，质量用一根
弹簧悬挂。图（b）中质量
用一根长度为l，变形可忽略
的悬丝悬挂。分析系统的自
由度，并建立系统的广义坐
(a)
标。
（b）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
分析力学基础 2 ຫໍສະໝຸດ 位移原理 虚位移原理受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
p
其数学表达式为: d W F d r 0
i
i
i 1
其中，Fi为作用于质点系的主动力， dri为虚位移。上式也称为虚功方程。
时的位置，即广义坐标数为2，自由度为2。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
例 2 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2和
质量m 2组成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成
双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能 在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统 的广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 而双摆的长度l 1和l 2不变，即
对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
x2 y2 z2 l2
这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标r 、y 和j 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用y 和j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬
拉格朗日方程-振动
分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 1 图 (a)中，质量用一根
弹簧悬挂。图（b）中质量
用一根长度为l，变形可忽略
的悬丝悬挂。分析系统的自
由度，并建立系统的广义坐
(a)
标。
（b）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。
1 自由度和广义坐标
自由度
完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。
广义坐标
用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的 位置，则这组坐标称为广义坐标。
一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目 与自由度相等。
约束
对质点在空间的运动所加的限制称为约束。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
势能
所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势 能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关。
势能
分析力学基础 3 动能和势能
在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵形式表示成：
U ＝ 1 {q} T [ K ]{q} 2
其中，[ K ]为刚度矩阵。一般地，刚度矩阵是对称、半正定矩阵。
m12
m
21
1 2
m 2 l 1 l 2 cos ( q 2 q 1 )
当系统在平衡位置附近作小运动时，系数 m i j 取其在平衡位置附近泰勒级 数的第一项：
1 m12 m 21 2 m 2 l1 l 2
则系统的动能可写成
V
1 2
(m 1
m2)
l
2 1
q
第15章 分析力学基础-哈
Qk
( Fx i
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi ) qk
( V xi V yi V zi ) xi qk yi qk zi qk
V (k 1,2,3, , N ) qk
（15-13）
则由广义坐标表示的平衡条件可写成下面形式
Qk
V qk
0
(k 1,2,3, , N )
令Qk
n i 1
( Fx i
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi ) qk
(k 1,2,3, , N )（15-7）
N
则（15-6）可以写成 WF Qk qk 0 k 1
（15-8）
上式中 Qk qk具有功的量纲，所以Qk成为与广义坐标qk相对应 的广义力。
由于广义坐标的独立性，q可以任意选取，则若（15-8）成立 ，必须有
V V (x1, y1, z1, , xn , yn , zn )
（15-11）
则虚功方程（15-6）中各力的投影可以表达为
Fxi
V xi
, Fyi
V yi
, Fzi
V zi
WF (Fxixi Fyiyi Fzi zi )
于是有
( Vi xi
xi
Vi yi
yi
Vi zi
zi )
V
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第十五章 分析力学基础
本章针对矢量力学所遇到的困难，采用分析数学的方 法来求解动力学问题，它利用能量和功来描述物体运 动与相互作用之间的关系，在达朗伯原理和虚位移原 理的基础上，导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类 方程（简称拉格朗日方程）。成为研究动力学问题的 有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显 得十分简捷、规范。
分析力学基础
( e)
ri 则 ( Fi mi ai )dri Q jdq j mi ai ( dq j ) i 1 j 1 i 1 j 1q j dvi ri (Q j mi )dq j 0 dt q j j 1 i 1
k n
dvi ri Q j mi 0 dt q j i 1
(i 1,2,, n)
用广义坐标表示虚位移： N ri δ ri δ qk (i 1,2,, n) k 1 qk
广义虚位移
6
§3-2 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
7
虚功方程
ri δ ri δ qk k 1 qk
N
(i 1,2,, n)
δ W Q1 δ q1
2. 解析法
Qk ( Fxi
i 1 n
Q1
δW δ q1
9
xi yi zi Fyi Fzi ) qk qk qk
例题 1
杆 OA 和 AB 以铰链连接， O端悬挂于圆柱铰链上，如 图所示。杆长OA=a，AB=b, 杆重和铰链的摩擦都忽略 不计。今在点 A 和 B 分别作 用向下的铅垂力 FA 和 FB ， 又在点 B 作用一水平力 F 。 试求 平衡 时 1 ， 2 与 FA ， FB ，F之间的关系。
10
例 题 1
解： 杆 OA和 AB的位置可由点 A和 B的四个坐标
xA ，yA和xB ，yB完全确定，由于OA和AB杆的长 度一定，可列出两个约束方程
2 2 xA yA a2
O
x
( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 b2
因此系统有两个自由度。现选择1和2为系统的 两个广义坐标，计算其对应的广义力Q1和Q2。
分析力学基础第一章(4-6节)
T q
m1
m2 x m2 Lcos
px
循环积分——系统的水平动量守恒
T V C
能量积分——机械能守恒
x
F t
vA
m1 g
CvCA
m2 g
§1-6 第一类拉格朗日方程
§1-6 第一类拉格朗日方程
设描述系统的位形坐标：q1 , q2 , , qn
系统的约束方程为： fk r1, r2 , , rn , t 0 k 1,2, , s
i 1
k 1
代入动力学普遍方程：
n
Fi FIi
ri
n
Fi
miri ri
0
i 1
i 1
有：
n i 1
Fi
miri ri
N Qk
k1
n i 1
miri
ri qk
qk
§ 1-4 第二类拉格朗日方程
n
i 1
Fi
miri ri
N Qk
k1
n i 1
miri
解：1、系统的自由度为k=1
2、系统的广义坐标：
3、系统的动能： T 1 1 m l22 1 m l22
23
6
4、系统的势能：
V
mg
l
1
cos
5、拉格朗日函数： 2
L T V 1 ml22 mg l 1 cos
OB
6
2
d dt
L qk
L qk
0
1 m l2 l m gsin
3
2
mg A
i 1
Fi
miri
s
k
k 1
fk ri
ri
分析力学基本概念
第一章分析力学基本概念以牛顿定律为基础建立起来解决力学问题的科学体系称为牛顿力学，它涉及的量如力、速度、加速度等多为矢量。
然而，对于一个受多约束的质点系，就要解一个众多未知量的联立方程组，此时，牛顿方法就显得不方便了，分析力学就应运而生。
分析力学是以拉格郎日和哈密顿等所建立的变分原理为基础，将力学的基本定律表示为分析数学的形式，通过分析的方法来解决任意力学体系的运动问题，它所涉及的量是标量。
由此看来，分析力学与牛顿力学只是同一个力学领域应用不同的数学描述而已，对于自由质点和简单问题，两种方法无优劣之分，对复杂问题，分析力学的优越性就体现出来了。
分析力学是从能量的观点来研究力学问题，因而具有更广泛的应用价值，许多新兴学科，如量子力学、相对论力学、电动力学、连续介质力学、天体力学、统计力学等等，都可以用到分析力学的理论和方法。
1.1分析力学的研究对象约束1.1.1有关概念（1）力学中的理想模型：质点、质点系、刚体。
分析力学的研究对象是质点系。
（2）惯性参考系：适用于牛顿定律的参考系一般在研究地球表面及附近物体的运动，常将与地球固连的坐标系作为惯性参考系。
（3）矢径/（4）位形:：质点系各质点在空间的位置的有序集合。
它决定了质点系的位置和形状。
（5）自由系和非自由系：自由质点：在空间的位置和运动不受任何限制的质点。
自由系统：自由质点的集合。
非自由质点：在空间的位置和运动受到某些限制的质点。
非自由系统：非自由质点的集合。
1.1.2约束、约束方程及约束分类一、约束：对非自由质点系各质点的位置及运动的限制条件二、约束方程：表示限制条件的数学方程。
例如：。
第3章分析力学基础-资料
1
l1
1
l1 1
xB l1cos11
yA
yB l1sin11
Q 1W 1 1 F 1yAF 2y 1 BF xB
2
F1
l2
l1 1
B
F
F 1 ( l1 si1n 1 ) F 2 ( l1 si1n 1 ) F (l1 co 1 1 s ) F2 1
×
xi xi (q1, q2,, qN ) yi yi (q1, q2,, qN ) zi zi (q1, q2,, qN )
rixiiyijzik
r ix iiy ijz ik
x i q x 1 i q 1 q x 2 i q 2 q x N i q N k N 1 q x k i q k
N k 1
yi qk
qk
k N 1(i n 1F ix q x k i i n 1F iy q y k i i n 1F iz q zk i)q k 0
z i
N k 1
zi qk
qk
×
W F k N 1 (i n 1F ix q x k i i n 1F iy q y k i i n 1F iz q z k i)q k 0
F
F2
F 1 ( l1si1 n1 ) F 2( l1si1 n1 l2si2 n2)
F (l1co 1 s1 l2co 2 s2 ) 0
×
(F 1l1sin 1F2l1sinF1c l o 1)s1 (F2l2sin 2F2c l o 2s)2 0
第一章下册哈工大理论力学
N=?
按刚片自由度计算 N=3n-s=3×5-(2×4)-2× (3-1)-2=1
按质点自由度计算 N=2n-s=2×5-2-2-4-1=1
B
30 o
O
M
C
30 o
r
O1
D
30 o
A
F
N=?
按刚片自由度计算 N=3n-s=3×5-(2×6)-2=1 按质点自由度计算 N=2n-s=2×6-8-1=3？ N=2n-s=2×6-8-1-2=1
代入广义力表达式，系统平衡的时候有：
Q1 P 1 a sin P 2 2a sin F 2a cos 0 Q2 P2 b sin F 2b cos 0
由此解得：
2F tg P1 2 P2
,
2F tg P2
第二种方法： 先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的 一组虚位移，如图所示。 yC 0
由于广义坐标是相互独立的，qk 可以任意取值，因 此要使虚功方程满足，必须有：
Q1 Q2 QN 0
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 这就是用广义坐标表示的质点系的平衡方程。 求广义力的方法一：
xi yi zi Qk Fix q Fiy q Fiz q i 1 k k k ( k 1,2, , N )
第 一 章
分析力学基础
物体运动与相互作用之间的关系
牛顿第二定律 （矢量形式表示出来）
矢量力学 质点系动力学普遍定理： 动量定理、动量矩定理和动能定理
求解具有复杂约束系统和变形体的动力学 问题采用分析数学的方法 能量与功
通过虚位移原理和达朗贝尔原理建立普遍形式 下的动力学方程 分析力学
第一章 分析力学基础
y = f (x) (x, y R)
在闭区间a, b上的连续函数A（x），积分
b
I = a A(x)dx
设定义在 a, b上的所有连续函数组成的集合为 ，则
上式给出了集合 到数域R的一个映射关系，称之为泛函 数，记为
I (A) (I R,A )
n个质点组成的质点系，任一瞬时这n个质点在空间中 位置的集合称为该质点系的位形。
所有满足约束条件的质点系的位形的集合称为该质点 系位形空间 。可以证明，对于完整约束系统，位形空间为 线性空间。
对于保守系统，位形空间的每一个元素（即质点系的 每一个位形），都有唯一的势能值与之对应，因此，质点 系的势能可以看成是定义在位形空间的一个泛函数。
n
δWF δWFi i 1
n
i 1
( Fix
N k 1
xi qk
δqk
Fiy
N k 1
yi qk
δqk
Fiz
N k 1
zi qk
δqk )
N n (Fix
k 1 i1
xi qk
Fiy
yi qk
Fiz
zi qk
)δqk 0 Nhomakorabea令Qk
n
( Fix
i 1
xi qk
Fiy
yi qk
势能变分的定义
设y=f（x）是定义在数域R上的可微函数，当自变量x发生 微小变化dx时，对应函数值的微小变化称为函数的微分，记 作
dy = f (x + dx) - f (x) = f (x)dx
设 I (A) 是定义在集合 上的泛函数，当自变量A发 生微小变化 A 时，对应泛函数值的微小变化称为泛函数的 变分
分析力学涉及的基本原理有哪些内容
分析力学涉及的基本原理有哪些内容引言分析力学，作为理论物理学的一个重要分支，是研究物体运动规律的一种高级形式。
它不同于经典力学的描述方式，更侧重于系统的整体性和数学的优雅。
本文将详细探讨分析力学的基本原理。
基本原理拉格朗日力学拉格朗日力学是分析力学中的核心原理之一。
它由意大利数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日提出。
这一理论的核心是拉格朗日方程，公式为：L=T−V其中，(L) 是拉格朗日量，代表动能(T)与势能(V)的差。
拉格朗日方程的核心思想是利用变分原理，通过求取作用量的极值来获得系统的运动方程。
哈密顿力学哈密顿力学则是由爱尔兰数学家威廉·哈密顿提出，它是拉格朗日力学的一个重要变体。
在哈密顿力学中，基本方程为哈密顿方程，其形式为：dp dt =−∂H∂q, dqdt=∂H∂p其中，() 是动量，() 是广义坐标，(H) 是哈密顿量，代表系统的总能量，包括动能和势能。
哈密顿力学的优势在于它为量子力学的发展提供了理论基础。
达朗贝尔原理达朗贝尔原理是分析力学中处理约束问题的一个重要方法。
该原理指出，在一个受约束的动力系统中，约束力与虚位移的工之和为零。
这一原理为分析各种复杂约束提供了强大的工具。
应用与发展分析力学不仅在理论物理中占有重要位置，也在天体物理、工程学等领域有着广泛的应用。
它的数学结构优雅，为后来的量子力学和相对论提供了理论框架。
总结分析力学通过更抽象和深入的方法，揭示了物体运动的普遍规律。
它的主要原理包括拉格朗日力学、哈密顿力学和达朗贝尔原理，这些理论不仅深化了我们对物理世界的理解，也为现代物理的发展奠定了基础。
分析力学基础虚位移原理0806-资料
• 前言 分析力学基础
• 达朗贝尔原理
虚位移原理 • 虚位移原理
• 动力学普遍方程 • 拉格朗日第一类方程 • 拉格朗日第二类方程
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系
分析动力学基础/虚位移原理
虚位移原理
• 前言 • 虚位移 • 虚位移原理及其应用 • 广义力 质点系平衡条件
实位移
d q d r 1 Td r 2 T d r n T T
• 可能运动
可能位移
约束方程
可能运动 q*(t)
多种可能
d q * d r 1 * Td r 2 * T d r n * T T
可能位移满足的方程
ΦqdqΦt dt0
Φ(q,t) 0
2019/8/6 13
分析动力学基础/虚位移原理/虚位移
虚位移
• 质点系运动学关系的描述 • 实位移与虚位移 • 独立（广义）坐标虚位移
2019/8/6 6
理论力学CAI 分析力学基础
分析动力学基础/虚位移原理/虚位移
质点系运动学关系的描述
P1
z
Pk
• 笛卡儿坐标
质点系 惯性基
(P1,P2,,Pn) Oe
理论力学CAI 分析力学基础
分析动力学基础/虚位移原理/虚位移/解
参考基： Oe
y
方法2（速度法）
写出点A的速度与广义速度的关系
vA
vA rj
方向设定
O
x AvAx vAsijn
yAvAyvAcojs
vA
jA j
B
x
xArjsinj dxArsijndj
比较
第1章 分析力学基础 1-4 第一类拉格朗日方程
步骤： 1. 列出笛卡尔坐标下的约束方程；
f k 2. 根据约束方程确定 ； ri
3. 分析各质点上的主动力； 4. 根据第一类拉格朗日方程，列出运动微分方程；
5. 与约束方程联立求解，确定积分常数。
M1-6
已知： M1 的质量为 m1 ， M2 的质量为 m2 ， 杆长为l。 试建立此系统的运动微分方程。 1. 约束方程
有N=3n-s个是独立的。
拉格郎日开创的分析力学，就是为克服动力学普遍方程
的弱点，解决多自由度、非自由系统的动力学问题而发展完
善的。
M1-1
解决动力学普遍方程困难主要有三条途径：
1、分离独立坐标法； 2：拉格郎日乘子法解算动力学普遍方程。
这种方法在实际应用中，并不可取，但是起步艰难的第一 步，同时是解微分方程的一种重要方法；
3.各质点上的主动力
F1 m1gj F2 m2 gj
M1-7
4. 根据第一类拉格朗日方程，
f k Fi mi ri k 0 ri k 1
s
列出运动微分方程
f1 f 2 F1 m1r1 1 2 0 r1 r1
f f F2 m2 r2 1 1 2 2 0 r2 r2
3：拉格郎日第二类方程：采用广义坐标代替笛卡尔坐标，彻
底改造动力学普遍方程，得到一组二阶常微分方程。
M1-2
1—4 第一类拉格朗日方程
我们引入符号
f k f k f k f k i+ j+ k r xi yi zi
对约束方程两边变分 f k (r1 , r2 , ... rn t ) 0 （k 1, 2,3, , s）
独立坐标有3n-s个，对于不独立坐标，我们可选取适当的 k 使
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分析力学基础（一）华中科技大学CAD中心张云清2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析分析力学基础（）分析力学基础（一）一．经典力学概论概二．分析力学的基本概念三．虚位移原理、达朗伯原理四．动力学方程的三种形式四动力学方程的三种形式五．分析力学的变分原理2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析经典力学概论典力学研象于•经典力学的研究对象是速度远小于光速的宏观物体的机械运动；牛力学•牛顿力学•拉格朗日力学•变分原理变原•哈密尔顿力学•分析力学（拉格朗日力学和哈密尔顿力学）析力学（格力学和密尔力学）•运动稳定性•刚体动力学学•多体系统动力学是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析牛顿力学•1687年牛顿（Newton ）《自然哲学的数学原理》出版-------〉牛力学；牛顿力学；•牛顿贡献--发现了制约物质宏观机械运动的普遍规律：–万有引力定律–动力学基本规律–研究这些规律的方法—微积分速度加速度力力牛力学–力学的概念—速度、加速度、力、力矩-----矢量------〉牛顿力学----矢量力学；牛顿力学天体运动的观测资料归纳产生的力学理论，研究对象是不受–----约束的自由质点；•1743年，法国的达朗贝尔（D’Alembert）--D’ Alembert原理；•1755年、1765年，瑞士的欧拉（Euler）将牛顿定律推广到刚体和理想流体，矢量力学------Newton－Euler力学；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析拉格朗日力学•18世纪，机器产生，为受约束机械系统的运动分析，约束作用归为力作用，未约束力（未变）增多，用可以归结为力的作用，未知约束力（未知变量）的增多，矢量力学处理不便；•1788年拉格朗日（Lagrange）----《分析力学》（1755年，拉格朗日19岁写出）；•以虚位移原理、达朗贝尔原理为基础，引入标量形式的广义建坐标、能量、和功等物理量，采用纯分析方法使力学建立在统一的数学基础上--------产生了拉格朗日力学----分析力学-避免了约束力；•拉格朗日没有认识到非完整系统的存在；年赫兹（•1894年，赫兹（Hertz）-----将约束系统分为完整系统与非完整系统；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析变分原理•与牛顿力学及拉格朗日力学不同，变分原理则从另一牛学朗学变种方式解释物质的机械运动规律，变分原理是将真实发生的运动与可能发生的一点加以比较，并提供能将发生的能发生的并能将真实运动从可能运动中甄别出来的准则，变分原理分为变变为微分型变分原理、积分型变分原理；•微分型变分原理―――1829年高斯（Gauss）原理为代表；积分型变分原理年哈密尔顿（）•―――1834Hamilton 原理为代表；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析哈密尔顿力学与分析力学•将哈密尔顿原理以及由此导出的哈密尔顿正则方程称为哈密将哈密尔原由导出的哈密尔则方称为哈密尔顿力学；•分析力学包含拉格朗日力学和哈密尔顿力学•拉格朗日力学和哈密尔顿力学是分析力学的两个组成部分；不仅适用于离散机械系统而且也适用于更广泛的领域：不仅适用于离散机械系统，而且也适用于更广泛的领域：–连续介质力系统、–机电耦合系统、–控制系统和微观物质系统•对量子力学和统计力学的发展也起到了推动作用，是经典力学向现代物理学过渡的桥梁；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析运动稳定性•矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程，必须对微分方程积分求解才能矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程必须对微分方程积分求解才能确定机械系统的运动规律。
分析力学的优点之一是有可能在一些特殊情况下直接提供方程的初积分。
但在一般情况下，寻求微分方程的解析积分在数学上存在困难虽然计算机的发展使微分方程的数值积分变得轻而易举但在上存在困难，虽然计算机的发展使微分方程的数值积分变得轻而易举，但在工程实践中需要了解机械运动的定性性质，如判断某特定运动的稳定性问题。
对运动工程的定性研究形成了运动稳定性理论。
年拉格朗日就已提出平衡稳定性的般定理并由狄里克雷（Di i hl t •1788年拉格朗日就已提出平衡稳定性的一般定理，并由狄里克雷（Dirichlet ）于1846年给出证明；•1892年李雅普诺夫（Lyapunov）对稳定性给出了严格数学定义，并提出了讨论稳定性的直接方法，以及利用一次近似方程判断稳定性的一系列定理，奠论稳定性的直接方法及利用次近似方程判断稳定性的系列定理奠定了现代稳定性理论的基础；•一次近似稳定性理论是工程中使用最为广泛的稳定性理论，劳斯（Routh）-赫尔维茨（Hurwitz）判据和开尔文（Kelvin）－泰特（Tait）－切塔耶夫（Chetayev）定理(简称开尔文定理)是判断线性系统稳定性的有效工具。
2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析刚体动力学典学的发展中体动学据重地•经典力学的发展中刚体动力学占据了重要地位。
•刚体的一般运动--分解为质心的运动和相对质心的转动，刚体绕定点或质心的转动是刚体动力学的主要内容。
绕定点或质心的转动是刚体动力学的主要内容•1758年，欧拉（Euler）建立了刚体定点运动的动力学方程；•寻求刚体定点运动微分方程解积分问题曾成为经典力学中延续百年之久的重大课题；•在欧拉、拉格朗日、柯瓦列夫斯卡雅（Kovalyevskaya）三种在欧拉拉格朗日柯瓦列夫斯卡雅（可积分情形中欧拉、拉格朗日情形的研究成果仍是陀螺仪和航天器姿态运动的理论基础。
2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析多体系统动力学----是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展•虽然经典力学在19世纪已形成完美的科学体系，但经典力学仍在发展，大型空间站、机器人、高速车辆等现代复杂机械系统的出现，要求分析有多个刚体组成的多体系统。
•虽然经典力学提供的各种方法原则上可以建立任意的机械典学各建意机械系统的数学模型，但由于系统内刚体数目和自由度的增加刚体间约束关系的复杂化传统的数学推导过程变得极，刚体间约束关系的复杂化，传统的数学推导过程变得极其繁琐。
现代计算技术的发展要求数学模型的建立过程》•――――程式化、计算机化；•1960年后，发展了多种多体系统数学模型的建模方法，形成新的学科分支――多体系统动力学。
2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析分析力学的基本概念•约束及其分类•广义坐标、广义速度、广义加速度•准速度、准坐标、准加速度•位形空间、状态空间、相空间•虚位移•理想约束•微分运算与变分运算的交换关系2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•力学中三种理想模型：质点、质点系、刚体•质点：只有质量，没有大小•质点系：若干质点组成的，有内在联系的集合•刚体：一种特殊的质点系，任意两点距离不变体种特殊的质系意离变•分析力学研究质点系相对某个惯性坐标系的运动。
•质点系各质点在空间的位置的有序集合决定了该质点的位置和形状质点系各质点在空间的位置的有序集合决定了该质点的位置和形状，称为该质点系的位形。
•自由质点、自由质点系•非自由质点：在空间的位置和运动受到限制某些限制；•非自由质点系•分析力学是运用纯数学分析的方法研究质点系的机械运动。
分析力学是运用纯数学分析的方法研究质点系的机械运动•约束：在系统点的位置和速度上，事先预加的几何的或者运动学特性的限制，我们把这些限制称为约束。
2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•约束方程•非自由质点系在空间位置以及在运动中受到的限制称为约束，用数学方程表述各质点所受的限制条件称为约束方程。
点所受的限制条件称为约束方程•例如：两个质点在半径为R的球面上运动，且两质点间的距离为L保持不变；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•完整约束与非完整约束•N个质点组成的力学系统，质点的直角坐标为速度为•几何约束：用点的直角坐标和时间表达的非微分方程，表示的约束。
•几何约束的一般形式为：•微分约束：用点的直角坐标为速度为和时间表达的约束。
•微分约束的一般形式为：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•完整约束：几何约束和可积分的微分约束称为完整约束几何约束和可积分的微分约束称为完整约束；•非完整约束：不可积分的微分约束称为非完整约束；•非完整系统：带有非完整约束的系统称为非完整系统；•线性非完整约束：不可积的微分约束中对速度速度是线性的称为线性非完整约束，否则为非线性非完整约束；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•线性非完整约束的一般形式：其中系数是坐标和时间的函数；•仅具有完整约束的完整系统与具有非完整约束的非完整系统运动性质和研究方法有很大的区别，非完整系统比完整系统复杂得多。
•定常约束：如果时间不显含于约束方程，称为定常约束如果时间显含约束方程称为定常约束；否则为非定常约束；•双面约束：用等式表示的约束；用不等式表示的约束为单面约束；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•广义坐标：凡是能够确定系统位置的，适当选取的变量叫广义坐标取的变量叫广义坐标；•当所研究的系统加上约束时，从直角坐标过渡到广义坐标是特别方便，假设系统有N 个质点受d 个完整约束可以选－，受d 个完整约束，可以选n ＝3N d 个广义坐标，系统所有点的直角坐标可用广义来表达坐标和时间t 来表达，定常约束则为•定常约束则为：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•广义速度：广义坐标对时间的导数称为广义速度；；•系统中点的速度矢量：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度重要关系式2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•广义加速度：广义坐标对时间的二次导数，称为广义加速度；•系统中点的加速度矢量：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标、广义速度、广义加速度广义坐标广义速度广义加速度•非完整约束在广义坐标、广义速度下的表达2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标、广义速度、广义加速度广义坐标广义速度广义加速度•非完整约束在广义坐标、广义速度下的表达2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析准速度、准坐标、准加速度准速度准坐标准加速度•在力学系统中引进准坐标的概念和记号非常概非常，学准重要，尤其是非完整力学系统。