考点03 利用函数的图像探究函数的性质(1)(解析版)

考点03 利用函数的图像探究函数的性质（1）

【知识框图】

【自主热身，归纳提炼】

1、(2017苏州暑假测试） 若函数6,2,

()(0,1)3log ,2,a x x f x a a x x -+⎧=>≠⎨

+>⎩

≤的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是

． 【答案】12a <≤．

解析 作出函数的图象，易知当2x ≤时，()64f x x =-+≥，要使()f x 的值域为[4,)+∞， 由图可知，显然1a >且3log 24a +≥，即12a <≤．

2、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f (x )＝||2x －2(x ∈(－1,2))，则函数y ＝f (x －1)的值域为________． 【答案】[0,2)

解法1 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f (x )＝|2x －2|的图像．由下图易得值域为[0,2)．

解法2 因为x ∈(－1,2)，所以2x ∈⎝⎛⎭⎫12，4，2x －2∈⎝⎛⎭⎫－3

2，2，所以|2x －2|∈[0,2)．因为y ＝f (x －1)是由f (x )向右平移1个单位得到的，所以值域不变，所以y ＝f (x －1)的值域为[0,2)．

3、(2017苏锡常镇二模）已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

4， x ≥m ，

x 2＋4x －3， x

点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(1,2]

解法1 问题转化为g (x )＝0，即方程f (x )＝2x 有三个不同的解，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥m ，4＝2x 或⎩⎪⎨⎪⎧

x

x 2＋4x －3＝2x ，

解得

⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥m ，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x

x

x ＝－3.因为方程f (x )＝2x 有三个不同的解，所以⎩⎪

⎨⎪⎧

2≥m ，

1

解得1

2.

解法2 由题意知函数g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

4－2x ， x ≥m ，x 2＋2x －3， x

数g (x )的三个零点为－3，1,2，因此可判断m 在1与2之间．当m ＝1时，图像不含点(1,0)，不合题意；当m ＝2时，图像包含点(2,0)，符合题意．所以1

4、(2016南京学情调研）已知直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1

x 恰有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为________． 【答案】⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫－1

8，0，18

解析：由题意得f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x 是偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－2

x

， x ≤－1，－2x ， －1

作出曲线的图像(如

图所示)．当k ＝0时，直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1

x 有四个公共点；当k >0时，要使它们有四个公共点，则需y ＝kx ＋1与y ＝－2x (x ≤－1)有一个公共点，此时kx ＋1＝－2

x ，即方程kx 2＋x ＋2＝0有两个

相等的实数解，从而Δ＝1－8k ＝0，解得k ＝18；当k <0时，根据对称性可得k ＝－1

8.从而满足条件的k 的取

值范围是⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫－1

8，0，18.

易错警示 本题会忽视当直线与y ＝－2

x

相切时，其实就是有四个交点．处理动直线与曲线交点时要注意

两个特殊情形：一是过端点，二是相切的时候．

5、(2017南京学情调研）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

12x －x 3，

x ≤0，

－2x ，

x ＞0.

)当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，

＋∞)，则实数m 的取值范围是________． 答案：[－2,8]

解析： 由于f (x )的解析式是已知的，因此，可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质，然后根据f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，求出它的值等于－16时的x 的值，借助于函数f (x )的图像来对

m 的取值范围进行确定．

当x ≤0时，f (x )＝12x －x 3

，所以f ′(x )＝12－3x 2

.令f ′(x )＝0，则x ＝－2(正值舍去)，所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时，f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增，故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时，f (x )＝－2x 单调递减，f (0)＝0，f (8)＝－16，因此，根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．

解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质，然后由此画出函数的图像，借助于函数的图像可以有效地进行解题，这就是数形结合的魅力．

6、(2017南京、盐城二模） 若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________. 答案. {2}

思路点拨 首先判断f (x )是偶函数，而偶函数有唯一零点时，零点只能是x ＝0.

解析：f (x )是偶函数，若f (x )有唯一零点，故f (0)＝0，由f (0)＝0，得m 2＋2m －8＝0，解得m ＝2或m ＝

－4.当m ＝2时，f (x )＝x 2－2cos x ＋2＝x 2＋4sin 2x

2，有唯一零点x ＝0；当m ＝－4时，f (x )＝x 2＋4cos x －4.因为

f (2)＝4cos2＜0，f (π)＝π2－8＞0，所以在(2，π)内也有零点，不合题意．

解后反思 因为f (0)＝0只是偶函数f (x )有唯一零点的必要条件，所以检验是必须的．说明不充分常用举反例的方法．

【问题探究，开拓思维】