初三数学圆的学习知识点总结计划及经典例题详解.docx

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九年级下数学圆知识点总结

九年级下数学圆知识点总结在九年级下学期的数学课程中，圆是一个重要的几何形状。

学习圆的相关知识对于理解几何学和进一步解决问题至关重要。

在本文中，将对九年级下数学课程的圆相关知识点进行总结。

一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是由平面上离定点距离相等的所有点组成的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径和直径是圆的基本要素。

- 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。

- 半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

- 直径：通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，通常用字母d表示。

3. 圆的性质：- 圆上任意两点的距离等于半径的长度。

- 圆的直径是半径的两倍。

- 圆的周长等于直径乘以π（圆周率），即C = πd。

- 圆的面积等于半径平方乘以π，即A = πr²。

二、圆的位置关系和判定方法1. 圆的位置关系：- 同心圆：具有相同圆心但半径不同的圆。

- 内切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆内部，二者只有一个公共点。

- 外切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆外部，二者只有一个公共点。

- 相交圆：两个圆有两个不重叠的公共点。

- 相离圆：两个圆没有公共点。

2. 判定圆的方法：- 已知圆心和半径：根据圆的定义，可以通过圆心和半径确定一个圆。

- 已知圆上的三个点：三点确定一个圆，可以根据圆的性质绘制出圆来。

- 已知直径两端的点：通过两点绘制直径，以直径中点为圆心，直径的一半为半径即可确定圆。

三、圆的相关角度1. 弧度制和角度制：- 弧度制：用圆的弧长与半径的比值表示，一周为2π弧度。

- 角度制：以直角为90度，一周为360度。

2. 弧度和角度之间的转换：- 角度制转弧度制公式：弧度= (π/180) × 角度- 弧度制转角度制公式：角度= (180/π) × 弧度3. 圆心角和弧度：- 圆心角：以圆心为顶点的角。

- 弧度的定义：弧度是圆心角所对应的弧长与半径的比值。

四、圆与直线的位置关系1. 相切关系：- 切线：与圆只有一个交点的直线。

圆中考知识点总结

圆中考知识点总结圆是中学数学中的一个重要知识点，在中考数学中起着重要的作用。

因此，掌握圆的相关知识对于中考数学是非常重要的。

本文将对中考数学中关于圆的知识点进行总结，帮助学生更好地复习和掌握圆的相关知识。

知识点总结一、基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个确定点一定距离的点的全体组成的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、圆周。

3. 圆的性质：圆的直径是圆周的两倍，圆周上任意两点与圆心的距离相等。

二、圆的相关公式1. 圆的周长公式：C=2πr。

2. 圆的面积公式：S=πr²。

三、圆的相关定理1. 直径定理：直径所对应的两个锐角为直角。

2. 圆的切线定理：过圆外一点引圆的切线与过该点作圆的半径垂直。

3. 圆的切线与弦的性质：相交弦定理、弦切定理。

4. 圆的内切与外切定理：内切定理、外切定理。

四、圆的相关应用1. 圆的面积和周长的应用：计算圆的面积、周长和扇形面积等。

2. 圆的几何关系：切线与圆的位置关系、相交弦的性质等。

3. 圆的倒影与旋转：圆的旋转变换、圆的倒影变换。

五、解题技巧1. 熟练掌握圆的相关公式和定理，能够正确应用公式和定理解题。

2. 多做练习，培养解决问题的能力，提高解题技巧。

3. 注意细节，正确理解题目的意思和要求，避免因理解错误而导致错误答案。

六、经典例题1. 已知AB是∠O的平分线，且AC⊥BC，求证：AC=BC。

2. 已知AB与CD是两条相交的直径，P是与AB、CD相交的一点，求证：PA²+PB²=PC²+PD²。

3. 如图，ΔABC是等边三角形，M、N分别是BC、AB的中点，P为AM的垂足，若PA=2，则求BP的长。

4. 四通五达服装公司要在正方形草坪内竖立一些旗杆，使得每个旗杆都最多不见这块草坪中心的五分之一。

那么最多可以竖立几个旗杆？结语通过对圆的相关知识点进行总结，我们可以更好地掌握圆的相关概念、公式、定理和应用。

九年级圆知识点总结

九年级圆知识点总结在九年级数学学习中，圆作为一个重要的概念和知识点，被广泛涉及和应用。

本文将对九年级圆的相关知识进行总结和归纳，旨在提供一个全面而清晰的概述。

一、圆的基本性质1. 定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。

2. 要素：圆心、半径、直径、弧、弦、边界等。

3. 关键概念：- 圆心角：以圆心为顶点的两条射线所夹的角。

- 弧度制：用弧长和半径的比值来度量圆心角的单位制。

- 弧长：沿着圆周的一段弧的长度。

- 弦长：圆周上的两个点之间的弦的长度。

- 弦切线定理：若一条弦与一条切线相交，那么切线所对的弦长等于弧切分的弧长。

二、圆的计算公式1. 圆的周长：C = 2πr，其中r为半径。

2. 圆的面积：A = πr²，其中r为半径。

三、圆与其他图形的关系1. 圆与直线的关系：- 点到圆的位置关系：在圆内、在圆上、在圆外。

- 切线与圆的关系：内切线、外切线、相切。

- 弦与圆的关系：一条弦平分圆，当且仅当它垂直于半径。

- 弧与圆的关系：圆周角、弦心角、相交弧、相等弧、截弧等。

2. 圆与三角形的关系：- 角平分线与圆的关系：三角形内接圆的圆心是角平分线的交点。

- 三角形内切圆的性质：内切圆与三角形的切点构成的线段相等、角度相等等。

- 外接圆与三角形的关系：外接圆的圆心是三角形外角的角平分线的交点。

三、实际问题中的圆1. 圆的应用：在现实生活中，圆的概念和性质常被用于解决与圆相关的问题，如圆的轨迹、钟表等。

2. 圆的建模：圆的模型可以应用于建筑、设计等领域，例如环形结构的承重分析、圆形花坛的设计等。

3. 圆的测量：利用测量工具可以测量圆的直径、半径、弧长等。

结语：通过对九年级圆的知识点总结，我们可以更好地理解圆的基本概念、性质与计算公式，并应用于实际问题中。

深入掌握圆的知识对于进一步学习几何学和解决实际问题都具有重要的意义。

注：文章中的内容不完全围绕九年级圆的知识点展开，因为题目描述没有提供具体的要求，请知悉。

初三数学圆学习知识点总结计划及初中数学圆解题技巧

初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结一、圆的相关看法1、圆的定义在一个个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

2、直线圆的与置位关系1.线直与圆有唯公一共时 ,点做直叫与圆线切2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心5.垂于直径半直线必为圆的的切线6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线7.垂于直径半直线是圆的的切线8.圆切线垂的直过切于点半径3、圆的几何表示以点 O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆 O”二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，并且均分弦所对的弧。

推论 1：(1) 均分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦，并且均分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直均分线经过圆心，并且均分弦所对的两条弧。

(3)均分弦所对的一条弧的直径垂直均分弦，并且均分弦所对的另一条弧。

推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径均分弦知二推三均分弦所对的优弧均分弦所对的劣弧三、弦、弧等与圆相关的定义1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

(如图中的 AB)2、直径经过圆心的弦叫做直径。

(如途中的 CD)直径等于半径的 2 倍。

3、半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以 A，B 为端点的弧记作“，”读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。

大于半圆的弧叫做优弧 (多用三个字母表示 );小于半圆的弧叫做劣弧 (多用两个字母表示)四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角极点在圆心的角叫做圆心角。

(word完整版)初中数学圆知识点总结,推荐文档

A图5圆的总结一集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三位置关系：1点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内点在圆上 d=r 点B 在圆上点在此圆外 d>r 点A 在圆外2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 d<r 3 圆与圆的位置关系:外离（图1）无交点外切（图2）相交（图3）内切（图4）内含（图5）无交点DBB ABA四垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD五圆心角定理六圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形»»BC BD =»»AC AD =P即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

初三数学圆知识点

初三数学圆知识点一、圆的基本定义1. 圆的定义：平面上所有与定点（圆心）距离相等的点的集合。

2. 圆心（O）：圆的中心点，所有圆上的点到圆心的距离都等于半径。

3. 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离。

4. 直径（d）：圆上任意两点间的最长距离，等于半径的两倍。

5. 弦（c）：圆上任意两点间的线段。

6. 弧（a）：圆上两点间的圆周部分。

7. 优弧：大于半圆的弧。

8. 劣弧：小于半圆的弧。

9. 半圆：圆的一半，由直径两端的点和圆上所有点组成的弧。

二、圆的性质1. 所有半径的长度相等。

2. 直径是半径的两倍。

3. 圆周角定理：圆周上同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

4. 圆内接四边形的对角互补。

5. 切线与半径相交于切点，切线垂直于经过切点的半径。

6. 弦与直径相交于圆心，形成直角。

三、圆的计算公式1. 圆的周长（C）：C = πd = 2πr2. 圆的面积（S）：S = πr²3. 扇形面积：S = (θ/360)πr²，其中θ为扇形的中心角（单位：度）。

4. 弓形面积：S = (θ/360)πr² - (θ/2)r，其中θ为弓形的中心角（单位：度）。

四、圆的应用问题1. 圆与直线的关系：相交、相切、相离。

2. 圆与圆的关系：内含、外离、相交、内切、外切。

3. 圆的切线问题：求切线长度、切点坐标。

4. 圆的弦长问题：给定圆心和半径，求两点间弦的长度。

5. 圆的面积问题：已知圆的周长或直径，求圆的面积。

五、圆的几何构造1. 给定半径，如何画圆。

2. 给定圆心和半径，如何构造圆。

3. 如何通过三点确定一个圆。

4. 如何构造圆的内接正多边形。

六、圆的方程1. 标准圆方程：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。

2. 一般圆方程：Ax + By + C = 0，可以通过圆心和半径转换得到。

初三圆的知识点归纳总结

初三圆的知识点归纳总结圆是初中数学中一个重要的几何概念，它涉及到的知识点较多。

下面将对初三圆的知识点进行归纳总结，以便于读者更好地理解和掌握。

1. 圆的定义与性质圆是平面上的一条曲线，其上的任意两点到圆心的距离相等。

圆由无数点组成，其中最重要的是圆心和半径。

- 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，通常用字母O表示。

- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。

2. 相关公式与计算圆的周长和面积是初三学习中需要重点掌握的计算公式。

- 圆的周长公式：C = 2πr，其中π取近似值3.14，r为半径。

- 圆的面积公式：S = πr²，其中π取近似值3.14，r为半径。

3. 弧与弦圆上的弧是圆上两点之间的曲线段，弧由圆心角所确定。

圆上任意两点之间的线段称为弦。

- 弧长：弧长可以通过圆心角与圆的周长的比例来计算，通常用字母l表示。

l = (θ/360) × 2πr，其中θ为圆心角的度数。

- 弦长：弦长可以通过半径和圆心角来计算，通常用字母s表示。

s = 2r × sin(θ/2)，其中θ为圆心角的度数。

4. 切线与切点在圆上，过圆上一点的直线称为切线，该点称为切点。

圆的切线与半径的关系如下：- 切线与半径的垂直关系：切线与通过切点的半径垂直相交。

- 切线的长度：切线的长度可以通过直角三角形的定理计算。

假设切点坐标为(x₀, y₀)，半径为r，则切线长为L = √(x₀² +y₀²)。

5. 弧度制与角度制圆的度量可以用角度制和弧度制来表示。

- 角度制：一个圆的360°被等分为若干个小部分，每个小部分被称为1度（1°）。

- 弧度制：一个圆的一周对应的弧长为2π，定义为2π弧度（2π rad），因此1弧度约等于57.3°。

6. 圆的其他性质- 在同一个圆上，相等弧所对圆心角相等，圆心角相等则所对弧相等。

- 在同一个圆上，位于圆上的两条弦相等，则其所对的圆心角相等。

初三数学知识点总结归纳圆

初三数学知识点总结归纳圆圆是初中数学中的一个基础概念，它在几何学和代数学中都有重要的应用。

本文将对初三数学中与圆相关的知识点进行总结归纳。

一、圆的定义和基本性质在几何学中，圆是由平面上距离固定点相等的所有点组成的集合。

圆由以下几个要素组成：1. 圆心：圆心是圆上每一个点到圆心的距离都相等的点，通常用字母O表示。

2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

3. 直径：直径是圆上通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。

4. 弦：弦是圆上连接两点的线段，它的两个端点可以在圆内、圆上或圆外。

基本性质：1. 圆上任意两点之间的距离都等于半径的长度。

2. 圆上的任意弦垂直于该弦所对应的圆心角。

3. 圆上的任意弦，如果和圆心的连线垂直，则它所对应的圆心角为直角。

4. 圆上的任意弦和半径所夹的圆心角相等。

5. 圆上的圆心角是弦所对应的两个弧所夹的角的一半。

二、圆的常见问题和计算公式1. 弧长和扇形面积：- 弧长公式：弧长 = 弧所对应的圆心角（单位：弧度） * 半径- 扇形面积公式：扇形面积 = 弧所对应的圆心角（单位：弧度） / 2 * 半径的平方2. 圆的周长和面积：- 周长公式：周长= 2 * π * 半径- 面积公式：面积= π * 半径的平方3. 相关角：- 同位角：同位角是两个弧之间或角之间所对应的相等的角。

- 对顶角：对顶角是两个相交弧所对应的两对相等角。

4. 切线与切点：- 切线是与圆只有一个交点的直线。

切线与半径所构成的夹角是直角。

- 切点是切线与圆的交点，切点到圆心的线段与切线垂直。

三、圆的相关定理1. 弧长和扇形面积等于整个圆的弧长和面积。

- 弧长：一个弧的弧长等于整个圆的弧长（360度）乘以弧所对应的圆心角度数除以360。

- 扇形面积：一个扇形的面积等于整个圆的面积乘以扇形所对应的圆心角度数除以360。

2. 切线与半径垂直- 切线与切点的切线垂直。

3. 弦上的角等于其所对应的弧所对应的圆心角的一半。

九年级数学第15讲.期末复习之圆中的重要结论及应用.尖子班.教师版.doc

15期末复习之圆中的重要结论及应用满分晋级阶梯圆 5 级圆中三大切线定理圆 6 级期末复习之圆的综合圆 7 级期末复习之圆中的重要结论及应用知识互联网秋季班第八讲秋季班第二讲秋季班第六讲秋季班第十三讲暑期班第六讲秋季班第十五讲题型一：婆罗摩笈多定理思路导航婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边 .典题精练C【例 1】如图， ⊙O 中， AB 、 CD 是两条互相垂直的弦，垂足为E ．N ⑴ 若 M 是 AD 的中点，延长 ME 交 BC 于 N ，求证： ENBC ；O ⑵ 若ENBC 于 N ，延长 NE 交 AD 于 M ，求证： M 是 AD 中点．AEB【解析】 ⑴ ∵ AB CD ， ∴ △ ADE 是直角三角形，M∵M 是AD 中点，∴AM ME MD ，D∴ A AEM ， A D 90 ， ∵ D B ， AEM BEN ，∴ B BEN 90 ，∴ BNE 90 ， ∴ EN BC ．⑵∵EN BC ，∴ BNE90 ， ∴ B BEN 90 ， ∵ DB ， AEM BEN ，∴DAEM90 ，∵ A D 90 ， ∴ A AEM ，∴ AM EM ， ∵ AEM DEM 90 ，∴ DEM D ，∴ EM DM ，∴ AM MD ，即 M 是AD 的中点．题型二：平行弦思路导航两条平行弦之间所夹的弧相等．典题精练AB【例 2】证明：两条平行弦之间所夹的弧相等．O【解析】如图， AB、 CD 是⊙ O 的两条弦，且 AB ∥ CD ．解法一：连接AD ，∵ AB∥CD ，∴ BAD ADC ，∴ AC BD ． A BO 解法二：过 O 点作AB的垂线交AB于E， C D交CD于F E显然 EF 是直径， A B由垂径定理可知AE BE，CF DF ，O∴ EAF AE CF EBF BE DF ， C D即 AC BD ． F题型三：弦切角定理思路导航弦切角定理1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．典题精练 C【例 3】如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AB是弦，则PABACB ．O【解析】连接 AO 并延长交⊙O 于D， B ∵ PA 是切线，∴DAP 90 ，A P∴DAB PAB 90 ，∵ AD 是直径，∴ABD 90 ，D ∴DAB ADB 90 ， C∴ADB PAB，∵ADB ACB O∴PAB ACB ． BA P题型四：圆幂定理思路导航1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．2. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．典题精练CA【例 4】 ⑴ 如图，弦 AB 和 CD 交于 ⊙ O 内一点 P ，求证：PA PB PC PD ． P 【解析】连接 AD 、 BCO易知 A C ， B D ，D∴△PAD ∽△ PCB ，∴PA PD，∴ PA PB PC PDPC PB⑵ 如图，已知 ⊙O 中，弦 AB25 ，M 是 AB 上一点， OA13 ，OM5 ，AM __________ ．ABC 则【解析】作过 O 、 M 两点的直径，分别交⊙O 于C 、D ，MB则由相交弦定理可知DAM BMCM DM8 18144 ， AO又AM BM25 ， ∴ AM16或9．P OB【例 5】 ⑴ 如图， PT 是 ⊙ O 的切线， T 是切点，PT 2PA PB ．【解析】连接 AT 、 BT ，由弦切角定理可知PTA PBT ， P∴△PTA ∽△ PBT ， ∴ PT PA ， PB PT ∴PT 2PA PB ．PAB 是割线，求证： TPAPTBPAOBO⑵ 如图，两圆相交于 C 、 D ， AB 为公切线，若AB 12，CD9 ，则 MD ____________ ．C【解析】 ∵ AB 是两圆的公切线，∴AM 2 MD MC ，BM 2MD MC ，∴ AMBM6 ，D 2MD MD 9 ，解得 MD 3 ．AMB∴ 6【例 6】 ⑴ 如图， PAB 、 PCD 是 ⊙ O 的割线，求证：【解析】解法一：过 P 点作切线 PT ，由切割线定理得 2PT PA PB ，同理 PT 2 PC PD ，∴ PA PB PC PD ．解法二：连接 AC 、 BD ，∵ A 、 B 、 C 、 D 四点都在圆上，∴ PAC PDB ， P P ∴△PAC ∽△ PDB ，∴PA PC ， PD PB∴ PA PB PC PD ．解法三：连接 AD 、 BCPA PBPC PD ．TBPAOCDBAPOCD BAPOCDBPAOCD易证 △ PAD ∽△ PCB ，即可得结论．⑵ 如图， AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD AB ，垂足为 E ，P 是线上的点，连结 PC 交 ⊙O 于 F ，如果 PF 7 ，FC 13 ，且 PA :AE EB:2:4:1 ，那么 CD 的长是 ______．FCBA 延长PAO EB【解析】 4 10D【例 7】请阅读下列材料：A C圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．PB如图 1，若弦 AB 、 CD 交于点 P ，则 PA PB PC PD ．O请你根据以上材料，解决下列问题.D图 1已知 ⊙O 的半径为 2， P 是 ⊙O 内一点，且 OP 1 ，过点 P 任作一弦 AC ，过 A 、 C 两点分别作 ⊙ O 的切线 m 和 n ，作 PQ m 于点 Q ， PRn 于点 R ．（如图 2）⑴ 若 AC 恰经过圆心 O ,请你在图 3 中画出符合题意的图形，并计算：1 1PQ的值；PR⑵ 若OPAC ，请你在图 4 中画出符合题意的图形，并计算：1 1的值；PQPR⑶ 若 AC 是过点 P 的任一弦（图 2） , 请你结合⑴⑵的结论 , 猜想：1 1PQ的值，并给出PR证明．QAmPR PPO CO O( 图2)n(图 3)(图 4)（ 09 东城一模）【解析】⑴ 如图 AC 过圆心 O ，且 m ，n 分别切 ⊙ O 于点 A 、 C ∴ ACm 于点 A ， ACn 于点 C ，∴Q 与 A 重合， R 与 C 重合． ∵ OP 1，AC 4 ，∴ 1 1 1 4PQ 1 3 ．PR 3 ⑵ 连接OA∵ OPAC 于点 P ，且 OP 1，OA 2 ， ∴ OAP 30 ，∴ AP 3 ，∵ OAm ，PQm ，∴ OA ∥ PQ ， PQA 90 ，∴ APQOAP 30 ，在 Rt △ AQP 中， PQ 3 ，2同理 PR3 ，Q2A∴1 12 24 mRPQ PR 3 3 ．PA3PCm1 1 4O⑶ 猜想 PR．OnPQ 3证明：过点 A 作直径交 ⊙ O 于点 E ，连结 EC ，∴ ECA90Cn ∵ AE m ，PQ m ， ∴ AE ∥ PQ 且 PQA 90Q MA∴ EACAPQ ，∴ △AEC ∽△PAQ ， mPRAC AE∴OPQ ，CAP同理△AEC ∽△PCR ，∴ ACAE．PRPC则AC AC AE AEPQ PR AP PC∴11 AE 1 1 AE AP PC AE ． PQPR AC AP PC AC AP PCAP PC过点 P 做直径交 ⊙O 于点 M 、N ，则有阅读材料可知 AP PCPM PN3 ，1 1 4∴PR ．PQ 3思维拓展训练 ( 选讲 )训练 1. 如图，半径为 2 5 的 ⊙ O 内有互相垂直的两条弦 AB 、 CD 相交于 P 点．CP⑴ 求证： PA PB PC PD ；AAD ；E⑵ 设 BC 的中点为 F ，连结 FP 并延长交 AD 于 E ，求证： EF ⑶ 若AB 8 ，CD 6 ，求 OP 的长．【解析】 ⑴ ∵ DAPBCP ， APDCPB ， D∴ △ APD ∽△ CPB ，∴APPD ，CPPB∴ PA PB PC PD ．⑵∵AB CD ， ∴ BPDBPC90 ，1 BCBF ，∵F 是BC 中点，∴PF2FBO∴ BPF PBF ， ∵ ADC PBC ，∴ ADP BPF∵ DPE BPF 90 ，∴ ADPDPE∴ DEP90 ，即 EF AD ．⑶ 过O 点作OM AB ，ON CD ，垂足分别为由垂径定理得 AM 4 ，CN 3 ，∴ OM 2 ，ON 11 ，易证得四边形 OMPN 是矩形，∴ OPOM 2ON 215 ．训练 2. ⑴ 如右图，在 ⊙ O 中，弦 AB 与半径 OC 相交于点若 AM 1.5，BM 4 ，则 OC 的长为（）A ．2 6B ． 6C ．2 390 ， C FPA MBM 、 N ENODAM ，且OM MC ， C O MBD ．2 2 CAPB⑵ 如右图，在 ⊙ O 中， P 为弦 AB 上一点， POPC ，PC 交⊙O 于C ，那么（）OA ． OP 2PA PB B ． PC 2 PA PB C ． PA 2PB PCD ． PB 2PA PCCD⑶ 如图， PC 是半圆的切线，且 PBOB ，过点 B 的切线交 PC 于点 D ，若 PC 6，则⊙O 半径为， CD : DP __________ ．A O BP⑷ 如图， AB 是 ⊙ O 的直径，弦 CD AB ，垂足为 E ， P 是 BA 延长线上的点，C连结 PC 交⊙O 于F ，如果 PF 7，FC 13 ，且 PA : AE : EB 2:4:1 ，那么 CD 的长是．FPBO E ⑴ D ；⑵ B ；⑶2 3；1:2；⑷ 4 10．A【解析】DDQ训练 3.如图，弦AB ，CD 交于点 Q ，弦 CF ∥ AP ， AP、 CD 交于点G，BF、PD 交于点E，求证： QE ∥ PA ．【解析】解法一：连接PB ，BD 和AD，并延长FB到点N．∵AP∥CF ，∴ AC PF ，∴ ADC FBP ．又∵DAQ BPD ，∴ △PEB ∽△ AQD ， DN ∴BE DQ．EP AQ又∵DBN CDGP ，∴DBE AGQ ， GAQ EDB ，∴ △AGQ ∽△ DBE ，∴DE AQ，BE GQ∴BE DE DQ AQ， EPBE AQ GQ即DE DQ，EP GQ∴QE∥AP．QA BGOEC PF解法二：可连接BD ，证明B、D、Q、E四点共圆．训练 4. 如图，在△ABC 中，过A、B两点作⊙O，使⊙O 切BC 于B，过A、C两点作⊙O' 切AB于A ，⊙O和⊙O '交于 D ，连接BC，CD，求证：BDCBACABC ．AO'O DCB【解析】如右图过 D 点分别作AB，AC的平行线，交BC 于E，F，连接AD则有EDF BAC ．只要证明BDE CDF ABC 即可． A∵BDE ABD ，CDF ACDBAD DBE ，O'∴BDE CDF ABC O DC∴BDC BAC ABC FEB第十七种品格：成就小纸条成就爱马仕1920 年，埃米尔·查尔斯·爱马仕新婚后不久,即搬入了代表继承人资格的爱马仕家的老屋。

北师大版九年级下册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)

北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.A．－1≤x≤1 B．≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．【答案】C；有公共点时，0≤OP≤，举一反三：类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且CF CB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴==∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【总结升华】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【答案与解析】解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．ABC D BC DB DC DA +=如图，△是等边三角形，是上任一点，求证：.【思路点拨】由已知条件，等边△ABC 可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB ＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB 至点E ，使BE ＝DC ，连结AE∵△ABC 是等边三角形∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°∵四边形ABDC 是圆内接四边形∴∠ABE ＝∠ACD在△AEB 和△ADC 中，∴△AEB ≌△ADC∴AE ＝AD∵∠ADB ＝60°∴△AED 是等边三角形∴AD ＝DE ＝DB ＋BE∵BE ＝DC∴DB ＋DC ＝DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。

初三圆知识点总结归纳

初三圆知识点总结归纳在初三数学学习中，圆是一个重要的几何形状。

本文将对初三圆的相关知识点进行总结归纳，帮助同学们更好地理解和掌握圆的性质与计算方法。

一、圆的基本概念圆是指平面上与给定点距离相等的所有点的集合。

其中，给定的点叫做圆心，所有与圆心距离相等的点叫做圆上的点，而半径则是圆心到圆上任意一点的距离。

二、圆的性质1. 圆的直径、半径和弦- 直径：通过圆心的一条线段，且与圆上两个点相交。

- 半径：圆心到圆上任意一点的距离，也是圆的直径的一半。

- 弦：圆上的一条线段，两端点在圆上。

2. 圆的周长和面积- 周长：圆的周长也叫圆周长，等于圆的直径与圆周之间的比例（π）。

- 面积：圆的面积等于圆周长度（C）与直径的关系（π）。

三、圆的重要定理1. 切线定理- 定理一：圆的半径与切线的垂直段的平方之和等于切线段的平方。

- 定理二：直线与圆相切，则切线垂直于直径。

2. 弧长定理- 在同一个圆或者等圆中，属于同一个圆弧的两条弧所对的圆心角相等。

- 在同一个圆或者等圆中，圆心角相等的弧所属的圆弧长也相等。

3. 弦切角定理- 当一个半径与一条弦相交时，弦上的弧所对的圆心角等于半径与弦的夹角。

- 等弧所对的圆心角相等。

四、圆的计算方法1. 利用圆的周长计算半径和直径：- 已知周长求半径：半径 = 周长/ (2 * π)- 已知周长求直径：直径 = 周长/ π2. 利用圆的面积计算半径和直径：- 已知面积求半径：半径= √(面积/ π)- 已知面积求直径：直径= √(4 * 面积/ π)五、例题演练1. 题目一：已知圆的直径为10cm，求其面积和周长。

解答：半径 = 直径 / 2 = 10cm / 2 = 5cm面积= π * 半径² = π * 5² ≈ 78.54cm²周长= 2 * π * 半径= 2 * π * 5 ≈ 31.42cm2. 题目二：已知圆的周长为18.84cm，求其半径和直径。

初三数学九上圆所有知识点总结和常考题型练习题

圆知识点一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC=弧BD五、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE∠=∠；②AB DE=；③OC OF=；④弧BA=弧BD六、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

九上圆的题型分类知识点+例题+练习(非常好分类全面)

教学内容圆的题型分类教学目标巩固圆的相关题型重点垂径定理、切线性质的运用难点垂径定理、切线性质的运用教学过程圆中辅助线1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等角关系【类型1】：圆的基本性质的综合应用1.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=【变式练习】2.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC 的长为【类型2】：圆的相切和圆中位置关系的问题题型一：连半径，证垂直例1、如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD 的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．【课堂练习】1、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE 交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；3、如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．4、如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O 是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径．5、如图，四边形ABCD是菱形，对角线BD上有一点O，以O为圆心，OD长为半径的圆记为⊙O。

九年级下圆-知识点总结

九年级下圆-知识点总结九年级下圆—知识点总结九年级下学期，我们学习了许多有关圆的知识，包括圆的定义、性质、相关定理等。

下面就九年级下圆的知识点进行总结。

一、圆的定义与性质圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。

圆的性质有以下几点：1. 圆上任意两点之间的距离相等。

2. 圆心到圆上任意一点的距离相等，这个距离称为圆的半径。

3. 圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。

二、圆的相关定理1. 圆的直径是圆的最长的一条弦, 而圆的半径是最短的一条弦。

2. 圆的弧是两个端点在圆上的弦所对应的一段圆的长度。

3. 两条相交弦的乘积等于它们各自所分割的弧的乘积。

即，当AB和CD两条弦相交于点E时，有AE * BE = CE * DE。

4. 切线和半径垂直，切线是与圆相切于一点的直线。

切线和切线之间的夹角等于两条切线所对应的弧所夹的圆心角的一半。

5. 圆内接四边形的两条对角线之和等于常量。

即，当一个四边形的四个顶点都在同一个圆上时，它的两条对角线的和保持不变。

三、圆的面积与周长圆的周长是圆上任意一点到圆心的距离，也就是圆的半径乘以2π，即周长 = 2πr。

圆的面积是圆内的所有点构成的平面图形的大小，圆的面积公式为S = πr²，其中S表示面积，r表示半径。

四、圆锥与圆柱圆锥是由一个底面为圆的曲面和一个顶点所组成的立体图形。

圆柱是由两个平行的底面为圆的曲面和连接两个底面的侧面所组成的立体图形。

五、圆的应用1. 圆的运动：我们生活中有许多与圆相关的物体或现象，比如车轮的旋转、地球的公转等，这些都是圆的运动。

2. 圆的建筑与装饰：许多建筑物和装饰品中都用到了圆的形状，如钟楼、建筑的圆顶、圆形花坛等。

3. 圆的测量与制作：在工程测量和制图中经常用到圆的测量与制作，例如圆柱的体积计算、圆形图形的绘制等。

以上就是九年级下圆的知识点总结。

通过学习这些知识，我们对圆的性质和应用有了更深入的了解，也能更好地应用于实际生活中。

初三数学圆知识点

初三数学圆知识点数学，作为一门重要的基础学科，对于学生的学习和发展起着重要的作用。

其中，圆是初中数学中的重要知识点之一。

本文将围绕圆的定义、性质、常见定理以及解题技巧展开讨论，帮助同学们更好地理解和掌握圆的相关概念。

一、圆的定义和常见性质圆是指平面上到一个固定点的距离等于一个定值的点的集合。

其中，这个固定点称为圆心，这个定值称为半径。

圆的性质有以下几点：1. 圆心角与弧度关系：圆心角的弧度等于弧长除以半径。

2. 圆内接四边形：圆内接四边形的两对对角线互相垂直。

3. 弧长公式：弧长等于圆心角的弧度乘以半径。

4. 扇形的面积：扇形的面积等于圆心角的弧度除以2π乘以圆的面积。

二、相关定理1. 弧长定理：弧长等于圆心角的弧度乘以半径。

2. 圆的面积公式：圆的面积等于π乘以半径的平方。

3. 相交弦定理：两条相交弦所夹的圆心角相等。

4. 正切定理：切线与半径的夹角为直角。

5. 切线定理：切线与半径的夹角相等时，它们的长度也相等。

三、解题技巧1. 通过给定的条件，利用性质和定理建立方程，从而解题。

比如，已知一弧长和圆心角的关系，可以通过等量关系解方程，求得所需的未知数。

2. 注意理解和应用公式，合理运用。

面积、弧长和半径等之间的关系，可以通过公式相互转换和运用，解决复杂的圆相关题目。

3. 运用几何直觉进行推理和分析。

通过图形上的观察和想象，帮助理解和解决问题。

四、例题分析例1：若圆的半径为5cm，求它的弧长和面积。

解析：根据圆的性质和公式，可以得出弧长等于圆心角的弧度乘以半径。

由于整个圆的圆心角为360度（2π弧度），所以弧长等于2π乘以半径，即2π×5=10π cm。

面积等于π乘以半径的平方，即π×5×5=25π cm²。

例2：已知一个半径为4cm的圆上有一条长为6cm的弦AB，求弦与半径的夹角。

解析：由于弦与半径的夹角为直角，可根据勾股定理求解。

设弦与半径的夹角为θ，则可得出4²+（6/2）²=4²+3²=25，因此AB与半径的夹角的正切为3/4。

九上第三章圆的基本性质(知识点总结)

第三章圆的基本性质（知识点总结）1、在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，以点O 为圆心的圆，记作☉O ，读作“圆O 。

2、以3cm 为半径画圆，能画多少个？以点O 为圆心画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？-----半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置圆是“圆周”还是“圆面”？圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

3、与圆有关的概念（1）弦和直径；（2）弧和半圆；（3）等圆；（4）同心圆4、点与圆的位置关系。

（1）点在圆外＜＝＞点到圆心的距离大于半径（2）点在圆上＜＝＞点到圆心的距离等于半径（3）点在圆内＜＝＞点到圆心的距离小于半径5、过已知点作圆（1）经过一个点，能作出多少个圆？（2）经过两个点，如何作圆，能作多少个？（3）经过三个点，如何作圆，能作多少个？6、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

三角形的外心到各顶点距离相等。

“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内。

一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。

锐角三角形外心在圆内；直角三角形外心在圆上；钝角三角形外心在圆外。

7、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

（3）圆的两条平行弦所夹的弧相等所以a 、经过圆心b 、垂直于弦c 、平分弦d 、平分弧，a 四者中有一对量相等，其它所对的量也相等8、在同圆中，已知两平行弦长，要求两弦间的距离，要考虑两种情况：两弦分布在圆心同侧；两弦分布在圆心两侧，根据2221）（l r d -=得，当两弦在圆心同侧21d d d +=；在圆心异侧则21d d d -=。

初三数学圆知识点总结.docx

初三数学圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段 OA绕着它的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点 P 是否在⊙ O上．设⊙ O的半径为 R，OP＝ d，则有d>r 点 P 在⊙ O 外；d＝r点P在⊙ O上；d<r 点 P 在⊙ O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I ”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍，通常用 G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离 d 等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙ O 半径为 R，点 O到直线 l 的距离为 d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙ O有唯一公共点直线 l 和⊙ O相切d＝ R．(3)直线 l 和⊙ O 有两个公共点直线 l和⊙ O 相交 d<R．9．圆和圆的位置关系：设的半径为 R、r(R>r) ，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r ．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－ r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r ．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r ．(5)有两个公共点相交R－ r<d<R＋r ．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长 C＝ 2πR．圆心角为 n°、半径为 R 的弧长．圆心角为 n°，半径为 R，弧长为 l 的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为 2π Rl ，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为 l ，高为 h 的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】例 1 如图 23-2 ，已知 AB为⊙ O直径， C为上一点，CD⊥AB于D，∠ OCD的平分线 CP交⊙ O于 P，试判断 P 点位置是否随 C 点位置改变而改变？分析：要确定 P 点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P 点位置的变化，然后从中观察规律．解：连结 OP，P 点为中点．小结：此题运用垂径定理进行推断．例2 下列命题正确的是 ( )A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．解：A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以 A 不正确．B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此 B 正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于此弦．故选 B．例3 四边形 ABCD内接于⊙ O，∠ A︰∠ B︰∠ C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠ A＝x，∠ B＝2x，∠ C＝3x，则∠ D＝∠ A＋∠ C－∠ B＝2x．x＋2x＋3x＋ 2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形 ABCD外切于⊙ O，周长为 20，且 AB︰BC︰ CD＝1︰ 2︰ 3，求 AD的长．例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4 所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得 PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过 P 点作直线 OP⊥ PA，再用三角板画一个顶点为 A、一边为 AP、大小为 60°的角，这个角的另一边与 OP的交点即为圆心 O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例 5已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦 AB＝ 16，求两圆的圆心距．解：分两种情况讨论：(1) 若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵ AB＝ 16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2) 若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与 AB交于 C，连结．∵垂直平分 AB，∴．又∵ AB＝ 16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

初三数学圆知识点总结计划及经典例题详解

初三数学圆知识点总结计划及经典例题详解1．半圆或直径所对的圆周角是直角.2．任意一个三角形必然有一个外接圆.3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.6．同圆或等圆的半径相等.7．过三个点必然能够作一个圆.8．长度相等的两条弧是等弧.9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.10．经过圆心均分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的地址关系1．直线与圆有唯一公共点时, 叫做直线与圆相切.2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.5．垂直于半径的直线必为圆的切线.6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7．垂直于半径的直线是圆的切线.8．圆的切线垂直于过切点的半径.圆与圆的地址关系1．两个圆有且只有一个公共点时, 叫做这两个圆外切.2．订交两圆的连心线垂直均分公共弦.3．两个圆有两个公共点时, 叫做这两个圆订交.4．两个圆内切时, 这两个圆的公切线只有一条.5．相切两圆的连心线必过切点.正多边形基本性质1．正六边形的中心角为60°.2．矩形是正多边形.3．正多边形都是轴对称图形.4．正多边形都是中心对称图形.圆的基本性质?初三数学圆知识点总结计划及经典例题详解1．如图，四边形ABCD内接于⊙ O, 已知∠ C=80° , 则∠ A 的度数是.C A.50 ° B. 80°OC.90 °D. 100°? 2．已知：如图，⊙O中,圆周角∠ BAD=50° , 则圆周角∠ BCD的度数是 .A B°°°°.A3．已知：如图，⊙O中,圆心角∠ BOD=100°, 则圆周角∠ BCD的度数是A°°°°?O4．已知：如图，四边形 ABCD内接于⊙ O，则以下结论中正确的选项是.B O?DA. ∠ A+∠ C=180°B. ∠ A+∠C=90°C BDC.∠ A+∠ B=180°D. ∠ A+∠B=90CA5．半径为5cm 的圆中 , 有一条长为6cm 的弦 , 则圆心到此弦的距离为.O6．已知：如图，圆周角∠BAD=50° , 则圆心角∠ BOD的度数是.°°°7．已知：如图，⊙O中, 弧AB的度数为 100°, 则圆周角∠ ACB的度数是.°°°8.已知：如图，⊙O中, 圆周角∠ BCD=130° , 则圆心角∠ BOD的度数是.°°°°9.在⊙ O 中, 弦 AB 的长为 8cm,圆心 O 到 AB 的距离为 3cm,则⊙ O 的半径为?B DC AA ?OB D O?CA B D Ccm..4C D. 10?O 点、直线和圆的地址关系B DC1．已知⊙ O的半径为10 ㎝ , 若是一条直线和圆心 O的距离为10 ㎝ , 那么这条直线和这个圆的地址关系为.A. 相离B.相切C.订交D.订交或相离2．已知圆的半径为 6.5cm, 直线 l和圆心的距离为 7cm, 那么这条直线和这个圆的地址关系是.A. 相切B.相离C.订交D.相离或订交3．已知圆 O的半径为 6.5cm,PO=6cm,那么点 P 和这个圆的地址关系是A. 点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能够确定4．已知圆的半径为 6.5cm, 直线 l 和圆心的距离为 4.5cm, 那么这条直线和这个圆的公共点的个数是.个个个 D.不能够确定5．一个圆的周长为 a cm, 面积为 a cm2，若是一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的地址关系是.A. 相切B.相离C.订交D.不能够确定6．已知圆的半径为 6.5cm, 直线 l和圆心的距离为6cm, 那么这条直线和这个圆的地址关系是.A. 相切B.相离C.订交D.不能够确定7.已知圆的半径为 6.5cm, 直线 l和圆心的距离为4cm, 那么这条直线和这个圆的地址关系是.A. 相切B.相离C.订交D.相离或订交8.已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO的中点和这个圆的地址关系是.A. 点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能够确定圆与圆的地址关系1．⊙ O 和⊙ O 的半径分别为3cm 和 4cm，若 OO =10cm，则这两圆的地址关系是.1212A. 外离B.外切C.订交D.内切2．已知⊙O1、⊙ O2的半径分别为3cm和 4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的地址关系是.A. 内切B.外切C.订交D.外离3．已知⊙ O、⊙ O 的半径分别为3cm和 5cm,若 OO=1cm,则这两个圆的地址关系是.1212A. 外切B.订交C.内切D.内含4．已知⊙O1、⊙ O2的半径分别为3cm和 4cm,若O1O2==7cm,则这两个圆的地址关系是.A. 外离B.外切C.订交D.内切5．已知⊙ O1、⊙ O2的半径分别为3cm 和 4cm，两圆的一条外公切线长 4 3，则两圆的地址关系是.A. 外切B.内切C.内含D.订交6．已知⊙O1、⊙ O2的半径分别为2cm和 6cm,若O1O2=6cm,则这两个圆的地址关系是.A. 外切B.订交C.内切D.内含公切线问题1．若是两圆外离，则公切线的条数为.A. 1条条条条2．若是两圆外切，它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条条条3．若是两圆订交，那么它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条条条4．若是两圆内切，它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条条条5. 已知⊙ O、⊙ O 的半径分别为3cm和 4cm,若 OO=9cm,则这两个圆的公切线有条 .1212条 B. 2条 C. 3条 D. 4条6．已知⊙ O1、⊙ O2的半径分别为3cm和 4cm,若 O1O2=7cm,则这两个圆的公切线有条 .条 B. 2条 C. 3条 D. 4条正多边形和圆1．若是⊙ O的周长为10π cm，那么它的半径为.A. 5cm10π cm2．正三角形外接圆的半径为2, 那么它内切圆的半径为.A. 2B.3 D.23．已知 , 正方形的边长为2, 那么这个正方形内切圆的半径为.A. 2B. 1C.2D.34．扇形的面积为2, 半径为 2, 那么这个扇形的圆心角为=.3°5．已知° ° D.120 , 正六边形的外接圆半径为°R, 那么这个正六边形的边长为.12 D.3R26．圆的周长为 C, 那么这个圆的面积S=.A. C 2B. C 2C. C 2D. C 224 7．正三角形内切圆与外接圆的半径之比为. :2:3 C. 3 :2:2 8.圆的周长为 C, 那么这个圆的半径R=.C B.C C.CD.C 29. 已知 , 正方形的边长为2, 那么这个正方形外接圆的直径为..4C2310．已知 , 正三角形的外接圆半径为3, 那么这个正三角形的边长为.A. 3B.323。

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