初中数学_二次函数和一元二次方程_习题及解析
中考数学《二次函数与一元二次方程》专项练习题及答案
中考数学《二次函数与一元二次方程》专项练习题及答案.()=--2y x x my=mA．0个B．1个C．2个D．3个7．二次函数()20y ax bx c a =++≠()1,0-A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个，使得ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（A．1个B．2个C．3个D．4个A．1个B．2个C．3个D．4个四个根的和为4-．其中正确的结论有_____．12．如图，抛物线1C ：223y x x =+-与抛物线2C ：2y ax bx c =++组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线1C 和抛物线2C 与x 轴有着相同的交点A 、B （点B 在点A 右侧），与y 轴的交点分别为C 、D ．如果BD CD =，那么抛物线2C 的表达式是______．13．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的一部分如图所示，已知图象经过点()2,0-其对称轴为直线 2.x =下列结论①0abc >；①240b ac -<；①80a c +>；①9315a b c a ++=-；①点()()123,0,C y D y 是抛物线上的两点，则12y y <；①若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，7.正确的有______ (填序号).14．已知y 是关于x 的函数，若该函数的图象经过点(),P t t ，则称点P 为函数图象上的“平衡点”，例如：直线23y x =-+上存在“平衡点”()1,1P ，若函数()2132y m x x m =--+的图象上存在唯一“平衡点”，则m =___________．15．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a c ≠），且0a b c -+=，0a >下列四个结论：①对于任意实数m ，()()2110a m b m -+-≥恒成立；①若0a b +=，则不等式20ax bx c ++<的解集是12x -<<； ①一元二次方程()222a x bx b c --+=+有一个根1x =；①点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若c a >，则当121x x -<<时，总有12y y <．其中正确的是__________．（填写序号）(1)求点M 的坐标；（用含m 的式子表示）时，请求出ODE 面积(3bx a +≠(1)求该二次函数解析式；，求BCP面积的最大值；所得新函数图象如图轴交于C点，(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；1．B2．B3．B4．D5．A6．D7．C。
初中数学二次函数一元二次方程练习题(附答案)
初中数学二次函数一元二次方程练习题 一、单选题1.如果方程()()23330m x m x --++=是关于x 的一元二次方程，那么m 不能取的值为（ ）A.3±B.3C.3-D.都不对2.下面关于x 的方程中①20ax bx c ++=;②223(9)(1)1x x --+=;③2150x x++=;④232560x x -+-=;⑤2233(2)x x =-;⑥12100x -=是一元二次方程的个数是( )A.1B.2C.3D.43.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 为（ ）A.2-B.1C.2D.04.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )A. 31y x =-B. 2y ax bx c =++C. 2221s t t =-+D. 21y x x=+5.已知(2)2m y x m x =+-+是关于x 的二次函数，那么m 的值为( ) A.2- B.2 C.2± D.06.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.7.在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =-与y bx a =+的图象可能是( ) A. B. C. D.8.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（）A.16(12)25x +=B.25(12)16x -=C.216(1)25x +=D.225(1)16x -=9.如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0).给出下列结论：①0a >；②20a b +=；③0a b c ++>；④当13x -<<时，0y >.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、证明题10.如图,四边形ABCD 是平行四边形, E 、F 是对角线BD 上的点, 12∠=∠.1.求证: BE DF =;2.求证: //AF CE . 11.已知抛物线212y x bx c =++经过点3(10),0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1.求该抛物线的函数解析式；2.将抛物线212y x bx c =++平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的图象所对应的函数表达式。
九年级数学：二次函数与一元二次方程练习题(含解析)
九年级数学：二次函数与一元二次方程练习题（含解析）
1.某一抛物线开口向下,且与x 轴无交点,则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 (只写一个),此类函数都有______值(填“最大”“最小”).
2.若抛物线y =x 2－(2k +1)x +k 2+2,与x 轴有两个交点,则整数k 的最小值是______.
3.等腰梯形的周长为60 cm,底角为60°,当梯形腰x =______时,梯形面积最大,等于______.
4.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题,其中是假命题的个数是（ ） ①当c =0时,函数的图象经过原点; ②当b =0时,函数的图象关于y 轴对称; ③函数的图象最高点的纵坐标是a
b a
c 442
;④当c >0且函数的图象开口向下时,方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
5.抛物线y =kx 2
－7x －7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是( )
A.k >－47;
B.k ≥－47且k ≠0;
C.k ≥－47;
D.k >－47且k ≠0 6.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根.
(1)4x 2-8x +1=0; (2)x 2-2x -5=0;
(3)2x 2-6x +3=0; (4)x 2-x -1=0.
参考答案
1.y=－x2+x－1 最大
2. 2
3. 15 cm
4.B
5.B
6.解：(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.4,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6。
人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步测试题及答案
人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步测试题及答案一、单选题1．根据表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，可以判断方程20ax bx c ++=的一个解x 的范围是（ ）x0 0.5 1 1.5 2 2y ax bx c =++ -1-0.513.57A ．00.5x <<B ．0.51x <<C ．1 1.5x <<D ．1.52x <<2．如表是一组二次函数y ＝x 2﹣x ﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x 2﹣x ﹣3＝0的一个近似根是（ ）x 1 2 3 4 y ﹣3﹣1 39 A ．1.2B ．2.3C ．3.4D ．4.53．下表给出了二次函数()20y ax bx c a =++≠中x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个近似解1x 的范围为（ ）x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y…1.16-0.71-0.24-0.250.76…A ．11.2 1.3x <<B ．11.3 1.4x <<C ．11.4 1.5x <<D ．11.5 1.6x <<4．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②24b ac >；③a (m 2−1)+b (m −1)<0(m ≠1)；④关于x 的方程21ax bx c ++=有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．②③5．根据下列表格中二次函数y ＝ax 2+bx+c 的自变量x 与y 的对应值，判断关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（ ）x ﹣1 0 1 2 3 4 y﹣7﹣5﹣151323A ．1＜x ＜2B ．﹣1＜x ＜1C ．﹣7＜x ＜﹣1D ．﹣1＜x ＜56．已知二次函数224y x x =-+，下列关于其图象的结论中，错误．．的是（ ） A ．开口向上B ．关于直线1x =对称C ．当1x >时，y 随x 的增大而增大D ．与x 轴有交点7．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标(1,)n ，与y 轴的交点在0203（，），（，）之间（包含端点），则下列结论：①30a b +<；②213a -≤≤-；③对于任意实数m2(1)(1)0a m b m -+-≤总成立；④关于x 的方程214ax bx c a ++=-无实数根．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．将抛物线2(1)y x =+的图象位于直线9y =以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y x m =+与此图象有四个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．574m << B ．354m << C ．495m << D ．374m << 9．已知函数f （x ）＝x 2+2x ，g （x ）＝2x 2+6x +n 2+3，当x ＝1时，f （1）＝12+2×1＝3，g （1）＝2+6+n 2+3＝n 2+11．则以下结论正确的有（ ）①若函数g （x ）的顶点在x 轴上，则6n = ②无论x 取何值，总有g （x ）＞f （x ）；③若﹣1≤x ≤1时，g （x ）+f （x ）的最小值为7，则n ＝±3； ④当n ＝1时，令()()2()g x h x f x =，则h （1）•h （2）…h （2023）＝2024．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知，抛物线y ＝ax 2＋2ax 在其对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，关于x 的方程ax 2＋2ax ＝m （m＞0）的一个根为﹣4，而关于x 的方程ax 2＋2ax ＝n （0＜n ＜m ）有两个整数根，则这两个根的积是（ ） A ．0B ．﹣3C ．﹣6D ．﹣8二、填空题11．若抛物线2=2++y x mx n -与x 轴交于A ，B 两点，其顶点C 到x 轴距离是8，则线段AB 的长为 ． 12．根据下列表格的对应值，判断20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的取值范围是x3.23 3.24 3.25 3.26 2ax bx c ++ 0.06-0.02-0.030.0913．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A （﹣4，8），B （2，2），则关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的解为 ．14．抛物线 2y ax bx c =++ （a ，b ，c 为常数， 0a > ）经过两点 ()()2,0,4,0A B - ，下列四个结论：①20b a += ；②若点 ()()2020,,2021,m n - 在抛物线上，则 m n < ；③0y > 的解集为 2x <- 或 4x > ；④方程 ()21a x bx c x +++=- 的两根为 123,3x x =-= .其中正确的结论是 （填写序号）.15．若抛物线25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x bx +-213x =-的解为 .16．若一元二次方程()200ax bx c ac ++=≠有两个不相等实根，则下列结论：①240b ac ->；②方程20cx bx a ++=一定有两个不相等实根；③设2bm a=-，当0a >时，一定有22am bm ax bx +≤+；④s ，()t s t <是关于x 的方程()()10x p x q +--=的两根，且p q <，则q t s p >>>，一定成立的结论序号是 ．17．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0)c <经过(11)，，(0)m ，和(0)n ，三点，且3n ≥. 下列四个结论：①0b <；②2414ac b a->；③当3n =时，若点(2)t ，在该抛物线上，则>1t ；④若关于x 的一元二次方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根，则10<3m ≤. 其中正确的是 （填序号即可）.18．抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，经过点()3,n -，顶点为D ，下列四个结论：21a b +=①；240b ac ->②；③关于x 的一元二次方程2ax bx c n ++=的解是13x =-和25x =；④设抛物线交y 轴于点C ，不论a 为何值，直线CD 始终过定点()15,n -．其中一定正确的是 （填写序号）．三、解答题19．已知抛物线的顶点坐标为()2,0，且经过点()1,3-．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点(m,−27)在该抛物线上，求m 的值．20． 排球场的长度为18m ，球网在场地中央且高度为2.24.m 排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度(y 单位：)m 与水平距离(x 单位：)m 近似满足函数关系()²(0)y a x h k a =-+<．（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/x m 0 2 4 6 11 12 竖直高度/y m2.482.722.82.721.821.52①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系()²(0)y a x h k a =-+<； ②判断该运动员第一次发球能否过网 ▲ (填“能”或“不能”)．（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度(y 单位：)m 与水平距离(x 单位：)m 近似满足函数关系()20.024 2.88y x =--+，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．21．如图，抛物线()2y ax bx c a 0=++≠经过点()A 03，，()B 23，和()C 10-，，直线()y mx n m 0=+≠经过点B ，C ，部分图象如图所示，则：（1）该抛物线的对称轴为直线 ；（2）关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=的解为 ； （3）关于x 的一元二次方程2ax bx c mx n ++=+的解为 ．22．已知抛物线y=ax 2+x+1（0a ≠）（1）若抛物线的图象与x 轴只有一个交点，求a 的值； （2）若抛物线的顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．23．如图，二次函数y ＝2x ＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴交于点Q ，过点Q 的直线y＝2x ＋m 与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点B ，若S △BPQ ＝3S △APQ ，求这个二次函数的解析式．24．二次函数解析式为223y ax x a =--．（1）判断该函数图象与x 轴交点的个数；（2）如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于D ，点C 的坐标是()3,0，求直线CD 的解析式；（3）请你作一条平行于x 轴的直线交二次函数的图象于点M ，N ，与直线CD 于点R ，若点M ，N ，R 的横坐标分别为m ，n ，r ，且r m n <≤，求m n r ++的取值范围．25．抛物线L ：212y x bx c =-+与直线L '：22y kx =+交于A 、B 两点，且()2,0A ．（1）求k 和c 的值（用含b 的代数式表示c ）； （2）当0b =时，抛物线L 与x 轴的另一个交点为C ． ①求ABC 的面积；②当15x -≤≤时，则1y 的取值范围是_________．（3）抛物线L ：212y x bx c =-+的顶点(),M b n ，求出n 与b 的函数关系式；当b 为何值时，点M 达到最高．（4）在抛物线L 和直线L '所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当20b =-时，直接写出“美点”的个数_________．参考答案1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】412．【答案】3.24 3.25x << 13．【答案】x 1＝﹣4，x 2＝2 14．【答案】①③ 15．【答案】1224x x ==， 16．【答案】①②③④ 17．【答案】②③④ 18．【答案】④③19．【答案】（1）y =−3(x −2)2（2）5m =或1-20．【答案】（1）解：①由表中数据可得顶点()42.8，设2(4) 2.8(0)y a x a =-+<把()02.48，代入得16 2.8 2.48a += 解得：0.02a =-∴所求函数关系为20.02(4) 2.8y x =--+；②能．（2）解：判断：没有出界．第二次发球：()20.024 2.88y x =--+ 令0y =，则()20.024 2.880x --+= ，解得18(x =-舍) 216x =21618x =<∴该运动员此次发球没有出界．21．【答案】（1）x 1=（2）1x 1=- 2x 3= （3）1x 2= 2x 1=-22．【答案】（1）解：由题意得方程ax 2+x+1=0有两等实数根．∴△＝b 2-4ac ＝1-4a ＝0，∴a ＝14． ∴当a ＝14时函数图象与x 轴恰有一个交点； （2）解：由题意得4104a a-> 当a ＞0时，4a -1＞0，解得a ＞14；当a ＜0时，4a -1＜0，解得a ＜14．∴a ＜0.∴当a ＞14或a ＜0时，抛物线顶点始终在x 轴上方．23．【答案】y ＝x 2﹣4x+424．【答案】（1）函数图象与x 轴交点的个数是2（2）3y x =- （3）12m n r ≤++<25．【答案】（1）1k =- 44c b =-（2）10；1421y -≤≤ （3）244n b b =-+- 2b = （4）90。
九年级数学二次函数与一元二次方程(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：二次函数与一元二次方程之间的关系:①一元二次方程的根是二次函数的图象与_____________；当时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当时，二次函数图象与x轴_______交点．②方程的根是对应的________________，求两个函数交点的坐标就是求对应方程组的解．问题2：结合一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，思考函数y值比大小，主要利用函数的________和数形结合；两函数值比大小，借助数形结合，_____________________．二次函数与一元二次方程一、单选题(共10道，每道10分)1.若关于x的二次函数的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式2.如图是二次函数（a，c为常数，）与一次函数（k，b为常数，）的图象，方程的解为_______；不等式的解集为_________．( )A.；B.；C.；D.；答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想3.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当时，x的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的对称性4.若一元二次方程的两个实数根分别为，则实数的大小关系为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象上点的坐标特征5.已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，则实数的大小关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移6.方程的根有( )个．A.0B.1C.2D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想7.方程的根的个数为( )个A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想8.已知函数，当直线y=k与此图象有两个公共点时，k的取值范围是( )A. B.C. D.或k=-1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想9.关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想10.方程（k是实数）有两个实根，且，那么k的取值范围是( ) A. B. C. D.无解答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想第11页共11页。
二次函数与一元二次方程(习题及答案)
二次函数与一元二次方程（习题）1. （1）一元二次方程-x 2-4x +4=2x -3的根为_____________，直线y =2x -3与抛物线y =-x 2-4x +4的交点坐标为___________．（2）若二次函数的图象经过点A (1，0)，B (-4，0)，C (0，4)，则该二次函数的表达式为________________．2. 已知二次函数y =x 2+4x +m 的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为______；若y =-x 2+2x +m 的函数值总为负数，则图象顶点在第_____象限，m 的取值范围是_________．3. 在平面直角坐标系中，抛物线y =(x +5)(x -3)经过向右平移____个单位后得到抛物线y =(x +3)(x -5)；平移后的抛物线与x 轴的交点为___________．4. 已知二次函数y =x 2+2x +m 的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则C 1的顶点坐标为__________．5. 若关于x 的一元二次方程x 2-x -n =0无实数根，则函数y =x 2-x -n 的图象顶点在第____象限．6. 二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示，当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．-1＜x ＜3B ．x ＜-1C ．x ＞3D ．x ＜-1或x ＞3第6题图 第7题图7. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，若ax 2+bx +c +k =0（k ≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜-3B ．k ＞-3C ．k ＜3D ．k ＞38. 抛物线y =-x 2+bx +c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是（ ）A ．-4＜x ＜1B ．-3＜x ＜1C ．x ＜-4或x ＞1D ．x ＜-3或x ＞1第8题图 第9题图 9. 函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据该图象提供的信息，可求得使y ≥1成立的x的取值范围是（ ） A ．-1≤x ≤3B ．-1＜x ＜3C ．x ＜-1或x ＞3D ．x ≤-1或x ≥3复习巩固10. 如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是（ ） A ．-1＜x ＜5B ．x ＞5C ．x ＜-1且x ＞5D ．x ＜-1或x ＞5第10题图 第11题图11. 如图，若抛物线y =x 2+1与双曲线ky x=的交点A 的横坐标为1，则关于x 的不等式210xx k++<的解集是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜-1 C ．0＜x ＜1 D ．-1＜x ＜012. 若二次函数的图象y =(m -2)x 2+x 与直线y =2x -1没有交点，求m 的取值范围．13. 已知P (-3，m )和Q (1，m )是抛物线y =2x 2+bx +1上的两点．（1）求b 的值；（2）将抛物线y =2x 2+bx +1的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，请判断新抛物线与x 轴的交点情况．14. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，其对称轴为直线x =-1．给出下列结论：①abc ＞0；②2a +b =0；③a +b +c ＞0；④a -b +c ＜0．其中正确的是（ ） A ．②③B ．①③④C ．①②④D ．③④15. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m (am +b )（m ≠1）；④(a +c )2＜b 2；⑤a ＞1．其中正确的是（ ） A ．①⑤B ．①②⑤C ．②⑤D ．①③④1. 对于二次函数y =ax 2+bx +c 和一元二次方程ax 2+bx +c =0的关系，尝试着进行总结：①函数与x 轴交点坐标，与方程的根：_________________________________________________． ②函数与x 轴交点个数，与方程解的个数：当Δ＞0时，函数与x 轴有____个交点，方程有______根； 当Δ=0时，函数与x 轴有_____个交点，方程有_______根； 当Δ＜0时，函数与x 轴______交点，方程________根．思考小结【参考答案】复习巩固1.（1）x1=1，x2=-7；(1，-1)，(-7，-17)；（2）y=-x2-3x+42.4；四；m＜-13.2；(-3，0)，(5，0)4.(-1，0)5.一6. A7. C8. B9. D10. D11. D12.m的取值范围是94m ．13.（1）b的值为4；（2）新抛物线与x轴无交点．14. D15. A思考小结1.①函数与x轴交点的横坐标即为方程的根；②两；两个不相等的实数；一；两个相等的实数；无；无实数。
九年级上册数学二次函数与一元二次方程练习及答案
九年级上册数学二次函数与一元二次方程练习及答案1．抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴的交点有______个．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________．3．根据图22-2-6填空：图22-2-6 (1)a ______0；(2)b ______0；(3)c ______0；(4)b 2－4ac ______0.4．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( )A ．k >－74B ．k <－74且k ≠0 C ．k ≥－74 D ．k ≥－74且k ≠0 5．如图22-2-7，将二次函数y ＝31x 2－999x ＋892的图形画在平面直角坐标系上，判断方程式31x 2－999x ＋892＝0的两根，下列叙述正确的是( )A ．两根相异，且均为正根B ．两根相异，且只有一个正根C ．两根相同，且为正根D ．两根相同，且为负根图22-2-7 图22-2-86．二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如图22-2-8.当y ＜0时，自变量x 的取值范围是( )A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ．x ＞3D ．x ＜－1或x ＞37．利用二次函数的图象求一元二次方程x 2＋2x －10＝3的根．8.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图22-2-9，则下列结论：图22-2-9①a ，b 同号；②当x ＝1和x ＝3时，函数值相等；③4a ＋b ＝0；④当y ＝－2时，x 的值只能为0，其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点． (1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx ＋1经过的象限，并说明理由．10．已知抛物线y ＝x 2－2x －8.(1)试说明抛物线与x 轴一定有两个交点，并求出交点坐标；(2)若该抛物线与x 轴两个交点分别为A ，B (A 在B 的左边)，且它的顶点为P ，求S △ABP 的值．答案1．2 2.(－3,0)，(1,0)3．(1)> (2)< (3)> (4)> 4.B5．C 6.A7．解：方法一：将一元二次方程整理，得x 2＋2x －13＝0.画出函数y ＝x 2＋2x －13的图象，其与x 轴的交点即为方程的根．方法二：分别画出函数y ＝x 2＋2x －10的图象和直线y ＝3，它们的交点的横坐标即为x 2＋2x －10＝3的根(图象略)．方程x 2＋2x －10＝3的近似根为x 1≈－4.7，x 2≈2.7.8．B9．解：(1)∵抛物线与x 轴没有交点，∴Δ＜0，即1－2c ＜0.解得c ＞12. (2)∵c ＞12， ∴直线y ＝cx ＋1随x 的增大而增大．∵b ＝1，∴直线y ＝cx ＋1经过第一、二、三象限．10．解：(1)∵Δ＝(－2)2－4×1×(－8)＝4＋32＝36>0，∴抛物线与x 轴一定有两个交点．当y ＝0，即x 2－2x －8＝0时，解得x 1＝－2，x 2＝4.故交点坐标为(－2,0)，(4,0)．(2)由(1)，可知：|AB |＝6.y ＝x 2－2x －8＝x 2－2x ＋1－1－8＝(x －1)2－9.∴点P 坐标为(1，－9)．过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，则|PC |＝9.∴S △ABP ＝12|AB |·|PC |＝12×6×9＝27.。
初中数学_二次函数和一元二次方程_习题及解析123
二次函数与一元二次方式练习题附答案一、选择题（共15小题）1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3C、2a﹣b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a﹣b+c＞0C、b=﹣4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=53、已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）A、abc＜0B、c＞0C、4a＞cD、a+b+c＞04、抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（）A、a＜0，b2﹣4ac＜0B、a＜0，b2﹣4ac＞0C、a＞0，b2﹣4ac＜0D、a＞0，b2﹣4ac＞05、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个6、已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A、B、C、D、7、已知y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（）A、y1，y2开口方向、开口大小不一定相同B、因为y1，y2的对称轴相同C、如果y2的最值为m，则y1的最值为kmD、如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离为|k|d8、已知二次函数的y=ax2+bx+c图象是由的图象经过平移而得到，若图象与x轴交于A、C （﹣1，0）两点，与y轴交于D（0，），顶点为B，则四边形ABCD的面积为（）A、9B、10C、11D、129、根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A、8＜x＜9B、9＜x＜10C、10＜x＜11D、11＜x＜1210、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A、﹣1.6B、3.2C、4.4D、以上都不对11、如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）A、x＞1B、x＜﹣1C、0＜x＜1D、﹣1＜x＜012、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式bx+a＞0的解集是（）A、x＜B、x＜C、x＞D、x＞13、方程7x2﹣（k+13）x+k2﹣k﹣2=0（k是实数）有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是（）A、3＜k＜4B、﹣2＜k＜﹣1C、3＜k＜4或﹣2＜k＜﹣1D、无解14、对于整式x2和2x+3，请你判断下列说法正确的是（）A、对于任意实数x，不等式x2＞2x+3都成立B、对于任意实数x，不等式x2＜2x+3都成立C、x＜3时，不等式x2＜2x+3成立D、x＞3时，不等式x2＞2x+3成立二、解答题（共7小题）15、已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．16、已知：二次函数y=（2m﹣1）x2﹣（5m+3）x+3m+5（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；（3）m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，这个二次函数有最大值．17、已知下表：（1）求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；（2）请你根据上面的结果判断：①是否存在实数x，使二次三项式ax2+bx+c的值为0？若存在，求出这个实数值；若不存在，请说明理由．②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2+bx+c＞0．18、请将下表补充完整；（Ⅱ）利用你在填上表时获得的结论，解不等式﹣x2﹣2x+3＜0；（Ⅲ）利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；（Ⅳ）试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）时的解题步骤．19、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．20、阅读材料，解答问题．例．用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x ＜﹣1或x＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是_________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣5x+6＜0．（画出大致图象）．三、填空题（共4小题）21、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．x1=_________，x2=_________；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．_________；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．_________；（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________．22、如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是_________．23、二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_________．24、如图，已知函数y=ax2+bx+c与y=﹣的图象交于A（﹣4，1）、B（2，﹣2）、C（1，﹣4）三点，根据图象可求得关于x的不等式ax2+bx+c＜﹣的解集为_________．答案与评分标准一、选择题（共15小题）1、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3C、2a﹣b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。
中考数学总复习《二次函数图像与一元二次方程的综合应用》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数图像与一元二次方程的综合应用》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝12，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．42．若二次函数y＝ax2﹣4ax＋c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣4ax＋c＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5B．x1＝5，x2＝1C．x1＝﹣1，x2＝5D．x1＝1，x2＝﹣53．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−4,m)，(−3,n)若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，且−4<x1<−3，x2>0则下列结论一定正确的是（）A．m+n>0B．m−n<0C．m⋅n<0D．m n>04．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a ＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个5．设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动，抛物线与x轴交于C，D两点（C在D 的左侧）．若点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=﹣43．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．②③D．②④6．已知二次函数y=x2−2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(3,0)，则关于x 的一元二次方程x2−2x+m=0的两个实数根是（）A．x1=−1，x2=3B．x1=1C．x1=−1，x2=1D．x1=37．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（）x 6.17 6.18 6.19 6.20y=ax2+bx+c0.020.010.020.04D．1或28．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（-1，0）则①二次函数的最大值为a+b+c；②a-b+c<0；③b2-4ac<0；④当y>0时，-1<x<3其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．49．二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，可知方程ax2+bx+c=0的所有解的积为（）A．－4B．4C．5D．－510．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．﹣12＜t≤3B．﹣12＜t＜4C．﹣12＜t≤4D．﹣12＜t＜311．二次函数y=ax2−2ax+c(a≠0)的图象过点(3，0)，方程ax2−2ax+c=0的解为（）A．x1=−3，x2=−1B．x1=−1C．x1=1，x2=3D．x1=−312．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1，0)，其部分图象如图所示，下列结论中正确的有（）①4ac<b2，②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3③3a−c>0，④当y>0时，x的取值范围是−1≤x≤3.A．①②B．①②③C．①③④D．②④二、填空题(共6题；共6分)13．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣m＝0有两个相等的实数根，则m=．14．已知关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)=m有实根x1，x2，且x1＜x2，现有下列说法：①当)(x−m=0时，x1=2，x2=3；②当m>0时，2＜x1＜x2＜3；③m>−14；④二次函数y=(x−x1x2)−m的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）. 其中正确的有.15．如图所示为抛物线y=ax2−2ax+3，则一元二次方程ax2−2ax+3=0两根为.16．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t 为实数）在﹣2＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是.17．如图，已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是．18．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②m+n＝3；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x≤4时，有y2＜y1，其中正确的是三、综合题(共6题；共75分)19．已知抛物线y=﹣2x2+4x+c.（1）若抛物线与x轴有两个交点，求c的取值范围；（2）若抛物线经过点（﹣1，0），求方程﹣2x2+4x+c=0的根.20．已知P(－3，m)和Q(1，m)是抛物线y=2x2+bx+1上的两点．（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有求出实数根；若没有请说明理由．21．在一次羽毛球比赛中，甲运动员在离地面53米的P点处发球，球的运动轨迹PAN可看作是一条抛物线的一部分，当球运动到最高点A处时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题．（1）求抛物线的解析式（不要求些出自变量的取值范围）；（2）羽毛球场地底线距离球网BC的水平距离为6米，此次发球是否会出界？（3）乙运动员在球场上M（m，0）处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为2.5米，若乙因接球高度不够而失球，求m的取值范围．22．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=−2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？23．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程y=ax2+bx+c的两个根；（2）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（3）若抛物线与直线y=2x−2相交于A(1,0)，B(2,2)两点，写出抛物线在直线下方时x 的取值范围．24．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；（3）当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围．参考答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】A 13．【答案】5 14．【答案】①③ 15．【答案】x 1=−1 16．【答案】﹣1≤t ＜2417．【答案】有两个同号不等实数根 18．【答案】①②④19．【答案】（1）解：∵抛物线与x 轴有两个交点∴b 2﹣4ac ＞0 即16+8c ＞0 解得c ＞﹣2（2）解：由y=﹣2x 2+4x+c 得抛物线的对称轴为直线x=1 ∵抛物线经过点（﹣1，0）∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0） ∴方程﹣2x 2+4x+c=0的根为x 1=﹣1，x 2=3.20．【答案】（1）解：∵抛物线经过P （-3，m ）和Q （1，m ）∴抛物线的对称轴为直线x=−3+12=-1∴-b 2×2=−1 ∴b=4；（2）解：方程有实数解．对于方程2x 2+4x+1=0 ∵Δ=42-4×2×1=8＞0∴关于x 的一元二次方程2x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；∴x=−4±√82×2=−2±√22∴x 1=−1+√22，x 2=−1−√22．21．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣5）2+3，由题意，得 53＝a （0﹣5）2+3；a ＝﹣ 475．∴抛物线的解析式为：y ＝﹣ 475 （x ﹣5）2+3（2）解：当y ＝0时，﹣ 475（x ﹣5）2+3＝0解得：x 1＝﹣ 52 （舍去），x 2＝ 252即ON ＝ 252∵OC ＝6∴CN ＝ 252 ﹣6＝ 132 ＞6∴此次发球会出界 （3）解：由题意，得 2.5＝﹣ 475（m ﹣5）2+3；解得：m 1＝5+ 5√64 ，m 2＝5﹣ 5√64（舍去）∵m ＞6∴6＜m ＜5+ 5√64． ∴m 的取值范围是6＜m ＜5+ 5√6422．【答案】（1）解：根据题意得W =(x −20)(−2x +80) =−2x 2+120x −1600 =−2(x −30)2+200∴当x =30时，每天的利润最大，最大利润为200元． （2）令−2(x −30)2+200=150，解得：x =35或x =25 ∵这种产品的销售价不高于每千克28元 ∴x =25．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．23．【答案】（1）解：∵函数图象与x轴的两个交点坐标为(1，0)(3，0)∴方程的两个根为x1=1（2）解：∵二次函数的顶点坐标为(2，2)∴若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k<2（3）解：∵抛物线与直线y=2x−2相交于A(1，0)，B(2，2)两点由图象可知，抛物线在直线下方时x的取值范围为：x<1或x>2．24．【答案】（1）解：∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）∴x＝﹣1，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c＝0①把x＝0，y＝3代入y＝﹣x2+bx+c得：c＝3把c＝3代入①，解得b＝2则二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）解：令二次函数解析式中的y＝0得：﹣x2+2x+3＝0可化为：（x﹣3）（x+1）＝0解得：x1＝3，x2＝﹣1由函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＞0；（3）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝1当﹣1≤x≤2时，y在x＝﹣1和顶点处取得最小和最大值当x＝﹣1时，y＝0当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4故当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围0≤y≤4．。
初中数学：二次函数与一元二次方程练习(含答案)
初中数学：二次函数与一元二次方程练习（含答案）知识点1 二次函数与一元二次方程之间的对应关系图1－4－151．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图1－4－15所示,且关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个根x1＝3,则另一个根x2＝( ) A．1 B．－1 C．－2 D．02．根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0,a,b,c为常数)的一个根x的范围是( )A.6<x<6.17 B．6.17<x<6.18C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20图1－4－163．如图1－4－16是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象,使y≤1成立的x的取值范围是( )A．－1≤x≤3B．x≤－1C．x≥1D．x≤－1或x≥34．(1)请在如图1－4－17所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x 的大致图象；(2)观察图象,试写出方程x2－2x＝1的根(精确到0.1)．图1－4－17知识点2 二次函数在抛物线型问题中的应用5．某公园有一个圆形喷水池,喷出的水流呈抛物线,一条水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的函数表达式为h＝30t－5t2,那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s6．廊桥是我国古老的文化遗产．如图1－4－18是某座抛物线型廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝－140x2＋10,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF 是________米．图1－4－187．如图1－4－19,一名男生推铅球,铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是二次函数的关系．铅球行进起点的高度为53m,行进到水平距离为4 m时达到最高处,最大高度为3 m.(1)求二次函数的表达式(化成一般形式)；(2)求铅球推出的最大距离．图1－4－198．若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1,0),则方程ax2－2ax＋c ＝0的解为( )A．x1＝－3,x2＝－1 B．x1＝1,x2＝3C．x1＝－1,x2＝3 D．x1＝－3,x2＝1图1－4－209．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图1－4－20所示,若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根,则m的最大值为( )A．－3 B．3C．－6 D．910．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－4－21所示,根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围．图1－4－2111．甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图1－4－22,甲在O 点上正方1 m 的P 处发出一球,羽毛球飞行的高度y (m)与水平距离x (m)之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.(1)当a ＝－124时,①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网． (2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m,离地面的高度为125m 的点Q 处时,乙扣球成功,求a 的值．图1－4－2212．若x 1,x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根,则方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系：x1＋x2＝－ba,x1·x2＝ca,我们把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0)．利用一元二次方程根与系数关系定理可以得到A,B两个交点间的距离：AB＝|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫－ba2－4ca＝b2－4aca2＝b2－4ac|a|.参考以上定理和结论,解答下列问题：如图1－4－23,设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形．(1)当△ABC为等腰直角三角形时,求b2－4ac的值；(2)当△ABC为等边三角形时,求b2－4ac的值．图1－4－23详解详析1．B 2.C 3.D 4．解：(1)如图．(2)方程x 2－2x ＝1的根为x 1≈－0.4,x 2≈2.4.5．A [解析] 水流从喷出至回落到地面时高度h 为0,把h ＝0代入h ＝30t －5t 2,得5t 2－30t ＝0,解得t 1＝0(舍去),t 2＝6.故水流从喷出至回落到地面所需要的时间为6 s ．故选A.6．8 5 [解析] 把y ＝8代入y ＝－140x 2＋10,得8＝－140x 2＋10,解得x ＝±4 5,∴EF ＝8 5米．7．解：(1)设二次函数的表达式为y ＝a (x －4)2＋3, 把⎝⎛⎭⎪⎫0，53代入y ＝a (x －4)2＋3,解得a ＝－112, 则二次函数的表达式为y ＝－112(x －4)2＋3,即y ＝－112x 2＋23x ＋53.(2)由－112x 2＋23x ＋53＝0,解得x 1＝－2(舍去),x 2＝10, 则铅球推出的最大距离为10 m.8．C [解析] ∵二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图象经过点(－1,0), ∴方程ax 2－2ax ＋c ＝0一定有一个解为x ＝－1. 又∵二次函数图象的对称轴为直线x ＝1,∴二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图象与x 轴的另一个交点为(3,0), ∴方程ax 2－2ax ＋c ＝0的解为x 1＝－1,x 2＝3.故选C. 9．B10．(1)x 1＝1,x 2＝3(2)1<x <3 (3)x >2(或x ≥2) (4)k <211．解：(1)①把(0,1),a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h ,得1＝－124×16＋h ,解得h ＝53.②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53,得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625. ∵1.625>1.55,∴此球能过网．(2)把(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫7，125代入y ＝a (x －4)2＋h ,得⎩⎨⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，h ＝215，故a 的值为－15.12．解：(1)当△ABC 为等腰直角三角形时,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,则AB ＝2CD .由题意,得AB ＝b 2－4ac ||a ＝b 2－4aca .又∵抛物线与x 轴有两个交点, ∴b 2－4ac >0,则||4ac －b 2＝b 2－4ac ,∴CD ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4ac －b 24a ＝b 2－4ac4a , ∴b 2－4ac a ＝2×b 2－4ac4a∴b 2－4ac ＝b 2－4ac 2,∴b 2－4ac ＝（b 2－4ac ）24.∵b 2－4ac >0, ∴b 2－4ac ＝4.(2)当△ABC 为等边三角形时,CD ＝32AB ,∴b 2－4ac 4a ＝32×b 2－4aca .∵b 2－4ac >0, ∴b 2－4ac ＝12.。
【特荐】九年级上册数学 人教版 二次函数与一元二次方程的关系(知识点+练习题)
课题：二次函数与一元二次方程的关系（一）二次函数与坐标轴的交点 环节一、求函数与坐标轴的交点坐标1、求一次函数36y x =+与x 轴、y 轴的交点坐标. 解：当x=0时，y=∴函数36y x =+与 轴的交点坐标是（ ， ） 当y=0时，得方程 解得∴函数36y x =+与 轴的交点坐标是（ ， ） 2、求二次函数y=x 2-4x+3与x 轴，y 轴的交点坐标. 解：当x=0时，y=∴函数与 轴的交点坐标是（ ， ）； 当y=0时，得方程 解得∴函数与 轴的交点坐标是（ ， ）与（ ， ）.3、求二次函数962++=x x y 与x 轴，y 轴的交点坐标解：4、求二次函数322+-=x x y 与x 轴，y 轴的交点坐标解：环节二：两个函数的交点坐标1、如图，已知直线x y =与直线3+-=x y 相交 于点A ， 则交点A 的坐标是即方程组⎩⎨⎧+-==3x y xy 的解是直线x y =与直线3+-=x y 的交点坐标（x ，y ）是方程组⎩⎨⎧+-==3x y xy 的 .5、求二次函数y=x 2和y=21x+3的交点坐标. 解：依题意，得方程组⎩⎨⎧解得⎩⎨⎧∴二次函数y=x 2和y=21x+3的交点坐标是 . 3、由上题还可知：方程x 2=21x+3的解是 .归纳总结：1、二次函数与一元二次方程的关系：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标12,x x 是一元二次方程 的根.2、（1）当24b ac - 0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有 个不同的交点；（2）当24b ac -=0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有 根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有 个交点；（3）当24b ac - 0 时，方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴 交点；环节三、巩固练习 A 组1、抛物线y=x 2-5x-6 与y 轴的交点坐标（ ， ）；与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）.2、抛物线y=--2x 2+3x+2 与y 轴的交点坐标（ ， ）；与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）.3、已知方程2x 2-3x+5=0的两个根是25，-1，则二次函数y=2x 2-3x-5与x 轴两个交点坐标（ ， ）和（ ， ），两交点间距离为 .4、不论m 为何实数时，抛物线y=x 2－mx －1与x 轴的交点（ ）.A.有0个B.有1个C.有2个D.无法确定5、已知直线y=－2x+3与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，求A 、B 两点的坐标.6、已知：二次函数y=2x 2-4x-6，求：（1）函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，（2）求函数图象与y 轴交点、与x 轴交点坐标，并画出草图 ※（3）以此函数与x 轴，y 轴交点为顶点的三角形的面积 解：（二）、二次函数与一元二次不等式之间的关系 环节一、例题学习例1、已知：二次函数y=x 2-3x-4的图象（如图）（1）方程x 2-3x-4=0的解是 ，则二次函数与x 轴交点的坐标是（ ， ）和（ ， ）；图象与y 轴交点坐标是（ ， ）；（2）看图得：当x 或x 时，y>0；此时不等式x 2-3x-4>0 的解集为（3）看图得：当 <x< 时，y<0；此时不等式x 2-3x-4<0的解集为 例2、已知y=x 2+4x-12,当x 取何值时y>0, 当x 取何值时y ＜0?解：函数2412y x x =+-，开口向 ，对称轴 ，顶点坐标 ；函数y= x 2+4x-12与x 轴交点坐标（ ， ）和（ ， ） 根据开口方向、顶点坐标和对称轴与x 轴交点坐标，画出函数草图： 看图回答：不等式x 2+4x-12>0的解集由上图，可得，不等式x 2+4x-12<0的解集是 .小结：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()()0,0,21x x ： ① 0＞a当 时，0＞y 即ax 2+bx+c>0；当 时，0＜y 即ax 2+bx+c<0； ② 0＜a当 时，0＞y 即ax 2+bx+c>0；当 时，0＜y 即ax 2+bx+c<0. 环节二、巩固练习 A 组1、抛物线如图所示：①当x 时，y=0； ②当x= 时，y 有最 值.③当x<－1或x>3时，y 0；当－1<x<3时，y 0； -11 2 3xyO —1 —22、抛物线y=x 2-2x-8开口 ，对称轴 ，顶点坐标 ， 与y 轴的交点坐标（ ， ）与x 轴交点的坐标（ ， ）和（ ， ）。
二次函数一元二次方程练习题及答案
1如果b>0,c>0那么二次函数y=ax²+bx+c的图象大致是（）2一次函数y=2x-3与二次函数y=x²-2x+1的图象有（）A一个交点B两个交点C无数个交点D无交点3已知二次函数y=mx²-2x-3的图象与x轴有交点，则m的取值范围A m>—13B m≥—13C m>—13且m≠0 D m≥—13且m≠04如果对于任意实数x，函数y=ax²+bx+c的值都是负数，那么有（）A a>0,b2−4ac>0 B a<0,b2−4ac<0C a>0,b2−4ac<0D a<0,b2−4ac>05如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C(0，c），∠OBC=45°，则下列各式成立的是（）A b-c-1=0B b+c-1=0C b-c+1=0D b+c+1=06函数y=ax+b与y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A ab>0,c>0B ab<0,c>0C ab<0,c>0D ab<0,c<07已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴x=2，且经过点（3,0）则a+b+c的值（）A 0B 1C -1D 不能确定8已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，则化简二次根式√（a+c）2+√（b−c）2的结果是（）A a+bB a-b+2 C-a+b-2c D-a-b9已知二次函数y1=ax²+bx+c的图象如图与一次函数y2=kx+m的图象如图，直线与抛物线的交点为A(-2,4)B(8,2)则能使y1＜y2的x的取值范围（）A X>8B X<-2C x<-2或x>8 D-2<x<810已知二次函数y1=ax²+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A a<0,b<0,c>0B a<0,b<0,c<0C a<0,b>0,c>0D a>0,b<0,c>011已知二次函数y=（a-1）x²+2ax+3a-2的图象最低点在x轴上，那么a=_______此时的解析式为________________的图象总与x轴有12已知关于x的函数y=（a²+3a+2）x²+（a+1）x+14交点，求a的取值范围13：已知一个二次函数的图象如图所示三点（1）求抛物线的对称轴（2）平行于x轴的直线1的解析式为y=25，抛物线与x轴交于AB两4点，在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线1与x轴的距离，求点P的坐标14某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高产量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品。
人教版九年级上册数学二次函数和一元二次方程的关系练习题(含答案)
二次函数与一元二次方程的关系知识点回顾一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y =0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表：要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由ac b 42-=∆的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，042>-=∆ac b ，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时042=-=∆ac b 方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，042<-=∆ac b ，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c )．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 课后作业 ●基础训练1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1)a=_______,c=______.(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________. (3)该函数有最______值,当x=______时,y 最值=________.(4)当x_____时,y 随x 的增大而减小.当x_____时,y 随x 的增大而增大.(5)抛物线与x 轴交点坐标A_______,B________;与y 轴交点C 的坐标为_______;ABC S ∆=_________,ABP S ∆=________.(6)当y>0时,x 的取值范围是_________;当y<0时,x 的取值范围是_________. (7)方程ax 2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax 2-5x+c=0的两根分别为_____,____. (8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0. 2.已知下表:(1)求a 、b 、c 的值，并在表内空格处填入正确的数； (2)请你根据上面的结果判断:①是否存在实数x,使二次三项式ax 2+bx+c 的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+ bx+c>0?3.请画出适当的函数图象,求方程x2=12x+3的解.4.若二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).(1)求这个二次函数的关系式;(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.●能力提升6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.(1)求矩形各顶点坐标;(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=5 3 .(1)求这条抛物线的关系式.CBA x ODyE(2)证明:这条抛物线与x 轴的两个交点中,必存在点C,使得对x 轴上任意点D 都有AC+BC≤AD+BD.8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m 处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?9.某工厂生产A 产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨这种产品的售价为每吨Q 元, 已知P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. 3.05m4m2.5mxOy(1)该厂生产并售出x 吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?10.已知抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k 的取值范围.11.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2= 17, 且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m -3)=0的两个根. (1)求C 点的坐标;(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E,求过A 、B 、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.(3)在抛物线上是否存在点P ,使△ABP 与△ABC 全等?若存在,求出符合条件的P 点的坐标;若不存在,说明理由.C BAxOy●综合探究12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是24,24b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:伴随抛物线的关系式_________________伴随直线的关系式___________________(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.答案：1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=52,59,24⎛⎫-⎪⎝⎭(3)小;52;94-(4)55;22≤≥(5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 278; (6)x<1或x>4;1<x<4 (7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>2.(1)由表知,当x=0时,ax 2+bx+c=3;当x=1时,ax 2=1;当x=2时,ax 2+bx+c=3.∴31423c a a b c =⎧⎪=⎨⎪++=⎩,∴123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)①在x 2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, ∴不存在实数x 能使ax 2+bx+c=0.②函数y=x 2-2x+3的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论x 取什么实数总有ax 2+bx+c>0.3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数y=x 2的图象,画出函数y=12x+3 的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B 的横坐标32-和2就是方程x 2=12x+3的解. 4.:(1)∵y=12-x 2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴()221(5)5021(1)(1)02b c b c ⎧⎛⎫-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴y=215322x x ---.632BAxyO(2)∵y=215322x x ---=21(3)22x -++ ∴顶点坐标为(-3,2),∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点,应向下平移2个单位. 5.:(1)函数的图象如答图所示.(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av 2+bv+c,得222484822.5646436969672a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得35123160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.∴23351216s v v =+ (4)当v=80时,223333808052.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=52.5, ∴23351216s v v =+ 当v=112时,22333311211294.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=94.5,∴23351216s v v =+ 经检验,所得结论是正确的. 6.:(1)如答图所示.∵y=x -2,AD=BC=2,设C 点坐标为(m,2), 把C(m,2)代入y=x -2,2=m -2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).(2)∵y=x -2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax 2+bx+c,∴201640c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴y=215222x x -+-. (3)抛物线顶点在矩形ABCD 内部.∵y=215222x x -+-, ∴顶点为59,28⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵5142<<, ∴顶点59,28⎛⎫⎪⎝⎭在矩形ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=53. ∴31646523c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩, 解得981543a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴y=2915384x x -+. (2)证明:令y=0,得2915384x x -+=0, ∴ 124,23x x ==∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E(0,-3).设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,∴k=94,∴y=94x-3 .由94x-3=0,得x=43.故C为4,03⎛⎫⎪⎝⎭,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC<AD+BD.若D与C重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示.∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.∴点D坐标为(1.5,3.05).∵抛物线顶点坐标(0,3.5),∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,∴a=-0.2,∴y=-0.2x2+3.5(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).3.05m4m2.5m xOyBDA9:(1)∵P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. ∴W=Qx -P=(-30x+45)-(110x 2+5x+1000)= 224010015x x -+-.(2)∵W=224010015x x -+-=-215(x -150)2+2000. ∵-215<0,∴W 有最大值. 当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元. 当x=150吨,Q=-30x+45=40(元). 10:∵y=2x 2-kx -1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k 2+8>0,∴无论k 为何实数, 抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴恒有两个交点. 设y=2x 2-kx -1与x 轴两交点的横坐标分别为x 1,x 2,且规定x 1<2,x 2> 2, ∴x 1-2<0,x 2-2>0.∴(x 1-2)(x 2-2)<0,∴x 1x 2-2(x 1+x 2)+4<0.∵x 1,x 2亦是方程2x 2-kx -1=0的两个根,∴x 1+x 2=2k ,x 1·x 2=-12,∴124022k --⨯+<,∴k>72. ∴k 的取值范围为k>72. 法二:∵抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当x=2时,y<0. 即y=2×22-2k -1<0,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72.11:(1)线段OA,OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m -3)=0 的两个根,∴(1)2(3)(2)OA OB m OA OB m +=⎧⎨=-⎩L g L又∵OA 2+OB 2=17,∴(OA+OB)2-2·OA ·OB=17.③把①,②代入③,得m 2-4(m -3) =17,∴m 2-4m -5=0.解之,得m=-1或m=5. 又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.∴当m=5时,得方程:x 2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4. ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CO ⊥AB, ∴OC 2=OA ·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2) (2)∵OA=1,OB=4,C,E 两点关于x 轴对称, ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A,B,E 三点的抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c,则016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ ,解之,得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴所求抛物线关系式为y=213222x x --. (3)存在.∵点E 是抛物线与圆的交点. ∴Rt △ACB ≌Rt △AEB,∴E(0,-2)符合条件. ∵圆心的坐标(32,0 )在抛物线的对称轴上. ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ∴可求得E′(3,-2).∴抛物线上存在点P 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x 2+1,y=-2x+1. (2)y=x 2-2x -3(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为y=m(x -0)2+c(m≠0).∴设抛物线过P 24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∴22442ac b b m c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g 解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax 2+c. 设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).∵P 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在此直线上,∴2442ac b b k c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g , ∴k=2b . ∴伴随直线关系式为y=2bx+c (4)∵抛物线L 与x 轴有两交点,∴△1=b 2-4ac>0,∴b 2<4ac.∵x 2>x 1>0,∴x 1+ x 2= -b a >0,x 1x 2=ca>0,∴ab<0,ac>0.对于伴随抛物线y=-ax 2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax 2+c=0,得x=∴,C D ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,∴又AB=x2-x1=.由AB=CD,得整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).。
初中数学一元二次方程二次函数练习题(附答案)
初中数学一元二次方程二次函数练习题一、单选题1.方程21x =的解是( )A.1x =B.1x =±C.1x =-D. 12x =2.关于x 的一元二次方程212019x k ，下列说法错误的是( )A.k 2017方程无实数解B.k 2018方程有一个实数解C.k 2019有两个相等的实数解D.k 2020方程有两个不相等的实数解3.某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,则平均每次降价的百分率为（ ）A.18%B.20%C.36%D.40%4.如图,抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,0,-对称轴为: 直线1x =,则下列结论中正确的是:()A. 0a >B.当1x >时, y 随x 的增大而增大C. 0c <D. 3x =是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个根5.当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是( )A. B. C. D.6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.7、如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的弦,若∠BCD=35°,则∠ABD=( )A.35°B.55°C.65°D.70°8.如图,AB 为O 的直径,CD 是O 的弦,35ADC ∠=︒,则CAB ∠的度数为( )A.35︒B.45︒C.55︒D.65︒9.如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,若80B ∠=︒,则ADC ∠的度数是( )A.60︒B.90︒C.80︒D.100︒10.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(3,0)-，其对称轴为直线12x =-，结合图象分析下列结论：①0abc >；②30a c +>；③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =-，212x =； ⑤2404b ac a-<； ⑥若()m n m n <，为方程(3)(2)30a x x +-+=的两个根，则3m <-且2n >，其中正确的结论有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、解答题 11.如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，BC 与以O 为圆心，OA 长为半径的O 相切于点M .（1）求证：CD 与O 相切.（2）若正方形ABCD 的边长为1，求O 的半径.12.已知关于x 的方程2610x x k -++=有两个实数根12,x x .（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两个实数根12,x x 满足121112x x +=-，求k 的值. 13.某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克.在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克.在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克.该水果店每天就会少卖出20千克.（1）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少?（2）在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少?14.如图，用同样规格黑、白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题:（1）在第n 个图中，第一横行共有 块瓷砖，第一竖列共有 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为 ；（用含n 的代数式表示）（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖.求此时n 的值；（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明.三、计算题15、在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x 轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y 轴交于点C.(1)求这个二次函数的关系解析式;(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由;(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,说明理由;(4)点Q 是直线AC 上方的抛物线上一动点,过点Q 作QE 垂直于x 轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与△AOC 相似?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,说明理由;(5)点M 为抛物线上一动点,在x 轴上是否存在点Q,使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.四、操作题16.如图，在平面直角坐标系中，已知ABC △的三个顶点的坐标分别为()()()4,3,3,1,1,3.A B C ---(1)请按下列要求画图:①将ABC △先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到111A B C △，画出111A B C △;②222A B C △与ABC △关于原点O 成中心对称，画出222A B C △;(2)在(1)中所得的111A B C △和222A B C △关于点M 成中心对称，请直接写出对称中心点M 的坐标.五、填空题17.把一元二次方程2317x x +=化为一般形式是 .18.一元二次方程250x x a ++=的两根为m n ，，若2mn ，则26m m n ++=______.19.如图，直线y mx n =+与抛物线2y ax bx c =++交于(1,),(4,)A p B p -两点，则关于x 的不等式2mx n ax bx c +>++的解集是___________.20.如图，在四边形ABCD 中，30ABC ∠=︒，将DCB △绕点C 顺时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE △，若6AB =，8BC =，则BD = 。
九年级数学上册 21.3 二次函数与一元二次方程 作业练习题(含答案)
21.3二次函数与一元二次方程一、选择题（本题包括8小题.每小题只有1个选项符合题意）1﹒下列抛物线，与x轴有两个交点的是（）A.y＝3x2－5x+3B.y＝4x2－12x+9C.y＝x2－2x+3D.y＝2x2+3x－42﹒函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k＜3B.k＜3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠03﹒已知抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，，那么该抛物线的顶点所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4﹒已知二次函数y＝x2－3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m＝0的两实数根是（）A.x1＝1，x2＝－1B.x1＝1，x2＝2C.x1＝1，x2＝0D.x1＝1，x2＝35﹒下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（）A.没有交点B.只有一个交点，且它位于y轴右侧C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧6﹒如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），对称轴为直线x＝－1，则方程ax2+bx+c＝0的解是（）A.x1＝－3，x2＝1B.x1＝3，x2＝1C.x＝－3D.x＝－27﹒如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（－2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A.x＜－2B.－2＜x＜4C.x＞0D.x＞48.如图，已知顶点为（－3，6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（－1，－4），则下列结论中错误的是（）A.b2＞4acB.ax2+bx+c≥－6C.若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞nD.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1二、填空题（本题包括8小题）9.一元二次方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线_________的交点的_______坐标.10.抛物线y＝－3(x－2)(x+5)与x轴的交点坐标为______________.11.已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是___________.12.若关于x的函数y＝kx2+2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_________.13.已知关于x的函数y＝(m+6)x2+2(m－1)x+m+1的图象与x轴有交点，则m的取值范围为_______________.14.二次函数y＝ax2－2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（－1，0），则一元二次方程ax2－2ax+3＝0的解为__________________________.15.抛物线y＝x2－2x－3在x轴上截得的线段长度是__________.16.关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是______________________.三、解答题（本题包括6小题）17.已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数.（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝52.①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.18.已知二次函数y＝－x2+2x+m .（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.19.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.20.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，－1）和C（4，5）三点.（1）求二次函数的表达式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.21.已知函数y＝mx2－6x+1（m是常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.22.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3），抛物线的对称轴是直线x＝－12.（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标.21.3二次函数与一元二次方程参考答案一、选择题（本题包括10小题.每小题只有1个选项符合题意）1.D 分析：A.y＝3x2－5x+3，△＝(－5)2－4×3×3＝－9＜0，抛物线与x轴没有交点，故A错误；B.y＝4x2－12x+9，△＝(－12)2－4×4×9＝0，抛物线与x轴有一个交点，故B错误；C.y＝x2－2x+3，△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，抛物线与x轴没有交点，故C错误；D.y＝2x2+3x－4，△＝32－4×2×(－4)＝41＞0，抛物线与x轴有两个交点，故D正确. 故选D.2.C 分析：∵函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，∴当k≠0时，△＝(－6)2－4k×3≥0，解得：k≤3，当k＝0时，函数y＝kx2－6x+3为一次函数，则它的图象与x轴有交点，综合上述，k的取值范围是k≤3.故选C.3.D 分析：∵抛物线y＝ax2－2x+1与x轴没有交点，∴△＝(－2)2－4a×1＜0，且a≠0，解得a＞1，∴－22a-＝1a＞0，241(2)4aa⨯--＝1－1a＜0，∴抛物线顶点在第四象限.故选D.4.B 分析：抛物线y＝x2－3x+m的对称轴是x＝32，且与x轴的一个交点为（1，0），∵a＝1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），∴一元二次方程x2－3x+m＝0的两实数根是x1＝1，x2＝2.故选B.5.D 分析：当y＝0时，ax2－2ax+1＝0，∵a＞1，∴△＝4a2－4a＝4a(a－1)＞0，∴方程ax2－2ax+1＝0有两个实数根，则抛物线与x轴有两个交点.∵x＞0，∴抛物线与x轴的两个交点均在y轴的右侧.故选D.6.A 分析：由图象可知：抛物线与x轴的另一个交点坐标为（－3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝－3，x2＝1.故选A.7.B 分析：∵当函数值y＞0时，二次函数图象在x轴的上方，∴当－2＜x＜4时，y＞0，即自变量x的取值范围是－2＜x＜4 .故选B.8.C 分析：由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2－4ac＞0，则b2＞4ac，故A正确；∵抛物线开口向上，且顶点坐标为（－3，－6），∴函数y的最小值是－6，则ax2+bx+c≥－6，故B正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－3，∴点（－2，m）离对称轴的距离比点（－5，n）离对称轴距离近，∴m＜n，故C错误；根据抛物线的对称性可知：（－1，－4）关于对称轴对称的对称称点为（－5，－4），∴一元二次方程ax2+bx+c＝－4的两根为－5和－1，故D正确.故选C.二、填空题（本题包括8小题）9. 0，横 分析：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根就是抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线x ＝0的交点的横坐标.10. （2，0），（－5，0）分析：令y ＝0，则－3(x －2)(x +5)＝0，解这个方程得：x 1＝2，x 2＝－5，∴此抛物线与x 的交点坐标为（2，0），（－5，0）.11. m ≥－2 分析：∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上，又∵当x ＞2时，y 的值随x 的增大而增大，∴－221m⨯≤2，解得m ≥－2. 12. k ＝0或k ＝－1 分析：①当k ＝0时，此函数为一次函数，则直线y ＝2x －1与x 轴只有一个公共点；②当k ≠0时，△＝22－4k ×(－1)＝0，解得k ＝－1，此时抛物线与x 轴只有一个公共点， 综合上述，实数k 的值为k ＝0或k ＝－1. 13. m ≤－59分析：当m +6＝0，即m ＝－6时，此函数为一次函数，这时图象必与x 轴有交点； 当m +6≠0，即m ≠－6时，△＝4(m －1)2－4(m +6)(m +1)＝－20－36m ≥0， 解得m ≤－59.综合上述，m 的取值范围是m ≤－59. 14. x 1＝－1，x 2＝3 分析:抛物线y ＝ax 2－2ax +3的对称轴为直线x ＝－22aa-＝1，∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（－1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），∴一元二次方程ax 2－2ax +3＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3.15.4 分析：设抛物线与x 轴的交点分别为（x 1，0），（x 2，0），则x 1+x 2＝2，x 1x 2＝－3，∴12x x -＝4，即此抛物线在x 轴上截得的线段长度为4.16. －94＜a ＜－2 分析：∵关于x 的一元二次方程ax 2－3x －1＝0的两个不相等的实数根，∴△＝(－3)2－4a ×（－4）＞0，解得：a ＞－94，设y ＝ax 2－3x －1，则可画出图象如图.∵实数根都在－1和0之间，∴－1＜－32a -＜0，解得a ＜－32.由图象可知：当x ＝－1时，y ＜0，当x ＝0时，y ＜0，即a ×(－1)2－3×(－1)－1＜0，－1＜0，解得a ＜－2.∴－94＜a ＜－2， 三、解答题（本题包括6小题）17.（1）证明：y ＝(x －m )2﹣(x ﹣m )＝x 2－(2m +1)x +m 2+m ， ∵△＝(2m +1)2﹣4(m 2+m )＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）解：①∵x＝－(21)2m-+＝52，∴m＝2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，∴△＝52－4(6+k)＝0，∴k＝14，即把该抛物线沿y轴向上平移14个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．18.解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝22+4m＞0∴m＞﹣1，即m的取值范围是m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝﹣9+6+m∴m＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴303k bb+=⎧⎨=⎩，解得：13kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，∴P（1，2）．19.解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴10930b cb c-+=⎧⎨++=⎩，解得：23bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，∴E（2，﹣3）， ∴BE ＝22(32)(03)-++＝10，∵点F 是AE 中点，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，即H 为AB 的中点， ∴FH 是三角形ABE 的中位线， ∴FH ＝12BE ＝12×10＝102．20.解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，－1）和C （4，5）三点，∴42011645a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得12121a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴二次函数的表达式为y ＝12x 2－12x －1； （2）当y ＝0时，则12x 2－12x －1＝0，解得：x 1＝2，x 2＝－1， ∴点D 的坐标为（－1，0）；（3）图象如图所示，当－1＜x ＜4时，一次函数的值大于二次函数的值.21.解：（1）令x ＝0，则y ＝1，故不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的定点（0，1）； （2）①当m ＝0时，函数y ＝mx 2－6x +1为y ＝－6x +1， ∵函数y ＝－6x +1图象为一条直线， ∴此时函数图象与x 轴只有一个交点；②当m ≠0时，∵函数y ＝mx 2－6x +1与x 轴只有一个交点， ∴方程mx 2－6x +1＝0有两个相等的实数根，∴△＝(－6)2－4m＝0，解得：m＝9，综合上述，该函数的图象与x轴只有一个交点时，m的值为0或9.22.解：（1）设抛物线的解析式为y＝a(x+12)2+k，把（2，0），（0，3）代入上式得：250 4134a ka k⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：a＝－12，k＝258，∴y＝－12(x+12)2+258，即y＝－12x2－12x+3，（2）令y＝0，则－12x2－12x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝－3，∴B（－3，0），①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，∴当M点在坐标原点O处时，△MBC是等腰三角形，∴M（0，0）；②当BC＝BM时，在Rt△BOC中, BO＝CO＝3，由勾股定理得：BC，∴BM＝，∴M（－3，0），综合上述，点M的坐标为（0，0）或（－3，0）.。
初中数学第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题 (26)(含解析)
第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题(26)一、解答题1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由． 2．已知二次函数的解析式是215322y x x =-+． （1）用配方法将215322y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式，并写出该二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）二次函数215322y x x =-+的图象与x 轴相交吗？说明理由；若相交，求出交点坐标．3．已知二次函数()2221y x m x m =-++（m 是常数）的图象与x 轴有两个不同的交点()1,0A x ，()2,0B x ．（1）求m 的取值范围；（2）若22127x x +=，求m 的值．4．已知抛物线()256y x m x m =-+-+-．（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围； （3）设抛物线()256y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值．5．（1）若关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x +1=0有实数根，求a 的取值范围． （2）若x 1，x 2是关于x 的方程kx 2+（k +2）x 4k+=0的两实数根，且k |21x x |=kx 1﹣12x 2+2，求k 的值．（3）若x 1，x 2，x 3，是关于x 的方程x （x ﹣2）2=t 的三个实数根，且x 1＜x 2＜x 3；则x 3﹣x 1的最大值为 ．6．已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象过点E （2，3），对称轴为1x =，它的图象与x 轴交于两点（1x ，0），B （2x ，0），且12x x <，221210x x +=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．8．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：（1）点A、B的坐标；（2）抛物线的函数表达式；（3）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM的最小值及点M的坐标；（4）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线y= x2-(m-2)x-12m2（1）求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个不同的交点．（2）若抛物线与x轴的两交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)，且满足|x2|=|x1|+2，求m 的值．10．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．（本题满分12分）如图，抛物线y=+3与x轴相交于A、B，与直线y=－x+b相交于B、C，直线y=－x+b与y轴交于点E．（1）求直线BC的表达式；（2）求△ABC的面积；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A、B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积s与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？12．如图，已知抛物线y＝ax2＋32x＋4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点．(1)求抛物线的解析式；(2)求A，B两点的坐标；(3)若M是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重合)，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．13．已知二次函数的图象经过点（0，-3），顶点坐标为（-1，-4）， （1）求这个二次函数的解析式； （2）求图象与x 轴交点A 、B 两点的坐标； （3）图象与y 轴交点为点C ，求三角形ABC 的面积．14．如图，二次函数2y x 2x 3=-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ，（1）求点A,B,C 的坐标． （2）求△BCD 的面积15．已知二次函数1(3)()y x x a a=-+-的图像与x 轴相交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ．一次函数y x a =-+的图像与y 轴相交于点D ，其中0a >．（1）分别求出A 、B 、C 三点的坐标（可以用含有字母a 的代数式表示）． （2）点P 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称，点Q 为抛物线上的一个动点． ①试说明点P 在直线y x a =-+的图像上．②若点Q 在抛物线上有且只有三个位置满足QPB APC S S ∆∆=，求a 的值．16．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣利用函数图象研究其性质﹣应用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了一个陌生函数的大致图象，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面问题：在函数y＝a x b⨯+中，当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝7．（1）求这函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象并写出这个函数的一条性质；（3）结合你所画的函数图象与y＝12x+32的图象，直接写出不等式组1322a xb xx⎧⨯++⎪⎨⎪⎩的解集．17．如图，已知抛物线y1＝﹣12x2+32x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线l 是抛物线的对称轴，一次函数y2＝kx+b经过B、C两点，连接AC．（1）△ABC是三角形；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）结合图象，写出满足y1＞y2时，x的取值范围．18．已知：抛物线．（1）写出抛物线的对称轴；（2）完成下表；x…﹣7﹣313…y…﹣9﹣1…（3）在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．19．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；（3）当2≤x≤4时，求y的最大值．20．如图，在直角坐标平面内，直线y=﹣x+5与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求sin∠OCA的值；（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且△ABP的面积为10，求点P的坐标．【答案与解析】一、解答题1．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根． （1）将已知点的坐标代入二次函数列出方程组，解之即可； （2）因为（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点，所以+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2，于是 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0，所以此方程有两个不相等的实数根．（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3） 9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a ⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3 ∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上， ∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0 ∴此方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质与二次函数上点的坐标特征是解题的关键．2．（1）对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，-2）；（2）相交；交点为（1，0），（5，0）.（1）根据配方法可以将该函数解析式化为y=a （x-h ）2+k 的形式，从而可以得到该函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）计算∆的值即可判断图象是否与x 轴相交；令y=0求出相应的x 的值，即可求得该函数图象与x 轴的交点坐标． 解：（1）215322y x x =-+ ()21569922x x =-+-+21(3)22x =--， 即21(3)22y x =-- 该二次函数对称轴为直线3x =，顶点坐标为（3，-2）； （2）相交，理由如下： 令0y =，则2150322x x =-+， ∵22154(3)44022b ac -=--⨯⨯=>， ∴该二次函数图象与x 轴相交，且有两个交点； 解得11x =，25x =，∴与x 轴的交点为（1，0），（5，0）． 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数由一般式化为顶点式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（1）14m >-；（2）m 的值为1 （1）利用根的判别式列出不等式，然后求解即可；（2）利用根与系数的关系用m 表示出x 12+x 22，然后列出方程，再求解即可． 解：（1）由题意，得：>0∆， ∴()222140m m -+-⨯>⎡⎤⎣⎦，∴410m +>， ∴14m >-； （2）由根与系数关系，得：1221x x m +=+，212x x m =．∵()2221212122x x x x x x +=+-，代入，得()222127m m +-=， 解得：13m =-，21m =； ∵14m >-， ∴m 的值为1． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了根的判别式，根与系数的关系，难点在于（2）利用根与系数的关系列出关于m 的方程．4．（1）详见解析；（2）13m <<；（3）m=5或m=6（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点；（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果； （3）根据抛物线y ＝−x2＋（5−m ）x ＋6−m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y ＝−x 的对称点的坐标，列方程可得结论． （1）证明：△＝（5−m ）2−4×（−1）（6−m ）＝m 2−14m ＋49＝（m−7）2≥0， ∴该抛物线与x 轴总有交点；（2）解：由（1）△＝（m−7）2，根据求根公式可知，方程的两根为：x即x 1＝−1，x 2＝−m ＋6，由题意，有3＜−m ＋6＜5， ∴1＜m ＜3；（3）解：令 x ＝0，y ＝−m ＋6， ∴M （0，−m ＋6），由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（−1，0）和（−m ＋6，0）， 它们关于直线y ＝−x 的对称点分别为（0，1）和（0，m−6）， 由题意，可得：−m ＋6＝1或−m ＋6＝m−6， ∴m ＝5或m ＝6． 【点睛】本题主要考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 5．（1）a ≤2；（2）k 43=；（3 （1）由题意可分当a =1时和当a ≠1时，然后分别求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 22k k +=-， 12144kx x k ==＞0，则有kx 12+（k +2）x 14k+=0，然后代入k |21x x |=kx 1﹣12x 2+2，进而可进行求解；（3）由题意得x （x ﹣2）2﹣t =（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3），然后整理化简可得x 1+x 2+x 3=4，x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=4，x 1x 2x 3=t ，进而可得x 3x 1=4﹣（x 1+x 3）x 2，x 3x 12tx =，最后根据二次函数的性质可求解．解：（1）①a =1，方程为一元一次方程，必有一根；②a ≠1，方程为一元二次方程，△=（﹣2）2﹣4×（a ﹣1）=4﹣4a +4=8﹣4a ≥0， 解得：a ≤2，即a ≤2且a ≠1， 综上，a ≤2；（2）∵x 1，x 2是关于x 的方程kx 2+（k +2）x 4k+=0的两实数根， ∴x 1+x 22k k +=-，12144kx x k ==＞0，kx 12+（k +2）x 14k+=0， ∴x 1，x 2同号，kx 12=﹣（k +2）x 14k -， ∵k |21x x |=kx 1﹣12x 2+2，∴kx 2=kx 12﹣12x 1x 2+2x 1， ∴kx 2=﹣（k +2）x 14k--12x 1x 2+2x 1， ∴k （x 1+x 2）4k++12x 1x 2=0， ∴﹣（k +2）4k ++3=0，解得：k 43=， △=（k +2）2﹣4k 4k⨯≥0，解得：k ≥﹣1， ∵二次项系数不为零k ≠0， ∴k ≥﹣1且k ≠0， ∴k 43=； （3）由题意得：x （x ﹣2）2﹣t =（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）， ∴x 3﹣4x 2+4x ﹣t =x 3﹣（x 1+x 2+x 3）x 2+（x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1）x ﹣x 1x 2x 3， ∴x 1+x 2+x 3=4，x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=4，x 1x 2x 3=t ， ∴x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1的值为4， ∵x 1+x 2+x 3=4， ∴x 1+x 3=4﹣x 2， ∵x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=4， ∴x 3x 1=4﹣（x 1+x 3）x 2， ∵x 1x 2x 3=t ， ∴x 3x 12tx =， ∵（x 3﹣x 1）2=（x 3+x 1）2﹣4x 3x 1， ∴（x 3﹣x 1）2=（4﹣x 2）2﹣4[4﹣（x 1+x 3）x 2] =﹣3x 22+8x 2 =﹣3（x 243-）2161633+≤，∴当x 243=时，x 3﹣x 13=， ∴x 3﹣x 1的最大值为3，【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．6．（1）y=-x²+2x+3；（2）存在，P （9）或（9）.（1）把E 点代入、对称轴表示出来，再结合根与系数的关系可表示出x 12+x 22=10，可得到关于a 、b 、c 的方程组，求解即可求出二次函数的解析；（2）可先求得A 、B 的坐标，求得△EOB 的面积，可求得P 到OA 的距离，代入抛物线可求得P 点坐标．（1）∵图象过E （2，3）， ∴4a+2b+c=3①； ∵对称轴x=1，∴-2ba=1②， ∵图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）， ∴x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0两根， ∴x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a， ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=22b a -2ca=10③， 由①②③可解1{23a b c =-==，∴二次函数解析式为y=-x 2+2x+3；（2）在y=-x 2+2x+3中，令y=0可得-x 2+2x+3=0，解得x=-1或x=3， ∴A 为（-1，0）、B 为（3，0）， ∴OA=1，OB=3，且E 为（2，3）， ∴S △EOB =12×3×3=92， 设P 点坐标为（x ，y ），则S △POA =12×1×|y|， ∵S △EOB =S △POA ， ∴|y|=9，解得y=±9， 当y=9时，代入后x 无解，当y=-9时，代入可得x=1+13或1-13，∴P点坐标为（1+13，-9）或（1-13，-9），∴在（1）中抛物线上是存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积，其坐标为（1+13，-9）或（1-13，-9）【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数与一元二次方程的关系，在（1）中用a、b、c表示出x12+x22=10是解题的关键，在（2）中求出P点的横坐标是解题的关键．7．（1）y=﹣+x+2；（2）；（3）当a=2（在0＜a＜3范围内）时，S最小值=．（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．则，解得，∴．（2）由=．∴顶点坐标为G（1，）．过G作GH⊥AB，垂足为H．则AH=BH=1，GH=﹣2=．∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH．∴GH是△BEA的中位线．∴EA=2GH=．过B作BM⊥OC，垂足为M．则MB=OA=AB．∵∠EBF=∠ABM=90°，∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF．∴Rt△EBA≌Rt△FBM．∴FM=EA=．∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1，∴CF=FM+CM=．3）设CF=a，则FM=a-1或1- a，∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5 .∵△EBA≌△FBM，∴BE=BF.则，又∵，∴，即，∴当a=2（在0<a<3范围内）时，∴.8．（1）点A的坐标为（1，0）．点B的坐标为（0，3）．（2）y=x2﹣4x+3．（3）M （2，1）．（4）点P的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．试题分析：（1）将x=0代入直线的解析式可求得点B的坐标，将y=0代入直线的解析式可求得点A的坐标；（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、k的方程组，求得a、k的值，从而可求得抛物线的解析式；（3）先求得抛物线的对称轴方程，从而可求得点C的坐标，由轴对称图形的性质可知AM+BM=BM+MC，当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，在Rt△BOC中，由勾股定理可求得BC的长，从而得到AM+BM的最小值，然后由△CDM∽△COB，可求得DM=1，从而得到点M的坐标；（4）设点P的坐标为（2，m），然后分为AP=PB，AP=AB，BA=BP三种情况列方程求解即可．解：（1）∵将x=0代入直线的解析式得：y=3，∴点B的坐标为（0，3）．∵将y=0代入直线的解析式得：﹣3x+3=0，解得：x=1．∴点A的坐标为（1，0）．（2）将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，k=﹣1．抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（3）如图所示：连接BC交抛物线的对称轴于点M，连接AM．∵由题意可知抛物线的对称轴为x=2，∴点C的坐标为（3，0）．∵点A与点M关于x=2对称，∴AN=MC．∴AM+BM=BM+MC．∵当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，AM+BM的最小值为BC的长．∴AM+BM的最小值==3．∵MD∥OB，∴△CDM∽△COB．∴，即．解得：MD=1．∴M（2，1）．（4）设点P的坐标为（2，m）．①当PA=PB时，由两点间的距离公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．整理得：6m=12．解得：m=2．点P的坐标为（2，2）．②当AP=AB时，由两点间的距离公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（1﹣0）2+（0﹣3）2．整理得：m2=9．解得：m=3或m=﹣3（舍去）．点P的坐标为（2，3）．③当BA=BP时，由两点间的距离公式可知：（1﹣0）2+（0﹣3）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．整理得：（m﹣3）2=6．解得：m=3+或m=3﹣．点P的坐标为（2，3+）或（2，3﹣）．综上所述，点P的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．考点：二次函数综合题．9．（1）见解析；（2）m＝4或m＝0．（1）只要证明b2－4ac＞0即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知：x 1＋x 2＝m －2，x 1x 2＝－12m 2，进而可得x 12＋x 22＝（m －2）2＋m 2，再根据|x 2|＝|x 1|＋2可得x 12＋x 22－2|x 1x 2|＝4，最后代入计算即可．解：（1）令y ＝0， 得：x 2－（m －2）x －12m 2＝0， b 2－4ac ＝221(2)41()2m m --⨯⨯-＝m 2－4m ＋4＋2m 2 ＝3m 2－4m ＋4 ＝3（m －23）2＋83＞0， ∴无论m 取什么实数，抛物线总与x 轴有两个不同交点； （2）令y ＝0， 得：x 2－（m －2）x －12m 2＝0， 由一元二次方程根与系数的关系可知：x 1＋x 2＝m －2①，x 1x 2＝－12m 2②． 由①平方得：x 12＋x 22＋2x 1x 2＝（m －2）2， ∴x 12＋x 22＝（m －2）2＋m 2③． ∵|x 2|＝|x 1|＋2， ∴|x 2|－|x 1|＝2． ∴x 12＋x 22－2|x 1x 2|＝4， ∴（m －2）2＋m 2－2|－12m 2|＝4， 整理得：（m －2）2＝4． ∴m ＝4或m ＝0． 【点睛】本题主要考查的是二次函数与x 轴交点的问题，将函数问题转化为方程问题是解题的关键．10．（1）抛物线解析式为y=x 2﹣4x+3；（2）Q 点的坐标为（0，0）或（，0）． 试题分析：（1）先确定出点B ，C 坐标，再用待定系数法求函数解析式； （2）先求出BA=2，BC=3，BP=，然后分两种情况①由△ABC ∽△PBQ ，得到，求出BQ ，②由△ABC ∽△QBP 得，求出BQ ，即可．解：（1）∵直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，令x=0，得y=3， ∴C （0，3）， 令y=0，得x=3， ∴B （3，0），∵经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）由（1），得A（1，0），连接BP，∵∠CBA=∠ABP=45°，∵抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；∴P（2，﹣1），∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴BA=2，BC=3，BP=，当△ABC∽△PBQ时，∴，∴，∴BQ=3，∴Q（0，0），当△ABC∽△QBP时，∴，∴，∴BQ=，∴Q（，0），∴Q点的坐标为（0，0）或（，0）．11．y=－x+；；．试题分析：根据二次函数求出A、B两点的坐标，然后根据点B在一次函数上得出b的值，得出直线BC的解析式；首先求出两个函数的交点坐标，得出点C的坐标，然后求出三角形的面积；过点N作NP⊥MB于点P，根据题意得出△BNP∽△BEO，根据直线解析式得出点E的坐标，根据△BEO得出BE的长度，然后根据三角形相似得出NP的长度，然后S与t的函数关系式，根据二次函数的性质得出最值．试题解析：（1）在y＝－＋3中，令y＝0，得－＋3＝0，解得x1＝2，x2＝－2，∴A（－2，0），B（2，0）．又∵点B在y＝－x＋b上，∴0＝－×2＋b，∴b＝．∴直线BC的表达式为y＝－x＋．（2）过点C作CD⊥AB于点D．由得∴C（－1，）．∴AB＝4，CD＝．∴S△ABC＝×4×＝．（3）过点N作NP⊥MB于点P．∵EO⊥MB，∴NP∥EO．∴△BNP∽△BEO，∴＝．由直线y＝－x＋可得：E（0，）．在△BEO中，∵OB＝2，EO＝，∴BE＝．∴＝，∴NP＝t ．∴S＝·（4－t）·t＝－t2＋t＝－（t－2）2＋（0＜t＜4）∵此抛物线开口向下，∴当t＝2时，S最大＝．∴当点M运动2秒时，△MNB的面积最大，最大面积是．考点：二次函数的综合应用．12．(1) y＝－14x2＋32x＋4； (2)点A的坐标为(－2,0)，点B的坐标为(8,0)；(3)点M的坐标为(2,6)或(6,4).（1）由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点M的坐标为（m，-14m2+32m+4），则点N的坐标为（m，-12m+4），进而可得出MN=|-14m2+2m|，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．(1)∵抛物线y＝ax2＋32x＋4的对称轴是直线x＝3，∴3232a-=，解得：a＝－14，∴抛物线的解析式为y＝－14x2＋32x＋4(2)当y＝0时，－14x2＋32x＋4＝0，解得：x1＝－2，x2＝8，∴点A的坐标为(－2,0)，点B的坐标为(8,0)(3)当x ＝0时，y ＝－14x 2＋32x ＋4＝4， ∴点C 的坐标为(0,4)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k≠0)．将B (8,0)，C (0,4)代入y ＝kx ＋b ，得804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4 设点M 的坐标为213(,4)42m m m -++，则点N 的坐标为1(,4)2m m -+，其中0<m<8∴MN ＝2213114(4)24224m m m m m -++--+=-+，又∵MN ＝3，∴－14m 2＋2m ＝3，解得：m 1＝2，m 2＝6，∴点M 的坐标为(2,6)或(6,4). 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a 的值；（3）根据MN 的长度，找出关于m 的一元二次方程．13．（1）y=x 2+2x-3；（2）A （-3，0），B （1，0），（3）6.试题分析：（1）设顶点式y=a （x+1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a 即可得到抛物线解析式；（2）通过解方程可得到A 点和B 点坐标；（3）先写出C 点坐标，然后根据三角形面积公式计算． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a （x+1）2-4， 把点（0，-3）代入得a-4=-3，解得a=1， 所以函数解析式y=（x+1）2-4或y=x 2+2x-3； （2）当y=0时，x 2+2x-3=0，解得x 1=1，x 2=-3， 所以A （-3，0），B （1，0）， （3）C （0，-3）， △ABC 的面积=12×（1+3）×3=6． 14．（1）A （-1，0）B （3，0） C （0，3） （2）△BCD 的面积为3．试题分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A.B.C 点的坐标. （2）延长DC 交x 轴于E ，利用S △BCD =S △BED -S △BCE 计算即可 （1）令y=0，可得x=3或x=﹣1． 令x=0，可得y=3． ∴A （-1，0）B （3，0） C （0，3）（2）依题意，可得y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4． ∴顶点D （1，4）． 令y=0，可得x=3或x=-1． ∴令x=0，可得y=3． ∴C （0，3）． ∴OC=3，∴直线DC 的解析式为y=x+3． 设直线DE 交x 轴于E ． ∴BE=6．∴S △BCD =S △BED -S △BCE =3． ∴△BCD 的面积为3．15．（1）(3,0),(,0),(0,3)A B a C -；（2）①见解析；②32或32+ （1）令0,y = 求解,A B 的坐标，令0,x = 求C 的坐标；（2）①根据抛物线是解析式求解抛物线的对称轴，由轴对称求解P 的坐标，把P 的坐标代入y x a =-+可得结论，②点Q 在抛物线上有且只有三个位置满足QPB APC S S ∆∆=得到Q 在在直线PB 上方只能存在一个位置，即此时QPB S ∆的面积最大，利用函数的性质求解面积的最大值，分情况建立方程求解即可． （1）令0,y =则1(3)()0,x x a a-+-= 解得：123,,x x a =-=()()3,0,,0,A B a ∴-令0,x =()11(3)()33,y x x a a a a∴=-+-=-⨯⨯-=()0,3.C ∴∴ A （-3，0）、B （a ，0）、C （0，3）（2）①1(3)(),y x x a a=-+-∴ 抛物线的对称轴为32a x -=， 点P 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称， 则中点坐标公式得：P 坐标为（a -3,3） 将点P 坐标（a -3,3）代入到y x a =-+中，得33a a =--+（） 成立∴点P 在直线y x a =-+的图像上② 由题意得：13322APC S PC PC ∆=⋅⋅=⋅ 在直线PB 下方始终存在两个位置，使得QPB APC S S ∆∆= 则在直线PB 上方只能存在一个位置，使得QPB APC S S ∆∆=， 即QPB S ∆最大时成立由点Q 在在直线PB 上方，过点Q 作x 轴垂线，垂足为点M ， 交PB 于点H ，交PC 于点N ，如图，则1122QPB QHP QHB S S S QH PN QH BM ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()1322QH PN BM QH =+=⋅， 2113(3)()3,a y x x a x x a a a -=-+-=--+∴ 设点213,3,a Q m m m a a -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭()()3,3,,0,P a B a - ,P B ∴都在y x a =-+上，PB ∴为：y x a =-+，(),,H m m a ∴-+则213(2)3QH m m a a a=-⋅+-+- 当232a m -=时，QH 有最大值=94a，所以此时面积最大为3924QPB S a ∆=⋅ 当0<<3a 时，3PC a =-，得3393-)224a a ⋅=⋅（，则1232a a == 当3a >时，-3PC a =，得339-3)224a a ⋅=⋅（，则12322a a +==（舍去）综上所述：32a =或a =【点睛】本题考查的二次函数，考查二次函数与一元二次方程的关系，考查利用二次函数的性质求解面积的最大值，同时考查了一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 16．（1）y 31x ⨯+2）关于y 轴对称；（3）0≤x ≤1．（1）根据在函数y a x b ⨯+x ＝0时，y ＝1；当x ＝2时，y 7，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式列表、描点，连线可以画出该函数的图象并得到函数的性质； （3）根据图象可以直接写出所求不等式组的解集． 【解答】解：（1）∵在函数y a x b ⨯+x ＝0时，y ＝1；当x ＝2时，y 7．∴127b a b =+=31a b =⎧⎨=⎩，∴这个函数的表达式是y 31x ⨯+ 故答案为：y 31x ⨯+ （2）∵y 31x ⨯+∴y ＝31(0)31(0)x x x x +≥-+<， 列表： x ﹣5 ﹣2﹣1 0 1 25… y47 21274…函数的性质：关于y轴对称，故答案为：关于y轴对称；（3）∵13 22a xb x⨯++即是直线高于曲线，且0x，∴由函数图象可得，不等式组1322a xb xx⎧⨯++⎪⎨⎪⎩的解集是0≤x≤1．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，画函数图象，函数图象的性质，不等式组与函数图象的关系.17．（1）直角;（2）P（32，54）;（3）0＜x＜4.（1）求出点A、B、C的坐标分别为：（-1，0）、（4，0）、（0，2），则AB2=25，AC2=5，BC2=20，即可求解；（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，则直线BC与对称轴的交点即为点P，即可求解；（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜4．解：（1）当x=0时，y1＝0+0+2=2，当y=0时，﹣1 2 x2+32x+2=0，解得x1=-1，x2=4，∴点A、B、C的坐标分别为：(﹣1，0)、(4，0)、(0，2)，则AB2＝25，AC2＝5，BC2＝20，故AB2＝AC2+BC2，故答案为：直角；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：40k bb+=⎧⎨=⎩，解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的表达式为：y＝﹣12x+2，抛物线的对称轴为直线：x＝32，点A关于函数对称轴的对称点为点B，则直线BC与对称轴的交点即为点P，当x＝32时，y＝12-×32+2＝54，故点P(32，54)；（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜4，故答案为：0＜x＜4．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短的性质，勾股定理及其逆定理，以及利用图像解不等式等知识，本题难度不大．18．（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣1．（2）见试题解析；（3）见试题解析试题分析：（1）根据抛物线21(1)4y x =-+，直接得出对称轴即可； （2）根据直线解析式分别得出对应函数的值即可； （3）利用（2）中所求的点，画出图象即可． 试题解析：（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣1． （2）填表如下： x … ﹣7 ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 5 … y … ﹣9 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4 ﹣9 … （3）描点作图如下：【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．19．(1) y=﹣x 2+2x+3;(2) ﹣1＜x ＜3，y ＞0；(3) 当x=2时，y 的最大值是3．试题分析：（1）因为点（﹣1，0），（0，3）在抛物线y=﹣x 2+bx+c 上，可代入确定b 、c 的值；（2）求出抛物线与x 轴的交点坐标，根据图象确定y ＞0时，x 的取值范围；（3）根据二次函数的增减性，确定2≤x ≤4时，y 的最大值． 试题解析：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x 2+bx+c ，得103b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得32c b =⎧⎨=⎩， 所以二次函数的解析式为：y=﹣x 2+2x+3（2）把x=0代入y=﹣x 2+bx+c 中，得﹣x 2+bx+c=0，解得x 1=﹣1，x 2=3， 所以当﹣1＜x ＜3，y ＞0；（3）由y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，抛物线的对称轴为直线x=1，则当2≤x ≤4时，y 随着x 的增大而减小，∴当x=2时，y的最大值是3．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．20．（1）y=x2﹣6x+5；（2）；（3） P（4，﹣3）．试题分析：（1）根据一次函数求出A、B两点的坐标，然后代入反比例解析式进行求解；（2）过点C作CH⊥x轴，求出CH、AH、AC、OC、OA的长度，将∠OAC转化成∠OCA，然后进行计算；（3）过点P作PQ⊥x轴并延长角直线于点Q，设出点P和点Q的坐标，求出PQ的长度，根据三角形的面积关系列出方程，然后进行求解，根据点P在x轴下方进行舍根．试题解析：（1）由直线y=－x+5得点B（0，5），A（5，0），将A、B两点的坐标代入，得，解得∴抛物线的解析式为（2）过点C作CH⊥x轴交x轴于点H 把配方得∴点C （3，-4），∴CH=4，AH=2，AC=∴OC=5，∵OA=5 ∴OA=OC ∴∠OAC=∠OCAsin∠OCA=sin∠OAC=（3）过P点作PQ x轴并延长交直线y=－x+5于Q设点P（m，－6m+5），Q（m，-m+5）∴PQ=－m+5－（－6m+5）=－+5m∵∴∴∴∴P（1，0）（舍去），P（4，-3）考点：（1）待定系数法求函数解析式；（2）三角形函数的计算；（3）一元二次方程的应用．。
人教版九年级上数学《22.2二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)
22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(D) A．无解B．x＝1C．x＝－4 D．x＝－1或x＝42．(青岛中考)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是m＞9．3．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的取值范围为m≤3．4．(1)已知一元二次方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根，即x1＝1，x2＝－2.求二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标；(2)若二次函数y＝－x2＋x＋a与x轴有一个交点，求a的值．解：(1)∵一元二次方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根，即x1＝1，x2＝－2，∴二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)．(2)∵二次函数y＝－x2＋x＋a与x轴有一个交点，令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根，∴1＋4a ＝0，解得a ＝－.14知识点2 利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y ＝x 2＋3x －5的自变量x 与函数值y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y－1－0.490.040.591.16那么方程x 2＋3x －5＝0的一个近似根是(C)A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3知识点3 二次函数与不等式6．二次函数y ＝x 2－x －2的图象如图所示，则函数值y ＜0时x 的取值范围是(C)A ．x ＜－1B ．x ＞2C ．－1＜x ＜2D ．x ＜－1或x ＞27．画出二次函数y ＝x 2－2x 的图象．利用图象回答：(1)方程x 2－2x ＝0的解是什么？(2)x 取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：x…－2－101234…y…830－1038…描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1 漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为－1或2或1.易错点2 忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y ＝x 2＋6x ＋9或y ＝x 2＋9．02 中档题11．(牡丹江中考)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)如图所示，则关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(C)A ．x ＜2B ．x ＞－3C ．－3＜x ＜1D ．x ＜－3或x ＞112．(大同市期中)二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象如图所示，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围是(A)A ．1≤x ≤4B ．x ≤1C ．x ≥4D ．x ≤1或x ≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y ＞2时，自变量x 的取值范围是(B)A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1C.＜x ＜112D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C)A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：x －1013y－3131下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15，∴此时足球距离地面的高度为15米．(2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋或t ＝2－.22答：经过2＋或2－秒时，足球距离地面的高度为10米．22(3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m(m ≥0)的两个不相等的实数根，则Δ＝202－20m>0.解得m<20.∴m 的取值范围是0≤m<20.03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝x 2＋的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝x 2＋的121x 121x 图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．x…－3－2－1－12－131312123…y …25632－12－158－531855181783252m… 函数y ＝x 2＋的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为；121x 296(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程x 2＋＝0有1个实数根；121x②方程x 2＋＝2有3个实数根；121x ③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。
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初中数学_二次函数和一元二次方程_习题及解析一、选择题（共15 小题）1、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac> 0 B 方程ax2+bx+c=0 的两根是x i= - 1, x2=3C 2a- b=0 D、当x > 0时，y随x的增大而减小2、（2010?梧州）已知二次函数y=a/+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac v 0 B a - b+c> 0C b= - 4a D、关于x 的方程ax2+bx+c=0 的根是x i= - 1, x2=53、（2001?湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c 中，4a- b=0，a- b+c> 0，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）A、abc v 0B、c> 0C、4a> cD、a+b+c> 04、抛物线y=ax2+bx+c 在x 轴的下方，则所要满足的条件是（）A a v 0, b2—4ac v 0 B、a v 0, b2- 4ac> 0C、a>0, b2- 4ac v0D、a>0, b2- 4ac> 05、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c （a^0的图象经过点（-1, 2），且与x轴交点的横坐标分别为X1，X2，其中-2v X1V- 1，0 v X2V 1，下列结论：①abc > 0;②4a - 2b+c v 0；③2a - b v 0；④b 2+8a>4ac. 其中正确的有（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个6、已知：a>b>c,且a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（A、7、已知y i=a i x2+b i x+c i, y2=a2x2+b2x+c2且满足.则称抛物线y i, y2互为友好抛物线”，则下列关于友好抛物线”的说法不正确的是（）A、y i，y2开口方向、开口大小不一定相同B因为y i，y2的对称轴相同C、如果y2的最值为m，则y i的最值为kmD、如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y i与x轴的两交点间距离为|k|d&已知二次函数的y=ax2+bx+c图象是由的图象经过平移而得到，若图象与x轴交于A、C （-I, 0）两点，与y轴交于D （0,），顶点为B,则四边形ABCD的面积为（）A、9 B I0C iiD i29、（2005?浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0 （a工,a、b、c为常数）一个解的范围是（）A、3 v x v 3.23B、3.23 v x v 3.24C 3.24 v X V 3.25 D、3.25 v x v 3.2610、根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0 （a工,a, b, c为常数）的一个解x的范围是（）A、8v x v 9B、9v x v 10C、10v x v 11D、11v x v 1211、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象,由图象可知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根分别是x1=1.6, x2=（）A、- 1.6 B 3.2C 4.4 D以上都不对12、（2011?无锡）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1v 0的解集是（）A、x> 1 B x v—1C、0v x v 1D、- 1 v x v 013、（2005?中原区）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式bx+a> 0 的解集是（）A、x vB、x vC、x>D、x>14、方程7x2—（k+13）x+k2—k—2=0 （k 是实数）有两个实根a 且0v av 1, 1 v 3< 2, 那么k 的取值范围是（）A、3v k v 4B、—2v k v—1C 3v k v 4 或-2v k v—1 D、无解15、对于整式x2和2x+3，请你判断下列说法正确的是（）A、对于任意实数x,不等式x2>2x+3都成立B对于任意实数x,不等式x2v 2x+3都成立C、x v 3 时,不等式x2v 2x+3 成立D、x> 3 时,不等式x2> 2x+3 成立二、解答题（共7 小题）16、已知抛物线y=x2+2px+2p—2 的顶点为M,(1)求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；(2)设抛物线与x轴的交点分别为A, B,求实数p的值使△ ABM面积达到最小.17、已知：二次函数y= (2m - 1) /-( 5m+3) x+3m+5(1 ) m 为何值时，此抛物线必与x 轴相交于两个不同的点；(2)m 为何值时，这两个交点在原点的左右两边；(3)m 为何值时，此抛物线的对称轴是y 轴；( 4) m 为何值时，这个二次函数有最大值.18、已知下表：( 1 )求a、 b 、 c 的值，并在表内空格处填入正确的数；( 2 )请你根据上面的结果判断：①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0?若存在，求出这个实数值；若不存在, 请说明理由.②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2+bx+c>0.19、( 2005?滨州)(I)请将下表补充完整；(n )利用你在填上表时获得的结论，解不等式- x2- 2x+3v0;(川)利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式;(W )试写出利用你在填上表时获得的结论解一兀二次不等式ax2+bx+c> 0( a工0时的解题步骤.20、已知二次函数y=ax2+bx+c(a, b , c均为实数且a工0满足条件：对任意实数x都有y > 2; 且当0v x v 2时，总有y哦立.(1 )求a+b+c的值；(2)求a- b+c的取值范围.21、 ( 2007?贵阳)二次函数y=ax2+bx+c (a工0的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1 )写出方程ax^+bx+c=0的两个根；(2)写出不等式ax2+bx+c> 0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.22、阅读材料，解答问题.例.用图象法解一元二次不等式：x2- 2x- 3> 0.解：设y=x2- 2x- 3，则y是x的二次函数.•/ a=1> 0,二抛物线开口向上.又•••当y=0时，x2- 2x- 3=0,解得x i = - 1, X2=3.二由此得抛物线y=/- 2x- 3的大致图象如图所示.观察函数图象可知：当x v - 1或x> 3时，y> 0. ••• x2- 2x- 3> 0的解集是：xv- 1 或x> 3.(1 )观察图象，直接写出一元二次不等式：x2- 2x- 3 v 0的解集是 _____________ ;(2 )仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2- 5x+6 v 0 .（画出大致图象）三、填空题(共4小题)23、二次函数y=ax2+bx+c (a工0的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1 )写出方程ax2+bx+c=0的两个根. x i= ___________ , x2= __________ ;(2) ________________________________________ 写出不等式ax2+bx+c> 0的解集. ;(3)写出y随x的增大而减小的自变量x 的取值范围. ——;(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. _____________ 24、( 2010?日照)如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B2 225、二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+ n的图象如图所示，贝U ax2+bx+c < mx+时，x的取( 3 , 0 ),则由图象可知，不等式ax2+bx+c > 0的解集是值范围是_ _ .26、如图，已知函数y=a/+bx+c与y=-的图象交于A (- 4, 1)、B (2, - 2)、C (1,- 4)三点，根据图象可求得关于x的不等式ax2+bx+c< -的解集为_ _ .答案与评分标准一、选择题（共15 小题）1、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac> 0 B 方程ax2+bx+c=0 的两根是x i= - 1, x2=3C 2a- b=0 D、当x > 0时，y随x的增大而减小考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。
专题：计算题。
分析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断．解答：解：A、•••抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，••• a v 0, c> 0, ac v 0，故本选项错误；B、•••抛物线对称轴是x=1,与x轴交于（3 , 0）, •••抛物线与x轴另一交点为（-1, 0）, 即方程ax2+bx+c=0的两根是x i=- 1, x2=3，故本选项正确；C、•••抛物线对称轴为x=- =1, • 2a+b=0,故本选项错误；D、•••抛物线对称轴为x=1,开口向下，•••当x> 1时，y随x的增大而减小，故本选项错误. 故选B．点评：本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系.关键是会利用对称轴的值求2a 与b 的关系,对称轴与开口方向确定增减性,以及二次函数与方程之间的转换.2、（2010?梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac v 0 B a - b+c> 0C、b= - 4aD、关于x 的方程ax2+bx+c=0 的根是x i= - 1, x2=5考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。
分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据抛物线与x 轴交点及x=1 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：A、该二次函数开口向下，则a v 0;抛物线交y轴于正半轴，则c> 0;所以acv 0，正确；B、由于抛物线过（-1, 0），则有：a - b+c=0,错误；C、由图象知：抛物线的对称轴为x=- =2，即b=- 4a,正确；D、抛物线与x轴的交点为（-1, 0）、（5, 0）；故方程ax2+bx+c=0的根是x i = - 1, x2=5, 正确；故选B．点评：由图象找出有关a, b, c的相关信息以及抛物线的交点坐标，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c, y=a- b+c,然后根据图象判断其值.3、（2001?湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c 中，4a- b=0，a- b+c> 0，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）A、abc v 0B、c> 0C、4a> cD、a+b+c> 0考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。