四川省泸州市2016-2017学年高三数学一诊试卷(文科)Word版含解析

四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷
（文科数学）
一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合A={x|x2﹣x≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）
A．∅B．{0} C．{0，1} D．{0，1，2}
2．复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）
A．1 B．C．D．2
3．函数f（x）=sin（x+）图象的一条对称轴方程为（）
A．x=﹣B．x=C．x=D．x=π
4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（）
A．B．C．D．
5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．150
6．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．9
7．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）
A ．[1，25]
B ．[4，25]
C ．[1，4]
D ．[5，24]
9．下列命题正确的是（ ）
A ．“b 2=ac”是“a，b ，c 成等比数列”的充要条件
B ．“∀x ∈R ，x 2＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02＞0”
C ．“若a=﹣4，则函数f （x ）=ax 2+4x ﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题
D ．“函数f （x ）=lnx 2与函数g （x ）=的图象相同”
10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．计算2lg2+lg25+（）0=______．
12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为______．
13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是______．
14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x=______．
15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n =______．
三、解答题（共6个小题，共75分）
16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间
（1）求上表中m 、n 的值；
（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．
17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，
且A 1H=，G 是CC 1的中点．
（1）求证：BB 1⊥A 1G ；
（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．
18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：
（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；
（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．
19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．
（1）若f （3）=5，求f （）的值；
（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．
21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD （其中AB=BC=CD=6米），靠墙l 围成一个四边形，设∠DAB=α．
（1）当α=60°，且BC ⊥CD 时，求AD 的长；
（2）当BC ∥l ，且AD ＞BC 时，求所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．
四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合A={x|x 2﹣x ≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A ．∅
B ．{0}
C ．{0，1}
D ．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】先化简集合A ，再求A∩B．
【解答】解：集合A={x|x 2﹣x ≤0}={x|x （x ﹣1）≤0}={x|0≤x ≤1}=[0，1]
B={0，1，2}，
∴A∩B={0，1}．
故选：C ．
2．复数z=（i 是虚数单位），则|z|=（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．2
【考点】复数求模．
【分析】分别求出分子、分母的模，即可得出结论．
【解答】解：∵复数z=
，
∴|z|=||==， 故选：B ．
3．函数f （x ）=sin （x+
）图象的一条对称轴方程为（ ）
A ．x=﹣
B ．x=
C ．x=
D ．x=π 【考点】正弦函数的对称性．
【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得f （x ）的图象的一条对称轴方程．
【解答】解：对于函数f （x ）=sin （x+
），令x+=k π+，求得 x=k π+，k ∈Z ，
可得它的图象的一条对称轴为 x=， 故选：B ．
4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（ ）
A．B．C．D．
【考点】循环结构．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＞5时退出循环，输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=1，n=1
不满足条件n＞5，S=1+，n=2
不满足条件n＞5，S=1++，n=3
不满足条件n＞5，S=1+++，n=4
不满足条件n＞5，S=1++++，n=5
不满足条件n＞5，S=1+++++，n=6
满足条件n＞5，退出循环，输出S的值．
由于S=1+++++=．
故选：D．
5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．150
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，即可得出结论．
【解答】解：∵从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，
∴该次测验中90分以下抽取的人数是500﹣100﹣250=150．
∴该次测验中90分以下的人数是150．
即抽样比k=，
则该次测验中90分以下的人数是1500×=450．
故选：B．
6．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．9
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】四面体为边长为6的正方体沿着共点三面的对角线截出的三棱锥．
【解答】解：四面体的底面为直角边为6的等腰直角三角形，高为6．
∴四面体的体积V==36．
故选C．
7．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】对|+2|=两边平方，计算出数量积，代入夹角公式计算．
【解答】解：∵|+2|=，∴（+2）2=7，即+4+4=7，
∵==1，∴=，∴cos＜＞==，∴向量，夹角为60°．
故选：C．
8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）
A．[1，25] B．[4，25] C．[1，4] D．[5，24]
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，﹣2），
联立，解得B（3，4），
化目标函数Z=3x+4y为y=．
由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，Z有最小值为1；
当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最大，Z有最小值为25．
故选：A．
9．下列命题正确的是（）
A．“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件
B．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x
0∈R，x
2＞0”
C．“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题
D．“函数f（x）=lnx2与函数g（x）=的图象相同”
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】举例说明A错误；直接写出全称命题的否定判断B；举例说明C错误；写出分段函数说明D正确．【解答】解：A错误，如a=0，b=0，c=1满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列；
B错误，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x
0∈R，x
2≤0”
C错误，“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题是：“若函数f（x）=ax2+4x ﹣1只有唯一一个零点，则a=﹣4”，为假命题，
比如a=0，f（x）=0的根是；
D 正确，函数f （x ）=lnx 2是分段函数，分x ＞0和x ＜0分段可得函数g （x ）=
．
故选：D ．
10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】由方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2，结合对应二次函数性质得到，
然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．
【解答】解：由程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0
故函数f （x ）=x 2+（1+a ）x+1+a+b 图象开口方向朝上
又∵方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2
则
即
即
其对应的平面区域如下图阴影示：
∵=表示阴影区域上一点与原点边线的斜率
由图可知∈
故答案：
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．计算2lg2+lg25+（）0= 3 ．
【考点】对数的运算性质．
【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．
【解答】解：2lg2+lg25+（）0=lg4+lg25+1=lg100+1=2+1=3．
故答案为：3．
12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为 2 ．
【考点】基本不等式．
【分析】因为2a 与2b 均大于0，所以直接运用基本不等式求最小值．
【解答】解：∵a+b=1，
∴
，
当且仅当2a =2b ，即
时“=”成立．
所以2a +2b 的最小值为
．
故答案为．
13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是 ．
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B 到平面A 1B 1CD 的距离．
【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
则B （2，2，0），D （0，0，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0），
=（2，2，0），=（2，0，2），=（0，2，0），
设平面A 1B 1CD 的法向量=（x ，y ，z ），
则，取x=1，得，
∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是：
d===．
∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是．
故答案为：．
14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x= ．
【考点】二倍角的余弦；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】由条件利用两个向量平行的条件求得sinx 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x 的值．
【解答】解：∵向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，∴3cos 2x ﹣5sinx ﹣1=0，
即 3sin 2x+5sinx+2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或 sinx=，
则cos2x=1﹣2sin 2x=1﹣2×=，
故答案为：．
15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n = 2n+1﹣2 ．
【考点】等比数列的性质．
【分析】由题意，数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，利用等比数列的求和公式，即可得出结论．
【解答】解：由题意，数列{a n }a 1=1，a 2=2，公比为2，
设数列{b n }的公比为q′，{a n +b n }的公比为q ，
则2+q′=2q，4+q′2=2q 2，
∴q 2﹣4q+4=0
∴q=2，
∴数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，
∴S n ==2n+1﹣2．
故答案为：2n+1﹣2．
三、解答题（共6个小题，共75分）
16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间
（1）求上表中m 、n 的值；
（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）根据表格的合计数据计算，
（2）求出上课时间使用手机的学生人数，除以数据总数得出频率，利用频率代替概率．
【解答】解：（1）m=98﹣23﹣55=20，n=m+17=37．
（2）上课时间使用手机的人数为23+55=78．∴该校学生上课时间使用手机的概率P==0.39．
17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，
且A 1H=，G 是CC 1的中点．
（1）求证：BB 1⊥A 1G ；
（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．
【考点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．
【分析】（1）连接GH ，由已知得A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，可得A 1H ⊥BB 1，由中位线和条件得BB 1⊥HG ，由线面垂直的判定定理可证结论成立；
（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由题意和线面垂直的判定定理、定义得B 1C 1⊥A 1E ，求出△A 1B 1C 1的面积，由等体积法求出C 到平面A 1B 1C 1的距离．
【解答】证明：（1）如图连接GH ，
∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H ，
∴A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，
∵BB 1BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥BB 1，
∵H 是BC 1的中点，G 是CC 1的中点，
∴HG ∥BC ，
由∠B 1BC =90°知，BB 1⊥B C ，∴BB 1⊥HG
∵A 1H∩HG =H ，∴BB 1⊥平面A 1HG ，
∴BB 1⊥A 1G ；
解：（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，
由∠BB 1C 1=90°得，HE ⊥B 1C 1，
∵A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥B 1C 1，
∵A 1H∩HE =H ，∴B 1C 1⊥平面A 1HE ，∴B 1C 1⊥A 1E ，
∵H 是BC 1的中点，E 是B 1C 1的中点，∴HE ∥BB 1，且HE=1，
在△A 1HE 中，A 1E==2，∴=•B 1C 1AB•A 1EBC==2，
设C 到平面A 1B 1C 1的距离为h ，由
=V A 得，
×A 1E ×=×h ×，
则2×2=h ×2，解得h=
，
∴C 到平面A 1B 1C 1的距离是
．
18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：
（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；
（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出原函数的图象可知，f'（x ）=0的两个根为﹣1，2，根据根与系数的关系即可求出a ，b 的值，并由图象得到单调区间；
（2）求出函数f （x ）的极大值和极小值，由函数f （x ）恰有三个零点，则函数的极大值大于0，且同时满足极小值小于0，联立可求c 的取值范围．
【解答】解：（1）∵f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，
∴f′（x ）=x 2+2ax+b ，
∵f′（x ）=0的两个根为﹣1，2，
∴，
解得a=﹣，b=﹣2，
由导函数的图象可知，当﹣1＜x ＜2时，f′（x ）＜0，函数单调递减，
当x ＜﹣1或x ＞2时，f′（x ）＞0，函数单调递增，
故函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减．
（2）由（1）得f （x ）=x 3﹣x 2﹣2x+c ，函数f （x ）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上是增函数，在（﹣1，
2）上是减函数，
∴函数f （x ）的极大值为f （﹣1）=+c ，极小值为f （2）=c ﹣．
而函数f （x ）恰有三个零点，故必有，解得：﹣＜c ＜．
∴使函数f （x ）恰有三个零点的实数c 的取值范围是（﹣，）
19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）通过将点P （a n ，a n+1）代入函数方程f （x ）=3x 化简可知a n+1=3a n ，进而可知数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b n =n3n ，进而利用错位相减法计算即得结论．
【解答】解：（1）∵点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，
∴a n+1=3a n ，
又∵a 1=3，
∴数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，
∴其通项公式a n =3n ；
（2）由（1）可知b n =na n =n3n ，
∴S n =1×3+2×32+…+n3n ，
3S n =1×32+2×33+…+（n ﹣1）3n +n ×3n+1，
错位相减得：﹣2S n =3+32+…+3n ﹣n ×3n+1
=3×﹣n ×3n+1
=
×3n+1﹣，
∴S n =×3n+1+．
20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．
（1）若f （3）=5，求f （）的值；
（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．
【考点】函数的值；函数恒成立问题．
【分析】（1）由f （3）=5得出aln3=﹣5，再求出f （）的值．
（2）alnx≥﹣x2．然后讨论lnx的符号分离参数，转化为求﹣得最大值或最小值问题．
【解答】解：（1）∵f（3）=10+aln3=5，∴aln3=﹣5．∴f（）=+aln=﹣aln3==．
（2）∵x2+alnx+1≥1，∴alnx≥﹣x2．
①若lnx=0，即x=1时，显然上式恒成立．
②若lnx＞0，即x＞1时，a≥﹣．令g（x）=﹣．则g′（x）=，
∴当1＜x时，g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0，
∴当x=时，g（x）取得最大值g（）=﹣2e．∴a≥﹣2e．
③若lnx＜0，即0＜x＜1时，a≤﹣，由②讨论可知g（x）在（0，1）上是增函数，且g（x）＞0，∴
a≤0．
综上，a的取值范围是[﹣2e，0]．
21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD（其中AB=BC=CD=6米），靠墙l围成一个四边形，设∠DAB=α．
（1）当α=60°，且BC⊥CD时，求AD的长；
（2）当BC∥l，且AD＞BC时，求所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，利用三角函数，结合勾股定理，求AD的长；
（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，所围成的等腰梯形ABCD面积
S==36sinα（1+cosα），利用导数确定单调性，即可求出所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．
【解答】解：（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，则AO=3，BO=3，BD=6，
∴OD==3，
∴AD=AO+OD=3+3；
（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，
∴所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），
S′=36（2cosα﹣1）（cosα+1），
∴0＜α＜，S′＞0，，＜α＜π，S′＜0，
∴α=，S取得最大值27．。